框图化简、梅逊公式习题
自动控制复习题
一、试用结构图等效化简或梅逊公式求图1所示系统的传递函数)()(s R s C图1解：结构图等效解：所以：432132432143211)()(G G G G G G G G G G G G G G s R s C ++++= 梅逊公式解：图中有1条前向通路，3个回路，有1对互不接触回路，，，2111432111G G L G G G G P -==∆= ，，，21321323432)(1L L L L L G G L G G L +++-=∆-=-=43213243214321111)()(G G G G G G G G G G G G G G P s R s C ++++=∆∆=二： 分别用结构图等效变换和梅逊公式求图2-3所示系统的传递函数。
)(s R )(2s G )(1s G )(s C -)(3s G -图2-3解：用梅逊公式求取系统传递函数。
由图2-3知，系统有1个回路，有2条前向通路。
因此有)()(321s G s G L =∑-=-=)()(1132s G s G L a ∆1)(1)(222111=-===∆∆s G P s G P 根据梅逊公式，系统的传递函数为)()(1)()()()(322121s G s G s G s G P s R s C k kk --==∑=∆∆三、试用结构图等效化简和梅逊增益公式求图1所示各系统的传递函数)()(s R s C图1解：所以： 2321212132141)()(H G G H G H G G G G G G s R s C ++++= （e ）图中有2条前向通路，3个回路，，，，∆=∆==∆=242132111G P G G G P ，，，，)(132123*********L L L H G G L H G L H G G L ++-=∆-=-=-= 2321212132141122111)()(H G G H G H G G G G G G P P P P s R s C ++++=∆∆+=∆∆+∆=二、 设图2（a ）所示系统的单位阶跃响应如图2（b ）所示。
《自动控制原理》典型考试试题
《 自动控制原理 》典型考试试题（时间120分钟）院/系 专业 姓名 学号第二章：主要是化简系统结构图求系统的传递函数，可以用化简，也可以用梅逊公式来求一、（共15分）已知系统的结构图如图所示。
请写出系统在输入r(t)和扰动n(t)同时作用下的输出C(s)的表达式。
G4H1G3G1G 2N(s)C(s)R(s)--+++二 、（共15分）已知系统的结构图如图所示。
试求传递函数)()(s R s C ，)()(s N s C 。
三、（共15分）已知系统的结构图如图所示。
试确定系统的闭环传递函数C(s)/R(s)。
G1G2R(s)-++C(s)-+四、（共15分）系统结构图如图所示，求X(s)的表达式G4(s)G6(s)G5(s)G1(s)G2(s)N(s)C(s)R(s)--G3(s)X(s)五、（共15分）已知系统的结构图如图所示。
试确定系统的闭环传递函数C(s)/R(s)和C(s)/D(s)。
G1G2R(s)-++C(s)-+D(s)G3G4六、（共15分）系统的结构图如图所示，试求该系统的闭环传递函数)()(s R s C 。
七、（15分）试用结构图等效化简求题图所示各系统的传递函数)()(s R s C一、（共15分）某控制系统的方框图如图所示，欲保证阻尼比ξ=0.7和响应单位斜坡函数的稳态误差为ss e =0.25,试确定系统参数K 、τ。
二、（共10分）设图（a ）所示系统的单位阶跃响应如图（b ）所示。
试确定系统参数,1K 2K 和a 。
三、（共15分）已知系统结构图如下所示。
求系统在输入r(t)=t 和扰动信号d(t)=1(t)作用下的稳态误差和稳态输出)(∞C2/(1+0.1s)R(s)-C(s)4/s(s+2)E(s) D(s)四、（共10分）已知单位负反馈系统的开环传递函数为：2()(2)(4)(625)KG s s s s s =++++试确定引起闭环系统等幅振荡时的K 值和相应的振荡频率ω五、（15分）设单位反馈系统的开环传递函数为12 )1()(23++++=s s s s K s G α若系统以2rad/s 频率持续振荡，试确定相应的K 和α值第三章：主要包括稳、准、快3个方面稳定性有2题，绝对稳定性判断，主要是用劳斯判据，特别是临界稳定中出现全零行问题。
2.4框图化简及梅逊公式
C(s)
有1组三个互不接触回路： L3 abefij
不存在四个互不接触回路： L4 0
1 L1 L2 L3
k 第k个前向通道的余子式；其值为 中除去与第k个前
向通道接触的回路后的剩余部分；
1 1 L1 L2 L3 ... 1
R(S ) E (S )
G1 G2
C (S )
R(S ) 1 E (S ) G1 C (S ) 1 C (S )
G2
信号流图是由定向线段（支路）将一些节点（变量）连接起来 组成的。支路上的传递函数称为支路增益
[几个术语]：
输入节点(源点)：只有输出支路的 节点。如： R，N。
R
1
N 1 E P G Q G1 2
补充例题1
g
h b
R(s ) 1
a
c
d
1
2
3
i
4
5
l
e j6
7f
k
1 C (s )
8
9
m
Байду номын сангаас
补充例题2
R(s )
G1
1 1
G2
C (s )
3） 反馈联接：
R(s ) E (s)
G (s )
C (s )
H (s )
称为闭环传递函数
C ( s) G( s) ( s ) R( s ) 1 G ( s ) H ( s )
H (s)G2 (s)
①
R(s)
G1 ( s)
G2 ( s)
-
G3 ( s)
H ( s)G2 ( s)
梅逊公式
回章首
回节首
21
解: 有三条前向通路， 前向通路的增益分别为
n3
p1 G1G2 G3G4 G5 p2 G1G6 G4 G5 p3 G1G2 G7
有四个独立的回路，分别为
L1 G2 G3G4 G5 H 2 L2 G6 G4 G5 H 2
在四个回路中，L3与L4不接触。
L3 G2 G7 H 2 L4 G4 H1
特征式为
1 ( L1 L2 L3 L4 ) L3 L4
回章首 回节首 22
前向通路p1与四个回路均接触，
1 1
前向通路p2与四个回路均接触，
2 1
前向通路p3与回路L4不接触，
L3a L4 ,
a
3 1 L4
闭环传递函数为
Y (s) P 1 ( p11 p2 2 p3 3 ) R( s) p1 p2 p3 (1 L4 ) 1 ( L1 L2 L3 L4 ) L3 L4 G1G2G3G4G5 G1G6G4G5 G1G2G7 (1 G4 H1 ) 1 G2G3G4G5 H 2 G6G4G5 H 2 G2G7 H 2 G4 H1 G2G7 H 2G4 H1
(2-123)
回章首
回节首
18
特征式
的计算公式为
1 La Lb Lc
a b,c
d ,e, f
L
d
Le L f ....
(2-124)
L —所有独立回路增益之和； —所有每两个互不接触回路增益乘积之和； L L —所有每三个互不接触回路增益乘积之和。 L L L
a a
梅逊增益公式及应用
-H2
1
②
G1 G2
G3
1 C(s)
① -H1
-1 ③
3
1 Li 1 G1G2H1 G2G3H2 G1G2G3
i 1
1 1
T
C(s) R( s )
1
P11
1
G1G2 H1
G1G2G3 G2G3H2
G1G2G3
例：求系统的总增益。
G(s) C(s) P11
G1G2G3G4
R(s) 1 G2G3G6 G3G4G5 G1G2G3G4G7
R(s)+ +
H2(s)
—
G1(s) +
G2 ( s )
G3 ( s )
C(s)
——
H1(s)
R(s) 1
-H2
1
G1 G2
G3
1 C(s)
-H1
-1
R(s) 1
P1 G1G2G3
G1G2G3 G1G4 G2G3H2 G1G2G3
G1G4
G4H2
② E(s)/R(s) E(s)
1
R(s)
1 1 G1
-H1
④⑤
G4
G2
G3
① -H2 ②
前向通道： P1 1
-1 ③
L1 G1G2H1 L2 G2G3 H2
反馈回路： L3 G1G2G3
1 1 G1G2H1 G2G3H2 G4H2
梅逊增益公式及应用
信号流图上从输入节点（源节点）输出节点到(汇节点)的总增 益公式，即梅逊公式(Mason)，表达式为：
T
G(s)
C(s) R( s )
梅逊公式的应用
0
H
2
Y0
解上述方程组，得
Y0
X i
X
0
X
0
G 1 G 2
X
0
X
0
H
2
1 G2H1
X i
G 1 G 2
H
2
1 G2H1
G4
X i
X
0
G 1 G 3
X
0
整理得：
1 G 2 H 1 G 4 H 2 G 1 G 2 G 4 G 1 G 3 H 2 G 1 G 2 G 4 G 1 G 3 G 1 G 2 G 3 H 1 X i ( s )
-H2
②
2.6
P1=G1G2G3； P2=G1G4
系统信号流图及梅逊公式
该系统有二个前向通路，其传递函数分别为： 有5个反馈回路，其传递函数分别为：L1=−G1G2H1； L2=−G2G3H2； L3=−G1G2G3H3； L4=−G1G4H3； L5=−G4H2 5个反馈回路都相互接触，即没有互不接触的反馈回路，则：
G4(s)
X0(s)
-
G6(s) G7(s)
前向通道(一条)： 回路3个(互有接触)：
P1 G1G 2 G 3 G 4
1 1
1 G 2 G 3 G 5 G 3 G 4 G 6 G 1G 2 G 3 G 4 G 7 G3
3个回路 具有的公共传递函数：
G (s)
1 G1G 2 H 1 G 2 G 3 H 2 G1G 2 G 3 H 3 G1G 4 H 3 G 4 H 2
5个反馈回路均与两条前向通道接触，故： 1 1 则：
2 1
梅森公式经典例题
梅森公式经典例题
梅森公式是指一种特定的数学公式，它涉及到指数和素数的关系。
这种公式通常用于解决与素数分布和性质相关的问题。
以下是一个梅森公式的经典例题：
1.验证2^3-1是否是梅森素数。
解答：根据梅森公式的定义，首先需要验证指数p是否为素数。
在本例中，p=3是一个素数。
然后计算2^3-1=7，7也是一个素数。
因此，2^3-1满足梅森公式的条件，是梅森素数。
2.计算2^5-1。
解答：首先验证指数p=5是否为素数，5是一个素数。
然后计算2^5-1=31，31也是一个素数。
因此，2^5-1满足梅森公式的条件，也是一个梅森素数。
这些是使用梅森公式的一些经典例题。
使用梅森公式可以帮助我们更好地理解素数的性质和分布，以及它们在数学和密码学等领域的应用。
框图化简、梅逊公式习题
图 RC无源网络结构图
2 结构图的等效变换和简化
复杂系统结构图，其方框间的连接是错综复杂的，但方框 间的基本连接方式只有串联、并联和反馈连接三种。
在简化过程中应遵循变换前后变量关系保持等效的原则，
例：化简下列系统结构图，并求出传递函数 。
解：
第二章 自动控制系统的数学模型
第二章 自动控制系统的数学模型
梅森公式
G4
C(s) R
求
：
R(s)
E G1
G2
H1
H1H2
G3 H2
C
前向通道有二，分别为: P1 G1G2G3, P2 G3G4
回路有三，分别为： G1H1,G3H2 ,G1G2G3H1H2
有两个不接触回路，所以：
1 La LbLc 1 G1H1 G3H2 G1G2G3H1H2 G1G3H1H2
e
e1
-H
G3 e2
G4
解：①用小圆圈表示各变 C 量对应的节点A1, A2
②在比较点之后的引出点
只需在比较点后设置一个节 点便可。也即可以与它前面 的比较点共用一个节点。
③在比较点之前的引出点B，需设 置两个节点，分别表示引出点和 比较点，注意图中的 e1 e2
例 (a) x1
求图（a）所示信号流图的总增益
C(s)
R(s) _
G1
G2G3G4 1 G3G4H3 G2G3H2
H3
C(s)
R(s)
G1G2G3G4
C(s)
1 G3G4H3 G2G3H2 G1G2G3G4H1
(s)
G1(s)G2 (s)G3 (s)G4 (s)
1 G2 (s)G3 (s)H2 (s) G3 (s)G4 (s)H3 (s) G1(s)G2 (s)G3 (s)G4 (s)H1(s)
《自动控制原理》典型考试试题
《自动控制原理》典型考试试题(时间120分钟)院/系______________ 专业_______________ 姓名________________ 学号________________ 第二章：主要是化简系统结构图求系统的传递函数，可以用化简，也可以用梅逊公式来求一、(共15分)已知系统的结构图如图所示。
请写出系统在输入r(t)和扰动n(t)同时作用下的输出C(s)的表达式。
、(共15分)已知系统的结构图如图所示。
R(s) N(s)三、(共15分)已知系统的结构图如图所示。
试确定系统的闭环传递函数C(s)/R(s)。
四、(共15分)系统结构图如图所示，求X(s)的表达式五、(共15分)已知系统的结构图如图所示。
试确定系统的闭环传递函数C(s)/R(s)和C(s)/D(s)六、(共15分)系统的结构图如图所示，试求该系统的闭环传递函数C(s)R(s) °七、(15分)试用结构图等效化简求题图所示各系统的传递函数C(s)R(s)N(s)_ __ 1码⑸卜——第三章：主要包括稳、准、快3个方面稳定性有2题，绝对稳定性判断，主要是用劳斯判据，特别是临界稳定中出现全零行问题。
相对稳定性判断，主要是稳定度问题，就是要求所有极点均在s=-a垂线左测问题，就是将s=w-a代入D(s)=O中，再判断稳定快速性主要是要记住二阶系统在0< E <1时的单位阶跃响应公式以及指标求取的公式。
准确性主要是稳态误差的公式以及动态误差级数两方面、(共15分)某控制系统的方框图如图所示，欲保证阻尼比=0.7和响应单位斜坡函数的稳态误差为e ss=0.25，试确定系统参数K .。
、(共10分)设图(a)所示系统的单位阶跃响应如图( b)所示。
试确定系统参数K,, K2和a。
、(共15分)已知系统结构图如下所示。
求系统在输入r(t)=t 和扰动信号d(t)=1(t)作用下的四、(共10分)已知单位负反馈系统的开环传递函数为：KG(s) -(s + 2)(s + 4)(s +6s + 25)试确定引起闭环系统等幅振荡时的K值和相应的振荡频率■ 五、(15分)设单位反馈系统的开环传递函数为G(沪 5s3 s2 +2s + 1若系统以2rad/s频率持续振荡，试确定相应的K和：•值六、(共15分)系统结构图如图所示。
自动控制原理-梅逊公式例题
控制系统结构图
例6 求 C(s)/R(s), C(s)/N(s)
∆ = 1 − [ − G2 H − G1G2 − G1G3 ] + G1G2G3 H
= 1 + G2 H + G1G2 + G1G3 + G1G2G3 H
P1 = G1G2
P2 = G1G3
PN 1 = −1 PN 2 = G4G1G2
初条件 c(0) = -1
第二章小结
自动控制原理
本次课程作业(7) 2 —14, 15, 17, 18
Mason 公式（1） ）
例 1 求传递函数 C(s)/R(s)
控制系统结构图
例1
求C(s)/R(s)
∆ = 1 − [ − G 2G3 H 2 − G4G5 H − G3G4 H 4 G1G2G3G4G5G6 H 1] + ( −G 2G 3 H 2 )( −G 4G 5 H 3 ) − 3
= 1 + G2G3 H 2 + G4G5 H 3 + G3G4 H 4 + G1G2G3G4G5G6 H 1 + G2G3G4G5 H 2 H 3
P1 = G1G2G3G4G5G6
∆1 = 1
G1G2G3G4G5G6 Φ( s ) = 1 + G2G3 H 2 + G4G5 H 3 + G3G4 H 4 + G1G2G3G4G5G6 H 1 + G2G3G4G5 H 2 H 3
Mason 公式（2） ）
例 2 求传递函数 C(s)/R(s)
§2.6 控制系统的传递函数
1. 开环传递函数
2. 输入 r(t) 作用下的闭环传递函数
第二章补充习题
1. 试用结构图等效化简求图2-32所示各系统的传递函数)()(s R s C .解 （a ）所以： 432132432143211)()(G G G G G G G G G G G G G G s R s C ++++= （b ）所以： HG G G s R s C 2211)()(--=（c ）2. 试用梅逊增益公式求上题中各结构图对应的闭环传递函数。
解 （a ）图中有1条前向通路，3个回路，有1对互不接触回路，，，2111432111G G L G G G G P -==∆=，，，21321323432)(1L L L L L G G L G G L +++-=∆-=-=43213243214321111)()(G G G G G G G G G G G G G G P s R s C ++++=∆∆=（b ）图中有2条前向通路，1个回路，，，，，H G L G P G P 2122211111==∆-==∆= 11L -=∆HG G G P P s R s C 22122111)()(--=∆∆+∆=（c ）图中有1条前向通路，3个回路，，，211132111G G L G G G P -==∆=，，，)(132********L L L G G G L G G L ++-=∆-=-=3213221321111)()(G G G G G G G G G G P s R s C +++=∆∆=3. 求图中系统从v 到y的传递函数。
解：4. 已知系统方程组如下：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-=--=)()()()()]()()([)()]()()()[()()()]()()[()()()(3435233612287111s X s G s C s G s G s C s X s X s X s G s X s G s X s C s G s G s G s R s G s X 试绘制系统结构图，并求闭环传递函数)()(s R s C 。
自动控制原理--信号流图及梅逊公式应用例题
La d eg bcg
有两个互不接触回路
Lb Lc deg
则 1 d eg bcg deg
f
1. X1 X 4 , p1 aef , p2 abcf
1 1 d, 2 1
X4 X1
1 ( p1 1
p2 2 )
aef (1 d ) abcf 1 d eg bcg deg
4. 闭环系统的误差传递函数 [ 定义误差 E(s)=R(s)-B(s) ]
e (s)
E(s) R(s)
en (s)
E(s) N(s)
1
G 1
1
, N(s) 0
1 (s)G 2 (s)H(s)
E(s)
G 2 (s)H(s) , R(s) 0
G1 (s)G 2 (s)H(s)
e
(s)R(s)
Tr1
x1 xr
1 (d
a(1 e) e cf ) de
Ty1
x1 y
1 (d
bf e cf
)
de
例2.15 已知系统信号流图，求传递函数。
• 解：三个回路：L1 G2H2
-H1
L2 G1G2H2
L3 G 2G 3H1
• 回路相互均接触，则：
R
G1
G2
G3
H2 -H2
G4
例2.13 绘制结构图对应的信号流图(1) 。
Ui(s) (-)
(-)
1 I1(s)
1 U(s)
R1
IC(s) C1s
(-)
1
1
R2 I2(s) C2 s
Uo(s)
Ui(s)
-1
1/R1
1/C1s
IC(s)
自动控制原理及系统练习题
<<自动控制原理及系统>>练习题一、选择题（以下小题中各项只有一个选项是正确的，请把正确答案写在括号中）1．经典控制理论研究的对象是 （ C ）A 多输入多输出系统B 非线性系统C 线性定常系统D 多输出的非线性系统2．单位脉冲信号的拉式变换为 （ C ） A 1SB 21SC 1D 2S 3．开环控制的特征是 ( C. )A.系统无执行环节B.系统无给定环节C.系统无反馈环节D.系统无放大环节4．自动跟踪系统按给定值的变化来划分，属于 （ B ）A 定值控制系统B 随动控制系统C 程序控制系统D 闭环控制系统5.对于自动控制系统的输出响应，我们总是希望系统为 （ B ）A 非周期响应B 衰减振荡响应C 等幅振荡响应D 发散振荡响应6. 典型二阶系统的单位阶跃响应和ζ有关，1<ζ属于 （ A ）A 过阻尼B 无阻尼C 临界阻尼D 欠阻尼7. 对于空调控温这个自动控制系统，请指出它的被控变量是哪个 （ B ）A 空调器B 房内温度C 房间D 房间里的人8. 描述控制系统可以用数学模型来表达，典型控制系统中最常用的为（ B ）A 微分方程B 传递函数C 系统结构图D 响应曲线9.Ⅱ型控制系统的对数幅频特性曲线中，低频段的斜率为 （ -40 ）A -20B -40C 20D 4010.在工程中，对于二阶系统的最佳性能所对应的阻尼比为 （ D ）A 0.5B 0.8C 0.3D 0.70711.在应用频率特性法设计自动控制系统时，通常希望其对数幅频特性L(ω)曲线在过零分贝线时的斜率为 ( A. )A.-20dB/decB.+20dB/decC.0dB/decD.-40dB/dec12.若系统的开环传递函数为2)s(5s 10+，则它的开环增益为 ( D )A.10B.2C.1D.513.某环节的传递函数为1Ts K+，它的对数幅频率特性L(ω)随K 值增加而 ( A. )A.上移B.下移C.左移D.右移14．一阶系统的单位阶跃响应为 （C ． ）A ．等幅振荡B ．水平直线C ．按指数规律单调上升曲线D ．斜率为1／T 的斜直线15.与开环控制系统相比较，闭环控制系统通常对 ( A )进行直接或间接地测量，通过反馈环节去影响控制信号。
自动控制原理B及答案
东北农业大学成人教育学院考试题签自动控制原理（B ）一、填空题（每空 1 分，共20分）1、反馈控制又称偏差控制，其控制作用是通过 与反馈量的差值进行的。
2、复合控制有两种基本形式：即按 的前馈复合控制和按 的前馈复合控制。
3、两个传递函数分别为G 1(s)与G 2(s)的环节，以并联方式连接，其等效传递函数为()G s ，则G(s)为 （用G 1(s)与G 2(s) 表示）。
4、若某系统的单位脉冲响应为0.20.5()105t t g t e e --=+，则该系统的传递函数G(s)为 。
5、根轨迹起始于 ，终止于 。
6、设某最小相位系统的相频特性为101()()90()tg tg T ϕωτωω--=--，则该系统的开环传递函数 为7、在水箱水温控制系统中，受控对象为 ，被控量为 。
8、自动控制系统有两种基本控制方式，当控制装置与受控对象之间只有顺向作用而无反向联系时，称为 ；当控制装置与受控对象之间不但有顺向作用而且还有反向联系时，称为 ；含有测速发电机的电动机速度控制系统，属于 。
9、稳定是对控制系统最基本的要求，若一个控制系统的响应曲线为衰减振荡，则该系统 。
判断一个闭环线性控制系统是否稳定，在时域分析中采用 ；在频域分析中采用 。
10、传递函数是指在 初始条件下、线性定常控制系统的 与 之比。
11、设系统的开环传递函数为2(1)(1)K s s Ts τ++，则其开环幅频特性为 二、选择题（每题 2 分，共30分）1、关于奈氏判据及其辅助函数 F(s)= 1 + G(s)H(s)，错误的说法是 ( ) A 、 F(s)的零点就是开环传递函数的极点 B 、 F(s)的极点就是开环传递函数的极点 C 、 F(s)的零点数与极点数相同D 、 F(s)的零点就是闭环传递函数的极点 2、已知负反馈系统的开环传递函数为221()6100s G s s s +=++，则该系统的闭环特征方程为 ( )。
梅森公式经典例题四环
梅森公式经典例题四环1. 啥是梅森公式呢？说白了，这梅森公式在咱工程控制理论里那可是相当重要的。
就像是一把神奇的钥匙，能帮咱打开好多关于系统传递函数求解的大门呢。
这个四环的经典例题啊，就像是一个小怪兽，咱得用梅森公式这个武器去把它攻克。
2. 那先来说说这个例题的基本情况。
这四环啊，就像四个小伙伴手拉手组成了一个特殊的系统。
每个环都有自己的特点和作用，就像咱们班级里的每个同学都有自己的个性和任务一样。
3. 咱们来仔细看这个例题的条件。
在这个四环系统里，每个环之间的连接关系那是相当复杂的。
比如说，有的环之间是正向连接，就像好朋友之间互相帮助；有的呢，是反向连接，就像是两个人偶尔还会闹点小别扭。
4. 那怎么用梅森公式来解决这个四环问题呢？首先啊，咱们得确定流图中的前向通路。
这前向通路就像是从起点到终点的一条特殊道路，在这个四环里，可能有好几条这样的道路呢。
然后呢，咱们得找出这些前向通路的增益。
这增益啊，就像是这条道路的一个特殊属性，有了它咱才能更好地计算。
5. 接着就是找回路了。
回路就像是在这个四环里绕圈子的路径。
这些回路也有自己的增益，而且不同的回路之间还可能相互影响呢。
咱们得把这些回路的增益都算清楚。
6. 再根据梅森公式，把前面找到的前向通路增益、回路增益等等按照公式的要求进行计算。
这个过程就像是在做一道复杂的数学拼图，每个小部分都得准确无误地放好位置。
7. 同学们啊，做这个梅森公式四环例题的时候，一定要细心。
不要像有的小马虎一样，看到这么复杂的系统就慌了神。
其实只要按照步骤一步一步来，就像走楼梯一样，一步一个脚印，肯定能把这个例题做出来的。
8. 咱来举个小例子吧。
就好比咱们在生活中组装一个复杂的玩具。
这个玩具就像是四环系统，我们得先知道每个零件（就像四环里的每个环节）的作用，然后按照说明书（就像梅森公式这个方法）一步一步组装，最后才能得到一个完整的、能正常运行的玩具（得出正确的结果）。
9. 对了，在做这个例题的时候，可能会遇到一些特殊情况。
(第04讲) 第二章 方框图与梅逊公式
3
(3)引出点（分支点、测量点）Branch Point 表示信号测量或引出的位置
R(s)
G1 (s)
P(s) G2 (s)
C(s)
P(s)
图2-20 引出点示意图
注意：同一位置引出的信号 大小和性质完全一样。
06-7-20
控制系统系统的动态数学模型
4
2.5.2 方块图的简化——等效变换
为了由系统的方块图方便地写出它的传递函数，通常需要 对方块图进行等效变换。方块图的等效变换必须遵守一个原则， 即变换前后各变量之间的传递函数保持不变。在控制系统中， 任何复杂系统主要由各个环节的方块经串联、并联和反馈三种 基本形式连接而成。三种基本形式的等效法则一定要掌握。 （1）串联连接
06-7-20 控制系统系统的动态数学模型 9
B( s ) H ( s ) X o ( s ) E ( s ) X i ( s ) B( s ) X i ( s ) H ( s ) X o ( s ) X o (s) G(s) E (s) G(s) [ X i (s) H (s) X o (s)]
X o ( s) G( s) X i (s) 1 G( s) H ( s)
对于具有负反馈环节的闭环系统的传递函数，分子是 前向通道的传递函数，分母是1加上前向通道的传递函数与 反馈通道的传递函数的乘积。 同理，对于具有正反馈环节的闭环系统的传递函数，分 子是前向通道的传递函数，分母是1减前向通道的传递函数 与反馈通道的传递函数的乘积。
17
R1 Ur (s)
1
C2 s
1 R2 1 C2 s
2
-
1 R1
1 C1s
Uc (s)
简化提示： •引出点A后移
梅森公式例子
-H2
G8 G7 R(s) G 1 G2 G3 G4 -H1 -H3 G9 G5 G6 1 1 1 C(s)
-H2
第三条前向通路增益 P3=G1 G7 G4 G5 G6 第三条前向通路与各个回路都接触， 特征式的余因子 ∆3=1
G8 G7 R(s) G 1 G2 G3 G4 -H1 -H3 G9 G5 G6 1 1 1 C(s)
C(s)
R(s) G 1
G2
1
1
1
C(s)
-H2
G8 G7 R(s) G 1 G2 G3 G4 -H1 -H3 G9 G5 G6 1 1 1C(s)
-H2
第一条前向通路增益 P1=G G2 G3 G4 -H1 -H3 G9 G5 G6 1 1 1 C(s)
-H2
第一条前向通路增益 P1=G1 G2 G3 G4 G5 G6 第二条前向通路增益 P1=G1 G2 G8
G8 G7 R(s) G 1 G2 G3 G4 -H1 -H3 G9 G5 G6 1 1 1 C(s)
-H2
第一条前向通路增益 P1=G1 G2 G3 G4 G5 G6 第二条前向通路增益 P2=G1 G2 G8 第三条前向通路增益 P3=G1 G7 G4 G5 G6
-H2
第四条前向通路增益 P4=G1 G2 G3 G4 G9 G6 第四条前向通路与各个回路都接触， 特征式的余因子 ∆4=1
G8 G7 R(s) G 1 G2 G3 G4 -H1 -H3 第五条前向通路增益 P5=G1 G7 G4 G9 G6 第五条前向通路与各个回路都接触， 特征式的余因子 ∆5=1 G9 G5 G6 1 1 1 C(s)
还有没有前向通路啦？
G8 G7 R(s) G 1 G2 G3 G4 -H1 -H3 第一条回路增益 L1= - G4 H1 G9 G5 G6 1 1 1 C(s)
控制工程基础第二章方框图和梅逊公式第五讲
3、消去H1(s) 反馈回路
4、消去H3(s) 反馈回路
信号流程图和梅逊公式 信号流图及其术语
信号流图起源于梅逊（SS. JJ. MASON）利用图示 法来描述一个和一组线性代数方程，是由节点和支路组 成的一种信号传递网络。
例： x 2 = x1 + ex 3
x3 = ax 2 + fx 4
输出节点（阱点、汇点） 只有输入的节点，代表系统的输出变量。
混合节点 既有输入又有输出的节点。若从混合节点引出一条 具有单位增益的支路，可将混合节点变为输出节点。
通路 沿支路箭头方向穿过各相连支路的路径。
前向通路 从输入节点到输出节点通路上通过任何节点不 多于一次的通路。前向通路上各支路增益之乘 积，称前向通路总增益，一般用pk表示。
无源rc电路网络方框图的简化方框图的运算法则串联方框图变换法则求和点后移求和点前移求和点的移动引出点的移动引出点前移引出点后移由方框图求系统传递函数
六、方框图和信号流程图
方框图 系统方框图是控制系统的动态数学模型的图解形式。
可以形象直观地描述系统中各环节间的相互关系及其功 能以及信号在系统中的传递、变换过程。 注意：即使描述系统的数学关系式相同，其方框图也不 一定相同。
系统的总输出 根据线性系统的叠加原理，系统在输入xi(t)及
扰动n(t)共同作用下的总输出为：
上式表明，采用反馈控制的系统，适当选择元部件的 结构参数，可以增强系统抑制干扰的能力。
方框图的结构要素
信号线 带有箭头的直线，箭头表示信号的传递方向，
直线旁标记变量，即信号的时间函数或象函数。
信号引出点（线） 表示信号引出或测量的位置和传递方向。 同一信号线上引出的信号，其性质、大小完全一样。
自动控制原理习题与答案解析
1、绘制该系统以根轨迹增益Kr为变量的根轨迹（求出：分离点、与虚轴的交点等）；（8分）
2、求系统稳定且为欠阻尼状态时开环增益K的取值范围。（7分）
六、（共22分）已知反馈系统的开环传递函数为 ，试：
1、用奈奎斯特判据判断系统的稳定性；（10分）
4、 ； ； ；衰减振荡
5、 ；
6、开环极点；开环零点
7、
8、 ； ；稳态性能
二、判断选择题(每题2分，共 20分)
1、D 2、A 3、C 4、A 5、D 6、A 7、B 8、C 9、B 10、B
三、(8分)建立电路的动态微分方程，并求传递函数。
解：1、建立电路的动态微分方程
根据KCL有 (2分)
即 (2分)
3、在经典控制理论中，可采用、根轨迹法或等方法判断线性控制系统稳定性。
4、控制系统的数学模型，取决于系统和, 与外作用及初始条件无关。
依题意： ， （3分）
得 （2分）
故满足稳态误差要求的开环传递函数为
3、满足稳态误差要求系统的相角裕度 ：
令幅频特性： ，得 ， （2分）
， （1分）
相角裕度 ： （2分）
试题三
一、填空题（每空 1 分，共Байду номын сангаас0分）
1、对自动控制系统的基本要求可以概括为三个方面，即：、快速性和。
2、控制系统的称为传递函数。一阶系统传函标准形式是，二阶系统传函标准形式是。
开环相频特性： （1分）
3、求系统的相角裕度 ：
求幅值穿越频率，令 得 （3分）
（2分）
（2分）
对最小相位系统 临界稳定
4、（4分）可以采用以下措施提高系统的稳定裕度：增加串联超前校正装置；增加串联滞后校正装置；增加串联滞后-超前校正装置；增加开环零点；增加PI或PD或PID控制器；在积分环节外加单位负反馈。
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G2G3G6 G3G4G5 G1G2G3G4 G7
1
1 G2G3G6 G 3 G4G5 G1G2G3G4 G7
（4）由于这三个回路都与前向通路相接触，故其余因子Δ1=1。 （5）故该系统的传递函数为：
Y ( s) T T 1 1 R( s) G1G2G3G4 1 G2G3G6 G3G4 G5 G1G2G3G4G7
梅森公式
前向通道有二，分别为: P 1 G 1G2G3 , P 2 G3G4
回路有三，分别为： G1H1 ,G3 H 2 ,G1G2G3 H1H 2 有两个不接触回路，所以：
C (s) 求 ： R(s)
R
G4 E G1 H1
G2
H1H 2
G3 C H2
1 La Lb Lc 1 G1H1 G3 H2 G1G2G3 H1H2 G1G3 H1H2
1 1, 2 1 G1H1 G1G2G3 G3G4 G1G3G4 H1 1 2 P Pk k k 1 1 G1H1 G3 H 2 G1G2G3 H1H 2 G1G3 H1H 2
例：已知系统信号流图，求传递函数。
G34 s
C s
– 接着将 G3 s , G4 s , H3 s 组成的内反馈网络简化，其等效传 递函数为
G3 s G4 s G34 s 1 G3 s G4 s H3 s
26
H2 H s 3 (s)
R s
G23 s G2 s G3 s G4 s 1 G3 s G4 s H3 s ＋G2 s G3 s H 2 s
28
R s
G1 s H1 s
G23 s
C s
G2 s G3 s G4 s 其中： G23 s 1 G s G s H s ＋G s G s H s 3 4 3 2 3 2
图 RC无源网络结构图
2 结构图的等效变换和简化
复杂系统结构图，其方框间的连接是错综复杂的，但 方框间的基本连接方式只有串联、并联和反馈连接三种。 在简化过程中应遵循变换前后变量关系保持等效的原 则，
例：化简下列系统结构图，并求出传递函数
。
解：
第二章 自动控制系统的数学模型
第二章 自动控制系统的数学模型
梅森公式
前向通道有二，分别为: P 1 G 1G2G3 , P 2 G3G4
回路有三，分别为： G1H1 ,G3 H 2 ,G1G2G3 H1H 2 有两个不接触回路，所以：
C (s) 求 ： R(s)
R
G4 E G1 H1
G2
H1H 2
G3 C H2
1 La Lb Lc 1 G1H1 G3 H2 G1G2G3 H1H2 G1G3 H1H2
-
C ( s) E ( s) , R( s) R( s)
G1
H1
+
G2
+ -
G3
H2
C
[解]：在结构图上标出节点，如上。然后画出信号流图，如下：
R
G4 E G1 G2 H1
H1H 2
G3 C H2
梅森公式
前向通道有二，分别为: P 1 G 1G2G3 , P 2 G3G4
回路有三，分别为： G1H1 ,G3 H 2 ,G1G2G3 H1H 2 有两个不接触回路，所以：
最后将求得其传递函数为：
GA ( s ) = G1 ( s ) G 2 ( s ) G3 ( s ) G 4 ( s )
1 +G 2 ( s ) G3 ( s ) H 2 ( s ) +G 3 ( s ) G 4 ( s ) H 3 ( s ) ＋G1 ( s ) G 2 ( s ) G 3 ( s ) G 4 ( s ) H 1 ( s )
梅逊公式介绍 R-C : △称为系统特征式
C(s) = R(s)
∑Pk△k △
△=1- ∑La+ ∑LbLc-∑LdLeLf+…
其中:
∑La
—
所有单独回路增益之和
∑LbLc—所有两两互不接触回路增益乘积之和 ∑LdLeLf—所有三个互不接触回路增益乘积之和
Pk—从R(s)到C(s)的第k条前向通路传递函数
G 3(s) G 3(s)
P2= G4G3
L4= – G4G3
P1=G1G2G3
L1= –G1 H1 L5 = – G1G2G3 L2= – G3 H3 L1L2= (–G1H1) (–G3H3) = G1G3H1H3
L1L4=(–G1H1)(–G4G3)=G1G3G4H1
用梅逊公式求下图中信号流图的传递函数。
C (s) 求 ： R(s)
R
G4 E G1 H1
G2
H1H 2
G3 C H2
1 La Lb Lc 1 G1H1 G3 H2 G1G2G3 H1H2 G1G3 H1H2
1 1, 2 1 G1H1 G1G2G3 G3G4 G1G3G4 H1 1 2 P Pk k k 1 1 G1H1 G3 H 2 G1G2G3 H1H 2 G1G3 H1H 2
第二章 自动控制系统的数学模型
最终结果：
例 试简化如图的结构图,并求系统传递函数C(s)/R(s).
系统结构图
R( s )
_ _
G1
H2
G2
H1
G3
G4
C (s)
H3
H2
R( s )
_
G1
_
G4
G2
H1
-
G3
G4
C (s)
H3
H2
R( s )
_
G1
_
G4
G3G4 1 G3G4 H 3
G2
G2
H1H 2
G3 C H2
1 La Lb Lc 1 G1H1 G3 H2 G1G2G3 H1H2 G1G3 H1H2
1 1, 2 1 G1H1 G1G2G3 G3G4 G1G3G4 H1 1 2 P Pk k k 1 1 G1H1 G3 H 2 G1G2G3 H1H 2 G1G3 H1H 2
H3 s H (s) 2
R s
G1 s
G2 s
G3 s H3 s
G4 s
C s
H1 s
– 首先将 G3 s , G4 s 间的引出点后2 G1 s G2 s 1 G4 s G3 s H3 s H1 s G4 s C s
例 试简化下图结构图,并求系统传递函数C(s)/R(s).
解 在图中由于G1(s)与G2(s)之间有交 叉的比较点和引出点，不能直接进行 方框运算，但也不可简单地互换其位 置。最简便方法是按规则(5)和规则(8) 分别将比较点前移,引出点后移；然后 进一步简化直至求得系统传递函数。
系统结构图
例 化简系统的结构图，求传递函数。
R s
H (s)/G (s)
G1 s
G2 s H1 s
G34 s
C s
– 得到图为
R s G1 s H1 s G23 s C s
– 然后将 G2 s , G34 s , H2 s G4 s 组成的内反馈网络简化，其等 效传递函数为：
试应用梅森公式求取下图所示方框图的传递函数。
H 4(s)
R(s)
G1(s)
G 2(s) G 3(s) G 4(s)
C(s)
-
H 3(s)
-
+
H 2(s)
H 1(s)
解. 本题信号流图为 R( s ) 1 G1
G2
-H4 -H3
G3
G4
1
C (s)
-1
-H2
-H1
L3 G1G2G3G4 H1 L4 G3G4 H 4 1 ( L1 L2 L3 L4 )
1 1
G1G2G3G4 1 G2G3 H 3 G1G2G3 H 2 G3G4 H 4 G1G2G3G4 H1
梅森公式
例：使用Mason公式计算下述结构图的传递函数
G4
R E
-
C ( s) E ( s) , R( s) R( s)
G1
H1
+
G2
+ -
G3
H2
C
[解]：在结构图上标出节点，如上。然后画出信号流图，如下：
R
G4 E G1 G2 H1
H1H 2
G3 C H2
梅森公式
前向通道有二，分别为: P 1 G 1G2G3 , P 2 G3G4
回路有三，分别为： G1H1 ,G3 H 2 ,G1G2G3 H1H 2 有两个不接触回路，所以：
C (s) 求 ： R(s)
R
G4 E G1 H1
1 1, 2 1 G1H1 G1G2G3 G3G4 G1G3G4 H1 1 2 P Pk k k 1 1 G1H1 G3 H 2 G1G2G3 H1H 2 G1G3 H1H 2
例：使用Mason公式计算下述结构图的传递函数
G4
R E
H1
C (s)
R( s )
_
G1
G2G3G4 1 G3G4 H 3 G2G3 H 2
C (s)
H3
R( s )
G1G2G3G4 1 G3G4 H 3 G2G3H 2 G1G2G3G4 H1