向量法求异面直线的距离解法探求

向量法求异面直线的距离解法探求

空间异面直线的距离问题是立体几何的重点，难点，同时也是历届高考试题的热点问题。

如何很好地利用向量法求解这类问题又是一个值得探讨与研究的问题。下举例谈谈向量法求解这类问题的基本方法与策略。

一、 定义法：

例1、如图1，正方形ABCD 与ABEF 成600的二面角，且

正大光明方形的边长为，M ，N 分别为BD ，EF 的中点，求异

面直线BD 与EF 的距离。 解析：选取为,,,AB AF AD 基向量。显然AF AD ,的夹角为600，AD AB ,的夹角为900，AF AB ,的夹角为900，AD AF AB AD AF AB AD FE DF BD FN DF MD MN 2121)()(212121-=+-+-=++=++= EF MN EF MN AB AD AB AF AB AD AF FE MN BD MN BD MN a a AB AD AB AF AD AD AF AB AD AD AF BD MN ⊥⊥∴=⋅-⋅=⋅-=⋅⊥⊥∴=+--=⋅+⋅--⋅=-⋅-=⋅∴即又即）（,021)2

1(.,,0002160cos 2

121)21(2022从而MN 为异面直线BD 与EF 的公垂线。

,2

3||434160cos 41)21(||2202222222a MN a a a a AD AD AF AF AD AF MN MN ==+-=+⋅-=-== 异面直线BD 与EF 的距离为a 2

3。 点评：本题利用向量数量积定义，很好地证明MN 为异面直线的公垂线。然后利用向量

模与数量积的关系，巧妙进行了模与向量的转化，解法自然，回味无穷。

二、射影法：

分别以这两异面直线上任意两点为起点和终点的向量为a ，与这两条异面直线都垂直的

法向量为n ，则两异面直线间的距离是a 在n 方向上的正射影向量的模设为d ，从而由公式|||

|n n a d ⋅=求解。

例2、如图2，四棱锥P-ABCD 的底面是正方形，

,PA ABCD ⊥底面33PA AB a ==，求异面直线AB 与PC 的距离。

解析：以A 为坐标原点，AB 为x 轴建立如图所示的直角坐标系，则B

（a,0,0）,C(a,a,o),P(0,0,3a)，则)3,,(),0,0,(a a a PC a AB -==，

设PC AB ,的公垂线的方向向量为),,(z y x n =由

⎩

⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-+=⋅==⋅z y x az ay ax PC n ax AB n 30030，不妨令x=0,y=1,z=3则有)3,1,0(=n ，又)3,0,0(a AP =，∴AB 与PC 间的距离为：a a n AP n d 1010910

9|||

|==⋅=。 点评：异面直线公垂线难于确定时，可用向量法求异面间的距离。这种方法的关键是利

用待定系数法确定公垂线的方向向量n 。

三、公式法

设异面直线AE ，BF 所成的角为θ，设d 为异面直线的公垂线，E ，F 为直线AE ，BF 上任一点，若能求出||EF 的长，从而有：)cos 2(||222θmn n m EF d ±+-= 例３、如图，已知二面角βια--的大小为600, A ，C 分别为平面αβ,内一点，过Ａ、Ｃ分别作棱ι的垂线，垂足为Ｂ，Ｄ，若ＡＣ＝６，ＣＤ＝ＡＢ＝４，求异面直线ＡＢ与ＣＤ的距离。 解析：由已知异面直线ＡＢ，ＣＤ所成的角为６０

０,CD BD AB BD ⊥⊥,BD 从而知ＢＤ为异面直线的公垂线。

5

2||,20)60cos ||||2|||(|||||60cos ||||2||||||2(2)

()(||022220

2222222222=∴=⨯-+-==⇒⨯-++=⋅+++=⋅+⋅+⋅+++=++⋅++=⋅=BD DC AB DC AB AC BD DC AB DC BD AB DC AB DC BD AB CD BD DC AB BD AB DC BD AB DC BD AB DC BD AB AC AC AC ）

• 即异面直线ＡＢ与ＣＤ的距离为52。

点评：利用异面直线两点的距离公式求异面直线的距离主要是理解公式中的具体涵义，

特别要注意“±”的确定及两异面直线所成的角与二面角的大小关系。

四、转化法

如图4，过其中一条异面直线b 上的一点A 作与另一条a 平

行的直线a 1，于是异面直线的距离就可转化为直线 a 到平面α

的距离，最后可转化为在直线 a 上取一点到平面α的距离。从

而可借用向量的射影法求解。

例４、如图5，在底面是菱形的四棱锥P —ABC Ｄ中，∠

ABC=600，PA=AB=a ，PB=PD=a 2,点E 在PD 上，且PE:ED=2:1.

求异面直线PB 与CE 的距离。

解析：由PE:ED=2:1知，在BD 上取点F 使BF ：BD=2：1，易知

PB//EF ，从而PB//平面CEF ，于是只需求直线PB 到平面CEF 的距离，

即可求点P 到平面CEF 的距离。以A 为坐标原点，AD 为y 轴,建立

如图所示的直角坐标系，由已知, P （0,0,a ）)0,21,23(a a C , )0,21,63(a a F ,)3

1,32,0(a a E 则)0,0,3

3(),31,61,23(),32,32,0(a CF a a a CE a a PE -=-=-=，设平面CEF 的法向量为),,(z y x n =则⎩⎨⎧=+=⇒⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧=-=⋅=++=⋅0200330316123z y x ax CF n az ay ax CE n ，于是令

x=0,y=－2,z=1，则)1,2,0(-=n ∴PB 到平面CEF 间的距离为：a a a n PE n d 5525

|3234||||

|=---=⋅=，从而异面直线PB 与CE 的距离为a 552。 点评：本题较好地通过线面平行将异面直线的距离转化为线面距，进而利用平面内任斜

线方向向量到平面一法向量的投影成功求得点面距即为所求的异面直线的距离。转化巧妙，

关键是构造法向量。

五、最值法