chap4习题解答

∑ h1 (m)e − j 2π ( m + N / 2) k / N
= e − jkπ [
∑ h1 (m)e − j 2πmk / N +
N / 2 −1 m=0
∑ h1 (m)e − j 2πmk / N ] = e − jkπ H1 (k )
利用书上p34 DFT的圆周移位性质式（2.25）同样可以得到上述结果。所以∣H1(k)∣= ∣ H2(k)∣成立，θ1(k)与θ2(k)相差（-kπ）的相角。 （2）因为两个 h(n)都具有偶对称性，且 N 为偶数，所以可构成第二类线性相位滤波器， 时延均为 3.5，均可设计为低通滤波器。 （3）两个滤波器相当于对同一个矩形 h(n)滤波器加了不同的窗函数，由于 h(n)的对称性 和 N 的奇偶性相同，所以它们的相位特性一定相同，但由于两个窗函数不同，所以复频特 性不同。从我们对窗函数的理解看，第一个正三角形窗使 h(n)波形变平滑，则主瓣变宽， 阻带衰减特性改善。第二个倒三角形窗使 h(n)波形变化更快，则主瓣可能变窄，阻带衰减 特性可能变差。 也可直接分别计算频响进行比较：
如果选择 0～2π频率范围作为求hd(n)积分范围，由于频率响应的幅度函数在π处的对称 性与N的奇、偶性有关，所以应针对N的奇、偶情况分别求取。但因N为偶数时，其中有一 项
e j 2π ( n −α ) = −1，正好与其幅度函数中的奇对称性（H(ω)= - H(2π-ω)）抵消，所
以结果与N为奇数时相同。
N −1
N / 2 −1 n=0
∑ h2 (n)e − j 2πnk / N +
N / 2 −1 m=0
N −1
n= N / 2
∑ h2 (n)e − j 2πnk / N
对第一项令m = n + N / 2，对第一项令m = n − N / 2，则 H 2 (k ) = =
N −1 m= N / 2
jθ ( k )
H (k ) = H k e
= Hke
−j
14π k 15
k −j 1 N −1 1 14 j 2πnk / N 15 e j 2πnk / 15 ( ) h( n) = H k e = H e ∑ ∑ k 15 k = 0 N k =0 j k (n − 7) j j 14 ( n − 7 ) (n − 7) 1 14 1 15 15 15 [ 1 0 . 5 0 . 5 ] = H e = + e + e ∑ k 15 k = 0 15 j −j (n − 7) (n − 7) 1 ]} = {1 + 0.5[e 15 + e 15 15 1 2π = {1 + cos[ (n − 7)]} 15 15 2π 2π 2π 2π 2π
4-3 理想带通特性改为
其它
H (e d
jω
⎧ ⎪ je − jωα , )=⎨ ⎪ ⎩0,
− ωc ≤ ω − ω0 ≤ ωc 0 ≤ ω < ω0 − ωc ,ω0 − ωc < ω ≤ π
重复上题（1） （2） （3） 。 因线性相位特性中有π/2 相移，h(n)必为奇对称。 查书上 101 页表知，本题对应第三、第四类线性相位滤波器，均可设计带通滤波器。且其 频率响应的幅度函数在 0 处均奇对称（与N的奇、偶性无关） ，所以选择-π～π频率范围 作为求hd(n)积分范围（同样与N的奇、偶性无关） ，求出的hd(n)同时适用奇数N和偶数N情 况。
1
（3）用汉宁窗设计
2πn 1 h(n) = hd (n) [1 − cos( )]RN (n) N −1 2 2πn ⎧ n ωc Sa[(n − α )ω c ][1 − cos( )] ⎪(−1) =⎨ N −1 2π ⎪ ⎩0
4-2 用矩形窗设计一线性相位带通滤波器
0 ≤ n ≤ 2α 其它
令第一项ω = −ω '
与 4-2 一样，如果选择 0～2π作为求hd(n)积分范围，由于频响幅度函数在π处的对称性 与N的奇、偶性有关，所以应针对N的奇、偶情况分别求取。但因N为偶数时，其中有一项
e j 2π ( n −α ) = −1，正好与其幅度函数中的奇对称性（H(ω)= - H(2π-ω)）抵消，所以
∑ h2 (m − N / 2)e
− j 2π ( m − N / 2 ) k / N N / 2 −1 m=0
Fra Baidu bibliotek
+
∑ h2 (m + N / 2)e − j 2π ( m + N / 2) k / N
m= N / 2
∑ h1 (m)e − j 2π ( m − N / 2) k / N +
N −1 m= N / 2
结果与N为奇数时相同。 （3）用汉明窗设计
3
h(n) = hd (n)[0.54 − 0.46 cos(
2πn )]RN (n) N −1 0 ≤ n ≤ N −1
2πn ⎧ 2 sin[(n − α )ω c ] )] sin[(n − α )ω 0 ][0.54 − 0.46 cos( ⎪− π (n − α ) N −1 =⎨ ⎪0 ⎩
H1 ( k ) = ∑ h1 (n)e − j 2πnk / N = ∑ h1 (n)e − j 2πnk / N + ∑ h1 (n)e − j 2πnk / N
n=0 n=0 n= N / 2
N −1
N / 2 −1
N −1
H 2 (k ) =
N −1 n=0
∑ h2 (n)e − j 2πnk / N =
4-6 用频率采样法设计一线性相位低通滤波器，N=15，幅度采样值为
其它
⎧1, ⎪ H = ⎨0.5, k ⎪0, ⎩
k =0 k =0 2 ≤ k ≤ 13
求采样值的相位θ(k)，并写出 h(n)及 H(ejω)的表达式。 解：N=15
θ (k ) = −
N −1 N − 1 2π 14π ω (k ) = − ⋅ ⋅k = − ⋅k N 2 2 15
第 4 章 FIR 数字滤波器 4-1 用矩形窗设计一线性相位高通滤波器
H (e d
jω
⎧ ⎪e − j (ω − π )α , )=⎨ ⎪ ⎩0,
π − ωc ≤ ω ≤ π 0 ≤ ω < π − ωc
（1） 写出 h(n)的表达式，确定α与 N 的关系。 （2） 问有几种类型，分别是属于哪一种线性相位滤波器？ （3） 若改用汉宁窗设计，写出 h(n)的表达式。 解： （1） 根据线性相位高通滤波器的特点（见书上 101 页表） ，其频率响应的幅度函数在π处一定 偶对称（与N的奇、偶性无关） ，所以选择 0～2π频率范围作为求hd(n)积分范围（同样与N 的奇、偶性无关） 。
jω
4-7 在题图 4.2 中h(n)是偶对称序列， N=8， h2(n)是h1(n)圆周移位N/2=4 位后所得的序列， H1(k)= DFT[h1(n)]，H2(k)= DFT[h2(n)]
4
（1）试问∣H1(k)∣= ∣H2(k)∣成立吗？θ1(k)与θ2(k)有什么关系？ （2）以h1(n)、h2(n)作为单位脉冲响应，可构成两个低通滤波器，试问是否属于线性相位 滤波器？时延是多少？ 解： （1）
H 1 (e = =
jω
)=
n=0
∑ h1 (n)e
N
=
N −1 为整数，相位特性中无π/2 2
相移。 h(n)=h(N-1-n)，H(ω)=H(2π-ω),为第一种类型线性相位滤波器。 另一类为奇、偶，即 h(n) 奇对称，N 为偶数，此时α
=
N −1 中有一 0.5 的非整数，与 2
理想频响相位中的π组合后含有π/2 相移，所以满足第四种类型线性相位滤波器的要求。 h(n)=-h(N-1-n)，H(ω)=H(2π-ω)。
1 2π 1 π +ωc − j (ω − π )α jω n jω jω n h ( n) = dω = e e dω ∫0 H d (e )e ∫ d 2π 2π π −ωc 1 jπα π +ωc j (n − α )ω e dω = ∫π −ωc e 2π 1 jπα 1 j (n − α )(π + ωc ) j (n − α )(π − ωc ) e [e ] = −e j (n − α ) 2π jπα j (n − α )π ω e e sin[(n − α )ωc ] = (−1) n c Sa[(n − α )ωc ] = π π (n − α )
H (e d
jω
⎧ ⎪e − jωα , )=⎨ ⎪ ⎩0,
− ωc ≤ ω − ω0 ≤ ωc 0 ≤ ω < ω0 − ωc ,ω0 − ωc < ω ≤ π
（1） 设计 N 为奇数时的 h(n)。 （2） 设计 N 为偶数时的 h(n)。 （3） 若改用汉明窗设计，写出以上两种 h(n)的表达式。 解： （1） 、 （2） 根据线性相位特性中无π/2 相移的特点，h(n)必为偶对称。 查书上 101 页表知，本题对应第一、第二类线性相位滤波器，均可设计带通滤波器。且其 频率响应的幅度函数在 0 处均偶对称（与N的奇、偶性无关） ，所以选择-π～π频率范围 ，求出的hd(n)同时适用奇数N和偶数N情 作为求hd(n)积分范围（同样与N的奇、偶性无关） 况。
14π
1 N −1 1 − e − jNω H (e ) = ∑ H (k ) N k =0 1 − e j 2πk / N e − jω 1 0. 5 0.5 15ω − j 7ω 1 ] )e [ = sin( + + ω ω π ω 14π 2 15 sin( ) sin( − ) sin( − ) 2 2 15 2 15
对于线性相位 FIR 数字滤波器，必有 α
=
N −1 ，所以有 2
N = 2α + 1
⎧ n ωc Sa[(n − α )ω c ] ⎪(−1) h(n) = hd (n) RN (n) = ⎨ π ⎪ ⎩0 0 ≤ n ≤ 2α 其它
（2） 根据书上 101 页表中特性，本题对应滤波器可以有 2 种类型。 一类为偶、奇，即 h(n)偶对称，N 为奇数，此时 α
1 π j ω jωn h ( n) = H (e )e dω ∫ −π d d 2π 1 −ω 0 +ω c j ( n − α )ω ω +ω j ( n − α )ω = 令第一项ω = −ω ' [ ∫−ω −ω e dω + ∫ω 0 −ω c e dω ] 0 c 0 c 2π 1 ω 0 +ω c − j (n − α )ω ω +ω j (n − α )ω = [ ∫ω −ω e dω + ∫ω 0 −ω c e dω ] 0 c 2π 0 c 1 ω 0 +ω c = 2 cos[(n − α )ω ]dω ∫ 2π ω 0 −ω c 1 = {sin[( n − α )(ω 0 + ω c )] − sin[(n − α )(ω 0 − ω c )]} π (n − α ) 2 = sin[(n − α )ω c ] cos[(n − α )ω 0 ] π (n − α )
1 π jω jωn ( )e h ( n) = H e dω ∫ d 2π −π d 1 −ω + ω ω +ω j (n − α )ω j (n − α )ω [− ∫−ω 0 −ω c je dω + ∫ω 0 −ω c je dω ] = 0 c 0 c 2π 1 ω +ω ω +ω j ( n − α )ω − j (n − α )ω [− ∫ω 0 −ω c je dω + ∫ω 0 −ω c je dω ] = 0 c 0 c 2π 1 ω 0 +ω c 2 2 ( ) sin[(n − α )ω ]dω = j ∫ 2π ω 0 −ω c 1 = {cos[(n − α )(ω 0 + ω c )] − cos[(n − α )(ω 0 − ω c )]} π (n − α ) 2 sin[(n − α )ω c ] sin[(n − α )ω 0 ] =− π (n − α )
2
（3）用汉明窗设计
h(n) = hd (n)[0.54 − 0.46 cos(
2πn )]RN (n) N −1 0 ≤ n ≤ N −1
2πn ⎧ 2 sin[(n − α )ω c ] )] cos[(n − α )ω 0 ][0.54 − 0.46 cos( ⎪ N −1 = ⎨ π (n − α ) ⎪0 ⎩