框图化简、梅逊公式习题

C (s) 求 ： R(s)
R
G4 E G1 H1
G2
H1H 2
G3 C H2
1 La Lb Lc 1 G1H1 G3 H2 G1G2G3 H1H2 G1G3 H1H2
1 1, 2 1 G1H1 G1G2G3 G3G4 G1G3G4 H1 1 2 P Pk k k 1 1 G1H1 G3 H 2 G1G2G3 H1H 2 G1G3 H1H 2
R
G4 E G1 G2 H1
H1H 2
G3 C H2
梅森公式
前向通道有二，分别为: P 1 G 1G2G3 , P 2 G3G4
回路有三，分别为： G1H1 ,G3 H 2 ,G1G2G3 H1H 2 有两个不接触回路，所以：
C (s) 求 ： R(s)
R
G4 E G1 H1
例 试简化下图结构图,并求系统传递函数C(s)/R(s).
解 在图中由于G1(s)与G2(s)之间有交 叉的比较点和引出点，不能直接进行 方框运算，但也不可简单地互换其位 置。最简便方法是按规则(5)和规则(8) 分别将比较点前移,引出点后移；然后 进一步简化直至求得系统传递函数。
系统结构图
例 化简系统的结构图，求传递函数。
最后将求得其传递函数为：
GA ( s ) = G1 ( s ) G 2 ( s ) G3 ( s ) G 4 ( s )
1 +G 2 ( s ) G3 ( s ) H 2 ( s ) +G 3 ( s ) G 4 ( s ) H 3 ( s ) ＋G1 ( s ) G 2 ( s ) G 3 ( s ) G 4 ( s ) H 1 ( s )
梅逊公式介绍 R-C : △称为系统特征式
C(s) = R(s)
∑Pk△k △
△=1- ∑La+ ∑LbLc-∑LdLeLf+…
其中:
∑La
—
所有单独回路增益之和
∑LbLc—所有两两互不接触回路增益乘积之和 ∑LdLeLf—所有三个互不接触回路ຫໍສະໝຸດ Baidu益乘积之和
Pk—从R(s)到C(s)的第k条前向通路传递函数
G 3(s) G 3(s)
P2= G4G3
L4= – G4G3
P1=G1G2G3
L1= –G1 H1 L5 = – G1G2G3 L2= – G3 H3 L1L2= (–G1H1) (–G3H3) = G1G3H1H3
L1L4=(–G1H1)(–G4G3)=G1G3G4H1
用梅逊公式求下图中信号流图的传递函数。
H3 s H (s) 2
R s
G1 s
G2 s
G3 s H3 s
G4 s
C s
H1 s
– 首先将 G3 s , G4 s 间的引出点后移到方框的输出端
H 3(s) s H 2 G1 s G2 s 1 G4 s G3 s H3 s H1 s G4 s C s
G2G3G6 G3G4G5 G1G2G3G4 G7

1
1 G2G3G6 G 3 G4G5 G1G2G3G4 G7
（4）由于这三个回路都与前向通路相接触，故其余因子Δ1=1。 （5）故该系统的传递函数为：
Y ( s) T T 1 1 R( s) G1G2G3G4 1 G2G3G6 G3G4 G5 G1G2G3G4G7
H1
C (s)
R( s )
_
G1
G2G3G4 1 G3G4 H 3 G2G3 H 2
C (s)
H3
R( s )
G1G2G3G4 1 G3G4 H 3 G2G3H 2 G1G2G3G4 H1
C (s)
( s )
G1 ( s)G2 ( s)G3 ( s)G4 ( s) 1 G2 ( s)G3 ( s) H 2 ( s) G3 ( s)G4 ( s) H 3 ( s) G1 ( s)G2 ( s)G3 ( s)G4 ( s) H1 ( s)
1 1

G1G2G3G4 1 G2G3 H 3 G1G2G3 H 2 G3G4 H 4 G1G2G3G4 H1
梅森公式
例：使用Mason公式计算下述结构图的传递函数
G4
R E
-
C ( s) E ( s) , R( s) R( s)
G1
H1
+
G2
+ -
G3
H2
C
[解]：在结构图上标出节点，如上。然后画出信号流图，如下：
图 RC无源网络结构图
2 结构图的等效变换和简化
复杂系统结构图，其方框间的连接是错综复杂的，但 方框间的基本连接方式只有串联、并联和反馈连接三种。 在简化过程中应遵循变换前后变量关系保持等效的原 则，
例：化简下列系统结构图，并求出传递函数
。
解：
第二章 自动控制系统的数学模型
第二章 自动控制系统的数学模型
G2
H1H 2
G3 C H2
1 La Lb Lc 1 G1H1 G3 H2 G1G2G3 H1H2 G1G3 H1H2
1 1, 2 1 G1H1 G1G2G3 G3G4 G1G3G4 H1 1 2 P Pk k k 1 1 G1H1 G3 H 2 G1G2G3 H1H 2 G1G3 H1H 2
△k称为第k条前向通路的余子式
求法: 去掉第k条前向通路后所求的△
梅逊公式例R-C
R(s)
G (s) G (s) 44
G1 1(s) H1(s) G2 2(s) G3 (s) 3 3
H3(s)
△2=1+G1H1
C(s)
△1=1
G4(s) G1(s)C(s) =? G2(s) R(s)
L3= – G1G2G3H3H1
1 1, 2 1 G1H1 G1G2G3 G3G4 G1G3G4 H1 1 2 P Pk k k 1 1 G1H1 G3 H 2 G1G2G3 H1H 2 G1G3 H1H 2
例：已知系统信号流图，求传递函数。
第二章 自动控制系统的数学模型
最终结果：
例 试简化如图的结构图,并求系统传递函数C(s)/R(s).
系统结构图
R( s )
_ _
G1
H2
G2
H1
G3
G4
C (s)
H3
H2
R( s )
_
G1
_
G4
G2
H1
-
G3
G4
C (s)
H3
H2
R( s )
_
G1
_
G4
G3G4 1 G3G4 H 3
G2
1 1, 2 1 G1H1 G1G2G3 G3G4 G1G3G4 H1 1 2 P Pk k k 1 1 G1H1 G3 H 2 G1G2G3 H1H 2 G1G3 H1H 2
例：使用Mason公式计算下述结构图的传递函数
G4
R E
试应用梅森公式求取下图所示方框图的传递函数。
H 4(s)
R(s)
G1(s)
G 2(s) G 3(s) G 4(s)
C(s)
-
H 3(s)
-
+
H 2(s)
H 1(s)
解. 本题信号流图为 R( s ) 1 G1
G2
-H4 -H3
G3
G4
1
C (s)
-1
-H2
-H1
L3 G1G2G3G4 H1 L4 G3G4 H 4 1 ( L1 L2 L3 L4 )
-
C ( s) E ( s) , R( s) R( s)
G1
H1
+
G2
+ -
G3
H2
C
[解]：在结构图上标出节点，如上。然后画出信号流图，如下：
R
G4 E G1 G2 H1
H1H 2
G3 C H2
梅森公式
前向通道有二，分别为: P 1 G 1G2G3 , P 2 G3G4
回路有三，分别为： G1H1 ,G3 H 2 ,G1G2G3 H1H 2 有两个不接触回路，所以：
R s
25
H2 H s 3 (s)
R s
1 G4 s G3 s H3 s G4 s C s
G1 s
G2 s
H1 s
H2 (s)/G4(s) H3 s G 4 s
R s
G1 s
G2 s H1 s
1 G4 s G3 s H3 s G4 s C s
G1 s
G2 s
H1 s
– 得到图为
H2(s)/G4(s) H 3 s G4 s
R s
G1 s
G2 s H1 s
G34 s
C s
27
H 32 s G44 s
G23 s G2 s G3 s G4 s 1 G3 s G4 s H3 s ＋G2 s G3 s H 2 s
28
R s
G1 s H1 s
G23 s
C s
G2 s G3 s G4 s 其中： G23 s 1 G s G s H s ＋G s G s H s 3 4 3 2 3 2
框图化简、梅逊公式习题
A
B C
求下列由弹簧-质量-阻尼器组成的机械系统传递函数。
m
k
f
(a)
(b)
例 绘制如图所示 RC 无源网络的结构图
解 将无源网络视为一个系 统，组成网络的元件就对应于系 统的元部件。应用复阻抗概念， 根据基尔霍夫定律写出以下方程：
RC无源网络
按照这些方程可分别绘制相 应元件的方框图如图(a) - (d)所 示。然后用信号线按信号流向 依次将各方框连接起来，便得 到无源网络的结构图，见图(e).
R s
H (s)/G (s)
G1 s
G2 s H1 s
G34 s
C s
– 得到图为
R s G1 s H1 s G23 s C s
– 然后将 G2 s , G34 s , H2 s G4 s 组成的内反馈网络简化，其等 效传递函数为：
G34 s
C s
– 接着将 G3 s , G4 s , H3 s 组成的内反馈网络简化，其等效传 递函数为
G3 s G4 s G34 s 1 G3 s G4 s H3 s
26
H2 H s 3 (s)
R s
梅森公式
前向通道有二，分别为: P 1 G 1G2G3 , P 2 G3G4
回路有三，分别为： G1H1 ,G3 H 2 ,G1G2G3 H1H 2 有两个不接触回路，所以：
C (s) 求 ： R(s)
R
G4 E G1 H1
G2
H1H 2
G3 C H2
1 La Lb Lc 1 G1H1 G3 H2 G1G2G3 H1H2 G1G3 H1H2
解：（1）找出上图中所有的前向通路 只有一条前向通路
T1 G1G2G3G4
（2）找出系统中存在的所有的回路 共有三个回路，三个回路的传输之和为
1 L1 L2 L3 （3）这三个回路都存在公共节点，即不存在不接触回路。故系统的特征方程 式为： 1 L
梅森公式
前向通道有二，分别为: P 1 G 1G2G3 , P 2 G3G4
回路有三，分别为： G1H1 ,G3 H 2 ,G1G2G3 H1H 2 有两个不接触回路，所以：
C (s) 求 ： R(s)
R
G4 E G1 H1
G2
H1H 2
G3 C H2
1 La Lb Lc 1 G1H1 G3 H2 G1G2G3 H1H2 G1G3 H1H2
1 1
L2 G1G2G3 H2
P 1 G 1G2G3G4 L1 G2G3 H3
C P R
P
k 1 k
n
L3 G1G2G3G4 H1 L4 G3G4 H 4 1 ( L1 L2 L3 L4 )
k
L2 G1G2G3 H2
P 1 G 1G2G3G4 L1 G2G3 H3