静电场边值问题与唯一性定理习题解答+(1)
边值问题和唯一性定理(静电场)
静电场的边值问题
静电场的唯一性定律
目前可解决的静电场问题
电荷在有限区域内，电荷的分布情况已知，并 且介质为线性各向同性均匀介质中的静电场问 题。对于此类问题，一般可以先求出电位，再 计算场中各点的电场强度和电位移矢量。 电荷、介质分布具有某种对称性的问题。由于 电荷和介质的分布具有对称性，因此电位移矢 量的分布必然也具有对称性。在这种情况下， 可以先用高斯通量定理求解电位移矢量，然后 再求电场强度。 已知电场的分布求电荷分布的问题。在这种情 况下，可直接由公式计算电荷的体密度，导体 上的面电荷密度根据分界面条件确定。
2
静电场边值问题的提出
实际中对于很多电磁场的问题通常并不 知道电荷分布，如静电场中导体表面的 感应电荷分布，介质极化后极化电荷的 分布等。对于此类的问题，必须通过求 解满足给定边界条件的电位微分方程 （泊松方程或拉普拉斯方程）的电位函 数，进而再求场域中的电场强度。我们 把这种在给定边界条件下，求解泊松方 程或拉普拉斯方程的问题称为边值问题。
对于各向同性、线性的非均匀媒质，电位 满足的微分方程又是什么形式呢？
D
D E
E
( )
7
边值问题举例－直接积分法
例 设有电荷均匀分布在半径为a的介质球型区域中，电荷 体密度为 ，试用解微分方程的方法求球体内、外的电位 及电场。（同例2-4） 解:采用球坐标系,分区域建立方程
自学)
10
反设满足场的解答有两个相异的解答1和 2，则差
场u= 1 2 满足拉普拉斯方程
2 2
u 1 2 0 根据矢量恒等式
第10讲 静电场的解法(1)
第10讲静态场的解法（1）本节内容：1，静电场问题的分类与唯一性定理2，平面镜像3，球面镜像一，静电场问题分类：一类是前面讨论的已知电荷分布求解场的分布型问题；另一类是由场量所满足的支配方程以及场量在边界上的已知条件来求解场的边值型问题。
因为电位是一个标量函数，而且由它可以方便地求出描述电场的其它物理量，故边值问题通常以电位做为研究对象。
边值问题按其边界条件不同可分为三类：（1）已知区域边界上的位函数值，即构成如下边值问题： ()⎩⎨⎧=-=∇Γ02|0ϕϕερϕ或——荻利克莱（Dirichlet ）问题（2）已知待求函数在区域边界上的法向导数值，即： ⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂-=∇Γ02ψϕερϕn ——Neumann 问题 （3）区域边界的一部分已知位函数值，另一部分已知法向导数值，即： ⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂=-=∇ΓΓ02012,ψϕϕϕρϕn ——混合问题三类边值问题的解是否唯一？回答是肯定的，有唯一性定理保证。
二，场的唯一性定理可以证明，在以上三种边界条件下，满足Laplace方程和Poisson方程的电位函数 是唯一的。
这就是场的唯一性定理。
下面利用格林第一公式来证明这一定理。
()⎰⎰∂∂=∇+∇⋅∇S V dS n dV ψϕψϕψϕ2 ——格林第一公式 证明：若1ϕ、2ϕ都满足拉氏方程（或Poisson 方程），则21ϕϕϕ-='满足Laplace 方程，即：02='∇ϕ 令格林公式中ϕ、ψ都是ϕ'，则： ⎰⎰∂'∂'='∇S V dS n dV ϕϕϕ2第一种情况（Dirichlet 问题）： 1ϕ、2ϕ在S 上均满足第一类边界条件，则0='S ϕ ∴ 02='∇⎰V dV ϕ ∵ 02≥'∇ϕ，而积分为0 0='∇⇒ϕ ∴()常数C ='ϕ，而在S 上0='ϕ。
∴ 0≡'ϕ ∴21ϕϕ=第二种情况（Neumann 问题）：1ϕ、2ϕ都满足0ψϕ=∂∂Sn 则：021=∂∂-∂∂=∂'∂SS S n n n ϕϕϕ 故右边=0，同样可得：()常数C =-21ϕϕ ∵ 在参考点处021==ϕϕ，故021≡-ϕϕ ∴21ϕϕ=第三种情况（Mixed问题）证明与第二种情况类似，略。
第五章 静电场边值问题的解法
2 1/ 2
z
n m U ( x, y) C nm sin x sin y a b n 1 m 1 4 a b n m C nm 0 0 U ( x, y) sin a x sin b y dxdy 11 ab
由边界条件可知：
n n U 0 Cn ch a sin y b b n 1 n an sin y b n 1
14
三、柱坐标系中的分离变量法
圆柱坐标系中的拉普拉斯方程 1 1 2 2 2 0 r 2 2 r r r r z 若场与 z 无关且具有轴对称性，则其解为
Z (1 2 )( D1 D2 ) (1 2 ) ( D1 D2 )
Z ( E1 E2 ) ( D1 D2 )
S
带入积分式有
V
( E1 E2 ) ( D1 D2 )d (1 2 )(D1 D2 ) dS
C1 ln r C2
若场仅与 z 方向无关(二维情况)，则拉普拉斯方程演 化为 2 1 1 0 r 2 2 r r r r 假设解具有 R( r ) ( ) 的形式，带入上式得
15
( ) R( r ) R( r ) 2 ( ) 0 r 2 2 r r r r
1 2 0 ； r r
0
r a 时 ， 1 2
；
r a 时，
19
由 2 的表达式
2 r An sin(n ) Bn cos(n )
第3章---- 静电场及其边值问题的解法 (1)
积分形式:
∫ D ⋅ dS = q ∫ E ⋅ dl = 0
S l
微分形式：
∇⋅D = ρ ∇× E = 0
D = εE
静电场:无旋有散场
本构关系:
线形、各向同性媒质
电磁场
第3章 静电场及其边值问题的解法
二、静电场的无旋性与电位
一 、静电场的无旋性
试验电荷q0位移dl时，电场力作功：
dA= F ⋅ dl = q0E ⋅ dl
从A点移到B点：
A = ∫ q0 E ⋅ dl
A
B
定义： A、B点间电压：
U AB
A = = ∫ E ⋅ dl q A
B
(2 - 19)
电磁场
第3章 静电场及其边值问题的解法
∫ E ⋅ dl = ∫ E ⋅ dl + ∫ E ⋅ dl = ∫ E ⋅ dl − ∫ E ⋅ dl = 0
_____ _____
电磁场
第3章 静电场及其边值问题的解法
均匀电场中带电粒子的 轨迹
阴极射线示波器原理
电磁场
第3章 静电场及其边值问题的解法
磁分离器 回旋加速器
电磁场
第3章 静电场及其边值问题的解法
磁悬浮列车
电磁场
第3章 静电场及其边值问题的解法
磁录音原理：
电磁场
第3章 静电场及其边值问题的解法
§3.1 静电场基本方程与电位方程 一、静电场的麦克斯韦方程组
∞
r
ρ 0a ρ 0a dr = 2 3ε 0 r 3ε 0 r
3
3
当r<a时，
ϕ = ∫ Er dr = ∫ Er dr + ∫
r r
∞
a
2.6 静电场边值问题 唯一性定理
V/m
CQU
2.6.3 唯一性定理
1、唯一性定理 在静电场中满足给定边界条件的电位微分方程 满足给定边界条件的电位微分方程（ 在静电场中满足给定边界条件的电位微分方程（泊松方 程或拉普拉斯方程)的解是唯一的， 程或拉普拉斯方程)的解是唯一的，称之为静电场的唯一性定 理。 2. 唯一性定理的重要意义 可判断静电场问题的解的正确性 解的正确性： • 可判断静电场问题的解的正确性： 唯一性定理为静电场问题的多种解法(试探解、数值解、 • 唯一性定理为静电场问题的多种解法(试探解、数值解、 解析解等）提供了思路及理论根据。 解析解等）提供了思路及理论根据。
S
第三类 边界条件
(ϕ + β ∂ϕ ) = f3 ( s) ∂n S
第四类 边界条件
ϕ S = f1 ( s)
求解边值问题注意事项： 求解边值问题注意事项：
CQU
点电荷的场
1．根据求解场域内是否有 ρ 存在，决定电位满足泊松方程还是拉氏 ．根据求解场域 求解场域内是否有 存在，决定电位满足泊松方程还是拉氏 泊松方程还是 方程，然后判断场域是否具有对称性，以便选择适当的坐标系。 方程，然后判断场域是否具有对称性，以便选择适当的坐标系。 2．正确表达边界条件，并利用它们确定通解的待定常数。 正确表达边界条件，并利用它们确定通解的待定常数。 3．若所求解的场域内有两个（或以上）的均匀介质区域，应分区求 若所求解的场域内有两个（或以上）的均匀介质区域， 分区求 场域内有两个 不能用一个电位函数表达两个区域的情况。这时会出现4 解。不能用一个电位函数表达两个区域的情况。这时会出现4个积分 常数，还需考虑介质分界面上的衔接条件来确定积分常数。 分界面上的衔接条件来确定积分常数 常数，还需考虑介质分界面上的衔接条件来确定积分常数。 4.对于开域问题，还需给出无限远处的自然边界条件。 4.对于开域问题，还需给出无限远处的自然边界条件。当场域有 对于开域问题 限分布时，应有： 限分布时，应有：
2.13+静电场边值问题与唯一性定理习题解答+（1）
5. 如图所示，电荷体密度分别为 1 和 2 ，半径分别为 a 与 b 的双层同心带电球体，
若 0 r a ，则对边值问题的描述错误的是( )
A.
21
1 0
(0 r a)
B. 1(r) ra 2 (r) ra
a
b
1 2
B. 0 r1 ra 0 r2 ra
D. 1(r) r0 0
解析：本题综合考查静电场的边值问题和导体的性质 习题难度：中
线的边界条件为( )
A. 第一类边界条件
B. 第二类边界条件
C. 混合边界条件
D. 不能确定
解析：本题考查对静电场的边值问题的理解 习题难度：难
边界线的一部分与一条电场强度线重合，也就是说电场强度沿边界面的切向方
向，即 En
0 ，所以
n
S
0 ，为第二类齐次边界条件。
4. 静电场边值问题中，第一类齐次边界条件处电场强度的方向与边界的关系为
A.
2
f
lim r 有限值 r
C.
2
f
n
S
0
B.
2
f
S 0
2
f
D.
S1
0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
n
S2
0
解析：本题考查静电场的边值问题，基本知识点 习题难度：易 第二类边值问题又叫做纽曼问题，可表述为 C 项所示
1
3. 在平行平面静电场中，边界线的某一部分与一条电场强度线重合。则这部分边界
()
A. 电场强度与边界切线方向一致
B. 电场强度与边界法线方向一致
C. 电场强度与边界切线方向夹角为锐角
D. 不能确定
解析：本题考查对静电场的边值问题的理解 习题难度：难
1.8 静电场的唯一性定理
ρ ∇ U = − →泊 方 , 松 程 ε0
2
静电场 ＋边界条件 的边值 2 问题 or ∇ U 0 →拉 拉 方 ＝ 普 斯 程
物理系：杨友昌 编
在这个竟争激烈的社会中，若想永不落伍，就必须懂得终身学习的道理。
唯一性定理
• 对于静电场，给定一组边界条件，空间能否存在不同的恒 对于静电场，给定一组边界条件， 定电场分布？——回答：否！ 电场分布？ 回答： 回答 • 边界条件可将空间里电场的分布唯一地确定下来 边界条件可将空间里电场的分布唯一地确定下来 电场的分布唯一 • 该定理对包括静电屏蔽在内的许多静电问题的正确解释至 关重要 • 理论证明在电动力学中给出，p67 给出普物方式的论证 理论证明在电动力学中给出， • 论证分三步：引理 论证分三步：引理——叠加原理 叠加原理——证明 叠加原理 证明
§8 静电场边值问题的唯一性定理
在这个竟争激烈的社会中，若想永不落伍，就必须懂得终身学习的道理。
物理系：杨友昌
编
一. 典型的静电问题
–给定导体系中各导体的电量或电势 给定导体系中各导体的电量或电势 给定导体系中各导体的 以及各导体的形状、相对位置（ 以及各导体的形状、相对位置（统 称边界条件），求空间电场分布， ），求空间电场分布 称边界条件），求空间电场分布， 即在一定边界条件下求解 泛 定 方 程
Q Q ' r' Q ' + = 0⇒ = ⇒r'Q= −rQ' r r' r Q
2
R b R ' － 有b = ⇒Q = ± Q= ± Q 取 ？ a a a cos θ的系数 三角形
相似
在这个竟争激烈的社会中，若想永不落伍，就必须懂得终身学习的道理。
静电场边值问题的唯一性定理
静电场边值问题的唯一性定理摘要：静电场边值问题及其唯一性定理是一重要知识点，定理的表述和证明都涉及较多的数学知识。
由于唯一性定理的概念对于许多问题（如静电屏蔽）的确切理解有很大帮助，所以我们将给此定理一个物理上的论证，期待大家能从中有所受益. 关键词：静电场；边值；唯一性；静电屏蔽1、问题的提出实际中提出的静电学问题，大多不是已知电荷分布求电场分布，而是通过一定的电极来控制或实现某种电场分布。
这里问题的出发点（已知的前提），除给定各带电体的几何形状、相互位置外，往往是在给定下列条件之一；（1） 每个导体的电势U K ； （2） 每个导体上的总能量Q K ；其中K=1，2，……为导体的编号。
寻求的答案则是在上述条件（称为边界条件）下电场的恒定分布。
这类问题称为静电场的边值问题。
这里不谈静电场边值问题如何解决，而我们要问：给定一组边界条件，空间能否存在不同的恒定电场分布？唯一性定理对此的回答是否定的，换句话说，定理宣称：边界条件可将空间里电场的恒定分布唯一地确定下来。
2、几个引理在证明唯一性定理之前，先作些准备工作——证明几个引理。
为简单起见，我们暂把研究的问题限定为一组导体，除此之外的空间里没有电荷。
（1）引理一 在无电荷的空间里电势不可能有极大值和极小值。
用反证法。
设电势U 在空间某点P 极大，则在P 点周围的所有邻近点上梯度U ∇ρ必都指向P 点，即场强U E ∇-=ρρ的方向都是背离P 点的（见图1-1a 。
）这时若我们作一个很小的闭合面S 把P 点包围起来，穿过S 的电通量为0)(>⋅=⎰S d E S E ρρϕ (1)根据高斯定理，S 面内必然包含正电荷。
然而这违背了我们的前提。
因此，U 不可能有极大值。
用同样的方法可以证明，U 不可能有极小值（参见图1-1b ）。
（2）引理二 若所有导体的电势为0，则导体以外空间的电势处处为0。
因为电势在无电荷空间里的分布是连续变化的，若空间有电势大于0（或小于0）的点，而边界上又处处等于0，在空间必然出现电势的极大（或极小）值，这违背引理一。
静电场边值问题唯一性定理
场分布。
02
指导数值计算
在数值计算中，唯一性定理为我们提供了判断计算结果正确性的依据。
如果计算结果不满足唯一性定理，则说明计算过程中存在错误或近似方
法不够精确。
03
简化问题求解
在某些情况下，唯一性定理可以帮助我们简化问题的求解过程。例如，
在某些对称性问题中，我们可以利用唯一性定理直接得出部分解或特殊
01 02 03
深入研究复杂边界条件下的静电场边值问题
目前的研究主要集中在简单边界条件下的问题，对于复杂 边界条件的研究相对较少。未来可以进一步探讨复杂边界 条件下的静电场边值问题，为实际应用提供更广泛的理论 支持。
发展高效稳定的数值计算方法
尽管现有的数值计算方法已经取得了显著的进展，但在处 理大规模、高维度问题时仍面临挑战。未来可以致力于发 展更高效稳定的数值计算方法，以应对日益复杂的实际问 题。
导体表面的电荷分布
导体表面电荷分布的特点
在静电平衡状态下，导体表面电荷分布是不 均匀的，电荷密度与导体表面的曲率有关， 曲率越大电荷密度越大。
导体表面电荷与电场的关系
导体表面电荷产生的电场与导体内部电荷产生的电 场相互抵消，使得导体内部电场为零。
导体表面电荷分布的求解 方法
可以通过求解泊松方程或拉普拉斯方程得到 导体表面的电荷分布。
数值计算方法的改进
针对静电场边值问题的求解，提出了一系列高效的数值计算方法，如有限元法、有限差分法等，这些方法在保持计算 精度的同时，显著提高了计算效率。
实际应用领域的拓展
将静电场边值问题唯一性定理应用于多个实际领域，如电子工程、生物医学等，成功解决了一系列具有 挑战性的实际问题。
对未来研究的展望
解，从而简化计算过程。
第三章静电场边值问题
第三章 静电场边值问题在上一章中，我们已经知道了几种从电荷分布求静电场的问题。
一种是直接积分式(2-2-1)求得已知电荷分布情况下的电场；另一种是利用式(2-2-4)高斯定理求解某些具有对称性电荷分布的静电场问题；再一种就是由式(2-2-10)求出静电势，再利用关系式ϕ=-∇E求出电场，这些问题一般都不存在边界。
然而，对于许多实际静电问题，电荷的分布是复杂的，计算积分很困难，甚至是不能积分，有些静电问题只给出了边界上的面电荷或电势。
在这种情况下，需有其它有效的方法求解静电问题，这种方法就是求解静电势所满足的偏微分方程。
这偏微分方程就是由式(2-2-10)给出的方程：2ρϕε∇=-因此，对于有边界存在的情况下，我们不得不求解给定边界条件下静电势微分方程，然后求出静电场，这一问题称为静电场边值问题错误！未找到引用源。
即求出满足给定边界条件的泊松方程的解。
在这一章中，我们首先介绍静电唯一性定理，它是解决静电场边值问题的基础。
基于静电唯一性定理，我们主要介绍两种求解静电场边值问题的方法：电像法和分离变量法。
当然，求解边值问题还有其它的方法。
值得一提的是，本章所介绍的方法不仅仅适用于静电场，它同样适用于静磁场和时变电磁场。
3-1 静电唯一性定理我们将证明，如果我们得到了满足给定边界条件的泊松方程的解，那么，这个解是唯一的。
这就是静电唯一性定理错误！未找到引用源。
下面我们证明这一定理并初步介绍它的应用。
在由边界面s 包围的求解区域V 内，若： 1) 区域V 内的电荷分布给定；2) 在边界面s 上各点，给定了电势s ϕ，或给定了电势法向偏导数snϕ∂∂，则V 内的电势唯一确定。
以上的表述就是静电唯一性定理。
下面，我们用反证法证明静电唯一性定理。
证: 假定在区域V 内的电荷密度分布为ρ(r )，且有两个不同的解φ1和φ2满足泊松方程及给定边界条件(给定的电势值s ϕ或电势法向偏导数snϕ∂∂)。
即：2212,ρρϕϕεε∇=-∇=-并有12sssϕϕϕ==或12sssnnnϕϕϕ∂∂∂==∂∂∂式中s ϕ和snϕ∂∂为给定的边界条件。
南京邮电大学《电磁场与传输理论B》第3章静电场及其边值问题的解法作业解答
3.1对于下列各种电位分布，分别求其对应的电场强度和体电荷密度：（1） ()2,,x y z Ax Bx C Φ=++； （3）()2,,sin z A B z Φρϕρϕρ=+；Sol.已知空间的电位分布，由E Φ=−∇和20/Φρε∇=−可分别计算出电场强度和体电荷密度。
(1) ()2x E e Ax B Φ=−∇=−+，2002A ρεε=−∇Φ=− (3) (2sin )cos z E e A Bz e A e B ρϕΦρϕρϕρ⎡⎤=−∇=−+++⎣⎦20004sin sin 3sin BzBz A A A ρεΦεϕϕεϕρρ⎛⎫⎛⎫=−∇=−+−=−+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3.6 有02εε=和05εε=的两种介质分别分布在0z >和0z <的半无限大空间。
已知0z >时，201050x y z E e e e =−+V /m 。
试求0z <时的D 。
Sol. 设1122, (0), (0)E D z E D z ⎧>⎪⎨<⎪⎩，则由题意可知 111201050e e t t n n x y z E E E e e e =+=−+111010201050 2100e e e e e t t x y n n z n n n n z E e e E e D E εε=−⎧⎪⇒⎨=⇒==⎪⎩ 两种电介质的交界面上无自由电荷，则边界条件为1t 2t 12n n E E D D =⎧⎨=⎩或1t 2t12t t n nn n e E e E e D e D =⎧⎨=⎩ ，则21220202010100205e =e e e e t t t t x y n n n n z n n z E E e e D D e E e εε=−⎧⎪⎨=⇒==⎪⎩所以，z < 0 时：2222202000201020 (V/m 10050100 )( C/ m )=e +e =5t t n n x y z x y z E E E e e e D E e e e εεεε⎧=−+⎪⎨=−+⎪⎩3.8 一块厚度为d 、相对介电常数为r ε的无限大介质平板放置在均匀电场0E 中。
静电场边值问题的唯一性定理共21页文档
35、不要以为自己成功一次就可以了 ，也不 要以为 过去的 光荣可 以被永 远肯定 。
静电场边值问题的唯一性定 理
31、别人笑我太疯癫，我笑他人看不 穿。(名 言网) 32、我不想听失意者的哭泣，抱怨者 的牢骚 ，这是 羊群中 的瘟疫 ，我不 能被它 传染。 我要尽 避免以 失败收 常在别 人停滞 不前时 ，我继 续拼搏 。
45、自己的饭量自己知道。——苏联
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
26静电场边值问题唯一性定理
场域边界条件
1）第一类边界条件（狄里赫利条件Dirichlet)
已知边界上的电位分布 |s f1(s)
2）第二类边界条件（诺依曼条件 Neumann)
已知边界上电位的法向导数(对于导体，即电荷面密度
，或电力线)
n
S
f2 (s)
3）第三类边界条件（若宾条件 Robin)
已知边界上电位及电位法向导数的线性组合
(2)利用边界条件求得积分常数，得到电位的解
(3)再由 E 得到电场强度 E 的分布。
2.6.2 唯一性定理 1、唯一性定理
在静电场中满足给定边界条件的电位微分方程（泊松方程或 拉普拉斯方程)的解是唯一的，称之为静电场的唯一性定理。
2. 唯一性定理的重要意义 • 可判断静电场问题的解的正确性： • 唯一性定理为静电场问题的多种解法(试探解、数值解、 解析解等）提供了思路及理论根据。
例2.6.3 图示平板电容器的电位，哪一个解答正确？
图 2.6.7 平板电容器外加电源U0
思路：将边界条件代 入，看是否满足
A、
1
U0 d
x2
B、
2
U0 d
x U0
C、
3
U0 d
x U0
答案：（ C ）
作业： 2.12，2.15，2.17，2.19
导体之间接有电源 U0，试写出该电缆中静电场的边值问题。
解：根据场分布对称性，确定场域。
场的边值问题
2
2
x 2
2
y 2
0
（阴影区域， 1/4原区域）
( xb,0 yb及yb,0xb) U0
图 2.6.4 缆心为正方形的同轴电缆横截面
0 x2 y2 a2 ,x0, y0
静电场习题答案[1]解析共26页文档
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60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
静电场习题答案[1]解析
•
26、我们像鹰一样，生来就是自由的 ，但是 为了生 存，索
•
27、法律如果不讲道理，即使延续时 间再长 ，也还 是没有 制约力 的。— —爱·科 克
•
28、好法律是由坏风俗创造出来的。 ——马 克罗维 乌斯
•
29、在一切能够接受法律支配的人类 的状态 中，哪 里没有 法律， 那里就 没有自 由。— —洛克
•
30、风俗可以造就法律，也可以废除 法律。 ——塞·约翰逊
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
边值问题的分类与解的唯一性定理
p
q q
q q 2 4 π 2 R
q q ˆ D2 a 2 R 4 πR
2
2
在分界面(R = R′= R″)上，应满足电位和电位移矢量法向分量相 等的边界条件：
1 2
q q
D1n D2n
1
q q
2
q q q q
q a b q d a
a q q d
a2 b d
空间任意点 ( r , ) 的电位： q 1 a 2 2 2 2 1/ 2 4π 0 (r 2dr cos d ) (d r 2dra 2 cos a 4 )1/ 2
a2 b d
l l
两平行线电荷的电位分布
空间电位为： l r2 ln c 2π 0 r1
2 2 r r d 2dr cos 其中： 1
r2 r 2 b 2 2br cos
电动力学
第2章 静电场
8. 带有等量异号电荷的平行长直导体圆柱间的镜像
r2 a 2 b 2 2ab cos
电动力学
第2章 静电场
在柱面上取两个特殊点M和N，则 l l N ln(d a) ln(a b) 2π 0 2π 0
l l M ln(d a) ln(a b) 2π 0 2π 0
电动力学
第2章 静电场
例3： 有一接地导体球壳，内外半径分别为a1和a2，在球壳内外各 有一点电荷q1和q2 ，与球心距离分别为d1和d2 ，如图所示。 求：球壳外、球壳中和球壳内的电位分布。
解：
a1 q1
a2
( r , , )
q2
d2
静电场边值问题的唯一性定理
U Qk e dS 0 En dS 0 dS n Sk Sk Sk
U 0 dS 0 U U I U II 常量 EI EII n Sk
说明场分布是唯一的
解释静电屏蔽
唯一性定理表明：一旦找到某种电荷分布，既不 违背导体平衡特性，又是物理实在，则这种电荷 分布就是唯一可能的分布。
推广：若完全由导体所包围的空间里各导体
的电势都相等（设为U0），则空间电势等于 常量U0
引理三：若所有导体都不带电， 则各导体的电势都相等
证明（反证）
若不相等，必有一个最高， 如图设U1>U2、U3，——导 体1是电场线的起点——其 表面只有正电荷——导体1 上的总电量不为0——与前 提矛盾
引理二
( ＋)引理三可推论：所有导体都不带电的 情况下空间各处的电势也和导体一样，等于同一常 量
叠加原理
在给定各带电导体的几何形状、相对位置后，赋予 两组边界条件：
1：给定每个导体的电势UⅠk（或总电量QⅠk） 2：给定每个导体的电势UⅡk（或总电量QⅡk) 设UⅠ、 UⅡ满足上述两条件，则它们的线性组合 U=a UⅠ+b UⅡ必满足条件3: 3：给定每个导体的电势Uk=a UⅠk+b UⅡ k （或总电量Qk= QⅠk a k+b QⅡ k） 特例 ： 取UⅠk＝ UⅡ k，则U=UⅠ－UⅡ (a=1, b=-1) 对应 的边界条件为，每个导体的电势为0
唯一性定理
给定每个导体电势的情形
设对应同一组边值 U k (k 1,2)
有两种恒定的电势分布 U I 和U II
相当于所有导 体上电势为0时 的恒定电势分 布
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()
A. 电场强度与边界切线方向一致
B. 电场强度与边界法线方向一致
C. 电场强度与边界切线方向夹角为锐角
D. 不能确定
解析：本题考查对静电场的边值问题的理解 习题难度：难
第一类齐次边界条件 0 ，说明此边界面为等位面，儿电场强度与等位面垂 S
直，即电场强度与边界法线方向一致或电场强度垂直于边界。
S
0
2
f
D.
S1
0
n
S2
0
解析：本题考查静电场的边值问题，基本知识点 习题难度：易 第一类边值问题又叫做狄利赫里问题，可表述为 B 项所示
2. 静电场的边值问题，就是已知求解区域中场的基本方程和求解区域边界上给定的 边界条件，计算求解区域内场量的问题。通常分为三类，其中第二类边值问题又
叫做纽曼问题，可表述为( )
习题难度：易 唯一性定理对求静电场问题的解具有十分重要的意义，它指出了静电场具有唯 一解的充要条件，且可用来判定得到的解得正确性。
3A.ຫໍສະໝຸດ 2f lim r 有限值 r
C.
2
f
n
S
0
B.
2
f
S 0
2
f
D.
S1
0
n
S2
0
解析：本题考查静电场的边值问题，基本知识点 习题难度：易 第二类边值问题又叫做纽曼问题，可表述为 C 项所示
1
3. 在平行平面静电场中，边界线的某一部分与一条电场强度线重合。则这部分边界
5. 如图所示，电荷体密度分别为 1 和 2 ，半径分别为 a 与 b 的双层同心带电球体，
若 0 r a ，则对边值问题的描述错误的是( )
A.
21
1 0
(0 r a)
B. 1(r) ra 2 (r) ra
a
b
1 2
B. 0 r1 ra 0 r2 ra
D. 1(r) r0 0
解析：本题综合考查静电场的边值问题和导体的性质 习题难度：中
2.11 分界面上的衔接条件 2 习题解答
1. 静电场的边值问题，就是已知求解区域中场的基本方程和求解区域边界上给定的
边界条件，计算求解区域内场量的问题。通常分为三类，其中第一类边值问题又
叫做狄利赫里问题，可表述为( )
A.
2
f
lim r 有限值 r
B.
2
f
S 0
C.
2
f
n
处于静电场的导体是一个等位体，因此内导体球球心的电位与内导体球表面的 电位一样，电位的具体数值，需要选定参考点才能确定。
2
6. 静电场的边值问题可以通过不同的方法求解，判断不同方法求得的解答是否正确 的定理为( )
A. 高斯定理 B. 斯托克斯定理 C. 唯一性定理 D. 格林定理 解析：本题考查唯一性定理，基本知识点
线的边界条件为( )
A. 第一类边界条件
B. 第二类边界条件
C. 混合边界条件
D. 不能确定
解析：本题考查对静电场的边值问题的理解 习题难度：难
边界线的一部分与一条电场强度线重合，也就是说电场强度沿边界面的切向方
向，即 En
0 ，所以
n
S
0 ，为第二类齐次边界条件。
4. 静电场边值问题中，第一类齐次边界条件处电场强度的方向与边界的关系为