数学建模理论与实践
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3
一、诺贝尔奖金模型
模型假设
1. 每年平均复利率不变为 L；
2. 每年发放奖金的总额是该年所获利息的一半，另一半利息 用于增加基金资金总额。
3. 1896 年记作 0 年，1897 年起作为奖金颁发的第一年， 以后每年颁发奖金一次。
建模目的
(1) 诺贝尔奖基金的利率 L 是多少？
(2) 2019年我国作家莫言的诺贝尔文学奖的奖金估计是
模型分析
每年发放奖金的总额是该年所获利息的a%，剩余部分的利息
用于增加基金资金总额。模型将如何？
模型应用 略 6
二、不允许缺货的存储模型
问题的提出：
在实际生活中，商店和工厂需要存储一定数量的商品或 者备件。存储量太多或太少都会引起经济上的损失。因此， 确定一个最优存储量非常必要。
设一家商店每天销售 R 件商品。商店订货是一种周期性 的行为：每隔 T 天订货一次，订货量为 Q ，订货一次的手 续费为Cb ，货到立即运到商店销售。一件商品存储一天的费 用为 Cs ，问多少天订货一次最经济？订货量是多少？
不允
许缺 T
货模
型 Q
2C b RC s
2C bR Cs
记 Cs Co
Co
T T, Q Q
不
允 1 T'T, Q 'QCo
许
缺 货
Co 1 T T,Q Q
14
两种存储模型的比较
允许 T 2Cb Cs Co q
缺货
RCs Co
Q
模型 Q 2CbR Co Cs Cs Co
R P
注意：缺货需补足
C(T)CCbCsRT TT 2 9
二、不允许缺货的存储模型
模型求解 求 T 使得 C(T)M in,
dC 0或配方 dT
T
2 C b Q RT 2CbR
RC s
Cs
模型分析
Cb T,Q
模型应用
Cs T,Q RT,Q
Cb=5000, Cs=1，R=100 T=10(天), Q=1000(件)
基于代数学的数学建模
一、诺贝尔奖金模型 二、不允许缺货的存储模型 三、（补充）允许缺货的存储模型
2
一、诺贝尔奖金模型
问题的提出：
A.诺贝尔（Alfred Bernhard Nobel－(1833－1896)）把他 留下的大部分财产投资于安全证券构成基金，其利息以奖金 方式奖给对人类作出了最有益贡献的人。现在诺贝尔奖分为 6 项：物理学、化学、文学、经济学、生理学和医学以及和 平奖。诺贝尔留作基金的总额为 850 万美元，随着物价的上 涨，颁发给受奖人的奖金金额正逐步提高。2019 年诺贝尔奖 每项奖金金额为 98.7 万美元。问诺贝尔奖基金的利率是多 少？2019年我国作家莫言的诺贝尔文学奖的奖金估计是多少 美元？
7
二、不允许缺货的存储模型
模型假设
1. 每天销售的的商品数量R是常数； 2. 订货 1 次的手续费为 Cb, 每天每件商品存储费为 Cs； 3. T天订货 1 次（周期）, 每次订货Q件，当存储量
为零时，Q件商品立即到来（订货时间不计）； 4. 为方便起见，时间和订货量都作为连续量处理。
建模目的
设 R, Cb , Cs已知，求T, Q 使每天总费用的平均值最小。
q(t)dt
CsA
一周期
缺货费
Baidu Nhomakorabea
T
Co T1 q(t)dt CoB
一周期总费用
CCbCsQ2T1CoR(T2T1)2 12
三、 （补充）允许缺货的存储模型
一周期总费用
CCb1 2CsQ T 11 2CoR(TT 1)2
每天总费用 平均值
C (T ,Q )C C bC sQ 2C o(rT Q )2 T T 2 R T 2 R T
0
T1 T
t
Q~每周期初的存储量
每周期的订货量 P （或生产量）
PRT 2CbRCs Co Cs Co
PQQQ~不允许缺货时的订货量(或生产量) 15
书面作业
1. （P48）在诺贝尔奖金模型中，假设每年的平均复
利率 L=0.0620 不变；并假设每年发放奖金的总 额是该年所获利息的a%，剩余部分的利息用于增
8
二、不允许缺货的存储模型
模型建立
离散问题连续化
q
存储量表示为时间的函数 q(t)
t=0订货Q件，q(0)=Q, q(t)以 Q R 需求速率R递减，q(T)=0.
Q RT
A=QT/2
0
T
t
一周期存储费为 一周期
Cs
T
0 q(t)dt CsA
总费用
C Cb Cs
QT 2
Cb
Cs
RT 2 2
每天总费用平均 值（目标函数）
加基金资金总额。 已知 2019 年诺贝尔文学奖奖
金约合 148 万美元（不是151.6万美元），则 a
为多少？ 2. （P48）装配线每年要用 480000 个某型号的零件，
零件的生产成本为 5 元/件，每开工一次准备费用 为 1000 元，每年一个零件的保管费用为生产成 本的 25%。若不允许缺货，问每次准备的批量应 为多少？每年应开工几次？（要求在解答过程中， 所设生产周期以天为单位）
10
二、不允许缺货的存储模型
• 经济批量订货公式（EOQ公式）
用于订货、供应、存储情形
每天需求量 R，每次订货费 Cb,每天每件存储费 Cs ， T天订货一次(周期), 每次订货Q件，当存储量降到 零时，Q件立即到货。
T 2C b RC s
Q RT 2CbR Cs
不允许缺货的存储模型
• 问：为什么不考虑订货费用？在什么条件下才不考虑？ 11
三、（补充）允许缺货的存储模型
问题的提出：
q
Q 当存储量降到零时仍有需求R,
出现缺货，造成损失。
R
原模型假设：存储量降到零时Q件
A
Q RT1
立即到货 (或立即生产出来)
0
T1B T
t
现假设：允许缺货, 每天每件缺货损失费 Co , 缺货需补足
周期T, t=T1存储量降到零
一周期
存储费
Cs
T1 0
(3)多少美元？
4
一、诺贝尔奖金模型
模型建立
5
一、诺贝尔奖金模型
模型求解
yk
1
L
k
2
y0
1
L102 2
L
1.3934
迭代法
L f (L)
L0.0620
年份 资金总额估计值(万美元) 每项诺贝尔奖的金额(万美元)
2019
29338
151.6
2019年诺贝尔奖每项奖金为1000万瑞典克朗（包括我国莫言的文学奖： 约合937万人民币，约合148万美元，非常接近表格内的数字）。
（目标函数） 求 T ,Q 使 C(T,Q)Min
C 0, C 0 为与不允许缺货的存储模型
T Q
相比，T记作T ’, Q记作Q’
T 2Cb Cs Co RCs Co
Q 2CbR Co Cs Cs Co
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两种存储模型的比较
允许
缺货 T
模型
Q
2Cb Cs Co RCs Co
2CbR Co Cs Cs Co
一、诺贝尔奖金模型
模型假设
1. 每年平均复利率不变为 L；
2. 每年发放奖金的总额是该年所获利息的一半，另一半利息 用于增加基金资金总额。
3. 1896 年记作 0 年，1897 年起作为奖金颁发的第一年， 以后每年颁发奖金一次。
建模目的
(1) 诺贝尔奖基金的利率 L 是多少？
(2) 2019年我国作家莫言的诺贝尔文学奖的奖金估计是
模型分析
每年发放奖金的总额是该年所获利息的a%，剩余部分的利息
用于增加基金资金总额。模型将如何？
模型应用 略 6
二、不允许缺货的存储模型
问题的提出：
在实际生活中，商店和工厂需要存储一定数量的商品或 者备件。存储量太多或太少都会引起经济上的损失。因此， 确定一个最优存储量非常必要。
设一家商店每天销售 R 件商品。商店订货是一种周期性 的行为：每隔 T 天订货一次，订货量为 Q ，订货一次的手 续费为Cb ，货到立即运到商店销售。一件商品存储一天的费 用为 Cs ，问多少天订货一次最经济？订货量是多少？
不允
许缺 T
货模
型 Q
2C b RC s
2C bR Cs
记 Cs Co
Co
T T, Q Q
不
允 1 T'T, Q 'QCo
许
缺 货
Co 1 T T,Q Q
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两种存储模型的比较
允许 T 2Cb Cs Co q
缺货
RCs Co
Q
模型 Q 2CbR Co Cs Cs Co
R P
注意：缺货需补足
C(T)CCbCsRT TT 2 9
二、不允许缺货的存储模型
模型求解 求 T 使得 C(T)M in,
dC 0或配方 dT
T
2 C b Q RT 2CbR
RC s
Cs
模型分析
Cb T,Q
模型应用
Cs T,Q RT,Q
Cb=5000, Cs=1，R=100 T=10(天), Q=1000(件)
基于代数学的数学建模
一、诺贝尔奖金模型 二、不允许缺货的存储模型 三、（补充）允许缺货的存储模型
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一、诺贝尔奖金模型
问题的提出：
A.诺贝尔（Alfred Bernhard Nobel－(1833－1896)）把他 留下的大部分财产投资于安全证券构成基金，其利息以奖金 方式奖给对人类作出了最有益贡献的人。现在诺贝尔奖分为 6 项：物理学、化学、文学、经济学、生理学和医学以及和 平奖。诺贝尔留作基金的总额为 850 万美元，随着物价的上 涨，颁发给受奖人的奖金金额正逐步提高。2019 年诺贝尔奖 每项奖金金额为 98.7 万美元。问诺贝尔奖基金的利率是多 少？2019年我国作家莫言的诺贝尔文学奖的奖金估计是多少 美元？
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二、不允许缺货的存储模型
模型假设
1. 每天销售的的商品数量R是常数； 2. 订货 1 次的手续费为 Cb, 每天每件商品存储费为 Cs； 3. T天订货 1 次（周期）, 每次订货Q件，当存储量
为零时，Q件商品立即到来（订货时间不计）； 4. 为方便起见，时间和订货量都作为连续量处理。
建模目的
设 R, Cb , Cs已知，求T, Q 使每天总费用的平均值最小。
q(t)dt
CsA
一周期
缺货费
Baidu Nhomakorabea
T
Co T1 q(t)dt CoB
一周期总费用
CCbCsQ2T1CoR(T2T1)2 12
三、 （补充）允许缺货的存储模型
一周期总费用
CCb1 2CsQ T 11 2CoR(TT 1)2
每天总费用 平均值
C (T ,Q )C C bC sQ 2C o(rT Q )2 T T 2 R T 2 R T
0
T1 T
t
Q~每周期初的存储量
每周期的订货量 P （或生产量）
PRT 2CbRCs Co Cs Co
PQQQ~不允许缺货时的订货量(或生产量) 15
书面作业
1. （P48）在诺贝尔奖金模型中，假设每年的平均复
利率 L=0.0620 不变；并假设每年发放奖金的总 额是该年所获利息的a%，剩余部分的利息用于增
8
二、不允许缺货的存储模型
模型建立
离散问题连续化
q
存储量表示为时间的函数 q(t)
t=0订货Q件，q(0)=Q, q(t)以 Q R 需求速率R递减，q(T)=0.
Q RT
A=QT/2
0
T
t
一周期存储费为 一周期
Cs
T
0 q(t)dt CsA
总费用
C Cb Cs
QT 2
Cb
Cs
RT 2 2
每天总费用平均 值（目标函数）
加基金资金总额。 已知 2019 年诺贝尔文学奖奖
金约合 148 万美元（不是151.6万美元），则 a
为多少？ 2. （P48）装配线每年要用 480000 个某型号的零件，
零件的生产成本为 5 元/件，每开工一次准备费用 为 1000 元，每年一个零件的保管费用为生产成 本的 25%。若不允许缺货，问每次准备的批量应 为多少？每年应开工几次？（要求在解答过程中， 所设生产周期以天为单位）
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二、不允许缺货的存储模型
• 经济批量订货公式（EOQ公式）
用于订货、供应、存储情形
每天需求量 R，每次订货费 Cb,每天每件存储费 Cs ， T天订货一次(周期), 每次订货Q件，当存储量降到 零时，Q件立即到货。
T 2C b RC s
Q RT 2CbR Cs
不允许缺货的存储模型
• 问：为什么不考虑订货费用？在什么条件下才不考虑？ 11
三、（补充）允许缺货的存储模型
问题的提出：
q
Q 当存储量降到零时仍有需求R,
出现缺货，造成损失。
R
原模型假设：存储量降到零时Q件
A
Q RT1
立即到货 (或立即生产出来)
0
T1B T
t
现假设：允许缺货, 每天每件缺货损失费 Co , 缺货需补足
周期T, t=T1存储量降到零
一周期
存储费
Cs
T1 0
(3)多少美元？
4
一、诺贝尔奖金模型
模型建立
5
一、诺贝尔奖金模型
模型求解
yk
1
L
k
2
y0
1
L102 2
L
1.3934
迭代法
L f (L)
L0.0620
年份 资金总额估计值(万美元) 每项诺贝尔奖的金额(万美元)
2019
29338
151.6
2019年诺贝尔奖每项奖金为1000万瑞典克朗（包括我国莫言的文学奖： 约合937万人民币，约合148万美元，非常接近表格内的数字）。
（目标函数） 求 T ,Q 使 C(T,Q)Min
C 0, C 0 为与不允许缺货的存储模型
T Q
相比，T记作T ’, Q记作Q’
T 2Cb Cs Co RCs Co
Q 2CbR Co Cs Cs Co
13
两种存储模型的比较
允许
缺货 T
模型
Q
2Cb Cs Co RCs Co
2CbR Co Cs Cs Co