第5章 刚体力学

第5章 刚体力学

对于机械运动的研究，只局限于质点的情况是很不够的。质点的运动只代表物体的平动。物体是有其形状和大小的，它可以做平动、转动，甚至于做更为复杂性的运动；而且在运动中，物体的形状也可能发生变化。在本章讨论的刚体，考虑其形状和大小，但是不考虑其形变，仍然是一个理想模型。

前四章我们介绍了力学的基本概念和原理，比如：质点、位矢、位移、速度和加速度，牛顿定律、动量和冲量、功和能等概念以及动量、角动量和能量守恒定律。在那里，这些概念和定理、定律是应用于质点，也用于质点系。本章将介绍一种特殊的质点系——刚体——所遵从的力学规律。这些规律实际上是前几章的基本概念和原理在刚体上的应用。

本章重点讨论刚体的定轴转动这种简单的情况。重要的概念有转动惯量、力矩、角速度和角动量等，守恒定律同样适用于包括刚体的系统。角动量定理和角动量守恒定律在现代物理学和航天科技中有着特别重要的意义。

5.1刚体的基本运动

5.1.1 刚体

一般假定物体在任何情况下，形状和大小都不发生变化，称之为刚体。

5.1.2 刚体的平动

刚体在运动过程中，连接刚体内任意两点的直线始终保持自身平行，则这种运动称为刚体的平动。

如图5.1-1所示。刚体平动时，刚体上各点的运动情况完全相同，具有相同的位移、速度和加速度等。只要知道刚体上任一点的运动情况，整个刚体的运动情况也就知道了。这样刚体的平动可以看成是质点的运动，描述质点运动的各个物理量和质点力学的规律都适用于刚体的平动。

5.1.3 刚体的定轴转动

如果在运动过程中，刚体上所有质元都绕同一直线作圆周运动，则这种运动称为刚体的转动；该直线称为转轴，若转轴固定不动，则这种运动

称为刚体定轴转动，如图5.1-2所示。 圆周轨道所在平面垂直转轴，这平面称为转动平面；圆轨道的中心就是转动平面与转轴的交点O ，称为转心。刚体上所有半径（i R ）不等、速度i v 不

图5.1-1 刚体的平动

图5.1-2 刚体定轴转动

同，但是各个i R 在相同的时间间隔t ∆内都转过了相同的角度θ∆，如图5.1-2所示。

5.2刚体的定轴转动

刚体绕某一固定轴转动时，各质元的线速度、加速度一般是不同的，如图5.2-1所示。但是，由于各质元的相对位置保持不变，所以描述各质元运动的角量，如角位移、角速度和角加速度都是一样的。因此，描述刚体运动时，用角量较为方便。

5.2.1 基本角量

若用k d θ表示刚体在dt 时间内转过的角位移，其角速度矢量为

k

dt d θω=

，其大小为||

||dt

d θω=， 图5.2-1

它的方向规定为沿转轴的方向，其指向由右手螺旋法则确定。刚体定轴转动的角速度实际上是其在转轴方向上的分量。所以，可以简化为标量。即

dt

d θω=

（5.2-1），

角加速度为

22

dt

d dt

d θωβ==

（5.2-2）

离转轴的距离为r 的质元的线速度和刚体的角速度的关系为：

)(k z yj i x k r v ++⨯=⨯=ωω （5.2-3）

其加速度和刚体的角加速度的关系为：

β

r a t = （5.2-4） ω

r a n = （5.2-5）

刚体转动的一种简单的情况是匀加速转动，在这一转动过程中，刚体的角加速度保持不变。以0ω表示刚体在t=0时的角速度，以ω表示刚体在t 时的角速度， 以θ表示刚体在0到t 时刻的角位移，类比匀速直线运动，可推导出相应的公式：

t βωω+=0 （5.2-6）

βθωω22

02=- （5.2-7），

2

002

1t t βωθθ+

+= （5.2-8）。

例5.2-1、 一条缆索绕过一定滑轮拉动一升降机，如图5.2-2所示。滑轮半径m r 5.0=，如果升降机从静止开始以加速度2/4.0s m a =匀加速度上升，求：

（1）、滑轮的角加速度；

（2）、开始上升后，s t 5=末滑轮的角加速度； （3）、在5秒内滑轮转过的圈数；

（4）、开始上升后，s t 1='末滑轮边缘上一点的加速度（假设缆索和滑轮之间不打滑）。

解：（1）由于升降机的加速度和轮缘上一点的切向加速度相等，根据

β

r a t =， )/(8.05

.04.02

s rad r

a r

a t ==

=

=

β；

（2）、 t βω=， )/(458.0s rad =⨯=ω； （3）、 2

2

1t βθ=

，)(105

8.02

12

rad =⨯⨯=

θ，6

.12102==

=

π

π

θ

n ；

（4）、如图5.2-2所示，已知2/4.0s m a a t ==， 又 s rad t /8.018.0=⨯='='βω

2

2

2

/32.08

.05.0s

m r a n =⨯='=ω，

故 2

2

2

2

2/51.04

.032.0s

m a a a t

n =+=+=

'

这个加速度的方向与轮缘切线方向的夹角

︒===7.384

.032.0arctg

a a arctg

t

n α。

图5.2-2