自主招生备考：我们能做什么

2014自主招生（数学）解读与备考

2014、1

解析几何部分

一、先看一个问题：

例1、（2011年自主招生华约数学试题14）已知双曲线22

22:1(0,0)x y C a b a b

-=>>，12

F F 、分别为C 的左、右焦点。P 为C 右支上一点，且12=

,3

F PF π

∠ 12F PF ∆

的面积为2．

（Ⅰ）求C 的离心率e ；

（Ⅱ）设A 为C 的左顶点，Q 为第一象限内C 上的任意一点，问是否存在常数(0)λλ>,使得22QF A QAF λ∠=∠恒成立。若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由． 谈几个问题：

1、北约考察的重点：研究能力（意识与方法）（见2013北约卷）；

2、谈谈题是怎么编的 （1）、机器（2）、理论

结论1、设F 为圆锥曲线焦点，其相应准线为l ，作一直线交圆锥曲线于P A 、两点，交l 于M ，则FM 平分AFP ∠（或其外角）。

点(0,1),E 且与椭圆相交于,C D 两点.

① 求椭圆方程；

② 若直线l 与x 轴相交于点G ，且,GC DE =求k 的值；

③ 设A 为椭圆的下顶点，,AC AD k k 分别为直线,AC AD 的斜率. 证明对任意的

k ，恒有2AC AD k k ⋅=-

x

y

结论2、设),(00y x P 为椭圆)0(12

2

22>>=+b a b

y a x 上一定点，PB PA 、为它的任意两条弦，

斜率分别为21,k k 。 若12k k λ⋅=（注：22b a λ≠），则直线AB 过定点（2222002222

,a b a b x y a b a b

λλλλ++---）。 例3、已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率

是，且经过点(2,1)M ．直线

1

(0)2

y x m m =

+<与椭圆相交于A ，B 两点． （1）求椭圆的方程；（2）求△MAB 的内心的横坐标．

结论3、设),(00y x P 为椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 上一定点，PB PA 、为它的任意两

条弦，斜率分别为21,k k ，若021=+k k ，则直线AB 的斜率是定值0

20

2y a x b k =。

练习1、椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 的右准线l 与x 轴的交点为A ， Q 是椭圆右准线l 上

异于点A 的任意一点，21A A 、分别是椭圆的左、右顶点，直线21QA QA 、与椭圆的另一个交点分别为N M 、。求证直线MN 过定点。

二、我们需要什么？我们能做什么？我讲什么？ 1、知识、意识、意志 椭圆（a ＞b ＞0)和圆O ： 222x y b +=，过椭圆上一点P 引圆O

例4、已知

的两条切线，切点分别为A,B.

（1）①若圆O 过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率e ；

②若椭圆上存在点P ，使得∠APB=90°， 求椭圆离心率的取值范围；

（2）直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点M ，N ，

求证： 为定值。 2、补一点

儿切线知识：

22

22

1x y a b +=22

22

a b ON OM

+

结论4、切线方程公式

设点M ),(00y x 在曲线C 上，则在点M 存在曲线C 的唯一切线l ，可知： （1）若曲线C 为222r y x =+，则切线l 方程为200r y y x x =+；

（2）若曲线C 为)0(122

22>>=+b a b y a x ，则切线l 方程为12020=+b y y a x x ；

（3）若曲线C 为)0,0(122

22>>=-b a b

y a x ，则切线l 方程为12020=-b y y a x x ；

（4）若曲线C 为)0(22>=p px y ，，则切线l 方程为2

20

0x x p y y +=， 即000=+-px y y px （归纳：20x x x →，20y y y →，

x x x →+2

，y y y →+20）

证明：（2）设切线为)(00x x k y y -=-，代入椭圆方程得：1)(2

20022

=+-+b

y kx kx a x ，由直线与曲线相切，得0=∆，可解得0

20

2y a x b k -=，又由122

0220=+b y a x ，可得切线l 方程

为

12020=+b

y

y a x x 。 例5、（1）曲线14

8:22

=+y x C 在点)3,2(处切线为 ； （2）曲线14

8:2

2=-y x C 在点)2,4(处切线为 ； （3）曲线x y C 4:2

=在点)2,1(-处切线为 。

例6、点M )3,5(在椭圆14

8:22

=+y x C 外，直线MB MA 、与椭圆切于点B A 、，则直线AB 的方程为 。

结论5、切点弦所在直线方程公式

设点M ),(00y x 在曲线C 外，过点M 存在曲线C 的两条切线，设两条切线与曲线的切点分别为B A ,，称线段AB 为曲线的切点弦。设切点弦AB 所在直线为m 。则： （1）若曲线C 为2

2

2

r y x =+，则切点弦AB 所在直线m 为2

00r y y x x =+；