高中数学等比数列听课记录
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听 课 记 录
2016 年 11 月 16 日
一、导入（由教材例题直接引入，PPT 展示）
1. (必修5P 55习题2(1)改编)设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，a 6＝32，则S 3＝________．
2. (必修5P 49习题1改编) {a n }为等比数列，a 2＝6，a 5＝162，则{a n }的通项公式a n ＝________．
3. (必修5P 49习题6改编)等比数列{a n }中，a 1>0，a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝36，则a 3＋a 5＝________．
4. (必修5P 49习题7(2)改编)已知两个数k ＋9和6－k 的等比中项是2k ，则k ＝________．
5. (必修5P 51例2改编)等比数列{a n }中，S 3＝7，S 6＝63，则a n ＝________．
二、知识点回顾 1.等比数列相关概念 2.等比数列相关性质
三、典例分析
题型1 等比数列的基本运算
例1 等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1，S 3，S 2成等差数列． (1) 求{a n }的公比q ；(2) 若a 1－a 3＝3，求S n .
解：(1) ∵ S 1，S 3，S 2成等差数列，∴ 2S 3＝S 1＋S 2，即2(a 1＋a 2＋a 3)＝a 1＋a 1＋a 2，
∴ 2a 3＝－a 2，∴ q ＝a 3a 2＝－1
2
.
(2) a 3＝a 1q 2
＝14a 1，∴ a 1－14
a 1＝3，∴ a 1＝4，∴ S n ＝
4⎣
⎡⎦⎤
1－⎝⎛⎭⎫－
121＋12
＝83－83⎝⎛⎭⎫
－12. 变式训练
已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且2a n ＋1＝S n ＋2(n∈N )． (1) 求a 2，a 3的值，并求数列{a n }的通项公式； (2) 求解S n (n∈N )． 题型2 等比数列的判定与证明
例2 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，3S n ＝a n －1(n∈N )．
(1) 求a 1，a 2； (2) 求证：数列{a n }是等比数列； (3) 求a n 和S n .
(1) 解：由3S 1＝a 1－1，得3a 1＝a 1－1，∴ a 1＝－12.又3S 2＝a 2－1，即3a 1＋3a 2＝a 2－1，得a 2＝1
4.
(2) 证明：当n≥2时，a n ＝S n －S n －1＝13(a n －1)－13(a n －1－1)，得a n a n －1＝－12，所以{a n }是首项为－1
2，
公比为－1
2
的等比数列．
(3) 解：由(2)可得a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ，S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－121－⎝ ⎛⎭
⎪
⎫－12＝－13⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12.
变式训练
在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝4a n －3n ＋1，n ∈N *
.
(1) 求证：数列{a n －n}是等比数列； (2) 求数列{a n }的前n 项和S n ； 题型3 等比数列的性质
例3 已知等比数列{a n }中，a 2＝32，a 8＝1
2
，a n ＋1 (1) 求数列{a n }的通项公式； (2) 设T n ＝log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a n ，求T n 的最大值及相应的n 值． 解：(1) q 6