北师大版(2019)数学必修第二册：6.1.2 简单多面体——棱柱、棱锥和棱台 教案

几何体的一个截面，多面体所有面的面积之和称为多面体的表面积（或全面积）。
二、新知探究
1．棱柱的概念
【例】下列关于棱柱的说法正确的个数是（ ）
①四棱柱是平行六面体；
②有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱；
③有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都
互相平行的几何体是棱柱；
1．棱锥的结构特征。
定义
有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这 些面围成的多面体
底面：多边形面
图示及
侧面：有公共顶点的各个三角形
相关概
面
念
侧棱：相邻两侧面的公共边
顶点：各侧面的公共顶点
分类 按底面多边形的边数分：三棱锥、四棱锥……
2．棱台的结构特征。
定义
用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分
④底面是正多边形的棱柱是正棱柱。
A．1Hale Waihona Puke B．2C．3D．4
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A [四棱柱的底面可以是任意四边形；而平行六面体的底面必须是平行四 边形，故①不正确；说法③就是棱柱的定义，故③正确；对比定义，显然②不正 确；底面是正多边形的直棱柱是正棱柱，故④不正确。]
2．几种常见四棱柱的关系 【例】 下列说法中正确的是（ ） A．直四棱柱是直平行六面体 B．直平行六面体是长方体 C．六个面都是矩形的四棱柱是长方体 D．底面是正方形的四棱柱是直四棱柱 C [直四棱柱的底面不一定是平行四边形，故 A 错；直平行六面体的底面 不一定是矩形，故 B 错；C 正确；底面是正方形的四棱柱不一定是直四棱柱，故 D 错。] 【教师小结】 几种常见四棱柱的关系
简单多面体——棱柱、棱锥和棱台
【第一课时】
【教学目标】
1．通过多面体的定义与分类学习，培养学生的数学抽象核心素养。 2．借助棱柱结构特征的学习，培养直观抽象的数学核心素养。
【教学重难点】
1．了解多面体的定义及其分类。（重点） 2．理解棱柱的定义和结构特征。（重点） 3．在棱柱中构造恰当的特征图形，研究其中的线段数量关系和位置关系。 （难点）
①
②
（1）如图①所示，三棱柱是棱柱 A′B′C′­AB″C″，另一个多面体是 C′B′BCC″B″。
（2）如图②所示，三个三棱锥分别是 A′­ABC，B′­A′BC，C′­A′B′C．
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【教学过程】
一、基础铺垫
多面体：
一般地，由若干个平面多边形所围成的封闭几何体称为多面体。例如，我们
初中学习过的长方体、棱锥等都是多面体。
一个多面体中，连接同一面上两个顶点的线段，如果不是多面体的棱，就称
其为多面体的面对角线；连接不在同一面上两个顶点的线段称为多面体的体对角
线。一个几何体和一个平面相交所得到的平面图形（包含它的内部），称为这个
棱锥，棱锥底面和截面之间的部分不是棱台； （2）正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；
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（3）正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形； （4）正确，棱台是由平行于棱锥底面的平面截得的，故棱台的各侧棱延长 后必交于一点； （5）错误，如图所示四棱锥被平面 PBD 截成的两部分都是棱锥。] 【教师小结】判断一个几何体是何种几何体，一定要紧扣棱柱、棱锥、棱台 的结构特征，注意概念中的特殊字眼，切不可马虎大意，如棱柱的概念中的“相 邻”，棱锥的概念中的“公共顶点”，棱台的概念中的“棱锥”“平行”等。 2．几何体的计算问题 [探究问题] （1）计算正三棱锥中底面边长，斜高，高时，通常是将所求线段转化到直 角三角形中，常用到的直角三角形有哪些？ [提示] 常用到的直角三角形有：①由斜高、高、底面中心到边的距离构成 的三角形，②由高、侧棱和底面中心与底面顶点的连线构成的三角形。 （2）其他正棱锥的计算是否与正三棱锥计算用同样的方法？ [提示] 是。 （3）正棱台中的计算呢？ [提示] 根据正棱锥与正棱台的关系，转化到直角梯形中求解。 【例】 正三棱锥的底面边长为 3，侧棱长为 2 3，求正三棱锥的高。 [思路探究] 正三棱锥⇒侧棱、高和底面三角形外接圆半径组成直角三角形 ⇒勾股定理求解。 [解] 作出正三棱锥如图，SO 为其高，连接 AO，作 OD⊥AB 于点 D，则点 D 为 AB 的中点。
些面所围成的几何体是棱锥。
()
（2）棱台的侧棱长都相等。
()
（3）棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形。 ( )
（4）棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形。
()
[答案] （1）√ （2）× （3）× （4）×
2．下列几何体中是棱柱的个数有( )
A．5 个 B．4 个 C．3 个 D．2 个 D [由棱柱的定义知①③是棱柱，选 D．] 3．画一个三棱台，再把它分成： （1）一个三棱柱和另一个多面体； （2）三个三棱锥，并用字母表示。 [解] 画三棱台一定要利用三棱锥。
分类 按底面多边形的边数分：三棱柱、四棱柱…… 四、课堂检测
1．下列几何体中是棱柱的个数有（ ）
A．5 个 B．4 个
C．3 个
D．2 个
D [由棱柱的定义知①①是棱柱，选 D．]
2．一个棱柱至少有__________个面；面数最少的棱柱有________个顶点，
有________条棱。
5 6 9 [面数最少的棱柱是三棱柱，有 5 个面，6 个顶点，9 条棱。]
故其高为 230。 【教师小结】 （一）正棱锥中的直角三角形的应用 已知正棱锥如图(以正四棱锥为例)，其高 PO，底面为正方形，作 PE⊥CD 于 E，则 PE 为斜高。
(1)斜高、侧棱构成直角三角形，如图中 Rt△PEC． (2)斜高、高构成直角三角形，如图中 Rt△POE。
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(3)侧棱、高构成直角三角形，如图中 Rt△POC．
上底面：原棱锥的截面
下底面：原棱锥的底面
图示及相
侧面：除上下底面以外的面
关概念
侧棱：相邻两侧面的公共边
顶点：侧面与上(下)底面的公共顶 点
分类
按由几棱锥截得分：三棱台、四棱台……
四、课堂检测
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1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
（1）有一个底面为多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这
均满足多面体的定义。 思考 2：最简单的多面体由几个面所围成？ [提示] 四个。
二、合作探究 1．棱锥、棱台的概念 【例】 下列关于棱锥、棱台的说法中，正确说法的序号是________。 （1）用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台； （2）棱台的侧面一定不会是平行四边形； （3）棱锥的侧面只能是三角形； （4）棱台的各侧棱延长后必交于一点； （5）棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥。 （2）（3）（4） [（1）错误，若平面不与棱锥底面平行，用这个平面去截
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在 Rt△ADO 中，AD＝32， ∠OAD＝30°，
3 故 AO＝cos∠2OAD＝ 3。 在 Rt△SAO 中，SA＝2 3，AO＝ 3， 故 SO＝ SA2－AO2＝3，其高为 3． 【母题探究】 1．将本例中“侧棱长为 2 3”，改为“斜高为 2 3”，则结论如何？ [解] 在 Rt△SDO 中，SD＝2 3，DO＝12AO＝ 23，故 SO＝ SD2－DO2＝ 12－34＝3 2 5。 2．将本例中“三棱锥”改为“四棱锥”，如何解答？ [解] 如图正四棱锥 S­ABCD 中，SO 为高，连接 OC．则△SOC 是直角三角 形，由题意 BC＝3，则 OC＝3 2 2，又因为 SC＝2 3，则 SO＝ SC2－OC2＝ 12－92 ＝ 125＝ 230。
【跟踪训练】 1．一个棱柱是正四棱柱的条件是（ ） A．底面是正方形，有两个面是矩形的四棱柱 B．底面是正方形，两个侧面垂直于底面的四棱柱 C．底面是菱形，且有个顶点处的两条棱互相垂直的四棱柱 D．底面是正方形，每个侧面都是全等的矩形的四棱柱 D [选项 A、B 中，两个面为相对侧面时，四棱柱不一定是直四棱柱，C 中 底面不是正方形，故排除选项 A、B、C，所以选 D．] 三、课堂总结 1．多面体 （1）定义 由若干个平面多边形所围成的几何体叫做多面体。
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（2）相关概念（如图所示）
（3）凸多面体 把一个多面体的任意一个面延展为平面，如果其余的各面都在这个平面的同 一侧，则这样的多面体就叫做凸多面体。 2．棱柱的结构特征
有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边 定义
形的公共边都互相平行，由这些面围成的多面体
图示 及相 关概 念
底面：两个互相平行的面 侧面：底面以外的其余各面 侧棱：相邻两侧面的公共边 顶点：侧面与底面的公共顶点
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【第二课时】 【教学目标】
借助棱锥、棱台结构特征的学习，培养直观抽象的数学核心素养。
【教学重难点】
1．棱锥、棱台的定义和结构特征。（重点） 2．棱锥、棱台中构造恰当的特征图形，研究其中的线段数量关系和位置关 系。（难点）
【教学过程】
一、复习导入 思考 1：长方体、正方体是多面体吗？ [提示] 是。长方体是由 6 个矩形围成的，正方体是由 6 个正方形围成的，
（二）正棱台中的直角梯形的应用
已知正棱台如图(以正四棱台为例)，O1，O 分别为上、下底面中心，作 O1E1 ⊥B1C1 于 E1，OE⊥BC 于 E，则 E1E 为斜高，
(1)斜高、侧棱构成直角梯形，如图中梯形 E1ECC1． (2)斜高、高构成直角梯形，如图中梯形 O1E1EO。 (3)高、侧棱构成直角梯形，如图中梯形 O1OCC1． 三、课堂总结