计算固体力学7_ALE公式

结论是，在弱形式中的材料速度的时间导数为
v dv I (t ) N I (ξ) c(ξ, t ) N I (ξ ) v I (t ) dt
对于密度的材料时间导数，应用同样的过程，给出
d I (t ) N I (ξ ) c(ξ, t ) N I (ξ ) I (t ) dt
[X ]
x j i
wi f , t [ ] f , j c j
(7.2.17)
利用空间梯度建立材料时间导数的表达式
Df f , t [Χ ] c grad f f , t [Χ ] c f Dt
f 若代表是速度，上式为加速度
i vi ,t[ ] vi , j c j v
4 ALE控制方程
连续方程(质量守恒)
vk , k 0
动量方程
或者
,t[ ] ,i ci vk , k 0
i (vi , t[ ] vi , j c j ) ji , j bi v
能量方程
(E,t[ ] E,i ci ) ij Dij bi vi (kij , j ),i s
[X ]
材料速度和网格速度的差
xi (χ , t ) j (X, t ) xi (χ , t ) ˆi ci vi v wj j t j
2 ALE连续介质力学
代入
Df f x j i f , t[ ] Dt x j i t f , t[ ] f , j
解决：在发生严重大变形的模拟中，重新划分网格是不 可避免的，工作量大，而且由于网格投影引入了误差。
1 引言
一个 Lagrangian 网格像在材料上的 蚀刻：当材料变形 时，蚀刻(和单元) 随着变形。 一个 Eulerian 网 格像放在材料前面 一薄片玻璃上的蚀 刻：当材料变形时， 蚀刻不变形，而材 料横穿过网格。
Initial configuration
Uniform adaptivity
Solution-dependent adaptivity
Deformation of a rubber seal
1 引言
在某些问题中， Lagrangian 方法是根本不适用 的。例如，对于高速流动的流体力学问题，如围绕 机翼的区域，喷射等。 在 Eulerian 有限元中，网格与物质是相互独立 的，网格在空间上是固定的，材料从网格中流过。 这样 Eulerian 有限元不会随着材料运动而扭曲；但 是，由于材料通过单元对流，本构方程的处理和更 新是复杂的。 应用Eulerian单元处理移动边界和相互作用问题 是困难的，因此，发展了ALE。
2 ALE连续介质力学
在ALE算法中，网格运动是预先设置的或者是由计算得到的。 网格位移 网格速度 网格加速度
ˆ (χ , t ) χ ˆ (χ , t ) x χ Φ u
ˆ (χ, t ) Φ ˆ Φ ˆ , [χ ] ˆ (χ , t ) v Φ t t t
1 引言
Mesh adaptivity is
based on solution variables as well as minimum element distortion Elements concentrate in areas where they are needed Adaptation is based on boundary curvature
1 如果给定
ˆ 。 ˆ 和加速度 a ˆ ，可以计算位移 d v
应用显式积分算法和中心差分算法，而不需要计算相对速度w 。
2 如果 3 给定
ˆ 未知，给定了 w ，在更新网格前求解上式计算 v v ˆ 。 ˆ 和 w 的分量形式，混合算法 。 v
密度的形状函数，可能不同于网格运动的形状函数
速度的材料时间导数
v, t[ ] c v v
在离散运动方程中的动力学项将以网格加速度v,t表示， 通过积分和插值，给出材料速度为
v(χ ( ),t ) v I (t ) N I ( )
应用类似的插值，得到传递速度为 c(χ(ξ), t ) c I (t ) N I (ξ)
坐标之间的转换关系见例7.1。
3 ALE守恒规则
守恒规则，在形式上与在第3章Eulerian描述中的那些几乎 相同，唯一的修改是用材料时间导数的ALE形式(7.2.17)代替所 有的材料时间导数，其结果是在更新的L格式中的Eulerian描述 和ALE描述之间的唯一区别是材料时间导数项。 与在第4章中建立的Lagrangian格式的主要区别是，现在需 要以偏微分方程 ( 即连续方程) 的形式考虑质量守恒方程，因为 域随时间变化，质量亦随时间变化。 因此，我们几乎总是在处理两个系统的偏微分方程：标量 连续方程和向量动量方程。当它们与热交换或者其它能量转换 耦合时，还必须包括能量方程。
网格运动给出为
节点的运动
ˆ h (χ(ξ e ),t ) x I (t ) N I (ξ e ) x(ξ e ) φ
这代表两个映射复合：从母单元到ALE的映射和网格运动的映射 网格速度为
ˆ h (χ , t ) φ I (t ) N I (ξ e ) v ˆ I (t ) N I (ξ e ) v x t
1 引言
Lagrangian网格，材料点与网 格点保持重合，单元随材料变 形，适合描述固体与结构的变 形，但容易严重扭曲。 解决方法：ALE网格 (Arbitrary Lagrangian Eulerian) 节点能够有序地任意运动，在 边界上的节点保持在边界上运 动，内部的节点运动使网格扭 曲最小化。
ˆ ( χ , t ) 2u ˆ (χ , t ) v ˆ ˆ ,tt[ χ ] a u 2 t t
ALE网格的加速度和速度没有任何物理意义。当网格是 Lagrangian 时，它们对应于材料速度和加速度。
定义传递速度 c，作为材料速度和网格速度之间的差
ˆi ci vi v
ˆi c＝0，为L格式；c＝v，( v 0
) 为E格式。
vi ˆi v
ci
2 ALE连续介质力学
考虑一个指定的函数
f (χ , t ) 为ALE坐标 χ 和时间t 的函数
Df (χ , t ) f (χ , t ) f (χ , t ) i ( X, t ) f , f i f t[ ] Dt t i t i t
节点I 的网格速度
5 弱形式
有限元近似
Lagrangian、Eulerian、ALE和自然坐标域之间的映射 即单元坐标、网格坐标、空间坐标和材料坐标之间的映射
5 弱形式
有限元近似
在ALE格式中，密度也是一个非独立变量。密度被近似为
( e , t ) I (t ) N I ( e )
2 ALE连续介质力学
相对运动关系
材料坐标与空间坐标 空间坐标与ALE坐标
ALE坐标与材料坐标
x φ (X, t )
ALE坐标（参考）
ˆ (χ , t ) xφ
ˆ 1 (x, t ) Φ ˆ 1 (Φ(X, t ),t ) Ψ(X, t ) χ Φ
在Lagrangian、Eulerian和ALE域之间的映射
M I [M I J ] ( N I N J d )I
L I[LI J ] ( N I ci N J ,i d )I
f int [ f iIint ] N I , j ij d
f ext [ f iIext ] N I bi d N I ti d
ti
注意到除了它们是以变分形状函数的形式定义之外，内部和外部 节点力与更新的 Lagrangian格式（框4.3）中的对应项是一致的。 质量矩阵不是时间的常量，因为密度和域随时间变化。
6 网格更新算法
在 ALE 中，网格可以任意移动给出了大变形的可能性。通过 ALE 移动边界（指物理表面）能够利用 Lagrangian 的精确特性来 循迹，内部网格也可以移动以避免过渡的单元扭曲。然而这需要 一种有效的算法来更新网格，即网格速度 v ˆ 必须给定，以避免 网格扭曲和保证边界和接触面至少局部地保持Lagrangian 。
5 弱形式
有限元矩阵
连续方程
dρ d J dt dt
ρ [ J ]
M
d L ρ K ρ 0 dt
容量、转换和散度矩阵分别为
M [M IJ ] N I N , i d
基本位移边界
在
ui 上
(χ , t ) (χ , t )
初始条件
(X,0) 0 (X)
(X,0) 0 (X)
在 u 上
5 弱形式
有限元近似
对于单元e，ALE坐标给出为
单元e坐标
χ (ξ e ) e (ξ e ) χ I N I (ξ e )
参考质点速度w 对于材料速度
wi
i ( X, t ) i t t
[ X]
χ Ψ(X, t )
ˆ (Ψ(X, t ),t ) Φ ˆ Ψ x Φ(X, t ) Φ
vj j ( X, t ) t ˆ (χ , t ) j t ˆ (χ , t ) Ψ ( X, t ) j i i t x j i ˆj v i t
K [K IJ ] N I vi ,i N J d
动量方程
M
dv Lv f int f ext dt
M和L分别是广义质量和传递矩阵，对应于在参考构形下的速度
5 弱形式
有限元矩阵
动量方程
M
v [v J ]
dv Lv f int f ext dt
dv dvJ dt dt
计算固体力学
非线性有限元
第7章 任意的Lagrangian和 Eulerian公式
第7章 任意的Lagrangian 和Eulerian公式
1
2
3
4
5 6
7
引言 ALE连续介质力学 ALE守恒规则 ALE控制方程 弱形式 网格更新算法 Petrov-Galerkin方法
1 引言
提出：许多问题应用Lagrangian网格不能有效地解决。 问题：当材料严重变形时， Lagrangian 单元同样发生严 重的扭曲，因为它们随材料一起变形，从而恶化了这些 单元的近似精度，特别是对于高阶单元。因此，在积分 点的Jacobian 行列式可能成为负值，从而使计算中止或 者引起严重的局部误差。此外，也恶化了线性化牛顿方 程的条件，并且显式稳定时间步长明显地下降。
自然边界条件
ti (χ , t ) n j (χ , t ) ji (χ , t )
ui (χ , t ) ui (χ , t )
在 ti 上 在 Γq 上
qi (χ , t ) kij ( ,χ , t ) , j (χ , t ) ki ( , t )( 0 )
5 弱形式
有限元近似
ˆi 得到 由传递速度公式 ci vi v
ˆ I (t ))N I (ξ) c(χ(ξ), t ) ( v I (t ) v
材料速度的ALE时间导数
v, t [ ] dv I (t ) N I ( ) dt
v(χ ( ),t ) v I (t ) N I ( )
对应于域边界在每一时刻均已知的分析，预先给定网格运 动。当域边界有一个已知的运动时，网格随这一边界的运动可 以预先给定。
6 网格更新算法
建立材料和网格速度的关系，只有给定其中一个，自动确定另一个
xi (χ , t ) j (X, t ) xi (χ , t ) ˆi ci vi v wj j t j