【解析】北京市清华大学附属中学2019届高三下学期5月考试卷数学(理)试卷

清华附中高三2019年5月月考试卷
数学（理）
一、选择题：（共8小题，每小题5分，共40分）
1.已知集合{}2,1,0,1A =--，(){}
|20B x x x =+<，则A B =I （ ） A. {}|20x x -<< B. {}{}|201x x -<<U C. {}2,1,0-- D. {}1-
【答案】D 【分析】
解一元二次不等式化简B 的表示，运用集合交集的定义直接求解即可. 【详解】因为(){}
{}|20|20B x x x x x =+<=-<<，{}2,1,0,1A =--， 所以A B =I {}1-. 故选：D
【点睛】本题考查了集合交集的运算定义，属于基础题. 2.设z 为
1i
i
+的共轭复数，则其虚部为（ ） A.
12 B. 12
-
C.
2
i D. 1
【答案】B 【分析】
运用复数除法的运算法则化简复数
1i
i
+，利用共轭复数的定义求出z ，最后求出它的虚部. 【详解】因为(1)11(1)(1)2i i i i i i i ⋅-+==++⋅-，所以由题意可知：12i
z -=，该复数的虚部为：12
-. 故选：B
【点睛】本题考查了复数的除法运算法则，考查了共轭复数的定义，考查了复数虚部的定义，考查了数学运算能力.
3.执行如图所示的程序框图，则输出的x 值为（ ）
A. 95
B. 47
C. 23
D. 11
【答案】B 【分析】
按照程序框图运行框图，直至3n >时，退出循环体，输出x 值.
【详解】初始条件为：2,0x n ==，因为03n =≤成立，所以2215,011x n =⨯+==+=； 因为13n =≤成立，所以25111,112x n =⨯+==+=； 因为23n =≤成立，所以211123,213x n =⨯+==+=；
因为33n =≤成立，所以223147,314x n =⨯+==+=，因为43n =≤不成立，所以退出循环体，输出47x =. 故选：B
【点睛】本题考查了根据程序框图求输出变量的值，考查了当型循环结构，属于基础题. 4.已知等比数列{}n a 满足122336a a a a +=+=，，则7a =（ ） A. 64 B. 81 C. 128 D. 243
【答案】A
试题分析：∵12233{6
a a a a +=+=，∴，∴11{2
a q ==，∴6671264a a q ===． 考点：等比数列的通项公式． 【此处有视频，请去附件查看】
5.已知a r ，b r ，c r
是三个向量，则“a b a c +=+r r r r ”是“b c =r r ”的（ ）
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】B 【分析】
根据充分性、必要性的定义，结合平面向量模的性质、平面向量的数量积定义直接判断即可.
【详解】当a b a c +=+r r r r 成立时，例如当0a =r r
时，b c =r r ，显然两个平面向量的模相等，这两个平面向量不一定相等，因此由a b a c +=+r r r r 成立时，不一定能得到b c =r r ； 当b c =r r 时，显然a b a c +=+r r r r 成立，所以“a b a c +=+r r r r ”是“b c =r r
”的必要而不充分
条件. 故选：B
【点睛】本题考查了必要不充分条件的判断，考查了平面向量的定义及加法的运算性质，属于基础题.
6. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是（ ）
A. 27
B. 30
C. 32
D. 36
【答案】A
试题分析：由三视图可知几何体为四棱锥，作出直观图如图所示，
其中底面ABCD 是边长为3的正方形，DA ⊥平面PAB AP ⊥，平面
4ABCD AP CD =∴⊥，，平面5PAD PB PD ==，，
∴11115
662222ADP ABP CDP S AD AP S AB AP S CD PD =
⋅==⋅==⋅=V V V ，，，11522CBP
S BC BP =⋅=V ．∴四棱锥的侧面积1515
662722
S =+++=． 考点：由三视图求面积、体积．
7.中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如图，当表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推．例如 6613 用算筹表示就是，
则 8335 用算筹可表示为（ ）
A.
B.
C. D.
【答案】B
千位8用横式表示为, 百位3用纵式表示为,十位3用横式表示为, 个位5用纵式表示为,因此选B.
8.2016年“一带一路”沿线64个国家GDP之和约为12.0万亿美元，占全球GDP的16.0%；人口总数约为32.1亿，占全球总人口的43.4%；对外贸易总额（进口额＋出口额）约为71885.6亿美元，占全球贸易总额的21.7%.
2016年“一带一路”沿线国家情况
人口（万人）GDP（亿美元）进口额（亿美元）出口额（亿美元）蒙古301.4 116.5 38.7 45.0
东南亚11国63852.5 25802.2 11267.2 11798.6
南亚8国174499.0 29146.6 4724.1 33085
中亚5国6946.7 2254.7 422.7 590.7
西亚、北非19
43504.6 36467.5 9675.5 8850.7
国
东欧20国321619 26352.1 9775.5 113884
关于“一带一路”沿线国家2016年状况，能够从上述资料中推出的是（）
A. 超过六成人口集中在南亚地区
B. 东南亚和南亚国家GDP之和占全球的8%以上
C. 平均每个南亚国家对外贸易额超过1000亿美元
D. 平均每个东欧国家的进口额高于平均每个西亚、北非国家的进口额
【答案】C
【分析】
利用表中所给的数据对四个选项逐一判断即可.
【详解】A ：南亚地区人口总数为174499.0万人，“一带一路”沿线国家人口总数为：321266.1万人，所以
174499.0
321266.1
54%≈，故本选项说法不正确的；
B ：东南亚和南亚国家GDP 之和54948.8亿美元，“一带一路”沿线国家GDP 之和120139.6亿美元，所以
54948.8
120139.6
46%≈，所以东南亚和南亚国家GDP 之和占“一带一路”沿线国家
GDP 之和的46%，因此东南亚和南亚国家GDP 之和占全球的(46%)(16%)7%⨯≈，故本选项说法是不正确的；
C ：南亚国家对外贸易额的平均值为：4724.13308.10008
5
.075+=，故本选项说法是正确的；
D ：平均每个东欧国家的进口额为：488.77520
9775.5
=，平均每个西亚、北非国家的进口额为：
509.2419
9675.5
≈，故本选项说法是不正确的. 故选：C
【点睛】本题考查了根据数据对一些说法进行判断，考查了平均数的求法，考查了数学阅读能力.
二、填空题：（共6小题，每小题5分，共30分）
9.在极坐标系中，圆2cos ρθ=被直线1
cos 2
ρθ=
所截得的弦长为____．
由题意得圆2
2
2
2
2(1)1x y x x y +=⇒-+= ，直线12x =
，所以交点为1(,2 ，弦长
(= 10.已知椭圆()22
2210x y a b a b +=>>的离心率是13，则双曲线22221x y a b
-=的两条渐近线方程
为______.
【答案】y x = 【分析】
设椭圆的焦距为2c ，根据椭圆的离心率公式可得椭圆中,a c 之间的关系，再利用椭圆中,,a b c
的关系求出,a b 之间的关系，最后根据双曲线的渐近线方程求出双曲线22
221x y a b
-=的两条渐
近线方程.
【详解】设椭圆的焦距为2c ，由题意可知：
2222222
198933
c b a c c a b a b a a =⇒==-∴=⇒=±
Q ，所以双曲线22221x y a b -=的
两条渐近线方程为：y x =.
故答案为：y x = 【点睛】本题考查了双曲线的渐近线方程，考查了椭圆的离心率公式，考查了数学运算能力. 11.已知函数()(0,1)x f x a b a a =+>≠的定义域和值域都是[]1,0-，则a b += . 【答案】32
-
若1a >，则()f x 在[]1,0-上为增函数,所以11
{10
a b b -+=-+=，此方程组无解；
若01a <<，则()f x 在[]1,0-上为减函数,所以10{11a b b -+=+=-，解得1{22
a b ==-，所以3
2a b +=-.
考点：指数函数的性质. 【此处有视频，请去附件查看】
12.设变量 x y ，满足约束条件201x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥-⎩
，则目标函数2z x y =+的最大值为__________． 【答案】5
作出可行域如图：
由20
1x y y +-=⎧⎨=-⎩
解得31A -（，）
，由2z x y =+得2y x z =-+，平移直线2y x =-，结合图象知，直线过点A 时，max 5z =，故填5. 13.在ABC ∆中，60A =︒，7a =3b =，则c =______.
【答案】1或2 【分析】
利用余弦直接求解即可.
【详解】由余弦定理可知：22222cos 320a b c bc A c c =+-⋅⇒-+=，解得1c =或2. 故答案为：1或2
【点睛】本题考查了余弦定理的应用，考查了数学运算能力.
14.对于各数互不相等的整数数组()12,,,n i i i L （其中n 是不小于3的正整数），若
{},1,2,,p q n ∀∈⋅⋅⋅，当p q <时，有p q i i >，则称p i ，q i 为该数组的一个“逆序”，一个数组
中所有“逆序”的个数称为该数组的“逆序数”，如数组()2,3,1的逆序数等于2. （1）数组()5,2,4,3,1的逆序数等于______.
（2）若数组()12,,,n i i i L 的逆序数为n ，则数组()11,,,n n i i i -L 的逆序数为______.
【答案】 (1). 8 (2). ()22
32
n n n C n -- 【分析】
（1）根据逆序数的定义直接求解即可；
（2）对于含有n 个数字的数组中，首先考虑任意两个数可以组成一对数对，送到逆序的个数即可.
【详解】（1）根据逆序数的定义可知：数组()5,2,4,3,1的逆序有：
5,2;5,4;5,3;5,1;2,1;4,3;4,1;3,1，一共8个，故数组()5,2,4,3,1的逆序数等于8；
（2）数组()12,,,n i i i L 可以组成2(1)
2
n n n C -=
个数列，而数组()12,,,n i i i L 的逆序数为n ，所以数组()11,,,n n i i i -L 的逆序数为2232
n
n n
C n --=.
故答案为：8；()22
32
n n n C n --
【点睛】本题考查了新定义题，考查了数学阅读能力，考查了组合的应用，考查了数学运算能力.
三、解答题：（共6小题，共80分）
15.已知()()
2sin sin x x x f x =. （1）求函数()f x 在0,
2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上最大值和最小值； （2）若曲线()y f x =的对称轴只有一条落在区间[]0,m 上，求m 的取值范围. 【答案】（1）()min 0f x =； ()max 3f x =.（2）5,36m ππ⎡⎫
∈⎪⎢⎣⎭
【分析】
（1）运用降幂公式、二倍角的正弦公式和辅助角公式，把函数解+析式化为正弦型函数解+析式形式，由正弦函数的单调性求出函数的最值；
（2）根据正弦型函数的解+析式求出对称轴，根据题意求出m 的取值范围.
【详解】（1）()2
2sin cos f x x x x =+
1cos 22x x =-
2sin 216x π⎛
⎫=-+ ⎪⎝
⎭，
当0,
2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时， 52,666x x π
π⎡⎤-
∈-⎢⎥⎣⎦
， 由正弦函数的性质知： 当266x π
π
-
=-
，即0x =时，()min 0f x =，
当226x ππ-=，即3
x π
=时，()max 3f x =.
（2）由26
2
x k π
π
π-=
+，k Z ∈，
得32
k
x π
π=
+，k Z ∈， 1k =-时，6
x π
=-
，0k =时，3
x π
=
，
1k =时，5
6
x π=.
又()f x 对称轴只有一条在[]0,m 上， ∴5,36m ππ⎡⎫∈⎪⎢
⎣⎭
. 【点睛】本题考查了正弦型函数的最值问题，考查了降幂公式、二倍角的正弦公式、辅助角公式，考查了正弦型函数的单调性和对称性，考查了数学运算能力.
16.某电视台举行文艺比赛，并通过网络对比赛进行直播．比赛现场有5名专家评委给每位参赛选手评分，场外观众可以通过网络给每位参赛选手评分．每位选手的最终得分由专家评分和观众评分确定．某选手参与比赛后，现场专家评分情况如表；场外有数万名观众参与评分，将评分按照[7，8），[8，9），[9，10]分组，绘成频率分布直方图如图：
专家
A B C D E 评分 9.6
9.5
9.6
8.9
9.7
（1）求a 的值，并用频率估计概率，估计某场外观众评分不小于9的概率；
（2）从5名专家中随机选取3人，X 表示评分不小于9分的人数；从场外观众中随机选取3人，用频率估计概率，Y 表示评分不小于9分的人数；试求E （X ）与E （Y ）的值； （3）考虑以下两种方案来确定该选手的最终得分：方案一：用所有专家与观众的评分的平均数x 作为该选手的最终得分，方案二：分别计算专家评分的平均数1x 和观众评分的平均数2x ，用
122x x +作为该选手最终得分．请直接写出x 与12
2
x x +的大小关系． 【答案】（1）10.3,2；（2）见解+析；（3）1
2
2
x x x +＜. 【分析】
（1）由频率和为1可得a 的值，用某场外观众评分不小于9的频率可估计概率； （2）计算概率可得分布列和期望． （3）由两组数据的比重可直接作出判断.．
【详解】（1）由图知10.20.50.3a =--=，某场外观众评分不小于9的概率是
1
2
． （2）X 的可能取值为2，3．P （X =2）=21413535C C C =；P （X =3）=3
43
52
5
C C =． 所以X 的分布列为 X
2
3
P 35
25
所以E （X ）=2×321235
55+⨯
=． 由题意可知，132Y B ⎛⎫ ⎪⎝⎭
～，，所以E （Y ）=np =
32
． （3）12
2
x x x +＜
． 【点睛】本题考查了离散型随机变量的期望考查了超几何分布和二项分布，属中档题． 17.如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是边长为2的菱形，3
BAD π∠=
，
12AA =.E 、F 分别为BC 和1CC 的中点.平面AEF 与棱1DD 所在直线交于点G .
（1）求证：平面DEF ⊥平面11BCC B ； （2）求直线1A C 与平面AEF 所成角的正弦值； （3）判断点1D 是否与点G 重合.
【答案】（1）证明见解+析（2（3）G 与1D 重合. 【分析】
（1）在平面ABCD 中，利用菱形的性质可以证明出DE BC ⊥，结合直棱柱的性质、线面垂直的性质定理可以证明出1DE BB ⊥，这样利用线面垂直、面面垂直的判定定理证明出平面
DEF ⊥平面11BCC B ；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式求出直线1A C 与平面AEF 所成角的正弦值；
（3）通过空间向量数量积公式可得1D F n ⊥u u u u r r
，利用线面的相交关系，可以证明出点1D 与点G
重合.或者通过设点G 的坐标，通过空间向量数量积公式，由0GF n ⋅=u u u r r
，可以求出G 的坐标，这样就可以证明出点1D 与点G 重合.
【详解】证明：（1）如图所示，连结DB ，DE ， ∵四边形ABCD 为菱形， 且3
BAD π∠=
，∴DB DC CB ==，
又E 为等边BCD ∆的边BC 的中点， ∴DE BC ⊥.
又直四棱柱中，1B B ⊥平面ABCD ，
DE ⊂平面ABCD ，
∴1DE BB ⊥.
又1BB BC B =I ，1,BB BC ⊂平面11B BCC ， ∴DE ⊥平面11BCC B ，
又DE ⊂平面DEF ，∴平面DEF ⊥平面11BCC B . （2）法1：
∵1DD ，DA ，DE 三线垂直，
∴以D 为原点，DA ，DE ，1DD 所在的直线为x ，y ，z 轴建系，则
()2,0,0A ，()12,0,2A ，()1,3,0C -，()0,3,0E
，()
1,3,1F -，
(
)2,
3,0AE =-u u u r
，()1,0,1EF =-u u u r
，()1
3,3,2AC =--u u u r ，
设平面AEF 的法向量为()000,,n x y z =r
，则
0000023000n AE x y n AF x z ⎧⎧⋅=-+=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=-+=⎪⎪⎩⎩
u u u v v u u u v v ， 令03=x 得()
3,2,3n =r
.
设直线1A C 与平面AEF 所成角为θ，
则11
1sin cos ,n AC n AC n AC θ⋅==r u u u r r u u u r r u u u r 332323
3301610
-+-=
=⨯. ∴直线1A C 与平面所成角正弦值为
330
40
.
法2：
如图所示，连结AC ，BD 交于点O .连接11A C ，11B D 交于O ， ∵四边形ABCD 为菱形，∴AC BD ⊥，
又11//OO BB ，1BB ⊥底面ABCD ，∴1OO ⊥平面ABCD . 易得OB ，OC ，1OO 三线垂直，如图所示.
以O 为原点，OB ，OC ，1OO 所在直线为x ，y ，z 轴建系，
则()
0,A ，()1,0,0B
，()
C
，12E ⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
，()
F ，
()10,2A
，()
1
0,2AC =-u u u r
，
12AE ⎛⎫= ⎪⎝⎭
u u u r
，()
AF =u u u r ，
设平面AEF 的法向量为()000,,n x y z =r
，
则00n AE n AF ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v
，即0
0001020
x z ⎧=⎪⎨⎪+=⎩
，
令01y =-
得(n =-r
，
∴111cos ,n A C n A C n A C ⋅=r u u u r
r u u u r r u u u
r ==
， 设直线1A C 与平面AEF 所成的角为θ，
则1
sin cos ,AC n θ==u u u r r
（3）法1：()10,0,2D ，()
3,1F -，
∴()
13,1D F =--u u u u r
，
又132330D F n ⋅=-=u u u u r r
， ∴1D F n ⊥u u u u r r ，
又F ∈平面AEF ，∴1D ∈平面AEF ， 即1D =平面1AEF DD I ， 由已知G =平面1AEF DD I ， 且1DD ⊄平面AEF ， ∴1D 与G 点重合. 法2：设()0,0,G λ.
则()
3,1GF λ=--u u u r
，
∴0GF n ⋅=u u u r r
，即()102λλ-=⇒=，
∴()0,0,2G ，又()10,0,2D ， 即G 与1D 重合.
【点睛】本题考查了面面垂直的判定定理，考查了利用空间向量求线面角，考查了推理论证能力和数学运算能力.
18.已知抛物线E ：22y px =经过点()4,4P ，过点()0,2Q 作直线l 交E 于A ，B 两点，PA 、
PB 分别交直线4
3
x =-于M ，N 两点.
（1）求E 的方程和焦点坐标； （2）设4,03D ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
，求证：DM DN ⋅为定值. 【答案】（1）抛物线E ：2
4y x =，焦点()1,0F （2）证明见解+析 【分析】
（1）把()4,4P 的坐标代入抛物线方程中求出E 的方程，写出焦点坐标即可；
（2）设出直线l 的方程，与抛物线方程联立，根据判别式求出直线l 方程中的参数取值范围，设出直线PA 的方程，与4
3
x =-
联立，求出M 点坐标，同理求出N 点坐标，求出DM DN ⋅的表达式，结合根与系数的关系，最后计算DM DN ⋅的结果是常数即可. 【详解】解：（1）∵抛物线2
2y px =经过点()4,4P ，
∴2
48p =，∴2p =，
抛物线E ：2
4y x =，焦点()1,0F .
证明：（2）∵l 过点()0,2Q 且与抛物线交于两点， ∴l 的斜率存在且不为0. 设l ：()2x m y =-，
()
22
24804x m y y my m y x
⎧=-⇒-+=⎨=⎩，
由>0∆得220m m ->，即0m <或2m >， 设()11,A x y ，()22,B x y ， 则124y y m +=，128y y m =，
PA l ：()()1114
4444
y y x x x --=
-≠-， 令43x =-
得()111
12161634x y y x -+=-，
∴()1111216164,334x y M x ⎛⎫
-+- ⎪ ⎪-⎝⎭
，
同理得()2221216164,334x y N x ⎛⎫-+-
⎪ ⎪-⎝⎭
， ∴()()
11221212166121616
3434D x y x y x D x M N ⋅-+-+=
--
()()()()121212121221121216912161612169416x x x x y y y y x y x y x x x x +++-+-++⎡⎤⎣⎦
=
-++⎡⎤⎣⎦
，
其中222
212121211144416
x x y y y y m =
⨯==， ()()1212441x x m y y m m +=+-=-，
22
122112211144x y x y y y y y +=
+()21212184
y y y y m =+=， 将以上3式代入上式得
()()222
16364811286496169416116m m m m m m DM DN m m m ⎡⎤+-+--+⎣⎦
=
-+⋅⎡⎤-⎣⎦
()()
221612161616
9
9121616m m m m ⨯-++=
=
-++为定值. （0m <或2m >时，21216160m m -++≠）
【点睛】本题考查了抛物线的标准方程和焦点坐标，考查了直线与抛物线的位置关系，考查了抛物线中定值问题，考查了数学运算能力.
19.已知函数()()2
221ln f x x ax a x =-+-，其中a R ∈.
（1）当0a =时，求()y f x =函数图像在点()()
1,1f 处的切线； （2）求函数()f x 的单调递减区间；
（3）若函数()f x 的在区间[]1,e 的最大值为4a -，求a 的值. 【答案】（1）1y =（2）①当2a =时，无减区间； ②当2a >时，()f x 减区间为()1,1-a . ③当12a <<时，()f x 减区间为()1,1a -. ④当1a ≤时，()f x 减区间为()0,1；
（3）2226
e a e -=-
【分析】
（1）对函数进行求导，然后根据导数的几何意义求出切线的斜率，最后求出切线方程即可； （2）对函数进行求导，让导函数为零，根据导函数为零的根的正负性、两根之间的大小关系进行分类讨论求出函数的单调区间；
（3）根据（2）中的结论，结合已知求出a 的值.
【详解】解：（1）0a =时，()()2
2ln 0f x x x x =->，
()2'2f x x x
=-，
()'1220f =-=，()11f =，
切线：1y =.
（2）()()
()21'220a f x x a x x
-=-+
> ()()()22112221x x a x ax a x x
---⎡⎤-+-⎣⎦==
， ①当11a -=即2a =时，()()2
21'0x f x x
-=≥恒成立，
∴()f x 在()0,∞+递增，无减区间； ②当11a ->即2a >时，
∴()f x 减区间
()1,1-a .
③当011a <-<，即12a <<时，
∴()f x 减区间为()1,1a -. ④当10a -≤即1a ≤时，
∴()f x 减区间为()0,1.
综上所述：
①当2a =时，无减区间；
②当2a >时，()f x 减区间为()1,1-a . ③当12a <<时，()f x 减区间为()1,1a -. ④当1a ≤时，()f x 减区间为()0,1； （3）由（2）问结论知，(],2a ∈-∞时，
()f x 在[]1,e 上单调递增，∴()()max f x f e = 22224e ae a a =-+-=-
(]22,226
e a e -⇒=∈-∞-合题意，
由（2）知，当2a >时，()max f x 在()1f 处或()f e 处取到， 又()1124f a a =-=-时，()1
2,2
a =-
∉+∞且()f e 最大也不成立. ∴22
26
e a e -=
-. 【点睛】本题考查了曲线的切线方程，考查了利用导数求函数的减区间，考查了数学运算能力.
20.无穷数列{}n a 满足：13a =，且对任意正整数n ，1n a +为前n 项1a ，2a ，…，n a 中等于n a 的项的个数.
（1）直接写出2a ，3a ，4a ，5a ； （2）求证：该数列中存在无穷项的值为1； （3）已知1,3
0,3n n n a b a ≤⎧=⎨
>⎩
，求12n b b b ++⋅⋅⋅+.
【答案】（1）23451,1,2,1a a a a ====；（2）证明见解+析过程；
（3）(10)10
(66264,2)2
9(6163,2)2n n n n S n k n k n k k n n k n k k ⎧⎪≤⎪
+⎪===+=+≥⎨
⎪+⎪
=±=+≥⎪⎩
或或或 【分析】
（1）根据题意直接求解即可； （2）运用反证法证明即可；
（3）先求出前若干项发现规律，分类讨论求亲解即可.
【详解】（1）因为13a =，所以由题意可得：23451,1,2,1a a a a ====； （2）假设{}n a 中只出现有限个1，当妨设最后出现1的项是第k 项，即1k a =.
当1n k ≥+时，显然02n k a a ≤≤，若0k a 是数列12,,,k a a a L 中，最大的项，所以数列中存在无数项是相等的，不妨设下标由小及大的这些项为：()1211j i i i a a a i k ====≥+L L ， 设数列12,,,k a a a L 中，等于1i a 的项共有(0)λλ≥项，到01k j a =+，所以有
00111j i k k a a a λ+=++≥+，这与0
2n k a a ≤≤相矛盾，故假设{}n a 中只出现有限个1不成立，
即该数列中存在无穷项的值为1；
（3）通过计算可求出数列前30项值如下：
{}
{}
{}
123456789103112132233
111213141516171819204
1
4
2
4
3
5
1
5
2212223242526272829305
3
6
1
6
2
6
3
7
1
n n n a a a n n
n
通过上表可知：从第11项起有以下规律：
616616263642,1,2,2,2,3(2)k k k k k k a k a a k a a k a k -++++=+==+==+=≥，
当10n ≤时，1n n b S n =⇒=； 当64(2)n k k =+≥时，
()10616616263642
2
10337k k
n i i i i i i i i S S b b b b b b k -++++===++++++=+=+∑∑；
当63(2)n k k =+≥时，
()1064616616263642
36k
n k i i i i i i i S S b b b b b b b k +-++++==-++++++=+∑；
当62(2)n k k =+≥时，
()106463616616263642
36k
n k k i i i i i i i S S b b b b b b b b k ++-++++==--++++++=+∑；
当61(2)n k k =+≥时，
()10646362616616263642
35k
n k k k i i i i i i i S S b b b b b b b b b k +++-++++==---++++++=+∑；
当6(2)n k k =≥时，
()1064636261616616263642
35k
n k k k k i i i i i i i S S b b b b b b b b b b k ++++-++++==----++++++=+∑
当61(2)n k k =-≥时，
()10646362616616616263642
34
k
n k k k k k i i i i i i i S S b b b b b b b b b b b k ++++-++++==-----++++++=+∑综上所述：
(10)10(66264,2)29(6163,2)2n n n n S n k n k n k k n n k n k k ⎧⎪≤⎪
+⎪===+=+≥⎨⎪
+⎪
=±=+≥⎪⎩
或或或
【点睛】本题考查数学阅读能力，考查了分类讨论思想，考查了反证法。