高二数学选修1、2-3-1抛物线及其标准方程 (1)

2.3.1抛物线及其标准方程
一、选择题
1．在直角坐标平面内，到点(1,1)和直线x ＋2y ＝3距离相等的点的轨迹是( )
A ．直线
B ．抛物线
C ．圆
D ．双曲线 [答案] A
[解析] ∵定点(1,1)在直线x ＋2y ＝3上，∴轨迹为直线．
2．抛物线y 2＝x 上一点P 到焦点的距离是2，则P 点坐标为( )
A.⎝⎛⎭⎫32
，±62 B.⎝⎛⎭⎫74，±72 C.⎝⎛⎭⎫94
，±32 D.⎝⎛⎭⎫52，±102 [答案] B
[解析] 设P (x 0，y 0)，则|PF |＝x 0＋p 2＝x 0＋14
＝2， ∴x 0＝74，∴y 0＝±72
. 3．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝2，则a 的值为( )
A.18
B ．－18
C ．8
D ．－8 [答案] B
[解析] ∵y ＝ax 2，∴x 2＝1a
y ，其准线为y ＝2， ∴a <0,2＝1－4a
，∴a ＝－18. 4．(2010·湖南文，5)设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是( )
A ．4
B ．6
C ．8
D ．12
[答案] B
[解析] 本题考查抛物线的定义．
由抛物线的定义可知，点P 到抛物线焦点的距离是4＋2＝6.
5．设过抛物线的焦点F 的弦为AB ，则以AB 为直径的圆与抛物线的准线的位置关系是
( )
A ．相交
B ．相切
C ．相离
D ．以上答案都有可能
[答案] B
[解析] 特值法：取AB 垂直于抛物线对称轴这一情况研究．
6．过点F (0,3)且和直线y ＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹方程为( )
A ．y 2＝12x
B ．y 2＝－12x
C ．x 2＝12y
D ．x 2＝－12y [答案] C
[解析] 由题意，知动圆圆心到点F (0,3)的距离等于到定直线y ＝－3的距离，故动圆圆心的轨迹是以F 为焦点，直线y ＝－3为准线的抛物线．
7．过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线( )
A ．有且仅有一条
B ．有且仅有两条
C ．有无穷多条
D ．不存在 [答案] B
[解析] 当斜率不存在时，x 1＋x 2＝2不符合题意．
因为焦点坐标为(1,0)，
设直线方程为y ＝k (x －1)， 由⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝k (x －1)y 2＝4x 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0， ∴x 1＋x 2＝2k 2＋4k
2＝5， ∴k 2＝43，即k ＝±233
. 因而这样的直线有且仅有两条．
8．抛物线y 2＝8x 上一点P 到x 轴距离为12，则点P 到抛物线焦点F 的距离为( )
A ．20
B ．8
C ．22
D ．24 [答案] A
[解析] 设P (x 0,12)，则x 0＝18，
∴|PF |＝x 0＋p 2
＝20.
9．抛物线的顶点在坐标原点，焦点是椭圆4x 2＋y 2＝1的一个焦点，则此抛物线的焦点到准线的距离为( )
A ．2 3
B. 3
C.12
3 D.14
3 [答案] B
[解析] p 2＝c ＝32
，∴p ＝ 3. 10．在同一坐标系中，方程a 2x 2＋b 2y 2＝1与ax ＋by 2＝0(a >b >0)的曲线大致是( )
[答案] D
[解析] 解法一：将方程a 2x 2＋b 2y 2＝1与ax ＋by 2＝0转化为标准方程x 21a 2＋y 21
b 2＝1，y 2＝－a b x .因为a >b >0，因此1b >1a
>0. 所以有椭圆的焦点在y 轴，抛物线的开口向左．
解法二：将方程ax ＋by 2＝0中的y 换成－y ，其结果不变，
即说明ax ＋by 2＝0的图象关于x 轴对称，排除B 、C ，又椭圆的焦点在y 轴，排除A.
二、填空题
11．已知圆x 2＋y 2＋6x ＋8＝0与抛物线y 2＝2px (p >0)的准线相切，则p ＝________.
[答案] 4或8
[解析] 抛物线的准线方程为：x ＝－p 2
，圆心坐标为(－3,0)，半径为1， 由题意知3－p 2＝1或p 2
－3＝1，∴p ＝4或p ＝8.
12．到点A (－1,0)和直线x ＝3距离相等的点的轨迹方程是________．
[答案] y 2＝8－8x
[解析] 设动点坐标为(x ，y )，
由题意得(x ＋1)2＋y 2＝|x －3|，
化简得y 2＝8－8x .
13．以双曲线x 216－y 2
9
＝1的中心为顶点，左焦点为焦点的抛物线方程是__________． [答案] y 2＝－20x
[解析] ∵双曲线的左焦点为(－5,0)，故设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)，
又p ＝10，∴y 2＝－20x .
14．圆心在第一象限，且半径为1的圆与抛物线
y 2＝2x 的准线和双曲线x 216－y 29＝1的渐近线都相切，则圆心的坐标是________．
[解析] 设圆心坐标为(a ，b )，则a >0，b >0.
∵y 2＝2x 的准线为x ＝－12
， x 216－y 29
＝1的渐近线方程为3x ±4y ＝0. 由题意a ＋12＝1，则a ＝12
. |3a ±4b |＝5，解得b ＝138或b ＝78
， ∴圆心坐标为⎝⎛⎭⎫12，138、⎝⎛⎭⎫12，78.
三、解答题
15．若抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M 到准线及对称轴的距离分别为10和6，求M 点的横坐标及抛物线方程．
[解析] ∵点M 到对称轴的距离为6，
∴设点M 的坐标为(x,6)．
∵点M 到准线的距离为10，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ 62＝2px x ＋p 2＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝9p ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1
p ＝18，
故当点M 的横坐标为9时，抛物线方程为y 2＝4x .
当点M 的横坐标为1时，抛物线方程为y 2＝36x .
16．已知点A (0，－2)，B (0,4)，动点P (x ，y )满足P A →·PB →＝y 2－8.
(1)求动点P 的轨迹方程．
(2)设(1)中所求轨迹与直线y ＝x ＋2交于C 、D 两点．求证：OC ⊥OD (O 为原点)
[解析] (1)由题意可得P A →·PB →＝(－x ，－2－y )·(－x,4－y )＝y 2－8
化简得x 2＝2y
(2)将y ＝x ＋2代入x 2＝2y 中，得x 2＝2(x ＋2)
整理得x 2－2x －4＝0
可知Δ＝20>0
设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)
x 1＋x 2＝2，x 1·x 2＝－4
∵y 1＝x 1＋2，y 2＝x 2＋2
∴y 1y 2＝(x 1＋2)(x 2＋2)＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＝4
∵OC →·OD →＝x 1x 2＋y 1y 2＝0
∴OC ⊥OD
17．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的任意一条直线m ，交抛物线于P 1，P 2两点，求证：以P 1P 2为直径的圆和该抛物线的准线相切．
[证明] 如下图，设P 1P 2的中点为P 0，过P 1，P 2，P 0分别向准线l 引垂线，垂足分别为Q 1，Q 2，Q 0，根据抛物线的定义，得|P 1F |＝|P 1Q 1|，|P 2F |＝|P 2Q 2|，所以|P 1P 2|＝|P 1F |＋|P 2F |
＝|P 1Q 1|＋|P 2Q 2|.因为P 1Q 1∥P 0Q 0∥P 2Q 2，|P 1P 0|＝|P 0P 2|，所以|P 0Q 0|＝12(|P 1Q 1|＋|P 2Q 2|)＝12
|P 1P 2|.由此可知，P 0Q 0是以P 1P 2为直径的圆P 0的半径，且P 0Q 0⊥l ，因此，圆P 0与准线相切．
18．抛物线的焦点F 是圆x 2＋y 2－4x ＝0的圆心．
(1)求该抛物线的标准方程；
(2)直线l 的斜率为2，且过抛物线的焦点，若l 与抛物线、圆依次交于A ，B ，C ，D ，求|AB |＋|CD |.
[解析] (1)由圆的方程知圆心坐标为(2,0)．因为所求的抛物线以(2,0)为焦点，所以抛物线的标准方程为y 2＝8x .
(2)如右图，|AB |＋|CD |＝|AD |－|BC |，又|BC |＝4，所以只需求出|AD |
即可．
由题意，AD 所在直线方程为y ＝2(x －2)，与抛物线方程y 2＝8x 联立
得⎩⎪⎨⎪⎧
y 2＝8x ，y ＝2(x －2)⇒x 2－6x ＋4＝0，设A (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，所以x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝4，|AD |＝|AF |＋|DF |＝(x 1＋2)＋(x 2＋2)＝x 1＋x 2＋4＝6＋4＝10，所以|AB |＋|CD |＝|AD |－|BC |＝6.
[点拨] 本题求出x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝4后可以利用弦长公式来求，但直接利用抛物线定义得|AD |＝|AF |＋|DF |＝x 1＋x 2＋p ，则简单利落．。