正项级数收敛性的一般判别原则

正项级数收敛性的一般判别原则

若级数各项的符号都相同，则称为同号级数。而对于同号级数，只须研究各项都由正数组成的级数——正项级数。因负项级数同正项级数仅相差一个负号，而这并不影响其收敛性。

定理12.2.1 正项级数

∑∞

=1

n n

u

收敛⇔部分和数列{}n S 有界。

证明：由于对n ∀，0>n u ，故{}n S 是递增的，因此，有

∑∞

=1

n n

u

收敛⇔{}n S 收敛⇔{}n S 有界。

定理12-2-2（比较原则） 设∑∞

=1

n n

u

和

∑∞

=1

n n

v

均为正项级数，如果存在某个正数N ，使

得对

N n >∀都有

n n v u ≤， 则 （1）若级数

∑∞

=1n n

v

收敛，则级数

∑∞

=1n n

u

也收敛；

（2）若级数

∑∞

=1

n n

u

发散，则级数

∑∞

=1

n n

v

也发散。

证明：由定义及定理12-2-1即可得。 例1、考察

∑∞

=+-1

2

11

n n n 的收敛性。 解：由于当2≥n 时，有

2

22)1(1)1(1111-≤-=-≤+-n n n n n n n ，

因正项级数∑∞

=-22)1(1n n 收敛，故∑∞

=+-1

2

11

n n n 收敛。 推论（比较判别法的极限形式） 设

∑∞

=1

n n

u

和

∑∞

=1

n n

v

是两个正项级数，若

l v u n

n

n =∞→lim ，

则 （1） 当+∞<

∑∞

=1

n n

u

、

∑∞

=1

n n

v

同时收敛或同时发散；

（2）当0=l 且级数

∑∞

=1n n

v

收敛时，级数

∑∞

=1n n

u

也收敛；

（3）当+∞=l 且

∑∞

=1

n n

v

发散时，级数

∑∞

=1

n n

u

也发散。

证明：由比较原则即可得。

例2、讨论级数 ∑-n

n

2

1

的收敛性。 解：利用级数

∑n 21的收敛性，由推论可知级数∑-n n 21收敛。 例3、 由级数∑n 1的发散性，可知级数∑n

1

sin 是发散的。