专题一 集合、函数与导数测试题(文科)

专题一 集合、函数与导数测试题（文科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．
1．设集合U ＝{1,2,3,4,5,6}，集合M ＝{1,3}，N ＝{2,3,4}，则(∁U M)∩(∁U N)＝( )
A ．{3}
B ．{4,6}
C ．{5,6}
D ．{3,6}
2．已知全集I ＝R ，若函数f (x )＝x 2－3x ＋2，集合M ＝{x |f (x )≤0}，N ＝{x |f ′(x )<0}，则M ∩∁I N ＝( )
A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，2
B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2
C.⎝ ⎛⎦⎥⎤32，2
D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，2 3．设某种蜡烛所剩长度P 与点燃时间t 的函数关系式是P ＝kt ＋b .若点燃6分钟后，蜡烛的长为17.4 cm ；点燃21分钟后，蜡烛的长为8.4 cm ，则这支蜡烛燃尽的时间为( )
A ．21分钟
B ．25分钟
C ．30分钟
D ．35分钟
4．已知命题p ：“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋2－a ＝0”．若命题“”p q ⌝且是真命题，则实数a 的取值范围为
A ．a ≤－2或a ＝1
B ．a ≤－2或1≤a ≤2
C ．a ≥1
D ．a >1
5．幂函数f (x )＝x n (n ＝1,2,3，12
，－1)具有如下性质：f 2(1)＋f 2(－1)＝2[f (1)＋f (－1)－1]，则函数f (x )( )
A ．是奇函数
B ．是偶函数
C ．既是奇函数，又是偶函数
D ．既不是奇函数，又不是偶函数
6．已知函数f (x )＝x 3＋2bx 2＋cx ＋1有两个极值点x 1、x 2，且x 1∈[－2，－1]，x 2∈[1,2]，则f (－1)的取值范围是( )
A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3
B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，6 C ．[3,12] D.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－32，12
7．设集合I 是全集，A ⊆I ，B ⊆I ，则“A ∪B ＝I ”是“B ＝∁I A ”的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
8．若曲线xy ＝a (a ≠0)，则过曲线上任意一点的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积是( )
A ．2a 2
B ．a 2
C ．2|a |
D ．|a |
9．定义在R 上的函数f (x )满足(x －1)f ′(x )≤0，且y ＝f (x ＋1)为偶函数，当|x 1－1|<|x 2－1|时，有( )
A ．f (2－x 1)>f (2－x 2)
B ．f (2－x 1)＝f (2－x 2)
C ．f (2－x 1)<f (2－x 2)
D ．f (2－x 1)≤f (2－x 2)
10．如图所示，点P 在边长为1的正方形的边上运动，设M 是CD 边的中点，则当点P 沿着A －B －C －M 运动时，以点P 经过的路程x 为自变量，三角形APM 的面积函数的图象的形状大致是( )
A B C D 11．已知函数f (x )＝ln a ＋ln x x
在[1，＋∞)上为减函数，则实数a 的
取值范围是( )
A ．0<a <1e
B ．0<a ≤e
C ．a ≤e
D ．a ≥e
12．有下列命题：①函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋π4的图象中，相邻两个对称中心的距离为π；②函数y ＝x ＋3x －1
的图象关于点(－1,1)对称；③关于x 的方程ax 2－2ax －1＝0有且仅有一个实数根，则实数a ＝－1；④已知命题p ：对任意的x ∈R ，都有sin x ≤1，则綈p ：存在x ∈R ，使得sin x >1.其中所有真命题的序号是( )
A ．①②
B ．③④
C ．②③④
D ．①②④
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ f (x ＋2)，x ≤－12x ＋2，－1<x <1，2x －4，x ≥1则f [f (－2 012)]＝
14．已知函数f (x )＝ln 1＋x 1－x
＋sin x ，则关于a 的不等式 f (a －2)＋f (a 2－4)<0的解集是________．
15．已知函数f (x )＝12mx 2＋ln x －2x 在定义域内是增函数，则实数
m 的取值范围为________．
16．若函数f (x )＝13x 3－a 2x 满足：对于任意的x 1，x 2∈[0,1]都有|f (x 1)
－f (x 2)|≤1恒成立，则a 的取值范围是________．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．
17．(本小题满分10分)统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y (升)关于行驶速度x (千米/小时)的函数解析式可以表
示为：y ＝1128 000x 3－380x ＋8(0<x ≤120)．已知甲、乙两地相距100千
米．(1)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？
18．(本小题满分12分)设函数f (x )＝a e x ＋1a e x ＋b (a >0)．
(1)求f (x )在[0，＋∞)内的最小值；
(2)设曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝32x ，求a ，b 的值．
19．(本小题满分12分)设f (x )是定义在[－1,1]上的奇函数，且当－1≤x <0时，f (x )＝2x 3＋5ax 2＋4a 2x ＋b .
(1)求函数f (x )的解析式；
(2)当1<a ≤3时，求函数f (x )在(0,1]上的最大值g (a )．
20．(本小题满分12分) ）已知函数x e x f x -=)(（e 为自然对数的底数）
（1）求)(x f 的最小值;
(2)设不等式ax x f >)(的解集为P ，且P x x ⊆≤≤}20|{,求实数a 的取值范围.
21．(本小题满分12分)设f (x )＝ln(x ＋1)＋x ＋1＋ax ＋b (a ，b ∈R ，a ，
b 为常数)，曲线y ＝f (x )与直线y ＝3
2x 在(0,0)点相切．
(1)求a ，b 的值；(2)证明：当0<x <2时，f (x )<9x x ＋6
. 22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝e x ＋ax 2－e x ，a ∈R .
(1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线平行于x 轴，求函数f (x )的单调区间；
(2)试确定a 的取值范围，使得曲线y ＝f (x )上存在唯一的点P ，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P?。