地图学第二编地图投影

作大比例尺地图时必须wenku.baidu.com地球视为椭球体。
二、地图表面和地球球面的矛盾
地图通常是绘在平面介质上的，而地球体表面是曲面， 因此制图时首先需要把曲面展成平面，然而，球面是个不可 展的曲面，要把球面直接展成平面，必然要发生断裂或褶皱。 无论是将球面沿经线切开，或是沿纬线切开，或是在极点结 合，或是在赤道结合，他们都是有裂隙的。
地图投影的实质是将地球椭球 面上的经纬网按一定的数学法 则转移到平面上。经纬线网是
绘制地图的“基础”，是地图 的主要数学要素。
四、地图投影的方法
1.几何投影（透视投影） 假想地球是一个透明体，光源位于球心，然后把球面上的经纬网投 影到平面上，就得到一张球面经纬网投影。所不同的是，地图投影面 除了平面之外，还有可展成平面的圆柱面和圆锥面；光源除了位于球
通常研究长度比时，不一一研究各个方向的长度比，而
只研究一些特定方向的长度比，即研究最大长度比（a）和最 小长度比（b）,经线长度比（m）和纬线长度比（n）。投影
后经纬线成直交者，经纬线长度比就是最大和最小长度比。
用长度比可以说明长度变形。所谓长度变形就是长度比 （μ）与1之差，用v表示长度变形则：v=μ-1
三、地图投影的概念
球面上任一点的位置是用地理坐标（φ、λ）表 示的，而平面上点的位置是用直角坐标（纵坐标是x, 横坐标是y）表示的，所以要将地球球面上的点转移到 平面上，必须采用一定的数学方法来确定地理坐标与
平面坐标之间的关系。这种在球面和平面之间建立点 与点之间函数关系的数学方法，称为地图投影。
P=dF’/dF=abπ/π12=ab 上式说明面积比等于主方向长度比的乘积。若经纬线方向
就是主方向时：P=mn 若经纬线方向不是主方向时，则面积比: P=mnsinθ(θ为投影后经纬线夹角)
面积比是个变量，它随点位置不同而变化。面积变形就是面 积比与1之差，以Vp表示。
Vp=p-1 面积变形有正有负，面积变形为零，表示投影后面积无
由此可知，长度变形有正负之分，长度变形为正，表示 投影后长度增加；长度变形为负表示投影后长度缩短；长度 变形为零，则长度无变形。
b.面积比与面积变形
投影平面上的微小面积与球面上相应微小面积之比，称为 面积比。以投影面上变形椭圆的面积dF’=abπ,相应球面上微 小圆的面积dF=π12为例，以P表示面积比，则:
X=f1(φ、λ) Y=f2(φ、λ)
球面上任意一点的位置决 定于它的经纬度，所以实际投 影时是先将一些经纬线的交点 展绘在平面上，再将相同经度 的点连成经线，相同纬度的点 连成纬线，构成经纬线网。有 了经纬线网后，就可以将球面 上的地理事物，按照其所在的 经纬度，用一定的符号画在平 面上相应位置处。由此看来，
心之外，还可以在球面、球外，或无穷远处等。象这样利用光源把地 球面上的经纬网投影到平面上的方法叫做几何投影或者几何透视法。
这是人们最早用来解决地球球面和地图平面这一对矛盾的一种方法。
2.解析法
所谓解析法就是不借助于几何投 影光源（而仅仅借助于几何投影的 方式），按照某些条件用数学分析 法确定球面与平面之间点与点之间 一一对应的函数关系。
变形，面积变形为正，表示投影后面积增加；面积变形为负，
表示投影后面积缩小。
c.角度变形
投影面上任意两方向线所夹角与球面上相应两方向线夹 角之差，称为角度变形。过一点可以做许多方向线，每两条 方向线均可以组成一个角度，这些角度投影到平面上之后， 往往与原来的大小不一样，而且不同的方向线组成的角度产 生的变形一般也不一样。
比较
3 投影变形的相关概念 a.长度比和长度变形
设地球球面上有一微小线段ds,投影到平面上为ds’,如 图所示。
ds
ds’
平面上微小线段与球面上相应微小线段之比，叫做长度 比。用公式表示为：
μ=ds’/ds 长度比是一个变量，它不仅随着点的位置不同而变化， 还随着方向的变化而变化。长度比是指某点某方向上微小 线段之比。
2 研究变形的方法
研究各种投影的变形规律是通过把投影后的经纬线网 与地球仪上经纬线网格比较而实现的。为了研究变形，首
先让我们分析一下地球仪上经纬网的特点：
1.地球仪上所有经线圈都是通过两极的大圆；长度相 等；所有纬线除赤道是大圆外，其余都是小圆，并且从赤 道向两极越来越小，极地成为一点。
2.经线表示南北方向；纬线表示东西方向。 3.经线和纬线是相互垂直的。 4.纬差相等的经线弧长相等；同一条纬线上经差相等 的纬线弧长相等，在不同的纬线上，经差相等的纬线弧长 不等，而是从赤道向两极逐渐缩小的。 5.同一纬度带内，经差相同的经纬线网格面积相等， 不同纬度带内，网格面积不等，同一经度带内，纬度越高， 梯形面积越小。由低纬向高纬逐渐缩小。
一、地球的形状和大小
地球的形状近似于一个球体，但并不是一个正球体，而是一个极 半径略短、赤道半径略长，北极略突出、南极略扁平，近似于梨形 的椭球体。这个不规则的地球体满足不了测绘工作的需要，于是人
们选择了一个最接近地球形状的旋转椭圆体表示地球，称为地球椭球 体。
我国1953年以前采用海福特椭球体，从1953年起采用克拉索夫斯基 椭球体，它的长半径a=6378245m，短半径b=6356863m ，偏率d=ab/a=1：298.3 由于地球椭球体长短半径差值很小，约21km，在制作小比例尺地图 时，因为缩小的程度很大，如制作1：1000万地图，地球椭球体缩小 1000万倍，这时长短半径之差只是2.1mm，所以在制作小比例尺地图 时，可忽略地球扁率，将地球视为圆球体，地球半径为6371km。制
X=f1(φ、λ) Y=f2(φ、λ) 函数的f1f2具体形式，是由给定的 投影条件确定的。有了这种对应关 系式，就可把球面上的经纬网交点 表示到平面上了。
五 地图投影的变形
1 变形的概念 由于球面是一个不可直接展成平面的曲面，因此无论采用什么投
影方法，投影后经纬网的形状与球面上的经纬网形状不完全相似。 这表明地图上的经纬网发生了变形。因而根据地理坐标展绘在地图 上的各种地面事物也必然发生了变形。为了正确使用地图，必须了 解投影后产生得变形，所以投影变形问题是地图投影的重要组成部 分。研究各种投影变形的大小和分布规律，具有重大的实际应用价 值。