7直梁弯曲的识别和应用

《机械基础》
教案（2009～ 2010学年第二学期）
学院山西省工贸学校
系（部）机电系
教研室
教师梁少宁
山西省工贸学校
③学生学案
课题名称：直梁弯曲的识别和应用
班级：姓名：
(一)、工作任务：
拿出一根香肠，在力的作用下使它弯曲，然后观察香肠弯曲后，弯曲上边面什么形状，
弯曲下表面什么形状？为什么会这样？当它断裂时是怎样开始断裂的？
(二)、学习目标：
平面弯曲时梁横截面上的正应力分布规律及正应力公式，横截面具有双对称轴（如矩形、圆形等）及单对称轴（T字形及槽钢等）时其横截面上的正应力分布特点，弯曲正应力公式及应用，最大弯曲正应力所在位置，最大弯曲正应力公式及应用，中性轴位置的确定。

矩形、圆形、空心圆截面的惯性矩公式及抗弯截面系数公式，求组合截面惯性矩的组合公式和平行移轴定理及其应用，提高梁强度的主要措施。

(三)、回答问题
1、一根香肠，在力的作用下使它弯曲，然后观察香肠弯曲后，弯曲上边面什么形状，弯曲下表面什么形状？为什么会这样？
2、怎样提高梁的弯曲强度？那个办法最经济？
(四)、分析该资料，完成项目任务：
一、梁的内力
1、关于平面弯曲、弯曲内力的概念与定义
弯曲——构件受到垂直于轴线的外力或位于其轴线所在平面内的力偶作用，其轴线从直线弯曲成曲线，这种变形形式称为弯曲。

梁——承受弯曲的构件称为梁。

通常可分为简支梁、悬臂梁和外伸梁三类基本梁。

平面弯曲——梁具有纵向对称面，所有外力均作用在该对称面内。

梁变形后，其轴线在该对称面内弯曲或一条平面曲线，这是弯曲问题中最基本也是最重要的一种变形形式。

纯弯曲——梁横截面上只有弯矩一种内力。

剪力——在梁在某横截面上，与外力主矢量平衡的内力分量，它与横截面平行，记作Q。

弯矩——在梁的某横截面上，与外力主矩平衡的内力，其矢量垂直于梁的轴线，记作M。

剪力方程与弯矩方程——表示剪力、弯矩沿梁轴线变化规律的函数式。

剪力图与弯矩图——表示剪力与弯矩沿梁轴线变化的图形。

2、剪力、弯矩的正负号规定
剪力、弯矩正负号的规定使梁横截面两侧的剪力、弯矩有相同的正负号。

为此，剪力、弯矩的正负号是由它们引起梁的变形情况来决定的。

在梁上截取微段，其横截面上的剪力、弯矩的正负号规定“左上右下，剪力为正；左顺右逆，弯矩为正”。

3、剪力方程和弯矩方程
建立剪力方程和弯矩方程的方法与求指定截面上的剪力、弯矩的方法基本相同，差别在于，建立剪力、弯矩方程时所要求的是梁任意截面上的剪力和弯矩。

此外，要注意外力突变对剪力、弯矩方程的影响。

凡是集中力、集中力偶作用的截面及分布载荷不连续的截面均是控制面，控制面是建立剪力、弯矩方程的分段点。

4、剪力图、弯矩图的画法及检验
1、剪力图与弯矩图的画法——建立剪力、弯矩方程后，用横坐标表示截面的位置；用纵坐标分别表示截面上的剪力、弯矩。

作出剪力、弯矩方程的图形，即为剪力图和弯矩图。

遇有需分段的情形，也要注意按各段的剪力、弯矩方程作各段的剪力、弯矩图，剪力、弯矩图形画好后，应标上正负号，并注明控制面上的剪力、弯矩值及极值。

2、剪力图与弯矩图的检验
利用剪力、弯矩、载荷集度间微分关系可以检验剪力、弯矩图的正确性。

5、建立Q 、M方程及画Q 、M图时应注意的问题
确定“控制面”上的弯矩和剪力时，要应用截面法，用假想截面从所考察的截面处将梁截开，与求拉伸和扭转时的内力一样，切不可将截面附近处作用的外力当作截面上的弯矩和剪力，特别是对于初学者这一点显得列加重要。

对截面法较熟悉后，可以不必在纸面上画出截开后的图形，但一定要有截开的概念。

求约束力及截开后求剪力、弯矩时，可应用静力学中力的简化方法进行计算，但在截开之前，不能将梁上的外力简化，并用静力等效的梁替代原梁求剪力、弯矩。

其中原因将在最后一小节中讨论。

弯矩、剪力的正负号不仅关系到所画的弯矩图和剪力图是否正确。

而且对以后的强度和刚度计算都有很大的影响，因上要特别注意避免发生正负号的错误。

因为弯矩和剪力的正负号是根据它们所引起的变形效果规定的，所以不仅要根据它们的作用方向，而且要考虑它们的作用面，然后按弯矩、剪力的符号规定来确定它们的符号。

一般情况下，应先按弯矩、剪力的符号规定，假设截面上的弯矩和剪力为正方向，然后由平衡方程计算截面上的弯矩、剪力。

若结果为正，则说明假设的正方向是正确的，即该截面上的弯矩、剪力均为正；若结果为负，则说明弯矩、剪力的实际方向相反，即为负。

这样，由平衡方程所得到的弯矩、剪力的正负号与它们的实际情况是一致的。

二、梁的应力
1、关于平面假设、中性轴、惯性矩和抗弯刚度的概念与定义
平面假设——梁弯曲变形后，其横截面仍保持平面，并仍与梁轴线垂直，只是绕截面上某一轴转过一个角度。

中性层与中性轴——在梁弯曲变形后，梁中既不伸长也不缩短的纵向层，称为梁的中性层，中性层与横截面的交线称为中性轴，在平面弯曲时，中性轴过截面形心且与横截面对称轴垂直。

惯性矩——Iz=∫y2dA，是对指定的z轴而言的，此时Iz是仅与截面形状、尺寸有关的几何量，其值恒为正值，量纲是[长度]4。

抗弯刚度——EIz，综合反映了构件抗弯曲变形的能力。

2、弯曲正应力公式的应用
弯曲正应力公式应用与圆轴扭转时剪应力的推导方法基本相同，即综合考虑了几何、物
理和静力学三个方面。

应用正应力公式σ=My/I z时要注意，该公式是对某个截面上某点而言的，即首先应明确是求哪个截面上哪一点的应力；其次利用截面法求该截面上的弯矩M，并确定该截面对其中性轴的惯性矩；最后由正应力公式求出该点的正应力。

3、确定截面对中性轴的惯性矩
弯曲正应力公式中，I z是指截面对其中性轴z 的惯性矩，因此，应首先确定中性轴。

在平面弯曲时，中性轴过截面形心且垂直于截面对称轴，即为截面的形心对称轴。

若截面具有一对相互垂直的对称轴，当外力沿某一对称轴作用，另一对称轴即为中性轴；若截面只有一根对称轴，那么当外力沿该对称轴作用时，过截面形心且与该对称轴垂直的轴即为中性轴。

矩形、圆形、空心圆等简单图形截面，可直接应用公式其惯性矩：I z=bh3/12( I y=hb3/12)、I z=πd4/64、I z=π(D4-d4)/64。

对于工字钢等型钢，可查型钢表得其惯性矩，查表时要注意对哪根轴的惯性矩。

求简单组合截面惯性矩时，应灵活应用组合公式及平行移轴定理。

应用组合公式要注意对“同一轴”的限制，当组合截面的形心轴同时也是截面各组成部分的形心轴时，求组合截面对其形心轴的惯性矩便可直接应用组合公式。

应用平行移轴定理，不仅可以由已知截面对形心的惯性矩Ixy 。

求得截面对与形心轴平行的任一轴的惯性矩I z；而且可由I z求Ixy，但要注意公式中等号两边的惯性矩的含义，不可将其位置弄错。

三、梁的弯曲强度计算
1、关于危险面、危险点、弯曲强度计算准则
危险截面——梁内弯矩最大（对等截面梁）的截面，其中W z =I z/y max为抗弯截面系数。

危险点——危险截面上正应力最大的点。

弯曲强度计算准则——σmax≤[σ]，又称强度条件。

限制梁的最大工作应力σmax，使其不超过材料的许用应力。

2、弯曲强度计算的基本方法
弯曲强度计算的任务——弯曲强度计算主要解决以下三类问题：
校核强度——求出梁内最大正应力σmax，由强度条件σmax≤[ σ]，校核梁是否满足强度要求。

截面尺寸设计——根据强度条件W z≥M z/[σ] 得到截面的设计尺寸。

确定许可载荷——由强度条件M z≤[σ] W z，并通过弯矩与载荷的关系，即可确定许可载荷。

弯曲强度计算的一般步骤是：首先根据题目要求确定是哪类强度计算问题，从而选择强度条件的相应形式；其次由外力及约束情况，作出正确的弯矩图，并确定可能的危险截面；然后根据材料的特性及截面上的应力分布确定可能的危险点，最后根据强度条件进行强度计算。

3、提高梁强度的主要措施
1、选择合理截面形状：用抗弯截面系数W z与截面面积A的比值W z/A来衡量截面的合理程度，W z/A 比值愈大，截面就愈经济合理。

由此可见，合理截面的设计原则是：尽量将材料安置在远离截面中性轴的地方。

另外，还应根据材料的特性来选择合理截面。

对于塑性材料，因其抗拉能力与抗压能力相等，应采用对称于中性轴的截面，如工字形截面等；对于脆性材料，因其抗压能力好于抗拉能力，故应使截面中性轴偏于受拉的一边，如T字型截面等。

这样，就使材料的使用较为合理，达到经济、节省的目的。

2、采用变截面梁：为充分发挥材料的性能，在弯矩较大处采用较大的横截面，在弯矩较小处采用较小的横截面，此即变截面梁。

最理想的设计是使所有横截面上的最大正应力均等于许用应力，即：σmax＝M（x）/W（x）=[σ],这就是等强度梁。

3、改善梁的受力情况：通过改变梁的支座位置及加载方式，可以有效地降低梁内最大弯矩，从而提高梁的承载能力，下表给出了改善梁受力情况的几种方法
(五)、评分表
课堂汇报评分表（教师用表）
(六)、总结反思：
1、本次讨论的成功之处：
2、本次讨论的不足之处：
3、在讨论过程中碰到的主要问题：
4、解决问题的方法：
5、进一步改进的措施：
(七)、课后作业：
总结一下：提高梁强度的主要措施有那些？各有什么样的优缺点？在相同的条件下，那个最经济？。