第2章 平面简单力系

2.平面力偶的性质与力偶的等效定理 平面力偶的性质与力偶的等效定理 平面力偶的等效定理：在同一平面内两个力偶等效的必 平面力偶的等效定理： 要与充分条件是两个力偶矩相等。 要与充分条件是两个力偶矩相等。 平面力偶的性质： 平面力偶的性质： 力偶在任意坐标轴上的投影等于零。 力偶在任意坐标轴上的投影等于零。 力偶对任意点取矩恒等于力偶矩
Fy = F ⋅ cosβ
F = Fx + Fy
2.汇交力系的合成和平衡的解析法 因为
FR = ∑ F i
由合矢量投影定理， 由合矢量投影定理，得
F = ∑F Rx ix
FRy = ∑F iy
合力的大小为： 合力的大小为：
FR = FRx + FRy
2
2
方向余为： 方向余为：
∑F ix cos(F , i ) = R F R
2 n 2 n 2 2 FR = FRx + FRy = ∑ Fxi ) + ∑ Fyi i =1 i =1 力系合力： n n F FRy ∑ Fyi FRx ∑ xi i =1 cos( FR ⋅ i ) = , cos( FR ⋅ j ) = = = i =1 FR FR FR FR
平面汇交力系的合力矩定理： 平面汇交力系的合力矩定理： 的合力矩定理
M0 (FR ) = ∑M0 (F ) i
力矩与合力矩的解析表达式： 力矩与合力矩的解析表达式：
MO (F ) = MO (Fy ) − MO (Fx ) = x ⋅ F ⋅ sin θ − y ⋅ F ⋅ cosθ = x ⋅ Fy − y ⋅ Fx
i =1 n
M0 (F ) = ±F ⋅ h
特殊情况： 特殊情况： 力的作用线通过矩心即力臂h=0，或F=0。 力的作用线通过矩心即力臂 ， 。 当力臂h为常量时 值为常数，即力F沿其作用线滑动 为常量时， 沿其作用线滑动， 当力臂 为常量时，值为常数，即力 沿其作用线滑动，对 同一点的矩为常数。 同一点的矩为常数。
第2章 平面简单力系
第2章 平面简单力系
2.1 平面汇交力系 2.2 平面力偶力系 2.3 本章小结
2.1 平面汇交力系
2.1.1 平面汇交力系合成与平衡几何法
1.平面汇交力系合成的几何法 1.平面汇交力系合成的几何法——力的多边形法则 平面汇交力系合成的几何法 力的多边形法则 几何法的依据——平行四边形则（或三角形法则） 平行四边形则（或三角形法则） 几何法的依据 平行四边形则
∑Mi = 0
2.3 本 章 小 结
1.平面汇交力系 1)几何法 平面汇交力系合成的几何法——力的多边形法则。
FR = ∑ Fi
i=1 n
平面汇交力系平衡的几何条件——力的多边形自行封。 2)解析法 平面汇交力系的合力与分力的投影关系为
n FRx = ∑ Fxi i =1 n F = ∑ F Ry i =1 yi
平面汇交力系平衡的解析条件——力系中各力在直角坐标轴 上的投影的代数和均为零。
∑F
平面汇交力系的平衡方程：
i =1
n
xi
=0
∑F
i =1
n
yi
=0
2.平面力偶系 1）合力矩定理：平面汇交力系的合力对力系所在平面内任意 点之矩等于力系中各力对同一点之矩的代数和。即
M O (FR ) = ∑ M O (Fi )
FR = F1 + F2 + L + Fn = ∑ Fi
i =1 n
FR =
∑
n
Fi
i =1
2.平面汇交力系平衡的几何法 2.平面汇交力系平衡的几何法 平衡条件—— 平衡条件 力多边形自行封闭
∑Fi = 0
2.1.2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
1.力的投影 1.力的投影
Fx = F ⋅ cosθ
=
3.平面力偶系的合成 设任意力偶： 设任意力偶： M , M ,LM ;
1 2 n
任选一段距离d 任选一段距离 ：
M1 = Fd 1
M2 = F2d
Mn = −Fnd
=
=
=
M = FRd =F1d+F2d+…+Fnd = M + M +LM
1 2
n
M = ∑Mi = ∑Mi
i= 1
n
4.平面力偶系平衡的充要条件 M=0 平面力偶系平衡的充要条件 即
F
F1 F2
F F2
F1
(a)
(b)
F=F1+F2
例如：有四个力作用的汇交力系， 例如：有四个力作用的汇交力系，求其合力
F2 F1 F3 O F4 b F1
F2 c F12
F
3
d
F2 d F3 b F1 a c F
R
F123
F e
F4 e
4
a
F
R
(a)
(b)
(c)
将力矢量F 依次首尾相连，得折线a 将力矢量 1、F2、F3、F4 依次首尾相连，得折线abcde，由折线 起点向折线终点作有向线段ae，封闭边ae表示其力系合力的大小 和方向， 称为力的多边 和方向，且合力的作用线汇交于O点，多边形abcde称为力的多边 此法称为力的多边形法则 多边形法则。 形，此法称为力的多边形法则。
∑F iy cos(F , j ) = R F R
作用点为力的汇交点。 作用点为力的汇交点。
3.平面汇交力系的平衡方程 平面汇交力系的平衡方程
平衡条件： 平衡条件： 平衡方程： 平衡方程：
F =0 R
∑Fx =0
∑Fy =0
2.2 平面力偶
2.2.1 力对点之矩的概念
力矩作用面 两个要素： 两个要素： 大小： 大小：力F与力臂的乘积 与力臂的乘积 方向： 方向：转动方向
= F ⋅ (d + x1 ) − F ⋅ x1 = Fd
MO (F, F ′) = MO (F ) + MO (F ′)
1 1 1
力矩的符号: 力矩的符号
逆时针转动时为正； 逆时针转动时为正； 顺时针转动的为负。 顺时针转动的为负。
只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任意移转， 只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任意移转，且可 以同时改变力偶中力的大小与力臂的长短， 以同时改变力偶中力的大小与力臂的长短，对刚体的作用效果 不变。 不变。 力偶没有合力，力偶只能由力偶来平衡。 力偶没有合力，力偶只能由力偶来平衡。 力偶是自由矢量。力偶矩的表达： 力偶是自由矢量。力偶矩的表达：
MO (FR ) = ∑MO (Fi )
MO (FR ) = ∑(xi ⋅ Fiy − yi ⋅ Fix )
2.2.2 平面力偶
1.力偶与力偶矩 1.力偶与力偶矩 力偶的定义——由两个等值、反向、不共线的（平行）力 由两个等值、反向、不共线的（平行） 力偶的定义 由两个等值 组成的力系称为力偶， 组成的力系称为力偶，记作 (F, F ′)
v v v F12 = F1 + F2
v v v F123 = F12 + F3 =
∑
i =1
3
v Fi
v v v v v FR = F1 + F2 + F3 + F4 =
∑
i =1
4
ຫໍສະໝຸດ Baidu
v Fi
结论 :平面汇交力系的合力是将力系中各力矢量依次首尾 相连得折线，并将折线由起点向终点作有向线段，该有向 线段(封闭边)表示该力系合力的大小和方向，且合力的作 用线通过汇交点。 即 若力系是共线：
力偶矩——等于力偶中力的大小与力偶臂的乘积，它是 代数量。 力偶作用面——力偶中两力所在平面。 力偶中两力所在平面。 力偶作用面 力偶中两力所在平面 力偶臂——力偶两力之间的垂直距离。 力偶两力之间的垂直距离。 力偶臂 力偶两力之间的垂直距离 即
→ → 1 M = ±F ⋅ d = ±2⋅ ⋅ F ⋅ d = ±2∆ABC = ± AB× BC 2
i= i =1 n
2）力偶与力偶矩 力偶：由两个大小相等、方向相反且不共线的平行力组成 的。 力偶矩：力偶中力的大小与力偶臂的乘积，它是代数量。 即
M = ± Fd
3）平面力偶系的合成——合力偶矩等于力偶系中各力偶矩 的代数和。
M = ∑ Mi
i =1 n
4）平面力偶系的平衡条件——力偶系中各力偶矩的代数和等于零。 平面力偶系的平衡方程： ∑ M i = 0