人教A版高中数学必修四教案单位圆与三角函数线新

1.2.2 单位圆与三角函数线

一、学习目标

(一)

知识目标 1.单位圆的概念 2.

有向线段的概念

3.

用正弦线、余弦线、正切线表示任意角的三角函数值 (二)

能力目标

1.

理解并掌握单位圆、有向线段的概念

2.正确利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值表示出来，即用正弦线、余弦线、正切线表示出来

(三)

德育目标

通过三角函数的几何表示，使学生进一步加深对数形结合思想的理解，培养良好的思维习惯，拓展思维空间. 二、教学重点、难点

重点：正确地用三角函数线表示任意角的三角函数值

难点：正确地用与单位圆有关的三角函数线表示三角函数值 三、教学方法

（一）讲授法

讲清楚单位圆的概念，有向线段的概念，本节内容中的有向线段与坐标轴是平行的，使学生弄清楚线段的正负与坐标轴正反方向之间的对应，以及线段的数量与三角函数值之间的对应.对于理解正弦线、余弦线、正切线是突破难点的关键所在

（二）教具准备 幻灯片1张：

多媒体课件：课本P19图1—13，在平面直角坐标系中，作出单位圆，角α的终边，标出单位圆与角α的终边的交点P (x ，ｙ），过P 向x 轴作垂线，垂足为M ，过点A （1，0）作单位圆的切线与角α的终边或终边的反向延长线交于点T (利用现代教育技术手段的优势，边讲述边作图，使学生看得清楚，听得明白 四、教学过程

在理解的基础上要加强记忆.由三角函数的定义我们知道，对于角α的各种三角函数我们都是用比值来表示的，或者说是用数来表示的，今天我们再来学习正弦、余弦、正切函数的另一种表示方法——几何表示法 我们首先建立下面的坐标系：在观览车转轮圆面所在的平面内，以观览车转轮中心为原点，以水平线为x 轴，以转轮半径为单位长建立直角坐标系。

设P 点为转轮边缘上的一点，它表示座椅的位置，记

xOP α∠=，

则由正弦函数的定义可知sin MP α=，

为了几何表示的需要，我们先来看单位圆的概念：以原点为圆心，单位长为半径的圆称为单位圆.单位长——如1 cm 、1 dm 、1 m 、1 km 等等，都是1个单位长，它们的单位虽不同，但长度都是1个单位长.即单位圆的半径是1(个单位长 （使用多媒体课件，教师边叙述边作图 在平面直角坐标系内，作单位圆，设任意角α的顶点在原

点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P (x ，ｙ），x 轴的正半轴与单位圆相交于A （1，0），过P 作x 轴的垂线，垂足为M ；过A 作单位圆的切线，这条切线必平行于ｙ轴(垂直于同一条直线的两直线平行)，设它与角α的终边或其反向延长线交于点T

显然，线段OM 的长度为｜x ｜，线段MP 的长度为｜ｙ｜，它们都只能取非负值

当角α的终边不在坐标轴上时，我们可以把OM 、MP 都看作带有方向的线段：

如果x ＞0，OM 与x 轴同向

(利用多媒体课件的优势，将①图、④图中的OM 从O 到M 运动，让学生看清楚后再“定格”，运动的方向说明与x 轴同向)，规定此时OM 具有正值x ；如果x ＜0，OM 与x 轴正向相反(即反向)，(将课件上②图、③图中的OM 从O 到M 运动，让学生看清楚后再“定格”，运动的方向说明与x 轴反向)，规定此时OM 具有负值x ，所以不论哪一种情况，都有OM ＝x

如果ｙ＞0，把MP 看作与ｙ轴同向，规定此时MP 具有正值ｙ；如果ｙ＜0，把MP 看作与ｙ轴反向，规定此时MP 具有负值ｙ，所以不论哪一种情况，都有MP ＝ｙ(与前面所述相同，谈到MP 与ｙ轴同向或反向时，仍作从M 到P 的演示，让学生观察)，由上面所述，OM 、MP 都是带有方向的线段，这种被看作带有方向的线段叫做有向线段

于是，根据正弦、余弦函数的定义，就有

OM

x x

r x MP y y

r y ========

1

cos 1

sin αα

这两条与单位圆有关的有向线段MP 、OM 分别叫做角α的正弦线、余弦线

类似地，我们把OA 、AT 也看作有向线段，那么根据正切函数的定义和相似三角形的知识，就有

AT OA

AT x y ===

αtan 这条与单位圆有关的有向线段AT ，叫做角α的正切线

注意：(1)当角α的终边在ｙ轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在

点正弦线、余弦线、正切时，一定要先作单位圆

相同

三角函数线

本节课我们学习了单位圆的概念，有向线段的定义，正弦线、余弦线、正切线的定义，这三种三角函数线都是一些特殊的有向线段，其之所以特殊，一是其与坐标轴平行(或重合)，二是其与单位圆有关，这些线段分别都可以表示相应三角函数的值，所以说它们是三角函数的一种几何表示.