经济数学典型案例2

1．设某产品的价格与销售量的关系为105
Q P =-
. (1) 求当需求量为20及30时的总收益R 、平均收益R 及边际收益'R . (2) 当Q 为多少时,总收益最大？ 解 (1) 由题设可知总收益函数为
2
(10)1055
Q Q R QP Q Q ==-=-
则
2
202
3020|1020120
5
30
|1030120
5
Q Q R R ===?==?= 平均收益函数为
105
R Q R Q =
=-,
则(20)6,(30)4R R ==. 边际收益函数为
2
105
R Q ¢=-, 则(20)2,(30)2R R ⅱ
==-. (2) 边际总收益函数为
2
105
R Q ¢=- 令0R ¢=得驻点Q = 25. 又因为2
05
R ⅱ=-
<，且驻点唯一，所以当Q=2时，总收益最大为125. 2.设某商品的需求量Q 对价格P 的函数为250000P
Q e -=.
（1）求需求弹性;
（2）当商品的价格P=10元时,再增加1%，求商品需求量的变化情况. 解 (1)由弹性公式
22()(2)50000250000P
P P
P P Q P e P Q e
e --¢=
=-?-
（2）由上式得10|20P P e ==-
根据需求弹性的经济意义知, 当价格为10元时, 价格p 再增加1%, 商品需求量Q 将减
少20%.
3.已知某企业某种产品的需求弹性在1.3 — 2.1之间, 如果该企业准备明年将价格降低10%, 问这种商品的销售量预期会增加多少?总收入会增加多少?
解 因为
,(1)
p p Q P R
P
Q P R
P
e e D D D D 换- 于是, 当|
p
ε|=1.3时,
1.3(0.1)13%Q
Q
D 淮-=- (1 1.3)(0.1)3%R
R
D ??=- 当|
p
ε|=2.1时,
2.1(0.1)21%Q
Q
D 淮-=-
(1 2.1)(0.1)11%R
R
D ??=- 故明年降价10%时, 企业销售量预期将增加约13%—21%; 总收益预期将增加3%—11%.
4．某食品加工厂生产某类食品的成本C （元）是日产量x （公斤）的函数 C (x ) = 1600 + 4.5x +0.01x 2
问该产品每天生产多少公斤时, 才能使平均成本达到最小值？
解 由题设知平均成本为
()1600
() 4.50.01C x C x x x x
=
=++ 令2
1600
()0.010C x x ¢=-+=得驻点，400x = 又4003
3200
(400)|0x C x =ⅱ=
>且驻点唯一，极小值点为最小值点，所以每天生产400公斤能使平均成本达到最小.
5．某化肥厂生产某类化肥，其总成本函数为
2
3
()1000600.30.001C x x x x =+-+ (元)
销售该产品的需求函数为 x =800-20
3
p (吨), 问销售量为多少时, 可获最大利润, 此时的价
格为多少?
解 设利润函数为 L (x ) = R (x ) - C (x ) 收入函数为 24003()(1200.15)20
x
R x xp x
x x -===-
故 23
()(1200.15)1000600.30.001L x x x x x x =---+-
令'
2
()0.0030.3600L x x x =-++=得驻点200x =. 又"(200)0.006200
0.30L =-?<，且驻点唯一, 所以当销售量为200吨时，可获
得最大利润，此时价格为90元/吨.
6.某银行准备新开设某种定期存款业务, 假设存款额与利率成正比. 若已知贷款收益率为r, 问存款利率定为多少时, 贷款投资的纯收益最高?
解 设存款利率为x ,存款总额为M , 由于M 与x 成正比, 则
M Kx =(k 是正常数)
若贷款总额为M , 则收益为 rM Krx = 而这笔款要付的利息为 2
xM Kx = 因此，贷款投资的纯收益为 2()f x Krx Kx =-
令'
()20f x Kr kx =-=得驻点2
r x =
. 又因为"()20(0)2
r f k K =-<>且驻点唯一, 故2
r
x =
也是最大值点. 所以当存款利率为贷款收益率r 的一半时，投资纯收益最高.
7.某商店每年销售某种商品a 件，每次购进的手续费为b 元, 而每年库存费为c 元，在该商品均匀销售的情况下（此时商品的平均库存数为批量的一半），问商店分几批购进此种商品，方能使手续费及库存费之和最少？
解 设批数为x 时, 总费用为y , 则
,(0,]2a
y bx c x a x
=+
?
由2'02ac
y b x =-
=,得驻点x =
又3
"0ac
y x
=>,批购进此中商品时,方能使手续费及库存费之和最少.
8. 已知某企业某商品的需求函数为Q (p ) = 75 - p 2. (1) 求p = 4时的边际需求，并说明其经济意义; (2) 求p = 4时的需求价格弹性，并说明其经济意义;
(3) 若该商品的需求价格弹性为1.5，且价格降低8%，问这种商品的销售预期会变化
百分之几?总收益将变化百分之几?
(4) p 为多少时，总收益最大?
解 （1）边际需求函数为
'()2,'(4)8Q p p Q =-=-则
其经济意义为当价格为4时，价格p 提高一个单位的价格，需求Q 将减少8个单位.当价格为10元时, 价格p 再增加1%, 商品需求量Q 将减少20%.
（2）需求弹性
2
22
2'()(2)()7575p p p p Q p p Q p p p
e -==-=-- 所以(4)0.542p e ?
.
其经济意义为：当价格为4时，价格p 再增加100
，商品需求量Q 将减少0.542%.
(3) 由弹性公式有
,(1)
p p Q P R
P
Q P R
P
e e D D D D 换- 将
8%, 1.5p P
P
e D =-=-代入上式，分别得 (8%)( 1.5)12%(1 1.5)(8%)4%Q
Q
R
R
D ??=D ??=
即弹性为1.5时, 当价格降低8%, 销售预期会增加12%, 总收益将增加4%.
(4)总收益函数为
2()(75)R p pQ p p ==-
令2
'()7530R p p =-=得驻点5p =.
又"(5)300R =-<且驻点唯一, 所以5p =也为最大值点. 故当价格为5个单位时, 总收益最大, 最大值为250.
*9.设生长在某块土地上的木材价值L 是时间t
的函数L =且以t 年为单位，y 以千元为单位; 假设在树木成长期间的养护费不计. 又资金的年贴现率 r = 0.05，按连续复利计算，何时伐木销售，可使收益的现值最大?其中现值又为多少?
解 由已知条件知, 销售收入的现在值是
rt rt R Le --==
令'())0,rt
R t r -==得22
ln 24t r = 又因为
2"())rt R t r -=-，
故22ln 2"()04R r <,且驻点唯一,所以22ln 2
4t r
=也为函数的最大值点. 即当22
ln 24t r
=时,可以使收益的现值最大. 故当r = 0.05时, t = 48收益的现值为
0.0548
110.59()R -?=?千克.
设本金为p 元，年利率为r, 若一年分为n 期, 存期为t 年, 则本金与利息之和是多少 ? 现某人将本金p = 1000元存入果银行, 规定年利率为 r = 0.06, t = 2, 请按季度、月、日以及连续复利计算本利和，并作出你的评价.
解 依题意，第一期到期后的利息为
本金×利率=r p n
´
第一期到期的本利和是
本金＋利息=(1)r r p p p n
n
+?
+
若按总利计算，第二期到期的本利和为
2(1)(1)(1)r r r r p p p n n n
n
+
++?+
第n 期到期后的本利和为(1)n r p n
+
存期若为t 年（事实上有t n 期），到期后的本利和为
(1)tn
r p n
+
（*） 由题设p = 1000 ，r = 0.06, t = 2,
（1） 一年分为四季，取n = 4带入得（*）式，得
24
80.061000(1)1000 1.0151126.494
´?=椿
（2） 一年分为12个月，取n =12带入得（*）式，得
212
240.061000(1)1000 1.0151127.1612
´?=椿
（3） 一年分为365天，取n = 365带入得（*）式，得
2365
7300.061000(1
)1000 1.0151127.49365
´?=椿 （4） 连续取息就是在（*）式中令n ，得
0.12
20.06
0.120.060.06lim 1000(1
)1000lim (1)10001127.50
n n
n n n n e ´?
ギ
+?轾犏?=?犏臌
=?
结论是：用复利计算时，按季、月、日以及连续复利计算所得结果相差不大. 10.(最优批量问题）某工厂生产某中产品，年产量为a 吨，分若干批 进行生产，每批生产准备费为b 元，设产品均投放市场，且上一批卖完后
立即生产下一批，即平均库存量为批量的一半. 设每年每吨库存费为c 元， 显然，生产批量大则库存费高；生产批量少则批数多，准备费增加.为了 选择最优批量，试求出一年中库存费与生产准备费的和与批量的函数关系.
解 设批量为x .库存费与生产准备费之和为()y x 因为年产量为a ，每年就应生产
a x 批，所以生产准备费为a
b x
. 又因平均库量为2x ,库存费就为2
x
c . 故 ()()2a x a
y x b c x x
=
+是整数 11. 某商业机械厂根据市场需要，生产电梯踏板，固定成本为20000元，
每生产100个单位产品，成本增加50 元，销售收入900元，每年最多生产100000个单位产品. 如果年产量为x 个单位产品，试把一年的总利润L 表示为x 的函数.
解
90050
()20000100100
8.520000(0100000)
L x x x
x x =
--=-＃ 某产品的产量为x 吨，固定成本为b （b >0）元，每生产一个单位产 品总成本增加a （a >0）元，试将总成本C 及平均成本C 表示为x 的函数.
解 总成本函数 C = b + ax 平均成本函数 (0)C b
C a x x x
=
=+> 4．某厂生产的150克袋装方便面，每袋出厂价为0.3元，销量总在一 万袋左右徘徊，通过革新，提高效率后，逐步降低价格占领市场。

据统计，
每袋降低3分钱，市场需求量增加约0.3万袋，试求价格为p 时的需求量Q d ，并求出当p = 0.21时的需求量.
解 设线性需求函数为 (0,0)d Q a bp a b =->>且为常数，
由题意得方程组 0.310.27 1.3a b a b ì-=ïïíï-=ïî
得 a = 4, b = 10. 故所求线性需求函数为
410d Q p =-
于是当p = 0.21时, Q d = 1.9，即当价格为0.21时，需求量为1.9万袋.
5. 已知下列需求函数和供给函数，求相应的市场均衡价格p *.
(1) 1002
,201033
d s Q p Q p =
-=-+， （2）22
2114,3d s p Q p Q +==+
解 设市场均衡价格P *，则由等式Q d (p ) = Q S (p ), 得
（1）
1002
201033
p p -=-+ 即 P *=5.
（2）将Q s = p -3 , 代入22
2114d p Q +=解得 P *= 8.
6．设销售商品的总收入R 是销售量x 的二次函数.已知x = 0，2，4时，相应的R = 0，6，8. 试确定R 与x 的函数关系.
解 由题意设总收入R 与x 的函数关系为 2
R ax bx c =++
将x =0. R =0；x =2, R =6；x =4, R =8分别代入关系式中，得
06428164c a b c a b c
ì=ïïï
=++íïï=++ïïî 即 1
,4,02
a b c =-
==故所求总收益函数为 2
142
R x x =-+. ７．某产品年产量为x 台，每台售价180元，当年产量在300台以内
时，可以全部售出；当年产量超过300台时.经广告宣传后可以多售出200台,每台平均广告费20元；生产再多一些，本年内就售不出去，试将本年的销售收入R 表示为年产量x 的函数.
解 由题意知
当x ≤300时，收入R = 180x (元)
当300<x ≤500时，收入R = 300×20+180x -20x = 6000+160x (元) 当500<x 时，收入R = 6000+160×500 = 86000（元） 故本年销售收入R 为年产量x 的函数为
180,03006000160,30050086000,500
x x R x x x ì＃ïïï
=+<?íïï>ïïî.
８．某种玩具定价５元／件，每月可售出1000件, 若每件售价降低0.01元,则可多售出10件.试将总收入表示为多售出件数的函数.
解 设总收入为R ，多售出件数为x 件，则每件应降低0.01
10
x 元， 于是总收入20.01
(5)(1000)500040.00110
R x x x x =-
+=+- 所以将总收入R 表示为多售出件数x 的函数关系为 . R = 5000 + 4x -0.001x 2（元）
9. 某种彩色电视机每台售价为1500元, 每月可销售2000台,每台售价 降50元时,每月可增销100台,试求该电视机的需求函数.
解 电视机的需求量为Q d ，价格为p
则需求函数为 (0,0d Q a bp a b =->>且为常数)
将p = 1500, Q d = 2000; p = 1450, Q d = 2100分别代入需求函数中, 得
2000150021001450a b a b
ì=-ïïíï=-ïî 即 a = 5000, b = 2.
所以该电视的需求函数为50002(1500)d Q p p =-<.
.一公司某产品的边际成本为3x +20, 它的边际收益为44-5x , 当生产与销售80单位产品
时的成本为11400元，试求: (1)产量的最佳水平; (2)利润函数; (3)在产量的最佳水平是盈利还是亏损?
解 （1）因为产量最佳水平满足的条件是 边际成本 = 边际收益
所以由 320405x x +=-，解得3x =. （2）成本函数为
2
3()(320)202
C x x dx x x c =
+=
++ò 将已知条件80,(80)11400x C ==代入上式，解得C=200. 即成本函数为
2
3()202002C x x x =
++.
收益函数为
2
5()(445)442
R x x dx x x c =
-=-+ò 将已知条件x=0,R(0)=0代入上式，解得C=0. 即收益函数为
2
5()442
R x x x =-. 故利润函数为
2()()()244200L x R x C x x x =-=--.
（3）由（1）知道最佳产量水平是3x =代入利润函数得
2(3)24343200164L =⨯-⨯-=-
故在最佳水平时亏损164元.
23．商场的皮鞋柜销售某种品牌女鞋，从厂方每次进货需付订货费F ＝400(元)，每双
鞋的进价（包括运费）为=c 94(元)，而每双鞋在商场的期间的各种化费总数（统称之贮存费）为每月18元，假定这种女鞋在商场的销售速度均匀，为m ＝144(双/月)．试问：为了降低成本，皮鞋柜承包商应间隔多少时间向厂方进一次货？每次又应进多少双鞋？如果这种女鞋的进货是以18双一箱为单位进行的那么问题的答案又如何？
解 设每次进货应进鞋x (双)，那么由于销售速度均匀，可知订货周期应为Q ＝x /m
(月)；每双鞋的平均贮存时间为Q 2
1
，记k ＝18(元/月双)，这样每批鞋的成本为 m
kx cx F kxQ cx F 2212
++=++，
从而承包商的每月成本为
)(x C m x m kx cx F /)2/(2++==2
kx
cm x Fm ++
2)(2k
x
Fm x C +-='
在x >0的唯一驻点：
k
Fm
x 2==181444002⨯⨯= 80
Q ＝80/144 =5/9≈ 0.55
但当进货以箱为单位时，则应考察x ＝72和90时对应的月成本： C (72) =14984， C (90) =14986
可知应每次进鞋72双，进货周期72/144 = 0.5(月)
命题说明 该题为应用型题，是一个离散形式经济问题的连续数学模型．题目适用于闭卷考试．题中涉及数学模型(函数形式)的建立、导数应用和函数极值等知识点，模型建立略有难度，由于问题的实际意义，所求解的答案并不对应于函数的极值点．
25．某仪器厂一年需要另一企业生产的某种配件50000件，平时对这种配件的使用数量是稳定的．该配件每次订货费为4000元，单价为每件10元，而当一次订货量达到8000件时，单价可以优惠至每件9.5元，配件的库存费为每件16元/年，试求电器厂每次订该配件多少才最经济？
解 设每次订m (8000<)件，则需订货50000/m 次，而每个配件在仓库的平均储存时间为0.5m /50000 年，于是所需成本为
)(m C =)50000/5.016(50000/5000040001050000m m ⨯+⨯+⨯， )(m C '=8/5000040002
+⨯-m ，
在0>m 时唯一驻点为5000=m ，此时成本为)(m C =58(万元) ．
考虑一次订8000件，则订货次数至少71]8000
50000
[
=＋．若6次订8000件，成本为 C ＝48000.89⨯+200010⨯+40007⨯+48000(50000/80005.016⨯⨯) )50000/20005.016(2000⨯⨯+＝58.05(万元)， 若订8000件次数为n ，余下零件分7－n 次订，那么n ＝5，
C ＝40000⨯9.8+10000⨯10+40007⨯+40000(50000/80005.016⨯⨯) )50000/50005.016(10000⨯⨯+=57.92(万元)
易得
n 4 3 2 1 C 57.984 58.096 58.2272 58.368 可知应5次各订货8000件，2次各订货5000件才最经济．。