高中数学专题讲义-空间位置关系的判断与证明 平行关系的判断与证明
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【例1】 下列命题中，正确的个数是（ ）
①平行于同一条直线的两直线平行 ②平行于同一个平面的两直线平行 ③垂直于同一条直线的两直线平行 ④垂直于同一个平面的两直线平行 ⑤平行于同一条直线的两平面平行 ⑥平行于同一个平面的两平面平行
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【例2】 下列命题中，真命题有_______．
①若,,//a b a b αβ⊂⊂，则//αβ；
②若//,//,//,//a a b b αβαβ，则//αβ； ③若,,//a b a αββ⊂⊂，则a b =∅I ；
④若//,//,//,//,a a b b a b A αβαβ=I ，则αβ=∅I ；
【例3】 平行于平面α的a ，b 是两异面直线，且分别在平面α的两侧，,,,A B a C D b ∈∈，
若AC 与α平面交于点M ，BD 与α平面交于点N ．求证：
AM BN
MC ND
=
． A
B
C
D
α
a
b
M
N
【例4】 已知平面//αβ，AB ，CD 为夹在a ，β间的异面线段，E 、F 分别为AB 、CD
的中点．求证：//EF α，//EF β．
【例5】 如图，线段PQ 分别交两个平行平面α、β于A 、B 两点，线段PD 分别交α、β
典例分析
板块三.平行关系的判断与证
明
于C 、D 两点，线段QF 分别交α、β于F 、E 两点，
若9PA =，12AB =，12BQ =，ACF ∆的面积为72，求BDE ∆的面积．
βD Q
B E
α
P
C A
F
【例6】 如图，在四棱锥P ABCD -中，90ABC BCD ︒∠=∠=，1
2
DC AB =
，E 是PB 的中点． 求证：EC ∥平面APD ．
E P
D
A
B
C
【例7】 已知空间四边形ABCD ，E 、F 、G 分别是AB 、BC 、CD 的中点，求证：//
AC 平面EFG ，//BD 平面EFG ．
【例8】 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边 形，E 是PC 的中点．求
证：PA ∥平面BDE ．
O
P
D
B
C
A
E
【例9】 已知空间四边形ABCD ，P 、Q 分别是ABC ∆和BCD ∆的重心，求证：//PQ 平
面ACD ．
【例10】 已知,,,E F G M 分别是四面体的棱,,,AD CD BD BC 的中点，
G F
E
D
C
B A
M
N
求证：//AM 面EFG ．
【例11】 如图，在底面是平行四边形的四棱锥P ABCD -中，点E 在PD 上，且
:2:1PE ED =，F 为棱PC 的中点．求证：BF ∥平面AEC
E P
D
A
B
C
F
【例12】 如图，四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是平行四边形，E 、F 分别是AB 、
PD 的中点． 求证：AF ∥平面PCE ．
C
B
A
D
E
F
P
【例13】 如图，四边形ABCD 是矩形，P ∉面ABCD ，过BC 作平面BCEF 交AP 于E ，交DP
于F ，
求证：四边形BCEF 是梯形．
P
F
E D
C
B
A
【例14】 已知,,,E F G H 为空间四边形ABCD 的边,,,AB BC CD DA 上的点，
⑴若,,,E F G H 都分别是所在边的中点，求证：四边形EFGH 为平行四边形； ⑵若//EH FG ，求证：//EH BD ．
H G
F
E D C
B
A
【例15】 如图，B 为ACD ∆所在平面外一点，M ，N ，G 分别为ABC ∆，ABD ∆，BCD
∆的重心，
⑴求证：平面MNG ∥平面ACD ； ⑵求:MNG ADC S S ∆∆
G
F
D
C B
A
M
N
P
H
【例16】 如图，三棱柱111ABC A B C -中，D 是BC 的中点． 求证：1A C //平面1AB D ．
E
A
B
C
A 1
B 1
C 1
D
【例17】 已知正方体11112ABCD A B C D AB -=，，M 为1BC 与1B C 的交点，N 为11A C 与
11B D 的交点，则MN 的长度为_______．
N
M
D 1
C 1
B 1
A 1
D C
A
【例18】 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1DD 的中点．求证：1B D ∥面11A C E ．
E
F
A
B C
D
B 1
C 1
D 1
A 1
【例19】 如图，正方体1AC 中，点N 在BD 上，点M 在1B C 上，且CM DN =，求证：MN ∥
平面11AA B B ．
D 1
C 1B 1
M B N
F
E
C
D
A 1
A
【例20】 如图所示，正方体1111ABCD A B C D -中，棱长为a ，,M N 分别为1AB 和11A C 上的