自主招生备考：我们能做什么

2014自主招生（数学）解读与备考
2014、1
解析几何部分
一、先看一个问题：
例1、（2011年自主招生华约数学试题14）已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>，12
F F 、分别为C 的左、右焦点。

P 为C 右支上一点，且12=
,3
F PF π
∠ 12F PF ∆
的面积为2．
（Ⅰ）求C 的离心率e ；
（Ⅱ）设A 为C 的左顶点，Q 为第一象限内C 上的任意一点，问是否存在常数(0)λλ>,使得22QF A QAF λ∠=∠恒成立。

若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由． 谈几个问题：
1、北约考察的重点：研究能力（意识与方法）（见2013北约卷）；
2、谈谈题是怎么编的 （1）、机器（2）、理论
结论1、设F 为圆锥曲线焦点，其相应准线为l ，作一直线交圆锥曲线于P A 、两点，交l 于M ，则FM 平分AFP ∠（或其外角）。

点(0,1),E 且与椭圆相交于,C D 两点.
① 求椭圆方程；
② 若直线l 与x 轴相交于点G ，且,GC DE =求k 的值；
③ 设A 为椭圆的下顶点，,AC AD k k 分别为直线,AC AD 的斜率. 证明对任意的
k ，恒有2AC AD k k ⋅=-
x
y
结论2、设),(00y x P 为椭圆)0(12
2
22>>=+b a b
y a x 上一定点，PB PA 、为它的任意两条弦，
斜率分别为21,k k 。

若12k k λ⋅=（注：22b a λ≠），则直线AB 过定点（2222002222
,a b a b x y a b a b
λλλλ++---）。

例3、已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率
是，且经过点(2,1)M ．直线
1
(0)2
y x m m =
+<与椭圆相交于A ，B 两点． （1）求椭圆的方程；（2）求△MAB 的内心的横坐标．
结论3、设),(00y x P 为椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 上一定点，PB PA 、为它的任意两
条弦，斜率分别为21,k k ，若021=+k k ，则直线AB 的斜率是定值0
20
2y a x b k =。

练习1、椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的右准线l 与x 轴的交点为A ， Q 是椭圆右准线l 上
异于点A 的任意一点，21A A 、分别是椭圆的左、右顶点，直线21QA QA 、与椭圆的另一个交点分别为N M 、。

求证直线MN 过定点。

二、我们需要什么？我们能做什么？我讲什么？ 1、知识、意识、意志 椭圆（a ＞b ＞0)和圆O ： 222x y b +=，过椭圆上一点P 引圆O
例4、已知
的两条切线，切点分别为A,B.
（1）①若圆O 过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率e ；
②若椭圆上存在点P ，使得∠APB=90°， 求椭圆离心率的取值范围；
（2）直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点M ，N ，
求证： 为定值。

2、补一点
儿切线知识：
22
22
1x y a b +=22
22
a b ON OM
+
结论4、切线方程公式
设点M ),(00y x 在曲线C 上，则在点M 存在曲线C 的唯一切线l ，可知： （1）若曲线C 为222r y x =+，则切线l 方程为200r y y x x =+；
（2）若曲线C 为)0(122
22>>=+b a b y a x ，则切线l 方程为12020=+b y y a x x ；
（3）若曲线C 为)0,0(122
22>>=-b a b
y a x ，则切线l 方程为12020=-b y y a x x ；
（4）若曲线C 为)0(22>=p px y ，，则切线l 方程为2
20
0x x p y y +=， 即000=+-px y y px （归纳：20x x x →，20y y y →，
x x x →+2
，y y y →+20）
证明：（2）设切线为)(00x x k y y -=-，代入椭圆方程得：1)(2
20022
=+-+b
y kx kx a x ，由直线与曲线相切，得0=∆，可解得0
20
2y a x b k -=，又由122
0220=+b y a x ，可得切线l 方程
为
12020=+b
y
y a x x 。

例5、（1）曲线14
8:22
=+y x C 在点)3,2(处切线为 ； （2）曲线14
8:2
2=-y x C 在点)2,4(处切线为 ； （3）曲线x y C 4:2
=在点)2,1(-处切线为 。

例6、点M )3,5(在椭圆14
8:22
=+y x C 外，直线MB MA 、与椭圆切于点B A 、，则直线AB 的方程为 。

结论5、切点弦所在直线方程公式
设点M ),(00y x 在曲线C 外，过点M 存在曲线C 的两条切线，设两条切线与曲线的切点分别为B A ,，称线段AB 为曲线的切点弦。

设切点弦AB 所在直线为m 。

则： （1）若曲线C 为2
2
2
r y x =+，则切点弦AB 所在直线m 为2
00r y y x x =+；
（2）若曲线C 为)0(122
22>>=+b a b y a x ，切点弦AB 所在直线m 为12020=+b y y a x x ；
（3）若曲线C 为)0,0(122
22>>=-b a b
y a x ，切点弦AB 所在直线m 为12020=-b y y a x x ；
（4）若曲线C 为)0(22>=p px y ，，切点弦AB 所在直线m 的方程为2
20
0x x p y y +=， 即000=+-px y y px 。

（归纳：20x x x →，20y y y →，x x x →+2
，y y y →+20）
证明：
例7、已知抛物线24x y =的焦点为F ，A 、B 是曲线上的两动点， 且(0).AF FB λλ=>过A 、B （I ）证明→
→⋅AB FM 为定值；
（II ）设ABM ∆的面积为S ，求S 的最小值。

例8、已知抛物线24x y =的焦点为F ，过焦点F 且不平行于x 轴的动直线l 交抛物线于
A ，
B 两点，抛物线在A 、B 两点处的切线交于点M ．
（Ⅰ）求证：A ，M ，B 三点的横坐标成等差数列； （Ⅱ）设直线MF 交该抛物线于C ，D 两点，求四边形ACBD 面积的最小值．
结论6、以弦的端点为切点的两条切线的交点的轨迹方程公式
点M ),(00y x 在曲线C 内，设过点M 的弦为AB ，以弦的端点B A 、为切点的两条切线分别为21,l l ，设21,l l 的交点为Q ，则点Q 的轨迹是一直线。

（1）若曲线C 为222r y x =+，则点Q 的轨迹为200r y y x x =+；
（2）若曲线C 为)0(122
22>>=+b a b y a x ，点Q 的轨迹为12020=+b y y a x x ；
（3）若曲线C 为)0,0(122
22>>=-b a b
y a x ，点Q 的轨迹为12020=-b y y a x x ；
（4）若曲线C 为)0(22>=p px y ，，点Q 的轨迹为2
20
0x x p
y y +=，即 证明：（2）设),(11y x Q ，由公式2知道，切点弦AB 所在直线m 为：
12121=+b
y
y a x x ，而点M ),(00y x 在直线m 上，则知道
121
0210=+b
y y a x x ，而这说明点),(11y x Q 的轨迹就是直线
12020=+b
y
y a x x 。

（3）、（4）类似可证明。

例9、点N )2,3(在椭圆14
8:22
=+y x C 内，过点N 的直线交椭圆于点B A ,，椭圆在点B A ,的切线交于点M ，则点M 的轨迹方程为 。

例10、已知椭圆)0(122
22>>=+b a b y a x ，过焦点)0,(c F -的动直线l 交椭圆于B A ,两点，
椭圆在B A ,两点处的切线相交于点Q .
（1）求点Q 的横坐标；（2）证明：→
→
⋅AB QF 是定值； （3）设ABQ ∆的面积为S ，求S 的最小值。

二、总结基本结论
1、怎么研究？
例11、若椭圆22221(0)x y a b a b
+=>>上存在一点P ，使得
12021=∠PA A ，则椭圆离心率
的取值范围是 。

结论7：（1）从椭圆01
:22
22>>=+b a b y a x C ，上的点P 看长轴两端点的视角达最大时，点P 位于 ；（2）从椭圆01
:22
22>>=+b a b y a x C ，上的点P 看两焦点的视角达到最大时，点P 位于： ；（3）从椭圆01
:22
22>>=+b a b
y a x C ，上的点P 看短轴两端点的视角达到最小时，点P 位于 。

例12、A 为椭圆01
:22
22>>=+b a b
y a x C ，上一点，点P 为x 轴上一定点，设||)0,(00AP x x P 为常数。

求，的最值。

若点P 的坐标为),0(0x 呢？
例13、对于抛物线x y 42=上任意一点
，点都满足，则的取值范围是 。

例14、对于曲线)1(122≥=-x y x 满足|1|||-≥a PQ ，则a 结论8、点与圆锥曲线：
例15、如图，椭圆2
2
:14y C x +=x 轴、y 轴分别交于两点,E F ，与椭圆交于两点,C D .
设直线,AD CB 的斜率分别为12,k k ，
若12:2:1k k =，求k 的值. 结论9、
2、结论有什么用？
掌握大量中间结果，将极大地缩短我们的思维过程；掌握大量的结论，有了丰富的学识，才有解决问题的坚定信念。

结论10、抛物线割线理论
（1）过抛物线)0(22
>=p px y 的对称轴上的一点(t,0)的直线l 与抛物线交于两点
),(),(2211y x Q y x P 、，则221t x x =⋅，pt y y 221-=⋅ 。

（2）过抛物线)0(22>=p py x 的对称轴上的一点(0，t)的直线与抛物线交于两点
),(),(2211y x Q y x P 、，则pt x x 221-=⋅，221t y y =⋅ 。

（3）过抛物线)0(22>-=p px y 的对称轴上的一点(t,0)的直线l 与抛物线交于两点
),(),(2211y x Q y x P 、，则221t x x =⋅，pt y y 221=⋅ 。

（4）过抛物线)0(22>-=p py x 的对称轴上的一点(0，t)的直线与抛物线交于两点
),(),(2211y x Q y x P 、，则pt x x 221=⋅，221t y y =⋅ 。

证明：
例16、O 为坐标原点，B A 、是抛物线x y 92
=上异于O 设OB OA 、的斜率分别是21k k 、，且321-=k k ， （1）求证直线AB 过定点。

（2）求AOB S ∆的最小值。

例17、点A 、B 为抛物线x y 42=上原点以外的两个动点， 已知AB OM OB OA ⊥⊥，，求点M 的轨迹方程。

结论11：O 为坐标原点，B A 、是抛物线px y 22
=上异于O 的两个动点，设OB OA 、的斜率分别是21k k 、，且121-=k k ，则直线AB 过定点)0,2(p 。

例18、设),(),(2211y x B y x A 、为抛物线)0(22
>=p px y 上位于x 轴两侧的两点。

（1）若p y y 221-=，求证直线AB 恒过一个定点； （2）若2=p ，AOB ∠是钝角，求直线AB 在x 轴上的
截距的取值范围。

例19、一道题是怎么编出来的？
如题：过)0,(t A -)0(>t 的直线交抛物线)0(22>=p px y 于E 、F 两点， A /(t,0)。

求证：直线A /E ，A /F 的斜率之和是定值。

例20、在平面直角坐标系xOy 中，设点(,),(4,)P x y M y -，以线段PM 为直径的圆经过原点O .
（Ⅰ）求动点P 的轨迹W 的方程；（答案：24y x =）
（Ⅱ）过点(4,0)E -的直线l 与轨迹W 交于两点,A B ，点A 关于x 轴的对称点为'A ，试判断直线'A B 是否恒过一个定点，并证明你的结论. 4、我们还需要什么？探究意识，几何意识 例21、（2011年高考（四川卷）21）椭圆两顶点(1,0)A -、(1,0)B ，过其焦点(0,1)F 的直线l 与椭圆交于,C D 两点，并与x 轴交于点P ．直线AC 与直线BD 交于点Q ．
（I ）当||CD =
求直线l 的方程； （II ）当点P 异于,A B 两点时，求证：OP OQ →
→
⋅为定值。

5、总结基本结论
回到前面的结论，类似结论10的问题在圆中是很简单的：从圆上一定点出发的两条垂直的弦的另一端点的连线当然过定点（圆心）。

对于其它圆锥曲线都有相应结论，结论10只是下面更一般结论的一个特例：
结论12、设曲线C ：抛物线)0(22
>=p px y ，，),(00y x P 为圆锥曲线C 上一定点，
PB PA 、为它的任意两条弦，21k k 、分别是直线PB PA 、的斜率，12,αα分别是直线PB PA 、的倾斜角。

（1）若t k k =21，t 是定值，则直线AB 所过定点是（00,2y t
p
x --
）。

（2）当t k k =+21（0t ≠），t 是定值时，直线AB 过定点（t
p
y t y x 2,2000+--
）。

（3）当12t αα+=（t 是定值，tan t 存在且不为0）时，则直线AB 过定点
（t
p
y t y p x tan 2,tan 22000+
--
-）。

（4）当120k k +=（即12ααπ+=）时，直线AB 有定向(即斜率是常数0
y p k -=
)。

例22、已知动圆过定点,02p ⎛⎫
⎪⎝⎭
，且与直线2p x =-相切，其中0p >.
（I ）求动圆圆心C 的轨迹的方程；
（II ）设A 、B 是轨迹C 上的两个不同点，直线OA 和OB 的倾斜角分别为α和β，当,αβ变化且αβ+为定值(0)θθπ<<时，证明直线AB 恒过定点，并求出该定点的坐标. 怎么证明，如何使用？
例23、过定点A (1，2)做△ABC ，使∠BAC =90°，且动点B 、C 在24y x =对应的曲线M 上移动（B 、C 不在坐标轴上），则直线BC 过定点 。

类似的，其它曲线会有什么结论呢？ （1）、下面的题你怎么处理？ 例24、已知焦点在x 轴上的椭圆C 过点(0,1)
，且离心率为
（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）已知过点6
(,0)5
-的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点.
若直线l 与x 轴不垂直，是否存在直线l 使得QAB ∆如果存在，求出直线l 的方程；如果不存在，请说明理由.
【分析】（ⅱ）当直线l 与x 轴不垂直时，由题意可设直线AB 的方程为
6
()(0)5
y k x k =+≠.
由226(),514
y k x x y ⎧
=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y 得：2222(25100)2401441000k x k x k +++-=. 再看一个题：
结论13、设),(00y x P 为椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 上一定点，PB PA 、为它的任意两
条弦，斜率分别为21,k k 。

（1）若121-=⋅k k ，则直线AB 过定点（02
22
202222,y b
a b a x b a b a +--+-）； （2）若12k k λ⋅=（注：22b a λ≠），则直线AB 过定点（2222
02222,a b a b x y a b a b
λλλλ++---）。

（3）若22
21a b k k =，则直线AB 有定向（当AB 斜率存在时，有0
0x y k AB -=）
结论14、设),(00y x P 为双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 上一定点，PB PA 、为它的任
意两条弦，21k k ，分别是PB PA 、的斜率。

（1）若021=+k k ，则直线AB 斜率是常数：0
2
02y a x b -
；
（2）若22
21a b k k -=，则直线AB 有定向（当AB 斜率存在时，有0
0x y k AB -=）
（3）若121-=k k ，则直线AB 过定点（02
22
202222,y b
a b
a x
b a b a -+--+）； （4）若12k k λ=（注：22b a λ≠-），则直线AB 过定点（2222002222
,a b a b
x y a b a b
λλλλ---++）。

结论15、设),(00y x P 为圆锥曲线C 上一定点，PB PA 、为它的任意两条弦，21k k 、分别是直线PB PA 、的斜率，当21k k 、21k k +、
2
1
k k 、2172k k +、…… 等等为定值时，直线AB 过定点（或AB k 为常数）。

6、最终要解决的是信心的问题
例25、已知椭圆2222:1x y M a b
+=(0)a b >>且椭圆上一点与椭圆的两
个焦点构成的三角形周长为246+．
（Ⅰ）求椭圆M 的方程；
（Ⅱ）设直线l 与椭圆M 交于,A B 两点，且以AB
为直径的圆过椭圆的右顶点C ，求ABC ∆面积的最大值．
解：（Ⅰ）椭圆M 的方程为19
22
=+y x . （Ⅱ）设直线AB 的方程x ky m =+.（为什么这样设直线方程？） 由22,1,9
x ky m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去x 得222(9)290k y kmy m +++-=， 设),(11y x A ，),(22y x B ，则有12229km y y k +=-+，212299
m y y k -=+. ① 因为以AB 为直径的圆过点C ，所以 0CA CB ⋅=.
由 1122(3,),(3,)CA x y CB x y =-=-，得 1212(3)(3)0x x y y --+=.
将1122,x ky m x ky m =+=+代入，得221212(1)(3)()(3)0k y y k m y y m ++-++-=.
将 ① 代入上式，22
22292(1)(3)()(3)099m km k k m m k k -++--+-=++ （下面你还想干点儿什么？）
例26、已知点M (－2,0),N (2,0),动点P 满足条件|PM |－|PN
记动点P 的轨迹为W . (Ⅰ)求W 的方程;
(Ⅱ)若A ,B 是W 上的不同两点,O 是坐标原点,求→
→⋅OB OA 的最小值. 解:(Ⅰ) W
的方程为22
1,22
x y x -=≥练习
1、已知椭圆)0(1:22
22>>=+b a b
y a x C 的离心率为,21以原点O 为圆心，椭圆的短半轴
长为半径的圆与直线06=+-y x 相切。

（I ）求椭圆C 的方程；
（II ）设P （4，0），A ，B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PB 交椭
圆C 于另一点E ，证明直线AE 与x 轴交于定点Q ；
（III ）在（II ）条件下，过点Q 的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，求ON OM ⋅的取值范
围。

2、过抛物线24x y =的焦点F 的直线与抛物线交于M ，N 两点，过M ，N 两点分别作抛物线的切线，这两条切线的交点为T ．
（Ⅰ）求FT MN ⋅的值；
（Ⅱ）求证：FT 是MF 和NF 的等比中项．。