高等数学-洛必达法则

0

1 0

0 0

1




例 求极限 limxcot3x x0
0
其他形式的未 定时应通过恒 等变形转化为
0 型 0
解：原 li式 mx x0ta3nx
lim 1 x0 3sec2 3x
1limco2s3x1
3x0
3
例： lim x.lnx 0.型 x 0 1
0
所以 limxsinx e0 1 x0
1
lim
x
x0 csc x cot x
例 求极限
lim ( 1 )tanx 0
x x0
sin2 x
lim
0
解令
y ( 1 )tanx x
x0
x
所以 lim(1)tanx e0 1
则 lnytaxnln1taxnlnx
2.4 导数应用一
学习重点 洛必达法则计算极限
前面讲到
0 0
,

型这类函数极限情况不确定，称为待定式
本节介绍一种求此类极限最常用最方便的一种方法，
它是以函数导数作为基本工具的
2.4.1洛必达法则
要求lim f (x) xa g(x)
( 1 ) 当 x a 时 ， f( x ) 及 g ( x ) 都 趋 于 零 ；
co3sx 1 lim
x 2 2
ln cot x (3) lim
x0 ln x
型
1 (csc2 x)
解 原式 limcotx
lim
x
x0
1
x0 sinxcosx
1
x
罗比达法则可以连续多次应用,直到可求导为止
求待定式极限的方法很多，依据函数极限的形式选 择恰当的方法，有时也要几种方法综合使用
x l im n x e n x 1 x l im n (n e x 1 ) x n 2 x l im e n x ! 0
◆其它形式的未定式的定值
0 , ,00,1, 0
（1）形如 0 的未定式
解题方法：将未定式变形
0

则lnyx.ln2(arctxa)n
ln( 2 arctan x)
lim
x
1
x
2
. 1
1 x
2
2 arctan x
lim x

1 x2
x2 lx im(1x2).arctaxn
2
2
e
练习 lim(secxtanx) x 2
◆其它形式的未定式的定值 （3）形如 00,1, 0 的未定式
解题方法：将未定式先取自然对数、变形，再按情形 （1）处理
00 取对 数0ln0
1
取对 数 ln1
0

0 取对 数0ln

x x0
x
所以 lilm n yli m taxlnn x
x 0
x 0
limlnxlim
1 x
x0 coxt x0 cs2cx
求下列极限
(1) lim ( 1 )sin x x x 0
(2) lim ( 2 arctan x) x
x
解： 令y(2arctx源自文库)xn
lnx1 (1) lim
xe xe
xn an (2) lx im a xm am
解：原式 lim1 xe x
(lnx) xe 1 e
sinxsi n
(3)
lim
x
x
nxn1 lxi m a mxm1
nan1 mam1
xn
(4)
lim
x
ex
分 析
x0 2
2
◆其它形式的未定式的定值
（2）形如 的未定式
解题方法：将未定式变形 11 通 分 合 并 0
00
0
例 求极限
1 lim( x0 x
ex11)
解：原 lx 式 i0mexx(ex11x)
ex 1 lx im0 ex 1xex
lx i0mexeexxxex 12
0

1 0

0 0

1




例 求极限
lim xsin x
x 0
00
解 令 y xsin x
则 lnysinxlnx

lim
x0


sin2 x x cos x

而 limlnylimsinxlnx
x 0
x 0
ln x lim
x0 csc x
例： exex2x lim x0 xsinx
解： 原 lim e式 xex2 lim ex ex limex ex 2 x 0 1coxs x0 sin x x0 cosx
例：
lim sin x
x0 x
0型 0
解：原 lim c式 ox s1 x 0
练习：求下列函数极限（方法不限）
解：原式=
lim
x 0
ln x 1 x

lim x lim (x) 0
x0

1 x2
x0
注：这一类待定式变型时要把取倒后好求导的放在分母上
练习： limxco2t x 1
x0
2
解：原式= lx i0m tax2nxlx i0m 2se12c2x
limco2s2x 1
（2）若 lim f(x)lim g (x) 即 类的极限，
也满足洛必达法则；

例1 求下列极限
ex 1 (1) lim
0型
x0 x
0
解 原式 l i m e x 1
x 0 1
1cosx
(2)
lim
x
tan2x
0型 0
解
原式
(1co x)s
six n
lx im (t2 ax)n lx im 2tax.n se2x c
( 2 ) 在 点 a 的 某 去 心 邻 域 内 f ( x ) 及 g ( x ) 都 存 在 , 且 g ( x ) 0 ；
(3)limf(x)存在(或为) xag(x)
则
f (x) lim xa g(x)
limf (x) xa g(x)
或同为
说明： （1）当 x时的情形，洛必达法则也成立；