数字电路第三章

第四课
第三章、控制系统的数学描述
3.1控制系统的数学模型
3.1.1控制系统数学模型的表示形式
1. 微分方程
输出变量导数阶次
输入变量导数阶次
a0 y (n) a1 y (n1) an y b0u (m) bmu
输出系数
输入系数
2. 状态方程
系数矩阵n×n
输入矩阵n×m
X (t) AX (t) BU(t) Y (t) CX (t) DU (t)
连续时间系统 [z,p,k]=zpkdata(sys,’v’) 离散时间系统 [z,p,k,Ts]=zpkdata(sys,’v’)
连续时间系统
[A,B,C,D]=ssdata(sys)或 [A,B,C,D]=ssdata(sys,’cell’)
离散时间系统
[A,B,C,D,Ts]=ssdata(sys)
b= u1
x1 2 x2 0 x3 0 x4 0
c= x1 x2 x3 x4
y1 0.5 0.4375 0.75 0.75
d= u1
y1 0
Continuous-time model.
3.1.3 数学模型参数的获取
系统
调用格式
连续时间系统 [num,den]=tfdata(sys,’v’)
离散时间系统 [num,den,Ts]=tfdata(sys,’v’)
上节内容小结
数字仿真的步骤、特点 仿真建模的三个基本要求(稳定性、准确性、快速性) 数值积分法的概念、数值解法的实质 欧拉法的推导过程、实质、优点、缺点 梯形法（改进的欧拉法）的推导过程 数值积分法的几个基本概念：单步法、多步法以及各自的特 点，显式与隐式公式，局部阶段误差和整体误差，舍入误差。 龙格-库塔法（二阶的推导过程）、龙格-库塔法的基本思想 线性多步法的基本思想 “病态”方程和“病态”系统以及它们的仿真方法
Newsys=ss(sys)---非状态空间形式的系统模型 sys转换成状态空间形式模型Newsys。
例3.5 已知系统的传递函数为
G(s)
s4
s3 7s2 24s 24 10s3 35s2 50s 24
，
将其转变为零极点增益模型和状态空间模型。用MATLAB编
写程序如下：
>>num=[1 7 24 24]; >>den=[1 10 35 50 24]; >>sys_tf=tf(num,den); >>sys_zpk=zpk(sys_tf) >>sys_ss=ss(sys_tf)
cn
再经拉氏反变换，有
z (n) (t) a1z (n1) (t) an1z'(t) an z(t) u(t) （3-1）
y(t) c1z (n1) (t) cn1z' (t) cn z(t)
（3-2）
引入n维状态向量 X [x1, x2 ,, xn ]，并设：
x1 z
x2 z' x'1
z (n) (t) a1z (n1) (t) an1z' (t) an z(t) u(t) y(t) c1z (n1) (t) cn1z' (t) cn z(t)
xn z (n1) x'n1
对xn求导数并代入（3-1）（3-2），有
x'n z (n) (t) a1z (n1) (t) an1z'(t) an z(t) u(t) （3-3）
1
0
0
0.6
0
0
y(k) 0 0 0 1x(k)
求传递函数模型和零极点模型。
解：A=[-2.8 -1.4 0 0; 1.4 0 0 0;… -1.8 -0.3 -1.4 -0.6; 0 0 0.6 0];
B=[1;0;1;0]; C=[0 0 0 1]; D=[0];
[num,den]=ss2tf(A,B,C,D)
[Z,P,K]=ss2zp(A,B,C,D)
3.1.2 数学模型的转换(二)
函数tf, zpk, ss不仅用于系统模型的建 立，也可用于模型形式之间的转换。
Newsys=tf(sys)---非传递函数形式的系统模型 sys转换成传递函数模型Newsys;
Newsys=zpk(sys)---非零极点增益形式的系统模 型sys转换成零极点增益形式模型Newsys;
m
(s zi )
G(S ) K i1 n
增益
(s p j ) j 1
5.部分分式形式
零点 简记为： (Z, P, K )
极点
简记为： (R, P, H )
n
G(S)
ri
h(s)
i1 s pi
极点留数
系统极点
余式
3.1.1 系统数学模型的建立
序号
数学模型
MATLAB命令
传递函数
sys=tf(num,den) –连续
Zero/pole/gain: (s+1.539) (s^2 + 5.461s + 15.6) --------------------------------
(s+4) (s+3) (s+2) (s+1)
a= x1 x2 x3 x4
x1 -10 -4.375 -3.125 -1.5 x2 8 0 0 0 x3 0 2 0 0 x4 0 0 1 0
' unstable poles']);
例3.1 连续系统的传递函数为
s2 G(s) s2 s 10
用MATLAB建立该系统传递函数模型程序及运行结果如下：
>>num=[1 2]; >>den=[1 1 10]; >> sys=tf(num,den)
Transfer function: s+2
-----------s^2 + s + 10
输出矩阵r×n
传输矩阵r×m
X (t0 ) X 0
状态初始向 量
r——输出向量维数；n——状态向量维数； m——输入向量维数
简记为(A, B, C, D)的形式
3. 传递函数 可表示为(num, den)
G(S)
b0 S m a0S n
b1S m1 a1S n1
bm an
4. 零、极点增益形式
例3.2 离散时间系统的Z传递函数为
G(z)
z2
1 3z
2
采样周期为0.5s，用MATLAB建立该系统传递函数模型程序 及运行结果如下：
>>num=[1]; >>den=[1 -3 2]; >>Ts=0.5; >> sys=tf(num,den,Ts)
Transfer function: 1
------------z^2 - 3 z + 2
❖ 而对离散系统来说，即稳定系统的全部零点都位于一个 单位圆内，即离散系统的所有零点和极点都在一个单位 圆内。
【例3.7】如果给出的系统模型为
Gs
3s 4 2s3 3s5 5s 4 s3
s2 4s 2 2s2 2s 1
可以采用下面的语句来判定系统的稳定性。
num=[3 2 1 4 2];
0.918 k3 f (x0 0.5h, y0 0.5h * k2 ) f (0.1,1.0918) 1.0918 2*0.1/1.0918
0.909 k4 f (x0 h, y0 h * k3) f (0.2,1.1818) 1.1818 2*0.2 /1.1818
0.843 y(1) y(0) h *(k1 2k2 2k3 k4 ) / 6 1 0.2*(1 2*0.918 2*0.909 0.843) / 6 1.172
已知：dy/dx=y-2x/y,其中0<x<1, y(0)=1, 步长h=0.2,用四阶龙格-库塔法求解（算 到第三步即可）。
x0 0, x1 x0 h 0.2, x2 x0 2* h 0.4,
第一步：计算y(1)
k1 f (ti , yi )
k2
f (ti
h 2
,
yi
h 2
k1
单变量系统的可控标准型实现 。
3.2.1单变量系统的可控标准型实现
设系统传递函数为
G(s)
Y (s) U (s)
sn
c1s n1 cn1s cn a1s n1 an1s
an
若对其设
Z (s) U (s)
sn
a1s n1
1
an1s
an
Y (s) Z (s)
c1s n1
c n 1 s
residue()
*微分方程的模型参数向量与传递函数模型参数向量 完全一样,所以微分方程模型在仿真中总是用其对应 的传递函数模型来描述.
例3.3：设系统的零极点增益模型为
G(s)
6(s 3)
(s 1)(s 2)(s 5)
求系统的传递函数及状态空间模型。
解：直接利用zp2tf 和zp2ss函数求出。
K=6; Z=[-3]; P=[-1, –2, –5];
[num, den]=zp2tf(Z,P,K)
tf(num,den)
[A,B,C,D]=zp2ss(Z,P,K)
例3.4：给定离散系统状态空间方程
2.8 1.4 0 0
1
x(k
1)
1.4
0
0
0
x(k)
0u(k
)
1.8 0.3 1.4 0.6
den=[3 5 1 2 2 2 1];
[z,p]=tf2zp(num,den)
ii=find(real(p)>0);n1=length(ii);