18年3月《高等代数选讲》作业考核
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《高等代数选讲》期末考试
一、 单项选择题（每小题4分，共20分）
1 2 3 4 5 D
A
A
C
D
1．设,A B 是n 阶方阵，k 是一正整数，则必有（D ）
() ()k
k
k
A A
B A B =； ()
B A A -=-；
22()
()()C A B A B A B -=-+； ()D AB B A =。
2．设A 为m n ⨯矩阵，B 为n m ⨯矩阵，则（A ）。
()A 若m n >，则0AB =； ()B 若m n <，则0AB =； ()
C 若m n >，则0AB ≠； ()
D 若m n <，则0AB ≠；
3．n
中下列子集是
n
的子空间的为（A ）．
()
{}
3
111[,0,
,0,],n n A W a a a a =∈
()3
2121[,,
,],1,2,
,,1n
n i i i B W a a a a i n a =⎧
⎫
=∈
==⎨⎬⎩⎭∑；
()3
3121[,,
,],1,2,
,,1n n i i i C W a a a a i n a =⎧
⎫
=∈==⎨⎬⎩⎭∏；
， ()
{}3
42[1,,
,],2,3,
,n i D W a a a i n =∈
=
4．3元非齐次线性方程组Ax b =，秩()2r A =，有3个解向量
123,,ααα， 23(1,0,0)T αα-=，12(2,4,6)T a α+=，则Ax b
=的一般解形式为（C ）.
（A ）1(2,4,6)(1,0,0)T T k +，1k 为任意常数 （B ） 1(1,2,3)(1,0,0)T T
k +，1k 为任意常数 （C ）1(1,0,0)(2,4,6)T T
k + ，1k 为任意常数 （D ） 1(1,0,0)(1,2,3)T T k +，1k 为任意常数
5．已知矩阵A 的特征值为1,1,2-，则1
A -的特征值为（D ）
()A 1,1,2-； ()B 2,2,4-； ()C 1,1,0-； ()D 11,1,
2
-。
二、 填空题（共20分）
1．（6分）计算行列式2
2
2
1
112
34234= 2 ；3200
1200
02321
2
4
4
= 16 。 2．（4分）设44411
32145
3332223542
45613
D =，则212223A A A ++= 0 ；
2425A A += 0 。
3．（3分）计算100123100010456001001789010⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
错误!未找到引用源。 。
4．（4分）若242(1)|1x ax bx -++，则a = 1 ；b = -2 。 5．（3分）当λ满足 错误!未找到引用源。 时，方程组
000x y z x y z x y z λλλ++=⎧⎪
++=⎨⎪++=⎩
有唯一解。 三．（10分）计算n 阶行列式：320001320001300000320
1
3
n D =
解：
从而错误!未找到引用源。， 则错误!未找到引用源。
错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。 因此
该等比数列前n+1项的和为：
四．已知矩阵X 满足111221022402110066X -⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦
，求X 解：
设A=错误!未找到引用源。，B=错误!未找到引用源。 计算得错误!未找到引用源。，可知矩阵A 可逆 则错误!未找到引用源。，即错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。
五．（10分）利用综合除法将4()f x x =表示成1x -的方幂和的形
式。
解：使用综合除法
1 1 0 0 0 0 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1
2
3 1 1 2 3
4 1 3 6 1 1 3 6 1 1 4
六．（15分）试就,p t 讨论线性方程组123123
1
234232724
px x x x tx x x tx x
++=⎧⎪
++=⎨⎪++=⎩解的情况，并在有无穷多解时求其通解。 解：设错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。，对错误!未找到引用源。进行初等行变换：
若该非其次线性方程组有无穷多解，需要满足错误!未找到引用源。
增广矩阵第一行元素不全为零 增广矩阵第二行元素不全为零
而增广矩阵第三行元素应全为零，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。
X2=2 X1=2-X3
令X3=k ，则通解为错误!未找到引用源。
七．（15分）设矩阵122212221A ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
， 1． 求矩阵A 的所有特征值与特征向量； 2． 求正交矩阵P ，使得1P AP -为对角矩阵。 解：
1. 错误!未找到引用源。
令错误!未找到引用源。，得A 的特征值为5，-1，-1
将错误!未找到引用源。代入错误!未找到引用源。中得基础解系为错误!未找到引用源。，其对应的全部特征向量为错误!未找到引用源。，其中错误!未找到引用源。为任意非零常数。
将错误!未找到引用源。代入错误!未找到引用源。中得基础解系为错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。，其对应的全部特征向量为错误!未找到引用源。，其中错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。为不全为零的常数
2. 使用施密特正交化法：
将其单位化，得：