高中数学专题讲义-空间位置关系的判断与证明 平行关系的判断与证明
【例1】 下列命题中，正确的个数是（ ）
①平行于同一条直线的两直线平行 ②平行于同一个平面的两直线平行 ③垂直于同一条直线的两直线平行 ④垂直于同一个平面的两直线平行 ⑤平行于同一条直线的两平面平行 ⑥平行于同一个平面的两平面平行
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【例2】 下列命题中，真命题有_______．
①若,,//a b a b αβ??，则//αβ；
②若//,//,//,//a a b b αβαβ，则//αβ； ③若,,//a b a αββ??，则a b =?I ；
④若//,//,//,//,a a b b a b A αβαβ=I ，则αβ=?I ；
【例3】 平行于平面α的a ，b 是两异面直线，且分别在平面α的两侧，,,,A B a C D b ∈∈，
若AC 与α平面交于点M ，BD 与α平面交于点N ．求证：
AM BN
MC ND
=
． A
B
C
D
α
a
b
M
N
【例4】 已知平面//αβ，AB ，CD 为夹在a ，β间的异面线段，E 、F 分别为AB 、CD
的中点．求证：//EF α，//EF β．
【例5】 如图，线段PQ 分别交两个平行平面α、β于A 、B 两点，线段PD 分别交α、β
典例分析
板块三.平行关系的判断与证
明
于C 、D 两点，线段QF 分别交α、β于F 、E 两点，
若9PA =，12AB =，12BQ =，ACF ?的面积为72，求BDE ?的面积．
βD Q
B E
α
P
C A
F
【例6】 如图，在四棱锥P ABCD -中，90ABC BCD ?∠=∠=，1
2
DC AB =
，E 是PB 的中点． 求证：EC ∥平面APD ．
E P
D
A
B
C
【例7】 已知空间四边形ABCD ，E 、F 、G 分别是AB 、BC 、CD 的中点，求证：//
AC 平面EFG ，//BD 平面EFG ．
【例8】 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边 形，E 是PC 的中点．求
证：PA ∥平面BDE ．
O
P
D
B
C
A
E
【例9】 已知空间四边形ABCD ，P 、Q 分别是ABC ?和BCD ?的重心，求证：//PQ 平
面ACD ．
【例10】 已知,,,E F G M 分别是四面体的棱,,,AD CD BD BC 的中点，
G F
E
D
C
B A
M
N
求证：//AM 面EFG ．
【例11】 如图，在底面是平行四边形的四棱锥P ABCD -中，点E 在PD 上，且
:2:1PE ED =，F 为棱PC 的中点．求证：BF ∥平面AEC
E P
D
A
B
C
F
【例12】 如图，四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是平行四边形，E 、F 分别是AB 、
PD 的中点． 求证：AF ∥平面PCE ．
C
B
A
D
E
F
P
【例13】 如图，四边形ABCD 是矩形，P ?面ABCD ，过BC 作平面BCEF 交AP 于E ，交DP
于F ，
求证：四边形BCEF 是梯形．
P
F
E D
C
B
A
【例14】 已知,,,E F G H 为空间四边形ABCD 的边,,,AB BC CD DA 上的点，
⑴若,,,E F G H 都分别是所在边的中点，求证：四边形EFGH 为平行四边形； ⑵若//EH FG ，求证：//EH BD ．
H G
F
E D C
B
A
【例15】 如图，B 为ACD ?所在平面外一点，M ，N ，G 分别为ABC ?，ABD ?，BCD
?的重心，
⑴求证：平面MNG ∥平面ACD ； ⑵求:MNG ADC S S ??
G
F
D
C B
A
M
N
P
H
【例16】 如图，三棱柱111ABC A B C -中，D 是BC 的中点． 求证：1A C //平面1AB D ．
E
A
B
C
A 1
B 1
C 1
D
【例17】 已知正方体11112ABCD A B C D AB -=，，M 为1BC 与1B C 的交点，N 为11A C 与
11B D 的交点，则MN 的长度为_______．
N
M
D 1
C 1
B 1
A 1
D C
A
【例18】 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1DD 的中点．求证：1B D ∥面11A C E ．
E
F
A
B C
D
B 1
C 1
D 1
A 1
【例19】 如图，正方体1AC 中，点N 在BD 上，点M 在1B C 上，且CM DN =，求证：MN ∥
平面11AA B B ．
D 1
C 1B 1
M B N
F
E
C
D
A 1
A
【例20】 如图所示，正方体1111ABCD A B C D -中，棱长为a ，,M N 分别为1AB 和11A C 上的
点，1A N AM =．
N M
F
E
A
B 1
C 1
D 1
D
C B A 1
⑴求证：MN ∥平面11BB C C ； ⑵求MN 的最小值．
【例21】 设,P Q 是单位正方体1AC 的面11AA D D 、1111A B C D 的中心，如图，
⑴证明：//PQ 平面11AA B B ； ⑵求线段PQ 的长．
A
B C
D
A 1
B 1
C 1
D 1
P
Q
【例22】 正方体1111ABCD A B C D -中，E 、G 分别是BC 、11C D 的中点，如下图．
求证：//EG 平面11BB D D ．
D 1
C 1
B 1
A 1
G
E
D
C
B
A
【例23】 如图，正方体1111ABCD A B C D -中，,,,M N E F 分别是11111111,,,A B A D B C C D 的中
点．求证：平面AMN ∥平面EFDB ．
【例24】 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、G 分别是11B C 、11A D 、11A B 的中
点，求证：平面EBD ∥平面FGA ．
D 1C 1
B 1
A 1
G
F E
D C
B
A
【例25】 已知正方体1111-ABCD A B C D ，求证：平面11//AB D 平面1C BD ．
A
B
C
D
A 1
B 1
C 1
D 1
【例26】 如图，在五面体ABCDEF 中，点O 是平行四边形ABCD 的对角线的交点，面CDE
是等边三角形，棱1
//2
EF BC ． 求证：FO ∥平面CDE
F
E
D
C
B
A
O
【例27】 已知长方体''''ABCD A B C D -中，,E F 分别是','AA CC 的中点．求证：平面
//BDF 平面''B D E ．
A
A'B
B'
C
C'D
D'
E F
【例28】 （湖南高考题·理3）
过平行六面体1111ABCD A B C D -任意两条棱的中点作直线，其中与平面11DBB D 平行
的直线共有（ ）． A ．4条 B ．6条 C ．8条 D ．12条
【例29】 （湖北，理10）如图，在三棱柱ABC A B C '''-中，点E 、F 、H 、K 分别为AC '、
CB '、A B '、B C ''的中点，G 为ABC ?的重心．从K 、H 、G 、B '中取一点作
为P ，使得该棱柱恰有2条棱与平面PEF 平行，则P 为（ ）
A ．K
B ．H
C ．G
D ．B '
A'
B
高中数学讲义微专题76 存在性问题
微专题76 圆锥曲线中的存在性问题 一、基础知识 1、在处理圆锥曲线中的存在性问题时，通常先假定所求的要素（点，线，图形或是参数）存在，并用代数形式进行表示。再结合题目条件进行分析，若能求出相应的要素，则假设成立；否则即判定不存在 2、存在性问题常见要素的代数形式：未知要素用字母代替 （1）点：坐标()00,x y （2）直线：斜截式或点斜式（通常以斜率为未知量） （3）曲线：含有未知参数的曲线标准方程 3、解决存在性问题的一些技巧： （1）特殊值（点）法：对于一些复杂的题目，可通过其中的特殊情况，解得所求要素的必要条件，然后再证明求得的要素也使得其它情况均成立。 （2）核心变量的选取：因为解决存在性问题的核心在于求出未知要素，所以通常以该要素作为核心变量，其余变量作为辅助变量，必要的时候消去。 （3）核心变量的求法： ①直接法：利用条件与辅助变量直接表示出所求要素，并进行求解 ②间接法：若无法直接求出要素，则可将核心变量参与到条件中，列出关于该变量与辅助变量的方程（组），运用方程思想求解。 二、典型例题： 例1：已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为33，过右焦点F 的直线l 与C 相交于 ,A B 两点，当l 的斜率为1时，坐标原点O 到l 的距离为 2 2 。 （1）求,a b 的值 （2）C 上是否存在点P ，使得当l 绕F 旋转到某一位置时，有OP OA OB =+成立？若存在，求出所有的P 的坐标和l 的方程，若不存在，说明理由 解：（1）3 ::323 c e a b c a = =?=
则,a b = =，依题意可得：(),0F c ，当l 的斜率为1时 :0l y x c x y c =-?--= 2 O l d -∴= = 解得：1c = a b ∴== 椭圆方程为：22 132 x y += （2）设()00,P x y ，()()1122,,,A x y B x y 当l 斜率存在时，设():1l y k x =- OP OA OB =+ 012 012 x x x y y y =+?∴?=+? 联立直线与椭圆方程：()221236 y k x x y =-???+=?? 消去y 可得：()222 2316x k x +-=，整理可得： ()2 222326360k x k x k +-+-= 2122632k x x k ∴+=+ ()312122264223232 k k y y k x x k k k k +=+-=-=-++ 22264,3232k k P k k ?? ∴- ?++?? 因为P 在椭圆上 2 2 2 22 642363232k k k k ????∴?+-= ? ?++???? ()()()2 2 42222272486322432632k k k k k k ∴+=+?+=+ ( )2224632k k k ∴=+?= 当k = 时，):1l y x =- ，3,2 2P ?- ?? 当k = ):1l y x =- ，3,22P ? ?? 当斜率不存在时，可知:1l x = ，1, ,1,33A B ??? - ???? ?，则()2,0P 不在椭圆上
空间位置关系的判断与证明
. . 空间中的线面关系 要求层次 重难点 空间线、面的位置关系 B ① 理解空间直线、平面位置关系的定 义，并了解如下可以作为推理依据的公 理和定理． ◆公理1：如果一条直线上的两点 在一个平面，那么这条直线上所有的点 在此平面． ◆公理2：过不在同一条直线上的 三点，有且只有一个平面． ◆公理3：如果两个不重合的平面 有一个公共点，那么它们有且只有一条 过该点的公共直线． ◆公理4：平行于同一条直线的两 条直线互相平行． ◆定理：空间中如果一个角的两边 与另一个角的两边分别平行，那么这两 个角相等或互补． ② 以立体几何的上述定义、公理和 定理为出发点，认识和理解空间中线面 平行、垂直的有关性质与判定． 公理1，公理2，公理3，公理4，定理* A 高考要求 模块框架 空间位置关系的判断与证明
. . 理解以下判定定理． ◆如果平面外一条直线与此平面的 一条直线平行，那么该直线与此平面平 行． ◆如果一个平面的两条相交直线与 另一个平面都平行，那么这两个平面平 行． ◆如果一条直线与一个平面的两条 相交直线都垂直，那么该直线与此平面 垂直． ◆如果一个平面经过另一个平面的 垂线，那么这两个平面互相垂直． 理解以下性质定理，并能够证明． ◆如果一条直线与一个平面平行， 经过该直线的任一个平面与此平面相 交，那么这条直线就和交线平行． ◆如果两个平行平面同时和第三个 平面相交，那么它们的交线相互平行． ◆垂直于同一个平面的两条直线平 行． ◆如果两个平面垂直，那么一个平 面垂直于它们交线的直线与另一个平面 垂直． ③ 能运用公理、定理和已获得的结 论证明一些空间位置关系的简单命题． *公理1：如果一条直线上的两点在一个平面，那么这条直线在此平面． 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面． 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． 公理4：平行于同一条直线的两条直线平行． 定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 1．集合的语言： 我们把空间看做点的集合，即把点看成空间中的基本元素，将直线与平面看做空间的子集，这样便可以用集合的语言来描述点、直线和平面之间的关系： 点A 在直线l 上，记作：A l ∈；点A 不在直线l 上，记作A l ?； 点A 在平面α，记作：A α∈；点A 不在平面α，记作A α?； 直线l 在平面α（即直线上每一个点都在平面α），记作l α?； 直线l 不在平面α（即直线上存在不在平面α的点），记作l α?； 直线l 和m 相交于点A ，记作{}l m A =，简记为l m A =； 知识内容
线面平行与垂直的证明题
线面平行与垂直的证明1：如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中. （1）求证：AC⊥平面B1BDD1； （2）求三棱锥B-ACB1体积． 2：如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点． 求证：（1）PA∥平面BDE；（2）平面PAC⊥平面BDE． D1 C1 B1 A1 C D B A
3：如图：在底面是直角梯形的四棱锥S —ABCD 中， ∠ABC = 90°，SA ⊥面ABCD ，SA = AB = BC = 1，2 1 AD ． （Ⅰ）求四棱锥S —ABCD 的体积； （Ⅱ）证明：平面SBC ⊥平面SCD . 4：已知多面体ABCDFE 中， 四边形ABCD 为矩形，AB ∥EF ，AF ⊥BF ，平面ABEF ⊥平面ABCD ， O 、M 分别为AB 、FC 的中点，且AB = 2，AD = EF = 1. （Ⅰ）求证：AF ⊥平面FBC ； （Ⅱ）求证：OM ∥平面DAF .
5：．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是P C的中点，作EF⊥PB交PB于点F． （1）证明PA//平面EDB；（2）证明PB⊥平面EFD； 6：已知正方形ABCD和正方形ABEF所在的平面相交于AB，点M，N分别在AC和BF上，且 AM=FN. C
求证：MN ‖平面BCE. 7：如图，正方体1111D C B A ABCD -中，棱长为a （1）求证：直线//1B A 平面1ACD （2）求证：平面1ACD ⊥平面D BD 1；
8：如图，已知△ABC是正三角形，EA、CD都垂直于平面ABC，且EA=AB=2a,DC=a,F是BE的中点， 求证：(1) FD∥平面ABC (2) AF⊥平面EDB. 9：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G分别是CB、CD、CC1的中点， （1）求证：平面A B1D1∥平面EFG; （2）求证：平面AA1C⊥面EFG.
高中数学讲义微专题80 排列组合中的常见模型
微专题80 排列组合的常见模型 一、基础知识： （一）处理排列组合问题的常用思路： 1、特殊优先：对于题目中有特殊要求的元素，在考虑步骤时优先安排，然后再去处理无要求的元素。 例如：用0,1,2,3,4组成无重复数字的五位数，共有多少种排法？ 解：五位数意味着首位不能是0，所以先处理首位，共有4种选择，而其余数位没有要求，只 需将剩下的元素全排列即可，所以排法总数为44496N A =?=种 2、寻找对立事件：如果一件事从正面入手，考虑的情况较多，则可以考虑该事的对立面，再用全部可能的总数减去对立面的个数即可。 例如：在10件产品中，有7件合格品，3件次品。从这10件产品中任意抽出3件，至少有一件次品的情况有多少种 解：如果从正面考虑，则“至少1件次品”包含1件，2件，3件次品的情况，需要进行分类讨论，但如果从对立面想，则只需用所有抽取情况减去全是正品的情况即可，列式较为简单。 3310785N C C =-=（种） 3、先取再排（先分组再排列）：排列数m n A 是指从n 个元素中取出m 个元素，再将这m 个元素进行排列。但有时会出现所需排列的元素并非前一步选出的元素，所以此时就要将过程拆分成两个阶段，可先将所需元素取出，然后再进行排列。 例如：从4名男生和3名女生中选3人，分别从事3项不同的工作，若这3人中只有一名女生，则选派方案有多少种。 解：本题由于需要先确定人数的选取，再能进行分配（排列），所以将方案分为两步，第一步： 确定选哪些学生，共有2143C C 种可能，然后将选出的三个人进行排列：33A 。所以共有 213433108C C A =种方案 （二）排列组合的常见模型 1、捆绑法（整体法）：当题目中有“相邻元素”时，则可将相邻元素视为一个整体，与其他元素进行排列，然后再考虑相邻元素之间的顺序即可。 例如：5个人排队，其中甲乙相邻，共有多少种不同的排法
空间中直线与直线之间的位置关系
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 整体设计 教学分析 空间中直线与直线的位置关系是立体几何中最基本的位置关系，直线的异面关系是本节的重点和难点.异面直线的定义与其他概念的定义不同，它是以否定形式给出的，因此它的证明方法也就与众不同.公理4是空间等角定理的基础，而等角定理又是定义两异面直线所成角的基础，请注意知识之间的相互关系，准确把握两异面直线所成角的概念. 三维目标 1.正确理解空间中直线与直线的位置关系,特别是两直线的异面关系. 2.以公理4和等角定理为基础，正确理解两异面直线所成角的概念以及它们的应用. 3.进一步培养学生的空间想象能力，以及有根有据、实事求是等严肃的科学态度和品质. 重点难点 两直线异面的判定方法，以及两异面直线所成角的求法. 课时安排 1课时 教学过程 导入新课 思路1.(情境导入） 在浩瀚的夜空，两颗流星飞逝而过（假设它们的轨迹为直线），请同学们讨论这两直线的位置关系. 学生：有可能平行，有可能相交，还有一种位置关系不平行也不相交，就像教室内的日光灯管所在的直线与黑板的左右两侧所在的直线一样. 教师：回答得很好，像这样的两直线的位置关系还可以举出很多，又如学校的旗杆所在的直线与其旁边公路所在的直线，它们既不相交，也不平行，即不能处在同一平面内.今天我们讨论空间中直线与直线的位置关系. 思路2.（事例导入） 观察长方体（图1），你能发现长方体ABCD—A′B′C′D′中，线段A′B所在的直线与线段C′C所在直线的位置关系如何？ 图1 推进新课 新知探究 提出问题 ①什么叫做异面直线？ ②总结空间中直线与直线的位置关系. ③两异面直线的画法. ④在同一平面内，如果两直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行.在空间这个结论成立吗？ ⑤什么是空间等角定理？ ⑥什么叫做两异面直线所成的角？ ⑦什么叫做两条直线互相垂直？
(完整版)线面平行证明的常用方法
线面平行证明的常用方法 张磊 立体几何在高考解答题中每年是必考内容，必有一个证明题；重点考察：平行与垂直（线线平行、线面平行、面面平行、线线垂直、线面垂直、面面垂直等），我们现在对线面平行这一方面作如下探讨： 方法一：中位线型：找平行线。 例1、如图⑴，在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD -中，点E 是PD 的中点.求证：//PB 平面AEC 分析： 如图⑴ 如图⑵ 如图⑶ 方法二：构造平行四边形，找平行线 例2、如图⑵, 平行四边形ABCD 和梯形BEFC 所在平面相交，BE//CF ，求证：AE//平面DCF. 分析：过点E 作EG//AD 交FC 于G ， DG 就是平面AEGD 与平面DCF 的交线，那么只要证明AE//DG 即可。 方法三：作辅助面使两个平面是平行, 即：作平行平面，使得过所证直线作与已 知平面平行的平面 例3、如图⑷，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 为菱形， M 为OA 的中点，N 为BC 的中点，证明：直线MN OCD 平面‖ 分析：：取OB 中点E ，连接ME ，NE ，只需证平面MEN 平面OCD 。 方法四：利用平行线分线段成比例定理的逆定理证线线平行。 例4、已知正方形ABCD 和正方形ABEF AC 和BF 上，且AM=FN. 求证：MN ‖平面BCE. 如图⑷ 如图⑸ 如图⑹ E B A D C G F F y C B E D A S z _ M _ D _ A B _ O E P E D C B O A B C D E F N M
例5．如图⑸，已知三棱锥Ｐ—ＡＢＣ，Ａ′，B ′，C ′是△PBC,△PCA,△PAB 的重心. (1)求证：Ａ′Ｂ′∥面ＡＢＣ； (2)求S △A ′B ′C ′：S △ABC . 方法五：（向量法）所证直线与已知平面的法向量垂直，关键：建立空间坐标系 （或找空间一组基底）及平面的法向量。 例6、如图⑹，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为正方形， 侧棱SD ⊥底面ABCD E F ，，分别为AB SC ，的中点．证明EF ∥平面SAD ； 分析：因为侧棱SD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，所以很容易建立空间直角坐标系及相应的点的坐标。 证明：如图，建立空间直角坐标系D xyz -． 设(00)(00)A a S b ，，，，，，则(0)(00)B a a C a ，，，，，， 00222a a b E a F ???? ? ????? ，，，，，， 02b EF a ??=- ?? ?u u u r ，，． 因为y 轴垂直与平面SAD ，故可设平面的法向 量为n r =（0，1，0） 则：02b EF n a ??=- ?? ?u u u r r g g ，，（0，1，0）=0 因此 EF n ⊥u u u r r 所以EF ∥平面SAD ．
线线平行线面平行面面平行的练习题
线线平行、线面平行、面面平行部分的练习题 1．如图2-3-3所示,已知α∩β=CD,α∩γ=EF,β∩γ=AB,AB ∥α.求证：ＣＤ∥EF. 2.已知直线a ∥平面α，直线a ∥平面β，平面αI 平面β=b ， 求证//a b ． 3. 正方形ABCD 交正方形ABEF 于AB （如图所示）M 、N 在对角线AC 、FB 上且AM= FN 。求证：MN //平面BCE 4．如图2-3-7所示，正三棱柱ABC —A1B1C1中，D 是BC 的中点，试判断A1B 与平面ADC1的位置关系，并证明你的结论. 5．、已知⊥PA 矩形ABCD 所在的平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点， 求证：MN//平面PAD. 6.在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设M 、N 、E 、F 分别是棱A 1B 1、A 1D 1、C 1D 1、B 1C 1的中点.求证：(1)E 、F 、B 、D 四点共面；（2）面AMN ∥面EFBD. 7．已知在正方体ABCD －1111D C B A 中，M 、N 分别是11D A 、11B A 的中点，在该正方体中作出与平面AMN 平行的平面，并证 明你的结论。
8．已知点 是△ 所在平面外一点，点 ， ， 分 别是△ ，△ ，△ 的重心，求证：平面 平 面 ． 9. 已知三棱锥Ｐ—ＡＢＣ，Ａ′，B ′C ′是△PBC,△PCA,△PAB 的重心. (1)求证：面Ａ′Ｂ′Ｃ′∥面ＡＢＣ； (2)求S △A ′B ′C ′： S △ABC . . 10. 如图所示11 1 ABC A B C -中，平面ABC//平面A 1B 1C 1 ， 若D 是棱1 CC 的中点，在棱AB 上是否存在一点E ，使 11//C AB DE 证明你的结论 答案与提示： 1.证明：∵AB β,AB α,又∵AB ∥α,α∩β =CD,∴AB ∥CD,同理ＡＢ∥ＥＦ，∴ＣＤ∥ＥＦ. 2. 证明：经过a 作两个平面γ和δ，与平面α和β分别相交于直线c 和d ， ∵a ∥平面α，a ∥平面β， ∴a ∥c ，a ∥d ，∴c ∥d ， 又∵d ?平面β，c ?平面β， ∴c ∥平面β， d c b a δ γ β α
高中数学讲义微专题98 含新信息问题的求解
微专题98 含新信息问题的求解 一、基础知识： 所谓“新信息背景问题”，是指题目中会介绍一个“课本外的知识”，并说明它的规则，然后按照这个规则去解决问题。它主要考察学生接受并运用新信息解决问题的能力。这类问题有时提供的信息比较抽象，并且能否读懂并应用“新信息”是解决此类问题的关键。在本文中主要介绍处理此类问题的方法与技巧 1、读取“新信息”的步骤 （1）若题目中含有变量，则要先确定变量的取值范围 （2）确定新信息所涉及的知识背景，寻找与所学知识的联系 （3）注意信息中的细节描述，如果是新的运算要注意确定该运算是否满足交换律 （4）把对“新信息”的理解应用到具体问题中，进行套用与分析。 2、理解“新信息”的技巧与方法 （1）可通过“举例子”的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对新信息的理解 （2）可用自己的语言转述“新信息”所表达的内容，如果能够清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻。 （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律 （4）如果“新信息”是书本知识上某个概念的推广，则要关注此信息与原概念的不同之处，以及在什么情况下可以使用原概念。 二、典型例题 例1：设,P Q 是两个集合，定义集合{}|P Q x x P x Q -=∈?且，如果{}2|log 1P x x =<，{}|21Q x x =-<，则P Q -等于（ ） A. {}|01x x << B. {}|01x x <≤ C. {}|12x x ≤< D. {}|23x x ≤< 思路：依{}|P Q x x P x Q -=∈?且可知该集合为在P 中且不属于Q 中的元素组成，或者可以理解为P 集合去掉P Q 的元素后剩下的集合。先解出,P Q 中的不等式。:P 2log 102x x
最新空间位置关系的判断与证明
空间中的线面关系 要求层 次 重难点 空间线、面的位置关系 B ①理解空间直线、平面位置关系的定 义，并了解如下可以作为推理依据的公 理和定理． ◆公理1：如果一条直线上的两点 在一个平面内，那么这条直线上所有的 点在此平面内． ◆公理2：过不在同一条直线上的 三点，有且只有一个平面． ◆公理3：如果两个不重合的平面 有一个公共点，那么它们有且只有一条 过该点的公共直线． ◆公理4：平行于同一条直线的两 条直线互相平行． ◆定理：空间中如果一个角的两边 与另一个角的两边分别平行，那么这两 个角相等或互补． ②以立体几何的上述定义、公理和 定理为出发点，认识和理解空间中线面 平行、垂直的有关性质与判定． 理解以下判定定理． ◆如果平面外一条直线与此平面内 的一条直线平行，那么该直线与此平面公理1，公理2，公理3， 公理4，定理* A 高考要求 模块框架 空间位置关系的判断与证明
*公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内． 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面． 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． 公理4：平行于同一条直线的两条直线平行． 定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 1．集合的语言： 我们把空间看做点的集合，即把点看成空间中的基本元素，将直线与平面看做空间的子集，这样便可以用集合的语言来描述点、直线和平面之间的关系： 点A 在直线l 上，记作：A l ∈；点A 不在直线l 上，记作A l ?； 点A 在平面α内，记作：A α∈；点A 不在平面α内，记作A α?； 直线l 在平面α内（即直线上每一个点都在平面α内），记作l α?； 直线l 不在平面α内（即直线上存在不在平面α内的点），记作l α?； 直线l 和m 相交于点A ，记作{}l m A =，简记为l m A =； 平面α与平面β相交于直线a ，记作a αβ=． 2．平面的三个公理： ⑴ 公理一：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所 有的点都在这个平面内． 图形语言表述：如右图： 知识内容
高中数学讲义微专题40 利用函数性质与图像解不等式
微专题40利用函数性质与图像解不等式 高中阶段解不等式大体上分为两类，一类是利用不等式性质直接解出解集（如二次不等式，分式不等式，指对数不等式等）；一类是利用函数的性质，尤其是函数的单调性进行运算。相比而言后者往往需要构造函数，利用函数单调性求解，考验学生的观察能力和运用条件能力，难度较大。本章节以一些典型例题来说明处理这类问题的常规思路。 一、基础知识： （一）构造函数解不等式 1、函数单调性的作用：()f x 在[],a b 单调递增，则 []()()121212,,,x x a b x x f x f x ?∈ (单调性与零点配合可确定零点左右点的函数值的符号） 3、导数运算法则： （1）()()() ()()()()' ' 'f x g x f x g x f x g x =+ （2）()()()()()()()' ''2 f x f x g x f x g x g x g x ??-= ??? 4、构造函数解不等式的技巧： （1）此类问题往往条件比较零散，不易寻找入手点。所以处理这类问题要将条件与结论结合着分析。在草稿纸上列出条件能够提供什么，也列出要得出结论需要什么。两者对接通常可以确定入手点 （2）在构造函数时要根据条件的特点进行猜想，例如出现轮流求导便猜有可能是具备乘除关系的函数。在构造时多进行试验与项的调整 （3）此类问题处理的核心要素是单调性与零点，对称性与图像只是辅助手段。所以如果能够确定构造函数的单调性，猜出函数的零点。那么问题便易于解决了。 （二）利用函数性质与图像解不等式： 1、轴对称与单调性：此类问题的实质就是自变量与轴距离大小与其函数值大小的等价关系。通常可作草图帮助观察。例如：()f x 的对称轴为1x =，且在()1,+∞但增。则可以作出草图
空间位置关系的判断与证明.板块一.对平面的进一步认识.学生版
题型一 平面的基本性质 【例1】 在空间中，“两条直线没有公共点”是“这两条直线平行”的（ ） A ．充分不必要条件． B ．必要不充分条件． C ．充要条件． D ．既不充分也不必要条件． 【例2】 判断下面说法是否正确： ①如果一条直线与两条直线都相交，那么这三条直线确定一个平面． ②经过一点的两条直线确定一个平面． ③经过空间任意三点有且只有一个平面． ④若四边形的两条对角线相交于一点，则该四边形是平面图形． ⑤两个平面的公共点的集合，可能是一条线段． ⑥空间中的四个点只可能确定一个平面或四个平面． 【例3】 若P 是正方体1111ABCD A B C D -上底面对角线AC 上一点，则B 、D 、P 三点可以确定平面（ ） A ．1个 B ．2个 C ．无数个 D ．1个或无数个 【例4】 下列推理错误的是（ ） A ．,,,A l A B l B l ααα∈∈∈∈?? B ．,,,A A B B AB αβαβαβ∈∈∈∈?= C ．,,,,,A B C A B C αβ∈∈，且,,A B C 不共线?,αβ重合 D ．,l A l A αα?∈?? 【例5】 已知点A ，直线l ，平面α， ①,A l l A αα∈??? ②,A l l A αα∈∈?∈ ③,A l l A αα???? ④,A l A l αα∈??? 以上命题表达正确，且是真命题的有________． 共线问题 【例6】 在正方体1111ABCD A B C D -中，O ，1O 分别是上，下底的中心，P 是1DB 的中点，则O 、P 、1 O 典例分析 板块一.对平面的进一步认识
立体几何线面、面面平行的证明
Q D C B A P C 1 B 1 A 1D 1 D C B A D A 1 C 1 C B 1 B 理科数学复习专题 立体几何 线面平行与面面平行专题复习 【题型总结】 题型一 小题：判断正误 1. a 、b 、c 是直线，,,αβγ是平面，下列命题正确的是_____________ α αβ βααβαβαγαγββααα////a ,//a //a //,//a ////a ,//a ////,////a //,//a //a //,//a b b b b c c b b 则⑥则⑤则④则③则②则① 归纳：_______________________________________ 题型二 线面平行的判定 1、如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形，E 、F 分别是ＰＢ，ＰＣ的中点，求证：EF 归纳： 3、在正方体中，Ｅ，Ｆ分别为C1D1和BC 的中点， 求证： FE 1111111//. ABCD A B C D AB D C BC -在正方体中，求证：平面平面11111111111,,:(1)//;(2)//. ABC A B C D AC BC AB D D AC B DA BC D -2、如图已知正三棱柱中，点为的中点求证平面为的中点，求证：平面平面111ABC A B C -AB AC =,,M N P 11,,BC CC BB 1//A N AMP
【综合练习】 一、选择题 1、直线和平面平行是指该直线与平面内的（ ） (A)一条直线不相交 (B)两条直线不相交 (C)无数条直线不相交(D)任意一条直线都不相交 2、已知a b ||,αα?，则必有（ ） ()||(),A a b B a b 异面 (),C a b 相交 (),D a b 平行或异面 3、若直线a,b 都与平面?平行，则a 和b 的位置关系是（ ） (A)平行 (B)相交 (C)异面 (D)平行或相交或是异面直线 4.已知平面α、β和直线m ，给出条件：①m ∥α；②m ⊥α；③m ?α；④α⊥β；⑤α∥β.为使m ∥β，应选择下面四个选项中的 ( ) A ．①④ B ．①⑤ C ．②⑤ D ．③⑤ 5．下列命题正确的是 （ ） A 一直线与平面平行，则它与平面内任一直线平行 B 一直线与平面平行，则平面内有且只有一个直线与已知直线平行 C 一直线与平面平行，则平面内有无数直线与已知直线平行，它们在平面内彼此平行 D 一直线与平面平行，则平面内任意直线都与已知直线异面 6. 以下命题（其中a ，b 表示直线，?表示平面） ①若a ∥b ，b ??，则a ∥? ②若a ∥?，b ∥?，则a ∥b ③若a ∥b ，b ∥?，则a ∥? ④若a ∥?，b ??，则a ∥b 其中正确命题的个数是 （ ） 个 个 个 个 二、解答题 1．如图，E D ,分别是正三棱柱111ABC A B C -的棱1AA 、11B C 的中点， 求证：1//A E 平面1BDC ； 2、如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD=DC=1，点E 是PC 的中点，作EF PB 交PB 于点
立体几何线面平行垂直,线面角二面角的证明方法
A P B C E D 一：线面平行的证明方法： 1、用“近似平行法”先找到面上与已知直线平行的直线（一般为表示面的三角形的边界直线，或三角形某边上的中线） 看找到的这条线与已知线的长度关系，1）若相等应该构造平行四边形；2）若不相等一般利用三角形中位线的性质（将这两个不相等的线段的端点连结并延长即会出现关键三角形）。 2、若既不能构造平行四边形也不能性用中位线性质，则应再构造一个此直线所在的平面，证明此平面与已知平面平行（先证面面平行，推出线面平行） 例一：如图，已知菱形ABCD ，其边长为2， 60BAD ∠= ，ABD ?绕着BD 顺时针旋转120 得到PBD ?，M 是PC 的中点． （1）求证：//PA 平面MBD ； （2）求直线AD 与平面PBD 所成角的正弦值． 例二：已知四棱锥P-ABCD ，底面ABCD 是 60=∠A 、 边 长为a 的菱形，又ABCD PD 底⊥，且PD=CD ，点M 、N 分别是 棱AD 、PC 的中点． （1）证明：DN//平面PMB ； （2）证明：平面PMB ⊥平面PAD ； （3）求点A 到平面PMB 的距离． 例三：如图，已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外的一点， 上的点且PE EA BF FD =∶∶，求证：EF //平面PBC ． 二：线面垂直的证明方法： 通过线线垂直，证明线面垂直 1） 利用勾股定理逆定理及三角形中两个角和为90°； 2） 利用等边、等腰三角形（中线即高线），正方形、矩形邻边垂直，正方形菱形对角线垂 直等； 3） 通过线面垂直，反推线线垂直； 4） 利用面面垂直的性质，证明垂直于交线即垂直于另一个平面。 例四：如图,四边形ABCD 为矩形，CF ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ， AB=4a ，BC= CF=2a,P 为AB 的中点. (1)求证：平面PCF ⊥平面PDE ； (2)求四面体PCEF 的体积. C
线面平行证明常用方法
线面平行证明的常用方法 方法一：两平行线能确定一个平面，过已知直线的两个端点作两条平 行线使它们与已知平面相交，关键：找平行线，使得所作平面与已知平面的交线。 （08浙江卷）如图,矩形ABCD 和梯形BEFC 所在平面互相垂直，BE//CF ，∠BCF=∠CEF=?90,AD=3,EF=2。求证：AE//平面DCF. 分析：过点E 作EG//AD 交FC 于G ， DG 与平面DCF 的交线，那么只要证明AE//DG 证明：过点E 作EG CF ⊥交CF 于G ，连结DG 可得四边形BCGE 为矩形， 又ABCD 为矩形， 所以AD EG ∥，从而四边形ADGE 故AE DG ∥． 因为AE ?平面DCF ，DG ?平面DCF ， 所以AE ∥平面DCF ． 方法二：直线与直线外一点有且仅有一个平面，关键：找第三个点, 使得所作平面与已知平面的交线。 （06北京卷）如图，在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD -中，AB AC ⊥，PA ⊥平面ABCD ，且PA AB =，点E 是PD 的中点.求证：//PB 平面AEC . 分析：由D 、P 、B 三点的平面与已知平面AEC 的交线最易找，第三个点选其它的点均不好找交线. 证明：连接BD ，与 AC 相交于 O ，连接 ∵ABCD 是平行四边形， ∴O 是 BD 的中点 又 E 是 PD 的中点 ∴EO ∥PB. 又 PB ?平面 AEC ，EO ?平面 AEC ， ∴PB ∥平面 AEC.
方法三：两个平面是平行, 其中一个平面内的直线和另一个平面平行, 关键：作平行平面，使得过所证直线作与已知平面平行的平面 （０８安徽卷）如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 四边长为1的菱形， 4 ABC π∠=, OA ABCD ⊥底面, 2OA =,M 为OA 的中点，N 为BC 的中点，证明：直线MN OCD 平面‖ 分析：M 为OA 的中点,找OA(或AD)中点,再连线。 证明：取OB 中点E ，连接ME ，NE ME CD ME CD ∴，‖AB,AB ‖‖ 又,NE OC MNE OCD ∴平面平面‖‖ MN OCD ∴平面‖
高中数学讲义微专题55 数列中的不等关系
第55炼 数列中的不等关系 一、基础知识： 1、在数列中涉及到的不等关系通常与数列的最值有关，而要求的数列中的最值项，要依靠数列的单调性，所以判断数列的单调性往往是此类问题的入手点 2、如何判断数列的单调性： （1）函数角度：从通项公式入手，将其视为关于n 的函数，然后通过函数的单调性来判断数列的单调性。由于n N * ∈ ，所以如果需要用到导数，首先要构造一个与通项公式形式相同，但定义域为()0,+∞ 的函数，得到函数的单调性后再结合n N * ∈得到数列的单调性 （2）相邻项比较：在通项公式不便于直接分析单调性时，可考虑进行相邻项的比较得出数列的单调性，通常的手段就是作差（与0比较，从而转化为判断符号问题）或作商（与1比较，但要求是正项数列） 3、用数列的眼光去看待有特征的一列数：在解数列题目时，不要狭隘的认为只有题目中的 {}{},n n a b 是数列，实质上只要是有规律的一排数，都可以视为数列，都可以运用数列的知识 来进行处理。比如：含n 的表达式就可以看作是一个数列的通项公式；某数列的前n 项和n S 也可看做数列{}12:,,,n n S S S S L 等等。 4、对于某数列的前n 项和{}12:,,,n n S S S S L ，在判断其单调性时可以考虑从解析式出发，用函数的观点解决。也可以考虑相邻项比较。在相邻项比较的过程中可发现：1n n n a S S -=-，所以{}n S 的增减由所加项n a 的符号确定。进而把问题转化成为判断n a 的符号问题 二、典型例题 例1：已知数列{}1,1n a a =，前n 项和n S 满足()130n n nS n S +-+= （1）求{}n a 的通项公式 （2）设2n n n n c a λ?? =- ??? ，若数列{}n c 是单调递减数列，求实数λ的取值范围 解：（1）()113 30n n n n S n nS n S S n +++-+=? =
高中立体几何证明线面平行的常见方法
D E B 1 A 1 C 1 C A B M 高中立体几何证明线面平行问题（数学作业十七） (1) 通过“平移”再利用平行四边形的性质 1．如图，四棱锥P －ABCD 的底面是平行四边形，点E 、F 分别为棱AB 、 PD 的中点．求证： AF ∥平面PCE ； 2、已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D, E, F 分别为AA 1, CC 1, AB 的中点， M 为BE 的中点, AC ⊥BE. 求证： （Ⅰ）C 1D ⊥BC ； （Ⅱ）C 1D ∥平面B 1FM. 3、如图所示, 四棱锥P ABCD 底面是直角梯形, E F B A C D P （第
,,AD CD AD BA ⊥⊥CD=2AB, E 为PC 的中点, 证明: //EB PAD 平面; (2) 利用三角形中位线的性质 4、如图，已知E 、F 、G 、M 分别是四面体的棱AD 、CD 、BD 、BC 的中点，求证：AM ∥平面EFG 。 5、如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，E 是PC 的中点。 求证： PA ∥平面BDE 6．如图，三棱柱ABC —A 1B 1C 1中， D 为AC A B C D E F G M
P E D C B A 的中点. 求证：AB 12 1中点为PD E 求证：AE ∥平面PBC ； (4)利用对应线段成比例 9、如图：S 是平行四边形ABCD 平面外一点，M 、N 分别是SA 、 BD 上的点，且SM AM =ND BN ， 求证：MN ∥平面SDC （5）利用面面平行 10、如图，三棱锥ABC P -中，PB ⊥底面，90BCA ∠=o ，PB=BC=CA ， 为的中点，为的中点，点在上，且2AF FP =. （1）求证：BE ⊥平面； （2）求证：//CM 平面；
高考数学讲义微专题14函数的切线问题(含详细解析)
微专题14 函数的切线问题 一、基础知识： （一）与切线相关的定义 1、切线的定义：在曲线的某点A 附近取点B ，并使B 沿曲线不断接近A 。这样直线AB 的极限位置就是曲线在点A 的切线。 （1）此为切线的确切定义，一方面在图像上可定性的理解为直线刚好与曲线相碰，另一方面也可理解为一个动态的过程，让切点A 附近的点向A 不断接近，当与A 距离非常小时，观察直线AB 是否稳定在一个位置上 （2）判断一条直线是否为曲线的切线，不再能用公共点的个数来判定。例如函数3 y x =在 ()1,1--处的切线，与曲线有两个公共点。 （3）在定义中，点B 不断接近A 包含两个方向，A 点右边的点向左接近，左边的点向右接近，只有无论从哪个方向接近，直线AB 的极限位置唯一时，这个极限位置才能够成为在点A 处的切线。对于一个函数，并不能保证在每一个点处均有切线。例如y x =在()0,0处，通过观察图像可知，当0x =左边的点向其无限接近时，割线的极限位置为y x =-，而当0x =右边的点向其无限接近时，割线的极限位置为y x =，两个不同的方向极限位置不相同，故y x =在()0,0处不含切线 （4）由于点B 沿函数曲线不断向A 接近，所以若()f x 在A 处有切线，那么必须在A 点及其附近有定义（包括左边与右边） 2、切线与导数：设函数()y f x =上点()() 00,,A x f x ()f x 在A 附近有定义且附近的点 ()()00,B x x f x x +?+?，则割线AB 斜率为： ()()()()() 000000 AB f x x f x f x x f x k x x x x +?-+?-= = +?-? 当B 无限接近A 时，即x ?接近于零，∴直线AB 到达极限位置时的斜率表示为： ()()000 lim x f x x f x k x ?→+?-=?,
利用空间向量证明空间位置关系
利用空间向量证明立体几何中的平行与垂直问题 [考纲要求] 1．了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置．会简单应用空间两点间的距离公式． 2．了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．3．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．掌握空间向量的数量积及其坐标表示．能用向量的数量积判断向量的共线和垂直． 4．理解直线的方向向量及平面的法向量．能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系． 5．能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理(包括三垂线定理)． 知识点一：空间向量及其运算 1．空间向量及其有关概念 (1)空间向量的有关概念 (2) 2. (1)非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． (2)空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)； ②交换律：a·b＝b·a； ③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c. 3．空间向量的运算及其坐标表示 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).
[基本能力] 1．如图，已知空间四边形ABCD ，则13AB ―→＋13BC ―→＋13CD ―→ 等于________． 答案：13 AD ―→ 2．已知i ，j ，k 为标准正交基底，a ＝i ＋2j ＋3k ，则a 在i 方向上的投影为________． 答案：1 3．若空间三点A (1,5，－2)，B (2,4,1)，C (p,3，q ＋2)共线，则p ＝________，q ＝________. 答案：3 2 4．已知向量a ＝(－1,0,1)，b ＝(1,2,3)，k ∈R ，若k a －b 与b 垂直，则k ＝________. 答案：7 考法一 空间向量的线性运算 [例1] 已知四边形ABCD 为正方形，P 是ABCD 所在平面外一点，P 在平面ABCD 上的射影恰好是正方形的中心O .Q 是CD 的中点，求下列各题中x ，y 的值： (1)O Q ―→＝P Q ―→＋x PC ―→＋y PA ―→； (2)PA ―→＝x PO ―→＋y P Q ―→＋PD ―→. [解] (1)如图，∵O Q ―→＝P Q ―→－PO ―→＝P Q ―→－12(PA ―→＋PC ―→)＝P Q ―→－ 1 2PA ―→－12 PC ―→， ∴x ＝y ＝－1 2 . (2)∵PA ―→＋PC ―→＝2PO ―→， ∴PA ―→＝2PO ―→－PC ―→. 又∵PC ―→＋PD ―→＝2P Q ―→，∴PC ―→＝2P Q ―→－PD ―→. 从而有PA ―→＝2PO ―→－(2P Q ―→－PD ―→)＝2PO ―→－2P Q ―→＋PD ―→ . ∴x ＝2，y ＝－2. 考法二 共线、共面向量定理的应用 [例2] 已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点， 用向量方法求证： (1)E ，F ，G ，H 四点共面； (2)BD ∥平面EFGH . [证明] (1)如图，连接BG ，则EG ―→＝EB ―→＋BG ―→＝EB ―→＋12 (BC ―→＋BD ―→ ) ＝EB ―→＋BF ―→＋
高中立体几何证明线面平行的常见方法
D A 1 A F 高中立体几何证明线面平行问题（数学作业十七） (1) 通过“平移”再利用平行四边形的性质 1．如图，四棱锥P －ABCD 的底面是平行四边形，点E 、F 分别为棱AB 、 PD 的中点．求证：AF ∥平面PCE ； 2、已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D, E, F 分别为AA 1, CC 1, AB 的中点， M 为BE 的中点, AC ⊥BE. 求证： （Ⅰ）C 1D ⊥BC ； （Ⅱ）C 1D ∥平面B 1FM. 3、如图所示, 四棱锥P -ABCD 底面是直角梯形, ,,AD CD AD BA ⊥⊥CD=2AB, E 为PC 的中点, 证明: //EB PAD 平面; (2) 利用三角形中位线的性质 4、如图，已知E 、F 、G 、M 分别是四面体的棱AD 、CD 、BD 、 BC 的中点，求证：AM ∥平面EFG 。 5、如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，E 是PC 的中点。 求证： PA ∥平面BDE （第1题图） A B C D E F G M
6．如图，三棱柱ABC —A 1B 1C 1中， D 为AC 的中点. 求证：AB 1//面BDC 1； （3） 利用平行四边形的性质 7．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中O 为正方形ABCD 的中心，M 为 BB 1的中点，求证： D 1O//平面A 1BC 1; 8、在四棱锥P-ABCD 中，AB ∥CD ，AB=2 1 DC ，中点为PD E . 求证：AE ∥平面PBC ； (4)利用对应线段成比例 9、如图：S 是平行四边形ABCD 平面外一点，M 、N 分别是SA 、BD 上的点，且 SM AM =ND BN ， 求证：MN ∥平面SDC （5）利用面面平行 10、如图，三棱锥ABC P -中，PB ⊥底面ABC ，90BCA ∠=，PB=BC=CA ， E 为PC 的中点，M 为AB 的中点，点F 在PA 上，且2AF FP =. （1 ）求证：BE ⊥ 平面PAC ； （2）求证：//CM 平面BEF ；