分形与混沌

让我们来看下面的一个例子。下图是 一棵厥类植物，仔细观察，你会发现，它 的每个枝杈都在外形上和整体相同，仅仅 在尺寸上小了一些。而枝杈的枝杈也和整 体相同，只是变得更加小了。那么，枝杈 的枝杈的枝杈呢？自不必赘言。
如果你是个有心人，你一定会发现在自 然界中，有许多景物和都在某种程度上存在 这种自相似特性，即它们中的一个部分和它 的整体或者其它部分都十分形似。其实，远 远不止这些。从心脏的跳动、变幻莫测的天 气到股票的起落等许多现象都具有分形特性。 这正是研究分形的意义所在。例如，在道· 琼 斯指数中，某一个阶段的曲线图总和另外一 个更长的阶段的曲线图极为相似。
混沌
混沌可以说他是确定性的行为； 或者，若考虑他出现在稍微有点随机性的实 际系统中，也可以说他是近似与确定性的， 然而却不是看起来像确定性的。 在某些动力系统中，两个几乎一致的状态经 过充分长的时间后会变得毫无一致性。
Mandelbrot Set
在复平面中，M集是通过下述迭代式产生的： Zn+1=Zn^2+C。 其中，Z和c都是复数，由各自的实部 和虚部组成 Xn+1+iYn+1 = (Xn+iYn)2+Cx+iCy
Logistic集
所谓无限嵌套的自相似结构说得通俗 一些即局部与整体相似。对局部放大后的 形象与整体形象相同或近似相同。除上面 讲到的周期窗口外，以下一些时间或空间 序列的自相似结构实例也必将有助于我们 的理解。
雪花，(2)闪电，(3)血管系统，(4)海 岸线，(5)鹦鹉螺，(6)菜花，(7)雏型村， (8)谢尔宾斯基垫片，(9)某人在看电视， 电视中还是某人在看电视······， (10)布朗运动，(11)社会经济的许多演化 过程，(12)一个故事：从前有座山，山上 有座庙，庙里有一个老和尚给小和尚讲故 事：从前有座山······请大家充分 发挥想像力，举更多的例子。
来自百度文库
不管你信不信，上面的这张月球表面的照片 也是用分形技术生成的。如果你把图片放大观看， 也可以看到更加细致的东西。因为，分形能够保 持自然物体无限细致的特性，所以，无论你怎么 放大，最终，还是可以看见清晰的细节。
Kohn雪花和Sierpinski三角形也是比较 典型的分形图形，它们都具有严格的自相 似特性（仔细看看，是不是这样？）。但 是在前面说述的Mandelbrot集合却并不严 格自相似。所以，用“具有自相似”特性来 定义分形已经有许多局限了。
分形几何
普通几何学研究的对象，一般都具有整数 的维数。比如，零维的点、一维的线、二维的 面、三维的立体、乃至四维的时空。最近十几 年的，产生了新兴的分形几何学，空间具有不 一定是整数的维，而存在一个分数维数，这是 几何学的新突破，引起了数学家和自然科学者 的极大关注。
严格地而且正式地去定义分形是一件非常 复杂而且困难的事情。但是，有一些不太正 规的定义却可以帮助我们理解分形的含义。 在这些定义中，最为流行的一个定义是：分 形是一种具有自相似特性的现象、图象或者 物理过程。也就是说，在分形中，每一组成 部分都在特征上和整体相似，只仅仅是变小 了一些而已。
分形与混沌
分形几何的基本思想
分形的思想
多少世纪以来，人们总是用欧几里得几 何的对象和概念（诸如点、线、平面、空间、 正方形、圆……）来描述我们这个生存的世 界。而非欧几何的发现，引进了描画宇宙现 象的新的对象。分形就是这样一种对象。
分形的思想初见于公元1875至1925年数学 家们的著作。这些对象被贴上畸形怪物的标 签，人们深信它没有丝毫的科学价值。它就 是今天人们众所周知的分形。分形一词是曼 德勃罗于1975年创造的，曼德勃罗在该领域 有着广泛的发现。
上图中的风景图片又是说明分形的另一很 好的例子。这张美丽的图片是利用分形技术生 成的。在生成自然真实的景物中，分形具有独 特的优势，因为分形可以很好地构建自然景物 的模型。
除了自相似性以外，分行具有的另一 个普遍特征是具有无限的细致性。上面的 动画所演示的是对Mandelbrot集的放大， 只要选对位置进行放大，就会发现：无论 放大多少倍，图象的复杂性依然丝毫不会 减少。但是，注意观察上图，我们会发现： 每次放大的图形却并不和原来的图形完全 相似。这告诉我们：其实，分形并不要求 具有完全的自相似特性。
可能有人感到，只有欧几里得几何的正 规形状才能应用在科学中，然而上述新的形 式却从不同的透视角度向我们提供了认识自 然的观点。分形是一个新的数学领域--有时 也把它归为自然界的几何，因为这些奇异而 混沌的形状，不仅描绘了诸如地震、树、树 枝、生姜根、海岸线等自然现象，而且在天 文、经济、气象、电影制片等方面也有广泛 应用。
研究对象
有一类问题却比较特别，Mandelbrot就提出 了这样一个问题：英国的海岸线有多长？
英国的海岸线地图
Koch 曲线
Koch 曲线（续）
Koch曲线曾经在数学界成为一个魔鬼。 同样的道理：长度无限、面积为零、而曲线 还有“界”。 另外，有一个特点：当取其中的一部分展开， 与整体有完全的自相似性，似乎是一个什么 东西的无数次的自我复制。
曼德勃罗集是人类有史以来做出的最奇异,最瑰 丽的几何图形.这个点集均出自公式:Zn+1=Z2n+C,这 是一个迭代公式,式中的变量都是复数.这是一个大 千世界,从他出发可以产生无穷无尽美丽图案,他是 曼德勃罗教授在二十世纪七十年代发现的.
你看上图中,有的地方象日冕,有的地方象 燃烧的火焰,只要你计算的点足够多,不管你 把图案放大多少倍,都能显示出更加复杂的 局部.这些局部既与整体不同,又有某种相似 的地方,好像着梦幻般的图案具有无穷无尽 的细节和自相似性.曼德勃罗教授称此为"魔 鬼的聚合物".为此,曼德勃罗在1988年获得 了"科学为艺术大奖".请看如下的图形产生过 程,其中后一个图均是前一个图的某一局部 放大:
具有无限嵌套的自相似结构是混沌 现象的普遍特性。
Julia Set
Julia Set: Zn+1 = Zn2 + C
令複數 C 為一定值，將 Z 平面上任意一點代入，則 Z 平面上部分區域收斂，部分區域發散， 而發散與 收斂區域間的邊界，即為 Julia Set 的圖形。 根据C、Z0的不同会生成不同的Julia集合
如下是产生上图的出发点
自然界中的其他事物
取下一片蕨类植物叶子似 乎与整体有某种相似性。 England的海岸线从视觉 上也感觉有某种自相似性
自然界中的分形
山
星 云
星
云
天空中的云朵 植物的叶子
毛细血管分布
视乳头旁毛细血管瘤 视网膜中央动脉颞上支阻塞
河流分布图
自然界中的分形
股票价格曲线 岩石裂缝 金属损伤裂缝 道路分布 神经末梢的分布 …………
从严格意义上讲，分形是这样一种对象， 将其细微部分放大后，其结构看起来仍与原 先的一样。这与圆形成了鲜明的对比，把圆 的一部分放大后便变得比较平直。分形可分 为两类：一是几何分形，它不断地重复同一 种花样图案；另一种是随机分形。计算机和 计算机绘图能够把这些“畸形怪物”可靠地带 回到生活中，在计算机的屏幕上，几乎能够 立即产生分形，并显示出它们奇妙的形状、 艺术图案或细微的景观。