数学建模论文《学科评价模型》

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论文题目：学科评价模型(A)

组别：本科生

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学科评价模型

摘要本学科评价模型采用了指标体系法，其所具有的客观公正性使之成为目前大学学科评价的主流方法。学科评价一方面取决于指标体系本身设计是否科学，另一方面则取决于原始数据和指标的可比性。由于本题目并没有给出具体的哪13个学科，而不同学科之间在某些方面存在着不同程度上的差异性。所以，我们采用层次分析法分配权重以及灰色多层次分析法处理数据，从而使评价结果更加客观公正。学科评价应分类别、分层次进行，不同的类别和层次适用于不同的情形。比如科研教学并重型高校的学科评价模型与科研型或者教学型高校的学科评价模型会有所区别。同时，在学科评价体系中，指标分级是必要的，我们将题目所给的指标分为三级。通过模型的建立及求解，我们得出了各学科各指标的评价结果，以及各学科的综合实力评价结果，并对结果进行横向分析和纵向分析，为大学学科评估及资源优化提供了较为合理的依据。

关键词层次分析法，权重, 灰色多层次分析法，关联度

一 问题的重述

学科的水平、地位是高等学校的一个重要指标，而学科间水平的评价对于学科的发展有着重要的作用，它可以使得各学科能更加深入的了解本学科(与其他学科相比较)的地位及不足之处，可以更好的促进该学科的发展。因此，如何给出合理的学科评价体系或模型一直是学科发展研究的热点问题。现有某大学（科研与教学并重型高校）的13个学科在一段时期内的调查数据，包括各种建设成效数据和前期投入的数据。

1、根据已给数据建立学科评价模型，要求必要的数据分析及建模过程。

2、模型分析，给出建立模型的适用性、合理性分析。

3、假设数据来自于某科研型或教学型高校，请给出相应的学科评价模型。

二 合理的假设

1、假设各学科所属领域以及学科特点的差异不对本评估体系产生影响

2、假设某些权威杂志对特定的学科没有偏重

3、假设国家和社会对各学科没有任何偏重

4、假设各学科培养出的人才素质没有差异

5、假设专家对学科各指标相对重要性的评判合理、客观、全面。

三 符号的说明

ijk C ：各级指标

ik C :(i=1,2,3····n;k=1,2,····m)第i 个参评学科中第k 个指标的原始数据

*k C :最优指标集

S ：综合分析评价值 A ：目标向量

ij D ：表示i D 对j D 的相对重要性数值 ij P ：判断矩阵)3,2,1,m 3,2,1(n j i ==

ω：特征向量

max

λ

：最大特征值

CR ：判断矩阵的随机一致性比率 CI ：判断矩阵的一般一致性指标 RI ：平均随机一致性指标

i W ：各个分向量的权重系数

*W :第三指标权重分配矩阵

ik x :规范化处理值(i=1,2,3····n;k=1,2,····m)

X ：无量纲化处理后的指标矩阵

k x ：无量纲化处理后的最优指标

ρ：分辨率

ik ξ：关联系数 E ：关联系数阵

i γ:关联度

R ：关联程度加权平均值矩阵

四 问题分析和模型建立

对学科进行评价，其目的不是单纯着眼于奖惩，而是要优化学科结构，使其更好地顺应学科发展规律，为优化教育资源提供参考。对学科实施评价也是提高学科管理效益、促进学科建设水平的重要手段。既有助于高校在学科建设中发现问题、解决问题，也有助于各同类学科间的竞争，实现学科间的优胜劣汰。因此，对学科进行评价要努力做到科学、公正、客观和全面。我们利用题目所给出的数据，通过所建立的模型进行求解，将最终结果以图表形式给出。

此问题难点在于我们如何使用相同的尺度来评判不同的学科。为了使分析结果更加合理准确，我们给予不同评价数据相应的权重，并对数据进行无量纲化处理。在此，我们分别使用了层次分析法和灰色多层次综合分析法分别确定权重系数和关联度。对于相对重要性数值，我们参考了相关文献，并咨询了相关专家，以使判断矩阵更加客观可信。

下面是我们在计算过程中要用到的公式：

∑==n

i i i W 1C S ①

1,1

i n

i ij i j C RW ===

∑

② T

ik ik W E ⋅=R ③

()ik m n E ξ⨯= ④

ξik =

ik

k k

i

ik k ik

k k

i

ik k x x x x x x x x -+--+-max max max max min min k

i

ρρ ⑤

X i (j)=j

i C j C )( 其中C j =1n 1+∑n

0)(j C i ，m j ⋯=3,2,1 ⑥

层次分析法：

首先将每个学科的各个三级指标如一级学科、二级学科数目等放到一个大的系统中，然后将这个系统中存在互相影响的多种因素进行归类，形成了一个多层的分析结构模型。最后运用数学方法，计算出各层次中各个指标所占的权重，来辅助评价。层次分析法确定权重主要分为以下步骤：构造判断矩阵、求判断矩阵的最大特征值、一致性检验。我们在使用权重过程中，详细计算了一级指标，二级指标，三级指标的权重值，使模型的计算更加准确、可靠。其中一致性检验非常重要，因为当同时比较的事物较多时，

分析评价结果就会出现较大的思维一致性偏差[1]

。利用1~9比率标准可以降低这种偏差。

（1）构造判断矩阵[2]。以A 为目标，ij D (i,j=1,2,3……n)：表示i D 对j D 的相对重要性数值。由ij D 组成判断矩阵P 。

1112121

221

2

n n n nn D D D D

D P D D D ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

（2）计算最大特征值。根据判断矩阵，求出最大特征值max λ所对应的特征向量ω。 P ω=max λω

所求特征向量经归一化处理即为各评价因素的权重分配。

（3）一致性检验。我们需要对以上权重分配的合理性进行检验。检验公式为：

CR=CI/RI 。

灰色多层次综合分析法[3]：

要对各个方案进行综合评判, 首先必须制定评判标准, 而标准的制定, 要确保其合理可行。最优指标集是进行各方案比较的基准, 因此我们选择各指标中的最优值作为最优指标集。

（1）设ik C (i=1,2……n;k=1,2,……m)为第i 个参评学科中第k 个指标的原始数据，原始数据以矩阵表示为：(ik C )m ×n 即V 为n 行m 列矩阵；k C 设为第k 个指标在各参评学科中的最优值。于是{k C 0}={01C ，02C ，30C ……m C 0}作为该系统最优指标集。 （2）由于各评价指标的含义和目的各不相同，因而指标值通常具有不同的量纲和数量级，为了进行比较，须对最优指标集和各方案指标集按下式进行无量纲化处理[4]（均值化像法），以减少随机因素的干扰：

k ik ik

C C X 0= 其中∑=+=n

i ik

k C n C 0

11，k=1,2,3…m 。