随机变量的分布函数

f
(
x
)
A
1 x2 ,1 x 1
0,其它
求 (1) A , (2) F(x) , (3)
P( 1 X 1 )
解：（1）由性质2，
2
2
f ( x )dx
1A
1
1
x 2 dx
xsin t
A
2
cos2
tdt
2
A
2
2
1
cos 2
2t
dt
A
2
(
t
sin 2t 2
)2 2
A 1 2
A=2.
P{x X x x} f (x)x
它表示随机变量 X 取值于(x, x x] 的 概率近似等于 f (x)x.
f (x)x 在连续型r.v理论中所起的作用与 P( X xk ) pk 在离散型r.v理论中所起的 作用相类似.
需要指出的是: 连续型r.v取任一指定值的概率为0.
即： P( X a) 0, a为任一指定值
解：以7:00为起点0，以分为单位
依题意， X ～ U ( 0, 30 )
f
(
x)
1 30
,
0 x 30
0, 其它
从上午7时起，每15分钟来一班车，即 7:00， 7:15，7:30等时刻有汽车到达汽车站，
为使候车时间X少于 5 分钟，乘客必须在 7:10 到 7:15 之间，或在7:25 到 7:30 之间到 达车站.
即
0,
F
(
x)
x
1 x2 1 arcsin x 1 ,
2
1,
x 1 1 x 1 x 1
(3).
P( 1 X 1 )
2
2
1 2
2
1 2
1 x2dx
1(t
sin 2t 2
)6 6
F(1 ) F(1 ) 1
2
23
3.
2
大家一起来作下面的练习.
例2 设
x, 0 x 1 X ~ f ( x) 2 x, 1 x 2
可见，由P(A)=0, 不能推出 A
由P(B)=1, 不能推出 B=S
称A为几乎不可能事件，B为几乎必然事件.
由于连续型 r.v唯一被它的密度函数所确 定. 所以，若已知密度函数，该连续型 r.v 的概率规律就得到了全面描述.
f (x)
o
x
下面给出几个r.v的例子.
例1. 设r.v X 的密度函数为 f (x)
个r.v X 的分布函数. 也就是说，性质(1)--(4)是
鉴别一个函数是否是某r.v的分布函数的充分
必要条件.
例2. 设有函数 F(x)
F(x)
sin
x 0
0 x
其它
试说明F(x)能否是某个r.v 的分布函数.
解：注意到函数 F(x)在[ 2, ]上下降，
不满足性质(1)，故F(x)不能是分布函数.
(2) 求X的概率密度.
解: (1) P(0.3<X<0.7)=F(0.7)-F(0.3)=0.72-0.32=0.4
(2)
dF ( x) f(x)=
dx
2 x,
0,
0 x 1 其它
注意到F(x)在1处导数不存在，根据改变被积函数 在个别点处的值不影响积分结果的性质，可以在
F ( x) 没意义的点处，任意规定 F ( x)的值.
解： K~U[0，5]，
f ( k ) 15 ,0 k 5, 0,其他。
有实根等价于Δ≥0，即 16K2－16（K+2）≥0， K≤－1，or K≥2
故方程有实根的概率为：
P( K≤－1) +P( K≥2) = 5 1dx 0.6 25
区间( 0, 1)上的均匀分布U(0,1)在计 算机模拟中起着重要的作用.
由此得， 1) 对连续型 r.v X,有
P(a X b) P(a X b)
P(a X b) P(a X b)
2) 由P(X=a)=0 可推知
P( X R a) f (x)dx P( X a) 1 而 {X=a} 并非不可能事件 {X R {a}} 并非必然事件
P( x1 X x2 )
x2 x1
b
1
a
dx
b
1
a
(
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x2
x1
)
均匀分布常见于下列情形：
如在数值计算中，由于四舍五 入，小数 点后某一位小数引入的误差；
公交线路上两辆公共汽车前后通过某汽 车停车站的时间，即乘客的候车时间等.
例4. 某公共汽车站从上午7时起，每15分钟来 一班车，即 7:00，7:15，7:30, 7:45 等时刻 有汽车到达此站，如果乘客到达此站时间 X 是 7:00 到 7:30 之间的均匀随机变量, 试求他候车 时间少于5 分钟的概率.
x2 f ( x )dx
x1
y
f (x)
o x1 x2
x
4. 对 f(x)的进一步理解:
若x是 f(x)的连续点，则： xx
lim P( x X x x) lim x
f (t)dt
x0
x
x0
x
=f(x)
故 X的密度 f(x) 在 x 这一点的值，恰好是
X落在区间 (x, x x]上的概率与区间长度 x
P{ x1<X x2 } = P{ X x2 } - P{ X x1 } = F(x2)-F(x1)
因此，只要知道了随机变量X的分布函 数， 它的统计特性就可以得到全面的描述.
F(x) P( X x), x
分布函数是一个普通的函数，正是 通过它，我们可以用数学分析的工具来 研究 随机变量.
当 x 2 时，
F(x) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = 1
故
0, x 0
F
(
x
)
1
3 1
, ,
0 x1 1 x 2
2
1, x 2
注意右连续
下面我们从图形上来看一下.
0, x 0 X 0
1
2
F
(
x)
1 1
/ /
3, 2,
0 x1 1 x2
P
1,
x2
1 3
f
(
x)
2
1 x2 ,
1 x 1
0, 其它
求 F(x).
解： (2)
F(x) = P(X x) =
x
f (t)dt
对x < -1，F(x) = 0
对 1 x 1,
F(x)
1
0 dt
x2
1 t2 dt
1
x 1 x2 1 arcsin x 1
2
对 x>1， F (x) = 1
所求概率为：
P{10 X 15} P{25 X 30}
15 1 dx 30 1 dx 1
10 30
25 30
3
f
(
x)
1 30
,
0 x 30
0, 其它
即乘客候车时间少于5 分钟的概率是1/3.
例5. 设K在[0，5]上服从均匀分布， 求方程4x2+4Kx+K+2=0有实根的概率。
或者
F() lim F(x) 0 x
不满足性质(2)， 可见F(x)也不能是r.v 的 分布函数.
第四讲 连续型随机变量
连续型随机变量X所有可能取值充满 一个区间, 对这种类型的随机变量, 不能 象离散型随机变量那样, 以指定它取每个 值概率的方式, 去给出其概率分布, 而是 通过给出所谓“概率密度函数”的方式.
f ( x )dx
b
1
dx 1
aba
满足概率密度性质。
它的实际背景是： r.v X 取值在区间[a, b] 上， 并且取值在[a, b]中任意小区间内的概率与这个 小区间的长度成正比.则 X 具有[a,b]上的均匀 分布.
若X~U [a, b], (x1, x2)为[a, b]的任意子区间，则
1 6
1 2
概率函数图 分布函数图
P(X x) F(x)
画 分布函 数图
1
1 2
12
16
O
13
O
16
O
0
1
2
x
不难看出，F(x) 的图形是阶梯状的图形， 在 x=0，1，2 处有跳跃，其跃度分别等于 P(X=0) , P(X=1) , P(X=2).
F(x)
1
1 2
12
16
O
13
O
16
O
0
1
2
x
0, 其它
求 F(x).
x
F(x) f (t)dt
由于f(x)是分段 表达的，求F(x)时
注意分段求.
x, 0 x 1 X ~ f ( x) 2 x, 1 x 2
0, 其它
x
F(x) f (t)dt
F(x) =
0
x
0 tdt
1
x
0tdt 1 (2 t)dt
1
x0
0 x 1 1 x 2
三、分布函数的性质
(1) 0≤F(x)≤1, －∞<x<+∞;
(2) F( ) = lim F(x) = 0 x F( ) = lim F(x) = 1 x
(3) F(x) 非降，即若 x1<x2，则F(x1) F(x2) ;
(4)
F(x)
右连续，即
lim
x x0
F
(
x)
F
(
x0
)
如果一个函数具有上述性质，则一定是某
几种重要的连续型随机变量
均匀分布
（1）若 r.vX的概率密度为：
f (x)
f(
x)
1 ,a b a
x
b
(a
b)
0, 其它
ab
则称X服从区间[ a, b ]上的均匀分布，记作：
X ～ U(a, b)
分布函数为:
0,
F
(
x)
x b
a a
,
x a, a x b,
1,
x b.
f(x)≥0,
36 2
解:
F(x) = P(X x)
当 x<0 时，{ X x } = ， 故 F(x) =0
当 0 x < 1 时，
1
F(x) = P(Xx) = P(X=0) = 3
例1.
解:
X0 1 2
P1
1
1
36 2
F(x) = P(X x)
，求 F(x).
当 1 x < 2 时，
11 1
F(x) = P(X=0) + P(X=1) = 3 + 6 = 2
二、离散型 r.v的分布函数
设离散型r.vX 的概率分布列是
P{ X=xk } = pk ,
k =1,2,3,…
则 F(x) = P(X x) = pk xk x
由于F(x) 是 X 取 x 的诸值 xk 的概率之和，
故又称 F(x) 为累积概率函数.
例1. X 0
1
P1 1
2
1
，求 F(x).
是连续函数. 2. 对f(x)的连续点，有
F' ( x ) f ( x )
由此 F(x)与f(x)可以互推。
概率密度函数的性质
1. f (x) 0
2. f (x)dx 1 y
这两条性质是判定一个 函数 f(x)是否为某r.vX的 概率密度函数的充要条件.
f (x)
o
x
3．
P( x1 X x2 ) F( x2 ) F( x1 )
之比的极限. 这里，如果把概率理解为质量， f (x)相当于线密度.
f (x)
o
x
要注意的是，密度函数 f (x)在某点处a 的高度，并不反映X取值的概率. 但是，这 个高度越大，则X取a附近的值的概率就越 大. 也可以说，在某点密度曲线的高度反 映了概率集中在该点附近的程度.
若不计高阶无穷小，有：
这是因为
0 P( X a) P(a x X a) F (a) F (a x), x 0.
由于连续型随机变量的分布函数是连续函数，
lim ( F( a ) F( a x )) 0 从而P( X = a )=0.
x0
P( X = a )=0的充分必要条件是F( x )是
连续函数。任意a∈R。
下面我们就来介绍对连续型随机变量 的描述方法.
一. 连续型随机变量、概率密度定义
设F（x）是随机变量X的分布函数，若存
在一个非负的函数f(x),对任何实数x，有
x
F (x) f (t)dt
，则称X为连续型随机
变量，同时称f(x)为X的概率密度函数，简称概
率密度。
y
f (x)
o
x
由定义知：1. 连续型随机变量的分布函数F(x)
第三讲 随机变量的 分布函数
一、定义： 设 X 是一个 r.v，称
F ( x) P( X x) ( x )
为 X 的分布函数. 记作 X ～ F(x) 或 FX(x).
—X——x |——> x 如果将 X 看作数轴上随机点的坐标，那么分 布函数 F(x) 的值就表示 X落在区间 (, x] 的概率.
x2
即
0,
x0
F
(
x)
x2 , 2 2x 1 x2 ,
0 x1 1 x 2
2
1,
x2
对连续型r.v，若已知F(x)，我们通过求导 也可求出 f (x)，请看下例.
例3 设r.vX的分布函数为
0, x 0
(1) 求X取值在区间
F
(
x)
x2
,
0 x1
(0.3,0.7)的概率；
1, x 1
实用中，用计算机程序可以在短时间 内产生大量服从 ( 0, 1)上均匀分布的随机 数. 它是由一种迭代过程产生的.
严格地说，计算机中产生的U (0,1) 随 机数并非完全随机，但很接近随机，故常 称为伪随机数.
如取n足够大，独立产生n个U(0,1) 随机数，则从用这 n 个数字画出的频率 直方图就可看出，它很接近于( 0, 1)上的 均匀分布U(0,1).
F(x) P( X x), x
问： 在上 式中，X, x 皆为变量. 二者有什 么区别？ x 起什么作用？ F(x) 是不是概率？
X是随机变量, x是参变量.
F(x) 是r.v X取值不大于 x 的概率.
F(x) P( X x), x
由定义，对任意实数 x1<x2，随机点落 在区间（ x1 , x2 ] 的概率为：