数值分析--数值积分与数值微分

n 1 ( x )
(a, b)
(2―2)
第4章 数值积分与数值微分
这里yi=f(xi),对式(2―1)两边积分得

《 数 值 分 析 》
b a
f ( x )dx

n
b a
pn ( x )dx
b n

b a
Rn ( x )dx dx ] yi
[
i0 a
x xk xi xk f
《 数 值 分 析 》
相当复杂。例如定积分

的被积函数
b a
dx 1 x
4
4
1 1 x
的原函数就比较复杂,从数值计算角
度来看,计算量太大。
第4章 数值积分与数值微分
如图4.1,若用左矩形近似地代替曲边梯形,则得到左
矩形公式
b a

《 数 值 分 析 》
f ( x )dx (b a ) f (a )
k 0 k i
第4章 数值积分与数值微分
称C(n)i为柯特斯求积系数。
很显然,当n=1时,可算得
C0
《 数 值 分 析 》
(1 )

1 0
( s 1) d s 1 2
ba 2
1 2
C1
(1 )

1 0
sd s
此时式(2―5)为

b a
f ( x )dx
[ f ( a ) f ( b )]
于是

b a
f ( x )dx
ba 6
[ f (a ) 4 f (
ab 2
) f ( b )]
(2―8)
第4章 数值积分与数值微分
这是抛物线(辛普森Simpson)公式。
当n=3时,
C0
《 数 值 分 析 》
(3)
1
18
3 0 3 0
1
3 0
( s 1)( s 2 )( s 3) d s 3 8 s ( s 1)( s 3) d s 3 8 1 8
k 0
a f ( x ) d x a L n ( x ) d x a l k ( x ) d x f k ,
k 0
b
b
n

b

即得求积公式

b
f ( x )d x
a

.
n
Ak f k ,
其中 A k
k 0

b
a
lk ( x )d x.
(1.5)
称为插值型求积公式
第4章 数值积分与数值微分

n
~ Ak [ f ( x k ) f k ] .
k 0
~ 定义3 若 0, 0, 只要 f ( x k ) f k ( k 0 , , n ), 就有
《 数 值 分 析 》
~ | I n ( f ) I n ( f ) | 则称求积公式

n
1 8
C1
(3)
6
s ( s 2 )( s 3) d s
C2 C3
(3)
1
1
6
0
(3)
18
3
s ( s 1)( s 2 ) d s
第4章 数值积分与数值微分
代入(2―5)式得到求积公式

《 数 值 分 析 》
b a
f ( x )dx
ba 8
[ f ( x 0 ) 3 f ( x 1 ) 3 f ( x 2 ) f ( x 3 )]
《 数 值 分 析 》
况: (1)被积函数f(x)的原函数F(x)不易找到。许多很简
单的函数,例如
sin x x , 1 ln x ,e
x
2
等,其原函数都不能用初等函数表示成有限形式。
第4章 数值积分与数值微分
(2)被积函数f(x)没有具体的解析表达式。其函数关
系由表格或图形表示,无法求出原函数。 (3)尽管f(x)的原函数能表示成有限形式但其表达式
第4章 数值积分与数值微分 表 4―1
《 数 值 分 析 》
第4章 数值积分与数值微分
2.2 误差估计
现对牛顿 ― 柯特斯求积公式所产生的误差作一个 分析。由式(2―4),牛顿 ― 柯特斯求积公式的余项为
《 数 值 分 析 》
Rn ( f )
( n 1) !
1
b
f
a
( n 1 )
( ) n 1 ( x ) d x
ai
ba n 1

0 n n
n
n
sk ik sk ik
n
d s (b a )ci
(n)
k 0 k i
《 数 值 分 析 》
Ci
(n)
n
0
ds
k 0 k i n i

i !( n i ) ! n
0
( 1)
n
( s k )ds
(2―6)
《 数 二、代数精度的概念 值 定义1 若一个求积公式 对于所有次数不超过 m 的多项式 分 析 m 1次的多项式等式不准确 成 》都准确成立 , 而对于某一个
通常称为 机械求积公式
立 , 则称该求积公式具有
练习 设有求积公式
m次代数精度
.
一般方法？ .

试确定系数
1
1
f ( x ) d x A 0 f ( 1) A1 f ( 0 ) A 2 f (1) 精度尽量高 .

《 数 值 分 析 》
n
Ci
(n)
1
(2―10)
i0
事实上,式(2―5)对f(x)=1是准确成立的。
第4章 数值积分与数值微分

例1 试分别用梯形公式和抛物线公式计算积分
解 利用梯形公式
《 数 值 分 析 》

1
x dx
0 .5

1 0 .5
x dx
1 0 .5 2
( 0 .5
1)
易知,牛顿 ― 柯特斯求积公式(2―5)对任何不高于
n次的多项式是准确成立的。这是因为 f(n+1)(ξ)≡0 故 Rn(f)≡0
第4章 数值积分与数值微分
《 数 值 分 析 》
一般说来,若某个求积公式对于次数不高于m的 多项式都准确成立(即Rn(f)≡0),而对于某一次数为 m+1的多项式并不准确成立(即Rn(f)0),则称这一 求积公式的代数精确度为m。 牛顿 ― 柯特斯求积公式的代数精确度至少 为n。通常在基点个数相等的情况下,代数精确度愈 高,求积公式就愈精确。 定理1 (梯形公式的误差)设f(x)在区间［a, b］ 上具有连续的二阶导数,则梯形求积公式的误差为
第4章 数值积分与数值微分
第4章 数值积分和数值微分
§4.1
《 数 值 分 析 》
引
言
在一元函数的积分学中,我们已经熟知,若函数f(x) 在区间［a, b］ 上连续且其原函数为F(x) ,则可用牛顿 ―莱布尼兹公式

b a
f ( x ) F (b) F (a )
第4章 数值积分与数值微分
来求定积分。前面公式虽然在理论上或在解决实际问 题中都起了很大的作用,但它并不能完全解决定积分的 计算问题。因为定积分的计算常常会碰到以下三种情
同样可得到右矩形公式

b a
f ( x )dx (b a ) f (b)
第4章 数值积分与数值微分
《 数 值 分 析 》
图 4.1
第4章 数值积分与数值微分
如图4.2,若用梯形的面积近似地代替曲边梯形的面 积,则得到计算定积分的梯形公式
ba 2
《 数 值 分 析 》

b a
f ( x )dx
它的余项为 R[ f ]
f (x) L
b a
b
n
( x ) d x

n
b
f
( n 1)
( )
a
( n 1)!
(x x
j0
n
j
)d x . (1.7)
《 定理1 求积公式 a f ( x ) d x A k f k 至少具有 n 次代数精度 k 0 数 值 它是插值型求积公式 . 分 析 四、求积公式的收敛性和稳定性 》
[ f ( a ) f ( b )]
(1―1)
如图4.3,若用抛物线代替曲线f(x),则可得到抛物线
公式(或辛普生公式)

b a
f ( x )dx
ba b
[ f (a ) 4 f (
ab 2
) f ( b )]
(1―2)
第4章 数值积分与数值微分
《 数 值 分 析 》
图 4.2
~ A k [ f ( x k ) f ( x k )] ,
k 0
(1.3) 是稳定的 .
定理2
若求积公式
(1 . 3 )中系数 A k （ 0 ,1, , n ), 则求积公式 0
是稳定的 .
~ 这是因为 , 当 f ( x k ) f k ( k 0 , , n )时 , 取 | R n |
( n 1) !
n
f
a
( n 1 )
( ) n 1 ( x ) d x
(2―4)
我们称

b a
f ( x )dx
ai yi
(2―5)
i0
为牛顿 ― 柯特斯求积公式,Rn(f)为牛顿 ― 柯特斯 求积公式的余项。 令 x=x0+sh , 0≤s≤n
第4章 数值积分与数值微分
0 .4 2 6 7 7 6 7
利用抛物线公式

1 0 .5
x dx
1 0 .5 6
( 0 .5 4 0 .7 5
1)
0 .4 3 .9 3 4 0 3
第4章 数值积分与数值微分
原积分的准确值

《 数 值 分 析 》
1 0 .5
x dx
2 3
3
x2
1 0 .5
0 .4 3 0 9 6 4 4 1
(2―9)
类似地可分别求出n=4,5,„时的柯特斯系数,从而建
立相应的求积公式。具体结果见表4―1。
从表中可以看出,当n≤7时,柯特斯系数为正;从n≥8开 始,柯特斯系数有正有负。因此,当n≥8时,误差有可能传播 扩大,牛顿 ― 柯特斯求积公式不宜采用。
第4章 数值积分与数值微分
柯特斯系数C(n)i仅与n和i有关,与被积函数f(x)无关, 且满足
( n 1 )
k 0 k i b

( n 1) !
n i0
1
a
( ) n 1 ( x ) d x
ai yi Rn ( f )
第4章 数值积分与数值微分
ai

a
b
n
x xk xi xk 1
b
dx
(2―3)
k 0 k i
《 数 值 分 析 》
Rn ( f )
《 数 值 分 析 》
是有

数f(x),即有
b a
f ( x )dx

b a
( x )dx
现用第2章介绍的插值多项式Pn(x)来代替被积函

b a
f ( x )dx

b a
Pn ( x ) d x
取基点为等距,即 a=x0＜x1＜…＜xn=b
第4章 数值积分与数值微分
h
ba n
x k 1 x k , k 0,1, 2 , , n 1 i 0,1, 2 , , n
(2―7)
第4章 数值积分与数值微分
这是梯形公式。
当n=2时,可得
C0
《 数 值 分 析 》
(2)

1
4
1
2 0
( s 1)( s 2 ) d s
2 0
1 6
C1
(2)
1
2
2 0
s( s 2 )ds 1 6
4 6
C2
(2)
4
s ( s 1) d s
A 0 , A1 , A 2 , 使上述求积公式的代数
三、插值型求积公式
在 n 1个互异节点 f1 , , f n，就有拉格朗日插值多
n
第4章 数值积分与数值微分
a x 0 x1 x n b 上已知函数值 项式
f0 ,
《 数 值 分 得到 析 》
Ln ( x ) lk ( x ) f k

ba
有

n
~ Ak f ( x k ) f ( x k )
k 0

n
A k ( b a ) .
k 0
第4章 数值积分与数值微分
2 牛顿 ― 柯特斯(Newton―Cotes) 公式 建立数值积分公式最基本的思想是选取一个既简 单又有足够精度的函数φ(x),用φ(x)代替被积函数f(x),于
定义2
在求积公式
lim
(1.3) 中 , 若
n h 0 k 0

n
Ak f ( x k )

b
f ( x )dx,
a
其中 h max ( x i x i 1 ), 则称求积公式
1 i n
(1.3) 是收敛的 .
第4章 数值积分与数值微分
~ 设 f ( x k ) 有误差 k , 即 f ( x k ) f k k ( k 0 ,1, , n ), 则有 ~ | I n ( f ) I n ( f ) |
图4.3
一般地 , 求积公式
第4章 数值积分与数值微分

权 A k 仅仅与节点
b
f ( x )d x
a

n
A k f ( x k ),
(1 . 3 ) 随节点 x k 的权。
k 0
式中 x k 称为求积节点；
A k 称为求积系数，亦称伴
x k 的选取有关，而不依赖 .
被积函数 f ( x )的具体形式。
x i x 0 ih
《 数 值 分 析 》
利用拉格朗日插值多项式
f ( x ) pn ( x ) Rn ( x )
(2―1)
其中
Pn ( x )
(
i0
n
n
x xk xi xk
) yi
k 0 k i
Rn ( x )
f
( n 1 )
( )
( n 1) !