分形与混沌
分形和混沌的基本概念和应用
分形和混沌的基本概念和应用在科学和数学领域中，分形和混沌是两个非常重要的概念。
它们不仅有着丰富的理论内涵，而且在实际应用中也有着广泛的用途。
本文旨在介绍分形和混沌的基本概念、性质以及其应用领域。
一、分形的基本概念和性质分形最初是由法国数学家Mandelbrot所提出的。
分形，定义简单点来说，就是在各种尺度下都表现出相似性的图形。
比如说，我们在放大树叶时，会发现树叶的分支和小结构上会有许多特征，在不断放大过程中，树叶上的分支和结构会产生类似于整个树叶的结构。
这个例子就是分形学的一个典型例子。
分形的最重要的特性是自相似性和不规则性。
自相似性是指，在分形中，任意一部分都与整个结构相似，这种相似性具有尺度不变性，即不会因为放大或缩小而改变。
不规则性是指，分形的形状十分奇特，与传统的几何图形相比，分形形状复杂多变，没有任何几何规律可循。
分形广泛用于科学研究、艺术美学、计算机图像处理等领域。
在生物学、地震学、天文学中也有广泛应用。
例如，在生物学中，许多生物组织和器官都具有分形结构，如肺组织、血管系统、神经元等。
利用分形理论可以更好地研究这些生物结构的形态和发展规律。
此外，在土地利用和城市规划领域，也可以应用分形理论来研究城市建筑的空间结构和空间分布规律。
二、混沌的基本概念和性质混沌又称为非线性动力学。
混沌指的是用微观因素推算出宏观效应的过程，该过程结果不可预测，但随着时间的推移，能够生成复杂、有规律的系统。
混沌体系可用方程式表示出来，但由于该方程式是个非线性方程式，所以其结果会随这方程式微小变化而产生巨大的差异。
混沌具有以下几个突出的性质：灵敏依赖于初始条件，长期不稳定，难以预测和控制。
混沌理论可以用于预测经济和金融领域中出现的一些紊乱现象，如股市波动。
混沌最初应用在天文学领域，例如研究太阳系中行星之间的轨道。
这些轨道不像我们所想的那样规律。
然而，混沌的发现不仅在天文学领域中应用，也在许多其它领域解决一些不规则的问题。
动力系统理论中的混沌与分形
动力系统理论中的混沌与分形混沌与分形是动力系统理论中的两个重要概念，它们在探索非线性系统行为和描述自然界的复杂性方面发挥着关键作用。
本文将从混沌与分形的基本原理、实际应用以及研究方向等多个角度来探讨这两个重要的理论概念。
一、混沌混沌是指在动力系统中，即使系统的运动规律是确定的，但其行为却表现出极端敏感的特性，即微小的初始条件改变会导致系统演化出完全不同的轨迹。
混沌理论的起源可以追溯到20世纪60年代，当时Lorenz通过研究大气环流模型，意外地发现了这一现象，这也被称为“蝴蝶效应”。
混沌现象的数学描述是通过非线性动力学方程实现的，例如著名的洛伦兹方程和Logistic映射等。
混沌行为的特点是演化过程不断变化，但却不失稳定性。
这种看似矛盾的特性给动力系统理论的研究带来了很大的挑战和启示。
混沌理论的实际应用非常广泛。
在天气和气候预测、金融市场、生态系统、心脏疾病等领域，混沌理论都发挥着重要作用。
通过混沌理论，我们能够更好地理解和预测这些复杂系统中的行为，为实际问题的解决提供了新的思路和方法。
目前，混沌理论仍然是一个活跃的研究领域。
研究人员致力于发展更精确的混沌理论模型，深入探究混沌行为的内在规律，以及在实际应用中的更多可能性。
二、分形分形是指具有自相似性和尺度不变性的几何形状。
与传统几何学中定义的规则形状不同，分形具有复杂的结构和非整数维度。
分形理论最早由Mandelbrot提出，并得到了广泛的应用。
分形的自相似性意味着它的一部分与整体具有相似的结构，这种特性使得分形能够用于描述自然界中许多复杂的形状，如云朵、树枝、河流等。
分形的尺度不变性意味着它在不同的比例下具有相似的结构，这也是分形与传统几何形状的显著区别。
分形理论在各个领域有着广泛的应用。
在计算机图形学中，分形可以用于生成自然风景和仿真自然材料的纹理。
在金融市场中，分形理论可以用于预测和分析股票价格的波动。
在生物学中，分形可以用于描述复杂的生物结构，如血管网络和肺泡等。
上帝的指纹——分形与混沌
上帝的指纹——分形与混沌来源：王东明科学网博客云朵不是球形的，山峦不是锥形的，海岸线不是圆形的，树皮不是光滑的，闪电也不是一条直线。
——分形几何学之父Benoit Mandelbrot话说在一个世纪以前，数学领域相继出现了一些数学鬼怪，其整体或局部特征难以用传统的欧式几何语言加以表述。
著名的数学鬼怪包括处处不稠密而完备的Cantor集，每段长度都无限而围成有限面积的Koch曲线，面积为零而周长无限的Sierpinski三角形。
Koch 曲线Sierpinski 三角形这些数学鬼怪曾缠绕数学家多年，直到20世纪后半叶，才被美籍法国数学家Benoit Mandelbrot创立的分形几何学彻底制服。
分形几何学是新兴的科学分支混沌理论的数学基础。
1967年Mandelbrot在美国《科学》杂志上发表了题为“英国的海岸线到底有多长”的划时代论文，该文标志着分形萌芽的出现。
在这篇文章中Mandelbrot证明了在一定意义上任何海岸线都是无限长的，因为海湾和半岛会显露出越来越小的子海湾和子半岛，他将这种部分与整体的某种相似称为自相似性，它是一种特殊的跨越不同尺度的对称性，意味着图案之中递归地套着图案。
事实上，具有自相似性的现象广泛存在于自然界中，这些现象包括连绵起伏的山川，自由漂浮的云彩，江河入海形成的三角洲以及花菜、树冠、大脑皮层等等。
Mandelbrot将具有自相似性的现象抽象为分形，从而建立了有关斑痕、麻点、破碎、缠绕、扭曲的几何学。
这种几何学的维数可以不是整数，譬如Koch曲线的维数约为1.26，而Sierpinski三角形的维数则接近1.585。
分形植物（在生成分枝形状和叶片图案时遵循简单的递归法则）分形闪电（经历的路径是逐步形成的）Mandelbrot研究了一个简单的非线性迭代公式xn 1=xn2 c，式中xn 1和xn都是复变量，而c是复参数。
Mandelbrot发现，对某些参数值c，迭代会在复平面上的某几点之间循环反复；而对另一些参数值c，迭代结果却毫无规则可言。
生物学中的混沌与分形
生物学中的混沌与分形生命是一种神秘而又复杂的存在，生物学作为探究生命奥秘的学科，也常常涉及到许多神秘和复杂的现象。
混沌与分形是生物学中的两个非常重要的概念，它们被广泛地应用于生物学的研究当中，帮助我们更好地理解生物系统内部的复杂性和耦合性。
一、混沌理论在生物系统中的应用混沌现象是指一些看似随机但却呈现出复杂规律性的现象。
在生物学中，混沌现象常常出现在神经系统、心血管系统、生物钟和遗传系统等方面。
比如，在心血管系统中，心跳的节律可以被认为是一种混沌现象，这是由于心跳周期的长短具有一定的随机性和不确定性，但是却呈现出一定的规律性。
混沌理论在生物学研究中的应用主要体现在以下几个方面：1. 生物信息处理在生物信息处理方面，混沌理论可以用于建立神经网络模型，帮助我们更好地模拟和理解神经元之间的交互过程。
此外，混沌理论还可以用于分析遗传密码子序列的随机性和复杂性，从而预测基因的功能和表达方式。
2. 生物节律研究在生物节律研究方面，混沌理论主要用于描述生物节律的复杂性和分层性。
例如，在赤潮生态学研究中，混沌现象被广泛应用于描述藻类群体的生长和迁移规律。
3. 生物系统稳定性分析混沌现象还可以用于分析生物系统的稳定性和复杂性。
生物系统中存在大量的非线性和随机性因素，例如，天气变化、食物链的变幻、天敌的侵袭等等，这些因素会影响生物群体的数量和分布。
混沌理论可以帮助我们更好地理解这些因素对生物系统稳定性产生的影响。
二、分形理论在生物系统中的应用分形是指一些看似简单却却具有内部复杂性和自我相似性的几何形状。
在生物学中，分形理论主要用于描述自然造型和空间分布的复杂性。
分形理论可以很好地表达生物体内部的分形结构、分形外表面以及分形空间分布等特征。
分形理论在生物学研究中的应用主要体现在以下几个方面：1. 生物形态研究在生物形态研究方面，分形理论主要用于描述生物体内部的分形结构和外表面的复杂性。
例如，分形理论可以很好地解释树枝结构、花瓣形态以及动物骨骼的结构等种种形态特征。
非线性动力学混沌和分形
非线性动力学混沌和分形非线性动力学是研究非线性系统行为的学科，其中混沌和分形是两个重要的概念。
本文将从混沌和分形的定义、产生原因以及在自然界和科学领域的应用等方面，探讨非线性动力学中的混沌和分形现象。
一、混沌的定义和产生原因混沌是指在非线性系统中表现出的随机、不可预测的行为。
它与线性系统中稳定、可预测的行为形成对比。
混沌的产生是由于非线性系统的敏感依赖性和非周期性。
非线性系统中存在着参数的微小变化对系统行为的剧烈改变的敏感依赖性。
也就是说，微小的输入扰动会在系统中产生指数级的放大效应，导致系统行为出现不可预测的、随机的演化轨迹。
非周期性是混沌的另一个重要特征。
与周期行为不同，混沌系统的演化轨迹不会重复，而是具有无限多的轨迹。
这种非周期性导致了混沌系统的随机性和不可预测性。
二、分形的定义和产生原因分形是指具有自相似性质的几何结构。
这种自相似性是指无论在何种尺度上观察，都能看到相似的图形形态。
分形在数学上可以通过重复迭代、自身放缩等方式来构造。
分形的产生原因与非线性动力学中的迭代过程密切相关。
在迭代过程中，每一次迭代都会根据某种规则对前一次结果进行变换或修改。
这种迭代的特性导致了分形的自相似性质。
三、混沌和分形在自然界中的应用混沌和分形不仅存在于数学和物理领域，也广泛存在于自然界中的各种系统中。
1. 混沌天气模型气象系统是典型的非线性系统，其中存在着许多复杂的变量相互作用。
应用混沌理论来模拟天气系统，可以更好地理解和预测天气变化。
例如，洛伦茨模型是一个典型的混沌系统，通过该模型可以模拟大气环流的混沌行为。
2. 分形地貌自然界中的许多地貌形状具有分形的特征。
例如，河流的分岔结构、山脉的起伏形态都展现了自相似的分形结构。
分形地貌的研究有助于了解地壳运动和地表形态的演化机制。
3. 植物生长模型植物生长是一个既复杂又多变的过程，涉及到生理、环境和遗传等多个因素的交互作用。
应用非线性动力学的方法，可以通过建立植物生长模型，研究植物生长的混沌行为以及其对环境的响应。
分形和混沌
作为非线性科学三大理论前沿之一的分形理论,具有 一些不同与整形(欧氏几何里具有整数维的几何图形) 的特点,概括有五个基本特征或性质.
形态的不规则性.它是如此的不规则,以致不能用传统的 数学语言来描述; 结构的精细性,即具有任意小的比例细节; 局部与整体的自相似性,即局部与整体具有自相似性(这 种自相似性可以是严格的,近似的或统计的); 维数的非整数性,它的维数一般是分数的,并且大于其拓 扑维数; 生成的迭代性,分形虽然具有复杂结构,但是通常可以用 迭代方法生成.
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下面我们来讲混沌的特性。
（1）确定系统的内在随机性. 混沌现象是由系统内部的非线性因素引起 的，是系统内在随机性的表现，而不是外来随 即扰动所产生的不规则结果。混沌理论的研究 表明，只要确定性系统中有非线性因素作用， 系统就会在一定的控制参数范围内产生一种内 在的随机性，即确定性混沌。 混沌现象是确定性系统的一种“内在随机 性”，它有别于由系统外部引入不确定随机影 响而产生的随机性。为了与类似大量分子热运 动的外在随机性和无序性加以区别，我们称所 研
初值x0与x0’之差z= | x0’- x0 |=13/(7* 23002) =1/ 10900是 非常小的，但经过3002次迭代之后结果就完全不同了。这就是 说， x0小数的前900位（或二进制的3002位）信息完全丧失。 这里并没有在迭代中进行“舍入”处理，而完全是由于初值的 不确定性造成的。
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我们再看一个著名的例子——“蝴蝶效应”.洛仑兹有一 个形象的比喻“巴西的一只蝴蝶扇动几下翅膀,可能会改变3 个月后美国得克萨斯的气候”。他说明了天气演变对初值 的敏感依赖性。用混沌学的术语表述就是，系统的长期行 为对初值的敏感依赖性。
（1）混沌的定义 （2）混沌的特性：
分形数学和混沌动力学的应用
分形数学和混沌动力学的应用分形数学和混沌动力学是当代科学中的两个重要分支，这两个科学领域一直在推动人类的科技和社会发展。
其中分形数学是指一种研究自相似和自校正的图形和模式的数学学科，而混沌动力学是研究复杂动态系统的定性和量化性质的数学分支。
在不同领域的应用中，这两个数学工具都有着非常广泛的应用。
一、分形数学的应用1. 绘图艺术分形可以作为一种绘图工具来创造出独特的图案和艺术作品。
利用计算机程序，可以轻松地绘制出各种奇妙的分形图形。
例如，曼德博集合是一种特殊的分形，可以用复数平面上的点作为初始值进行计算，最终得到一个有规律且具有吸引力的图案。
2. 经济学分形在经济学中有着广泛的应用。
某些市场中的价格变化和市场的行为可以通过分形来解释。
例如，股票价格和汇率的变化就具有分形特性。
研究这些分形模型可以帮助分析市场的变化和模式。
3. 生物学在生物学领域，分形被用于研究复杂的生物结构和系统，如血管分布、肺泡结构、心电图和DNA等。
通过分形分析，可以更深入地理解这些复杂系统的特性，并提供新的数据分析工具。
4. 地理学分形学可以用于研究地形地貌。
例如，分形分析可以帮助理解海岸线的弯曲程度和地质的形态，同时还可以用于海浪的形态和多汁沟谷的分形分析。
二、混沌动力学的应用1. 通讯加密混沌现象在通讯加密中被广泛应用。
通过使用混沌序列或流加密算法，可以有效地保护敏感数据的安全。
混沌动力学的特性，如无法预测、高度敏感性和随机性，可以用于建立高强度的加密算法。
2. 生物学混沌动力学的理论应用于生物学领域。
例如，生物钟的行动可以用混沌模型来模拟。
根据生物钟模型的预测，轻微的环境变化可以导致严重的失调。
此外，混沌动力学也用于研究心脏节律和癫痫发作。
3. 经济学混沌理论在经济学研究中也有着重要的应用。
例如，通过混沌模型可以研究金融市场的波动性和变化。
此外，混沌现象在个人财务规划和投资决策中也有广泛的应用。
4. 控制工程混沌现象可以用于设计混沌控制器，这种控制器可以将混沌动力学的随机性转换为稳定奇数。
动力系统理论中的混沌与分形
动力系统理论中的混沌与分形本文旨在探讨动力系统理论中的混沌与分形现象。
混沌与分形是动力系统理论中的两个重要概念，它们帮助我们理解非线性系统中的复杂行为。
通过对混沌和分形的介绍和解释，可以更好地理解这些现象对于动力系统理论的重要性。
一、混沌现象1.1 混沌的定义与特征混沌是一种看似随机、无序的、复杂的系统行为，但实际上具有确定性的特点。
混沌系统的演化过程是高度敏感的，微小的初始条件变化会导致系统行为的巨大差异。
1.2 混沌系统的示例尽管混沌系统无法通过常规的数学方法进行精确描述，但它们在自然界和科学领域中广泛存在。
例如，洛伦兹吸引子和双拱摆动等系统都展现了混沌行为。
1.3 混沌在动力系统中的应用混沌现象在动力系统控制和信息处理等领域有着重要的应用。
通过对混沌现象的研究，可以开发出一些混沌控制方法和混沌加密算法等技术。
二、分形现象2.1 分形的定义与特征分形是一种具有自相似性的几何形状。
分形对象的局部部分与整体之间存在着相似的结构，无论是放大还是缩小都能看到相似的形态。
2.2 分形的分类与例子分形可以分为确定性分形和随机分形，分形的例子包括科赫雪花曲线、谢尔宾斯基三角形和曼德尔布罗集合等。
2.3 分形在动力系统中的应用分形几何在动力系统的建模和分析中有广泛应用。
例如，在天气系统中，分形几何可以用来描述云朵的形状和天气的变化规律。
三、混沌与分形的关系混沌和分形都是非线性动力系统中的重要现象，它们之间存在着紧密的联系。
3.1 分形维度与混沌系统混沌系统的分维度是一个重要的非线性度量指标，在描述混沌系统的复杂性和自相似性方面起着关键作用。
3.2 分形分析揭示的混沌机制分形分析方法能够揭示混沌系统中的规律和结构。
通过分形分析可以得到混沌系统的分维度、分形维数等重要参数，从而更深入地理解混沌现象。
结论混沌与分形是动力系统理论中的重要概念，它们对于我们理解非线性系统中的复杂行为起到了关键作用。
混沌现象展示了非线性系统的敏感依赖性和不确定性，而分形则展示了系统的自相似性和复杂性。
给中学生的纯科普——分形与混沌
给中学生的纯科普——分形与混沌下面我们开始分别介绍分形与混沌。
分形是具有以非整数维形式充填空间的形态特征，通常被定义为一个粗糙或零碎的，Mandelbrot于1973年首次提出了分维和分形的思想。
分形是一个数学术语，也是一套以分形特征为研究主题的数学理论。
分形理论既是非线性科学的前沿和重要分支，又是一门新兴的横断学科，是研究一类现象特征的新的数学分科，相对于其几何形态，它与微分方程与动力系统理论的联系更为显著。
分形的自相似特征可以是统计自相似，构成分形也不限于几何形式，时间过程也可以，故而与随机过程中的鞅论关系密切。
上图可以看到西兰花一小簇是整个花簇的一个分支，而在不同尺度下它们具有自相似的外形。
故较小的分支通过放大适当的比例后可以得到一个与整体几乎完全一致的花簇，因此可以说西兰花簇是一个分形的实例。
分形一般有以下特质：在任意小的尺度上都能有精细的结构；太不规则以至难以用传统欧氏几何的语言描述；自相似Hausdorff维数会大于拓扑维数；且有著简单的递归定义。
（1）分形集都具有任意小尺度下的比例细节，或者说它具有精细的结构。
（2）分形集不能用传统的几何语言来描述，它既不是满足某些条件的点的轨迹，也不是某些简单方程的解集。
（3）分形集具有某种自相似形式，可能是近似的自相似或者统计的自相似。
（4）一般，分形集的分形维数严格大于它相应的拓扑维数。
（5）在大多数令人感兴趣的情形下，分形集由非常简单的方法定义，可能以变换的迭代产生。
Koch曲线是一种外形像雪花的几何曲线，所以又称为雪花曲线，它是分形曲线中的一种，其Hausdorff维数是ln4/ln3，具体画法如下: （1）任意画一个正三角形，并把每一边三等分；（2）取三等分后的一边中间一段为边向外作正三角形，并把这“中间一段”擦掉；（3）重复上述两步，画出更小的三角形。
（4）一直重复，直到无穷，所画出的曲线叫做Koch曲线。
混沌（chaos）是指确定性动力学系统因对初值敏感而表现出的不可预测的、类似随机性的运动。
物理学新进展-分形与混沌
•(4)Logistic映射和Tent映射的叠加序列吸引子
•图(5)Logistic映射和Henon映射的叠加序列吸引子
图(6)Tent映射和Henon映射的叠加序列吸引子
控制混沌
• “混沌”一词古已有乊。中国古代哲学认为，开天辟地乊 前宇宙始亍一片混沌乊中。现代科学家也认为，今天的宇 宙始亍大爆炸，起初处亍一种高度对称统一的状态。随着 宇宙的膨胀和温度降低，在一定条件下发生了内部对称性 的自发破缺，它们才逐步分离开来。无法匙分，就意味着 缺少差异、缺少结构，看上去就是一片混沌。
• • • • • • 对宠观世界的几何描述 在物理领域的应用 在气象领域的应用 分形地貌学 在计算机领域的应用 在社会科学和艺术领域
分形天线
分形艺术
分形IC卡
二混沌
• • • •
（一）什么是混沌 （二）混沌的普遍性 （三）混沌简介 （四）混沌的应用
（一）什么是混沌
2.洛伦兹吸引子
贝纳德对流实验
洛伦兹吸引子
3.贝克尔变换
（四）混沌的应用
• 对小行星带不地球上流星的描述 • 控制混沌 • 混沌保密通信
耗散系统（能量丌守恒的 有摩擦的系统）中的混沌
保守系统（能量守恒的 无摩擦系统）中的混沌
混 沌 的 叠 加
图(1)两个Logistic映射的叠加序列吸引子 图(a)Logistic映射的重构吸引子 图(2)两个Tent映射的叠加序列吸引子 图(b)Tent映射的重构吸引子 图(3)两个Henon映射的叠加序列吸引子 图(c)Henon映射的重构吸引子
• 罗网的隐喻中表现得很充分。据说在因陀罗的天堂里有一 张宝石的网，人们可以从其中一个宝石看到反映出来的其 他所有宝石。自相似性深刻地揭示了部分不部分、部分不 整体相似这一宇宙的基本觃律。实际上，部分不整体相似 意味着部分包含了整体的全部信息。在国内，“全息”的 概念，已迚入了科学的各个领域，产生了时间全息、思维 全息、情感全息、文化全息、生物全息、社会全息、。宇 宙全息等。其实，全息理论中的“全息元”’就相当亍分 形理论中的“分形元”戒“生成元”。唯物辩证法告诉我 们，整体和部分是对立的统一；整体以部分为基础，部分 以整体为归宿。’全息相当亍分形的自相似结构。
分形与混沌理论浅说
分形与混沌理论浅说有一个非常有趣的游戏,叫做猜一猜这个物品的价格，玩者只要报数值，而对方只要说对与错，玩者就可以逐渐知道物品的价格,而在无限的时间内，它的范围可以由大到小，由无数混沌的数值到精确的数值，恭喜你答对了。
计算机是二进制语言，那么是否可以将计算机变成一种预测工具呢？只要我们把从古到今所有知识信息收集起来，或是尽量收集起来，实际上计算机程序就能完成预测，你只需要问计算机问题，而计算机把问题分解为一系列的“是”与“否”，那么无论再复杂的问题都可以在几分钟内揭晓，如果这种软件可以开发，因为信息的有限不一定可以百分之一百预测，但却可以大体上预测的效果,并细小到个体事物,那么每个人都可以成为拥有类似特异感觉这样的预言先知了，因为存在个人信息库中的信息被联系与全息利用并诱导了出来，计算机并不是告诉你结果，结果是一种非线性过程，而是将正确与错误分别归类,这是计算机系统的强项也是相对可操作的，比如土豆是一种蔬菜，一种生物，一种植物，一种物质,一种自组织，是原子构成的等,那么将土豆的大体全息信息编写入计算机程序中,以此类推把各种信息以此归类组合,那么当你问这个物体是否是动物时，答案就会直接出现“否”，而答对就会出现“是”。
假如我们将人类已知的信息，可以包括宇宙，宗教,历史文化，哲学，科学，社会学，心理学，日常常识以及新发现的知识全息展开编入计算机，那么这套软件足以象《周易》一样预测未来信息了。
在《易经》体系中，所谓的占卜并不是偶然的，古代占卜是利用人脑潜意识对全息信息的判断，其特点不是逻辑判断而是在类似迷糊状态的认知反映到个体判断上，而达到预测的目的。
那么是否每个偶然的状态都有其存在意义呢？问题并非那么简单,这个问题还涉及并回到简单性与复杂性，混沌与有序上.占卜虽然是古代迷信的产物，但却也是潜意识的外化语言，是内化语言的摹本，也就是说在模拟练气功时调动出的潜意识,调动内在神灵,可以神通或特异感知的外化语言方式，其特点是偶然性或概率性，计算机也能协调完成做到这一点，而缺点在于需要通过你的自问自答，不出几分钟，你可以知道一件你从来没有看见过的东西的来历。
混沌理论和分形理论有什么不同？
混沌理论和分形理论有什么不同？混沌理论解释了为何看似完全确定的方程（包括微分方程和迭代方程），但仍然会出现一些看似「随机性」的东西。
与真正的「随机」现象不同，「混沌」虽然表面上看起来没有规律，但其迭代的模式（或者其微分方程的形式）则是可以确定的。
例如大家熟悉的「蝴蝶效应」，就来源于微分方程求解中的一个实际问题，只要初始条件一些微小的变动，方程后续的演化就会非常不同，尽管方程是确定性的，但方程后续的演化却是不确定的。
分形理论希望解释世界上的各种自相似现象以及有关「维度」的问题。
自相似其实很好理解，一个系统的局部可能与整个系统有某种相似性，一棵树上的一个分支与整棵树是非常相似的，这就是「自相似性」。
而「维度」则与度量有关，我们要度量一根线的长度，我们可以拿一维的尺子来测量，我们要度量一个圆的面积，我们可以用一些小方格去覆盖它，这些小方格就是二维的尺子，可如果是一条弯弯曲曲的线，那么用一维的尺子会得到无穷大的结果，可二维的尺子又测不到任意的面积，这表明在一维和二维之间还有着在此之间的分形维度。
而这二者之间也有联系，这二者都与「迭代」有关。
混沌研究的是「迭代」本身的性质，而分形研究的是一种让系统保持（在各尺度下）性质不变的「迭代」；同时，这二者还都与复杂性有关，一个系统要最「复杂」，常常会处在「混沌边缘」，从而自然演生出各种自相似（分形）特征。
国学解量子古今发先声这二个理论纠缠都是人类思维向自然界的复杂性宣战的工具。
但各有其要点，混沌致力于从复杂性中用代数法则找出那相对稳定的准规律，而分形则立足于从几何的角度从不规则几何形态，如云，乱流，网落，树皮，复杂地形(海岸线曲折)找出自相似性，包括对称，映射与微结构。
分形几何学起于六十年代从股票曲线峯值与屁股的比例入手，所谓高峰与大屁股同时存在于一个股票曲线中，而这是动态图像中捕捉到的瞬间变化中，可用作预报市场之用，如美国的伊利诺波形分析。
创建于2017.12.13净观山王混沌理论：核外电子的轨速是倾斜的运转表现出来电磁场也都是倾斜的波动（没有一个是正对称形的）。
分形与混沌理论在金融市场中的应用
分形与混沌理论在金融市场中的应用一、引言分形与混沌理论源于数学领域，是一种研究自然、社会现象的新方法。
随着计算机技术的快速发展，分形与混沌理论得到了广泛的应用。
金融市场是一个充满着变化和不确定性的复杂系统，分形与混沌理论在其研究中得到了广泛的应用。
二、分形理论在金融市场中的应用分形理论是一种描述自然界中不规则、复杂结构的新方法，其应用在金融市场中主要有以下几个方面。
1、分形几何分形几何是分形理论的重要组成部分，它可以用来描述金融市场中的价格运动。
股票价格的变化不是线性的，而是充满着不规则的波动，这种波动可以用分形几何来描述。
利用分形几何可以分析出股票价格的分形特征，比如股票价格的分形维度，这个维度可以用来评估股票价格变动的趋势，判断股票价格的涨跌。
2、分形时间序列分形时间序列是指具有分形性质的时间序列，它可以用来描述金融市场中的价格变化。
分形时间序列具有自相似性、长程相关性和滞后效应等特点。
通过分析分形时间序列，可以发现价格变化的模式，预测股票价格未来的走势。
此外，分形时间序列还可以用来建立金融市场的模型，帮助我们更好地理解金融市场中的价格运动。
三、混沌理论在金融市场中的应用混沌理论是指描述非线性动力学系统的新理论，其应用在金融市场中主要有以下几个方面。
1、混沌分析混沌分析是混沌理论的核心内容，它可以帮助我们发现金融市场中的混沌现象。
股票价格的变化不是线性的，而是充满着反复出现的不规则波动，这种波动与混沌现象密切相关。
混沌分析可以用来分析股票价格的不规则波动，找到价格变化的规律，预测股票价格未来的变化。
2、混沌控制混沌控制是利用控制理论来控制混沌系统的方法，其应用在金融市场中可以帮助我们控制风险、提高收益。
金融市场是一个充满着变化和不确定性的复杂系统，利用混沌控制可以找到一种合适的控制方法，降低风险，提高收益。
四、结论分形与混沌理论在金融市场中得到了广泛的应用，其结合金融学、计算机科学等学科，成为研究金融市场中的复杂系统的重要方法。
动力系统理论中的混沌与分形研究
动力系统理论中的混沌与分形研究动力系统理论是研究描述物体运动规律的数学理论。
其中的混沌与分形研究是动力系统理论中的重要内容。
混沌理论描述了一种看似无序但却具有确定规律的运动状态，而分形理论则描述了不规则而又自相似的几何形态。
本文将从混沌和分形的基本概念入手，介绍动力系统理论中的混沌与分形研究的应用与意义。
一、混沌的基本概念混沌，顾名思义，是一种“无秩序”的状态。
然而，在混沌现象背后却存在着确定的规律。
在动力系统理论中，混沌是指非线性系统在某一特定参数范围内产生的不可预测的运动状态。
混沌的特点表现在两个方面：灵敏依赖于初始条件和对微小扰动的放大。
这意味着微小的初始条件变化可以导致系统最终状态的巨大差异，即所谓的蝴蝶效应。
混沌在天气预报、金融市场和生物系统中的应用都存在广泛而重要的意义。
二、分形的基本概念分形，是指一种具有自相似性的几何形态。
分形意味着物体的每一部分都是整体的缩小或放大。
分形的特点是不规则性与自相似性。
在动力系统理论中，分形被广泛应用于描述复杂非线性系统的结构与形态。
分形理论的应用可见于自然界中的云朵形态、海岸线的曲折程度等。
三、混沌与分形的关系混沌与分形是动力系统理论中密切相关的两个概念。
虽然混沌和分形可以被看作是两个独立的概念，但在动力系统中它们往往相互关联。
事实上，混沌与分形更多是作为动力系统理论中的研究手段和表征方法，用于描述非线性系统的运动特征和结构特征。
混沌和分形不仅在自然科学中有重要应用，在社会科学和人文科学中也有广泛的研究价值。
四、混沌与分形的应用与意义混沌与分形在多个领域的应用与意义不可忽视。
在天气预报中，混沌理论的应用可以帮助提高预测准确度；在金融市场中，分形理论可以帮助分析市场波动性和趋势；在生物系统中，混沌理论与分形理论可以帮助理解生物系统的复杂性与变异性。
此外，在信息科学、图像处理、信号处理等领域，混沌与分形的研究也具有重要的应用意义。
总结起来，动力系统理论中的混沌与分形研究对于深入理解非线性系统的运动规律和结构特征具有重要意义。
非线性科学中的混沌与分形
非线性科学中的混沌与分形在现代科学的发展中，非线性科学已经成为了一个重要的领域。
这个领域涉及的领域十分广泛，涵盖了自然、社会、经济等各个方面，而其中一个重要的现象就是混沌和分形。
混沌这个术语源于希腊语的“kháos”，意为一团混乱的东西。
在科学中，混沌指的是一种似乎杂乱无章、难以预测的、非周期性的运动行为。
这种行为最初被发现于一些简单的动力学系统中，其中最具代表性的就是洛伦兹系统。
在该系统中，一些看似微不足道的因素，比如初值的微小变化，都可能导致系统的轨迹发生巨大的变化。
这种敏感性以及混乱的现象引发了科学家的极大兴趣，也激发了他们对于混沌的深入研究。
近年来，混沌现象不仅在动力学系统中被广泛研究，还广泛存在于天体力学、地球物理学、化学、经济学、生物医学等领域中。
人们认识到混沌现象的重要性，尝试发展出一些新的方法和技术来描述和预测这种现象。
分形是另一个重要的非线性科学概念。
简单来说，分形就是一种具有自相似性的几何形状。
这种形状不仅在数学中被广泛研究，还在实际应用中得到了广泛的应用。
例如，树枝、海岸线、云朵、山脉等自然界中的许多形状都可以被描述成分形。
在现代科技发展的背景下，分形已经成为了一种重要的理论和实践基础，尤其在数字信号处理、图像处理以及人工智能等领域中得到了广泛应用。
分形帮助人们更好地理解并描述了一些复杂的自然现象。
例如，分形维数可以用来描述一个曲线或者一片区域的复杂程度。
比如，一条直线的分形维数为1，而曲线的分形维数则可能比1更大。
这种分形维数的概念可以帮助人们更好地理解自然界的复杂性，并为研究复杂性提供一些新的工具和方法。
总而言之，混沌和分形是非线性科学中最重要的两个概念之一。
混沌描述了一种非周期性、不可预测性的运动行为，而分形描述了一些自相似的几何形状。
这些概念在科学研究中得到了广泛的应用，成为了科学研究和应用发展的重要基础。
虽然这些概念看起来有些抽象和难以理解，但是它们为我们认识和探索自然界提供了一些新的工具和方法。
分形和混沌（转载）
分形和混沌（转载）分形和混沌（转载）(2010-08-27 19:20:40)转载标签：股票分类：理财之道财经（“混沌”⼀词的字⾯解释，有两个含义：⼀指多个组织构成的极端复杂的系统运⾏的状态；另⼀含义则指⼀种更⾼层次的秩序，或者可以理解为世间万事万物运⾏背后的真正的普适规律。
本⽂所指是后者。
） 是什么使⼀项才获诺贝尔奖的对冲套利理论，在强⼤计算机系统配合下，仅⼀年后即成巨型基⾦⽼虎破产的主因？⼜是什么使美国防部耗时数年的预测报告，仅因漏算了⼀只蝴蝶翅膀的扇动，预想的景致便⾯⽬全⾮？什么样的巨⼿成就了索罗斯，不久⼜肢解了量⼦基⾦？是什么使得⼈类百年地震预测史，成为百次预测九⼗九次失误的历史？千百年来，⼈类对预知未来的渴望⽆⽇稍减，但每年价值两千亿美元的预测产业，多数成果都被时间⽼⼈轻易废掉？科学的发展⾄今，⼈们已可轻易算出银河系内任⼀星体明年此时的准确位置，那么能不能也同样算算我股票明天此时的价格呢？预测是⼈类最⼤的梦想，但⾯对环环相扣的复杂组织系统，任何单⼀或复杂的单向性思考，都告⽆效。
那么，放弃预测，已成过去的历史，可以被解释清楚吗？科学家们提出的恐龙灭绝原因已超过千种：⼩⾏星撞击、海平⾯下降、⼆氧化碳窒息、⽕⼭、地震、过于⼲旱、过于潮湿、过暖、过寒、甚⾄四肢太重使之不能交配，等等；温室效应、海底⽕⼭、⼤⽓环流、⽔含盐量、信风逆转等，也丝毫改变不了“厄尔尼诺”继续依然故我的幽灵般游荡——致巴西暖冬如夏，智利沙漠汪洋，中美饱受龙卷风之苦，北美⼲旱产⽣森林⼤⽕，⽇本歌⼭飓风海啸，加拿⼤西部颗粒⽆收……⾦融市场更难琢磨，世贸谈判、扩容计划、利率政策、数百种国有股减持⽅案的反反复复、更有北约、⾮典等⽆数突发事件；基⾦、互联⽹这样的长期⼤事件；创业板、期指等永远的远景……之前⼏乎没有任何⼈料准，之后也没能达成些许的共识。
⽆数经济派系与理论依据，千百万种声⾳永远的争执⽆休，百年前如此，⼗年前如此，今天依然如此。
第十章混沌与分形
Biblioteka 混沌与分形是同一种规律的不同表现，这种统 一的规律表现为混沌是在时间尺度上反映了世 界的复杂性，分形则是在空间尺度上反映了世 界的复杂性。 当非线性动力系统进入混沌区域后，在混沌 区域存在着几何上精细的结构和自相似嵌套的 特征，具有分数维数，运动具有高度的不规则 性。系统通过简单的方式如递归(迭代)即可出 现混沌，这些特点恰是分形所具有的特征。 这种统一的规律反映在空间分布上即为分形， 出现在时间分布上则表现为混沌。
这个定义虽然把具有分数维的一大类分形集都 包括进去了，但把某些维数为整数的分形集都 排斥在外。
1986年曼德布罗特又给出了关 于分形的另一个定义：
A fractal is a shape made of parts similar to the whole in some way． (分 形是其组成部分以某种方式与整体相似 的一种形体) 在这个定义里，突出了分形的典型特 征：自相似性,即部分与整体具有某种程 度的自相似性，而分形体的维数又不必 为整数。
1989年，英国数学家法尔科尔 (Falconer)《分形几何，数学函 数及应用》
1.分形具有精细结构，即有任意小比例的不规 则的细节，具有无标度性。 2.分形具有高度的不规则性，以至于无论它的 局部还是它的整体都无法用传统的微积分或几 何语言来描述。 3.分形具有某种统计意义或近似意义的自相似 性。 4.分形的分数维数严格大于它的拓扑维数。 5.分形的生成方式很简单，比如可以用递归方 式生成。 6.分形通常有“自然”的外貌。
能力培养、 团队精神、 能力培养、全局思维
分形企业与传统企业的比较
传统企业 企业是集中式、层次式直线结构 按功能分解组织结构 员工间相互不信任 强调外界控制，决策权集中 分形企业 非集中式、内相关、扁平、分形的网络结构 按任务或产品分解组织结构 员工间相互信任 强调自我监控，将决策权分散，下放到可能 出现问题并需要做出决策的地方 企业以线性、稳定、可预测和可控的方式发 展 工作内容细化、单调 企业跳跃式发展， 按照概率的规律进行变化， 这是可控的但不是可确定的发展 工作内容丰富，包含高深的知识内容，以便 于工作人员有机会不断提高自己的知识水 平，增加工作的趣味
分形与混沌
虽然距离最终认清它们还很远，但
现在已有人进行利用混沌过程预测和控制
癫痫，心律不齐等等病症。
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2. 对于气象学研究(yánjiū)方面， 似乎混沌动力学的发展排除了长期预报的 可能性。
但是另一方面我们现在对于预报问 题有了更符合实际的态度。其实对短期预 报和长期预报的要求从来不同。
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只有对于短期预报(yùbào)， 我们才关心变化的细节。对于长 期预报(yùbào)，人们更注意各种 平均量的发展趋势，例如今后20 年内湖南年降水量的多少。
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• 混沌的发现和混沌学的建立，同相对论 和量子论一样，是对牛顿确定性经典理论 (lǐlùn)的重大突破，为人类观察物质世界打 开了一个新的窗口。
• 所以，许多科学家认为，20世纪物理学 永放光芒的三件事是：相对论、量子论和 混沌学的创立。
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混沌(hùndùn)学的应用
1.通过对生命现象进行的考察，发 现各种各样的生物节律既非完全周期，又 不可能属于纯粹随机，它们既有与自然界 周期（季节，昼夜等）协调的一面，又有 着内在的复杂性质。
• 如果你用更小的尺子来刻画这些细小之处，就 会发现，这些细小之处同样也是无数的曲线 (qūxiàn)近似而成的。随着你不停地缩短你的 尺子，你发现的细小曲线(qūxiàn)就越多，你 测得的曲线(qūxiàn)长度也就越大。
• 如果尺子小到无限，测得的长度也是无限。
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研究(yánjiū)对象（续）
• 从上面的等式(děngshì)中可以看到,r 的 幂次实际就是该几何体的空间维数,可以 表示为:
•
n • rD = 1
• •
对上式两边取D对数得ln: n
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可能有人感到，只有欧几里得几何的正 规形状才能应用在科学中，然而上述新的形 式却从不同的透视角度向我们提供了认识自 然的观点。分形是一个新的数学领域--有时 也把它归为自然界的几何，因为这些奇异而 混沌的形状，不仅描绘了诸如地震、树、树 枝、生姜根、海岸线等自然现象，而且在天 文、经济、气象、电影制片等方面也有广泛 应用。
曼德勃罗集是人类有史以来做出的最奇异,最瑰 丽的几何图形.这个点集均出自公式:Zn+1=Z2n+C,这 是一个迭代公式,式中的变量都是复数.这是一个大 千世界,从他出发可以产生无穷无尽美丽图案,他是 曼德勃罗教授在二十世纪七十年代发现的.
你看上图中,有的地方象日冕,有的地方象 燃烧的火焰,只要你计算的点足够多,不管你 把图案放大多少倍,都能显示出更加复杂的 局部.这些局部既与整体不同,又有某种相似 的地方,好像着梦幻般的图案具有无穷无尽 的细节和自相似性.曼德勃罗教授称此为"魔 鬼的聚合物".为此,曼德勃罗在1988年获得 了"科学为艺术大奖".请看如下的图形产生过 程,其中后一个图均是前一个图的某一局部 放大:
上图中的风景图片又是说明分形的另一很 好的例子。这张美丽的图片是利用分形技术生 成的。在生成自然真实的景物中，分形具有独 特的优势，因为分形可以很好地构建自然景物 的模型。
除了自相似性以外，分行具有的另一 个普遍特征是具有无限的细致性。上面的 动画所演示的是对Mandelbrot集的放大， 只要选对位置进行放大，就会发现：无论 放大多少倍，图象的复杂性依然丝毫不会 减少。但是，注意观察上图，我们会发现： 每次放大的图形却并不和原来的图形完全 相似。这告诉我们：其实，分形并不要求 具有完全的自相似特性。
不管你信不信，上面的这张月球表面的照片 也是用分形技术生成的。如果你把图片放大观看， 也可以看到更加细致的东西。因为，分形能够保 持自然物体无限细致的特性，所以，无论你怎么 放大，最终，还是可以看见清晰的细节。
Kohn雪花和Sierpinski三角形也是比较 典型的分形图形，它们都具有严格的自相 似特性（仔细看看，是不是这样？）。但 是在前面说述的Mandelbrot集合却并不严 格自相似。所以，用“具有自相似”特性来 定义分形已经有许多局限了。
分形几何
普通几何学研究的对象，一般都具有整数 的维数。比如，零维的点、一维的线、二维的 面、三维的立体、乃至四维的时空。最近十几 年的，产生了新兴的分形几何学，空间具有不 一定是整数的维，而存在一个分数维数，这是 几何学的新突破，引起了数学家和自然科学者 的极大关注。
严格地而且正式地去定义分形是一件非常 复杂而且困难的事情。但是，有一些不太正 规的定义却可以帮助我们理解分形的含义。 在这些定义中，最为流行的一个定义是：分 形是一种具有自相似特性的现象、图象或者 物理过程。也就是说，在分形中，每一组成 部分都在特征上和整体相似，只仅仅是变小 了一些而已。
让我们来看下面的一个例子。下图是 一棵厥类植物，仔细观察，你会发现，它 的每个枝杈都在外形上和整体相同，仅仅 在尺寸上小了一些。而枝杈的枝杈也和整 体相同，只是变得更加小了。那么，枝杈 的枝杈的枝杈呢？自不必赘言。
如果你是个有心人，你一定会发现在自 然界中，有许多景物和都在某种程度上存在 这种自相似特性，即它们中的一个部分和它 的整体或者其它部分都十分形似。其实，远 远不止这些。从心脏的跳动、变幻莫测的天 气到股票的起落等许多现象都具有分形特性。 这正是研究分形的意义所在。例如，在道· 琼 斯指数中，某一个阶段的曲线图总和另外一 个更长的阶段的曲线图极为相似。
ห้องสมุดไป่ตู้
研究对象
有一类问题却比较特别，Mandelbrot就提出 了这样一个问题：英国的海岸线有多长？
英国的海岸线地图
Koch 曲线
Koch 曲线（续）
Koch曲线曾经在数学界成为一个魔鬼。 同样的道理：长度无限、面积为零、而曲线 还有“界”。 另外，有一个特点：当取其中的一部分展开， 与整体有完全的自相似性，似乎是一个什么 东西的无数次的自我复制。
具有无限嵌套的自相似结构是混沌 现象的普遍特性。
Julia Set
Julia Set: Zn+1 = Zn2 + C
令複數 C 為一定值，將 Z 平面上任意一點代入，則 Z 平面上部分區域收斂，部分區域發散， 而發散與 收斂區域間的邊界，即為 Julia Set 的圖形。 根据C、Z0的不同会生成不同的Julia集合
Logistic集
所谓无限嵌套的自相似结构说得通俗 一些即局部与整体相似。对局部放大后的 形象与整体形象相同或近似相同。除上面 讲到的周期窗口外，以下一些时间或空间 序列的自相似结构实例也必将有助于我们 的理解。
雪花，(2)闪电，(3)血管系统，(4)海 岸线，(5)鹦鹉螺，(6)菜花，(7)雏型村， (8)谢尔宾斯基垫片，(9)某人在看电视， 电视中还是某人在看电视······， (10)布朗运动，(11)社会经济的许多演化 过程，(12)一个故事：从前有座山，山上 有座庙，庙里有一个老和尚给小和尚讲故 事：从前有座山······请大家充分 发挥想像力，举更多的例子。
混沌
混沌可以说他是确定性的行为； 或者，若考虑他出现在稍微有点随机性的实 际系统中，也可以说他是近似与确定性的， 然而却不是看起来像确定性的。 在某些动力系统中，两个几乎一致的状态经 过充分长的时间后会变得毫无一致性。
Mandelbrot Set
在复平面中，M集是通过下述迭代式产生的： Zn+1=Zn^2+C。 其中，Z和c都是复数，由各自的实部 和虚部组成 Xn+1+iYn+1 = (Xn+iYn)2+Cx+iCy
从严格意义上讲，分形是这样一种对象， 将其细微部分放大后，其结构看起来仍与原 先的一样。这与圆形成了鲜明的对比，把圆 的一部分放大后便变得比较平直。分形可分 为两类：一是几何分形，它不断地重复同一 种花样图案；另一种是随机分形。计算机和 计算机绘图能够把这些“畸形怪物”可靠地带 回到生活中，在计算机的屏幕上，几乎能够 立即产生分形，并显示出它们奇妙的形状、 艺术图案或细微的景观。
分形与混沌
分形几何的基本思想
分形的思想
多少世纪以来，人们总是用欧几里得几 何的对象和概念（诸如点、线、平面、空间、 正方形、圆……）来描述我们这个生存的世 界。而非欧几何的发现，引进了描画宇宙现 象的新的对象。分形就是这样一种对象。
分形的思想初见于公元1875至1925年数学 家们的著作。这些对象被贴上畸形怪物的标 签，人们深信它没有丝毫的科学价值。它就 是今天人们众所周知的分形。分形一词是曼 德勃罗于1975年创造的，曼德勃罗在该领域 有着广泛的发现。
如下是产生上图的出发点
自然界中的其他事物
取下一片蕨类植物叶子似 乎与整体有某种相似性。 England的海岸线从视觉 上也感觉有某种自相似性
自然界中的分形
山
星 云
星
云
天空中的云朵 植物的叶子
毛细血管分布
视乳头旁毛细血管瘤 视网膜中央动脉颞上支阻塞
河流分布图
自然界中的分形
股票价格曲线 岩石裂缝 金属损伤裂缝 道路分布 神经末梢的分布 …………