2019年高考等值预测卷(全国Ⅲ卷)数学(理)试卷及答案

2019年高考等值试卷★预测卷
理科数学
（全国Ⅲ卷）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在 答题卡上．写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。

在每小题给出的四个选项中， 只
有一项是符合题目要求的。

1．设集合 A ={x |x ≤x }，B ={x | A ． (
，1]
C ． (0，1]
1
x
≥1}，则 A ∩B =
B ． [0，1] D ． (
，1]∪ (0，1]
2．已知 i 为虚数单位，则
2 i 1 i
=
3 1 A ． i
2 2
3 1 B ． i
2 2
1 3 C ． i
2 2
1 3 D ． i
2 2
3．“0<x <1”是“sin x <
sin x ”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．运行如图所示的程序框图，设输出的数据构成集合A ，从集
否
结束
开始
i =-1
i <3?
是 y =i +2i
输出 y 合 A 中任取一个元素 a ，则函数 y x a 在(0，+∞)上是增函
i =i +1
数的概率为
A ．
1 2 3 B ． C ．
5
4
5
D ．
3 4 5．若函数 f ( x ) a x (a >0，且 a ≠1)在区间[2，4]上的最大值与最小值之差为 2，则实数
2 2 2
a =
A ．
2
2
B ． 2
C ．
1 2
D ．2
6．我国古代木匠精于钻研，
技艺精湛，常常设计出巧 夺天工的建筑，如图．在 2
4 主视图
2 2 左视图
一座宫殿中，有一件特别 的“柱脚”的三视图如右 图所示．则其体积为
8
A ． +4π
3
C ．8+4π
8
B ． +8π
3
D ．8+8π
俯视图
7．已知斜率为 2 的直线 l 过抛物线 C ：y =2
px (p >0)的焦点 F ，且与抛物线交于 A ，B 两 点，若线段 AB 的中点 M 的纵坐标为 1，则 p =
A ．1
B ． 2
C ．2
D ．4
8．将函数 f ( x ) sin 2x 3 cos 2x 的图象向右平移
位，所得图象经过点(
，1)，则 的最小值为
8 (
>0)个单位，再向上平移 1 个单
A ．
5
12
B ．
7
12
C ．
5
24
D ．
7
24
9．已知双曲线
x 2 y 2
1(a>0，b >0)的左、右焦点分别为 F ，F ，过 F 作 x +y 1 2 1
=a 2
的
切线，交双曲线右支于点 M ，若∠F MF =45º，则双曲线的离心率为
1
2
A ． 2
B ． 3
C ．2
D ．3
10．有一个长方体木块，三个侧面积分别为 8，12，24，现将其削成一个正四面体模型，
则该正四面体模型棱长的最大值为
A ．2
B ． 2 2
C ．4
D ． 4 2
11．已知在平面直角坐标系 xOy 中，O 为坐标原点，A (0，2)，|OB |
+|OA |
2 =20，若平
面内点 P 满足 PB 3P A ，则|PO |的最大值为 A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
2 2
2 a b 2
2 2
e x 2a ，x a ， 12．已知 A 、B 是函数
f ( x )
(其中 a >0)图象上的两个动点，点 P (a ，0)，
e ，x a
若 PA PB 的最小值为 0，则函数 f ( x ) 的最小值为
A ．
1
e 2
B ．
1
e C ．
1
e 2
D ．
1 e
二、填空题：本大题共 4 小题 每小题 5 分，共 20 分。

13．已知函数
f ( x )
log x ， x 1 ，
2
则 f ( 2)
=________． f ( x 3)，x 1 ，
14．已知向量 a ，b 的夹角为 45º，若 a =(1，1)，|b |=2，则|2a +b |=________．
15．记 (2 x ) a
a (1 x ) a (1 x )
a(1x)
1
2
7
a
a
a =________． 1
2
6
7
，则
3
16．已知△ABC 的内角 A ，B ，C 所对边分别为 a ，b ，c ，且 a cos C -c cos A= b ，则 tan(A -C )
5
的最大值为________．
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21 题为必 考
题，每个试题考生都必须作答。

第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：（共 60 分） 17．（本小题满分 12 分）
设等比数列{a }的公比为 q ，S 是{a }的前 n 项和，已知 a +2，2a ，a +1 成等差数
n
n
n
1
2
3
列，且 S =4a -1，q >1．
3
2
（1）求{a }的通项公式；
n
n
（2）记数列{
}的前 n 项和为 T ，试问是否存在 n ∈N *使得 T <3？如果存在，
n n
n
请求出 n 的值；如果不存在，请说明理由．
18．（本小题满分 12 分）
为加快经济转型升级，加大技术研发力度，某市建立高新科技研发园区，并力邀某 高校入驻该园区．为了解教职工意愿，该高校在其所属的 8 个学院的教职员工中作了 “是否愿意将学校整体搬迁至研发园区”的问卷调查，8 个学院的调查人数及统计数据 如下：
调查人数（x ）
愿意整体搬迁人数（y ）
10
8
20
17
30
25
40
31
50
39
60
47
70
55
80
66
（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出变量 y 关于变量 x 的线性回归方
x 7
2
a
程 y ˆ
bx a ˆ
（ b
保留小数点后两位有效数字）；若该校共有教职员工2500 人，请预测 该校愿意将学校整体搬迁至研发园区的人数；
（2）若该校的 8 位院长中有 5 位院长愿意将学校整体搬迁至研发园区，现该校拟 在这 8 位院长中随机选取 4 位院长组成考察团赴研发区进行实地考察，记 X 为考察团 中愿意将学校整体搬迁至研发园区的院长人数，求 X 的分布列及数学期望．
参考公式及数据： b
x y n x y i
i
i 1
x 2 n · x 2 i
， a ˆ
y b x
8
， x y
16310 i i
i 1
，
i 1
8 x i 2 20400
．
i 1
19．（本小题满分 12 分）
如图，在三棱柱 ADE -BCF 中，侧面 ABCD 是为菱形， E 在平面 ABCD 内的射影 O 恰为线段 BD 的中点．
（1）求证：AC ⊥CF ； （2）若∠BAD =60º，AE =AB ，求二面角 E -BC -F 的平 面角的余弦值．
D
E
F
C
O
20．（本小题满分 12 分）
A
B
x y
3
已知椭圆 E ： 1 (a >b >0)的离心率为 ，A 、B 分别为 E 的左顶点和上顶
a b
2
1
点，若 AB 的中点的纵坐标为 ．F ，F 分别为 E 的左、右焦点．
1 2
（1）求椭圆 E 的方程；
（2）设直线 L ： x my m 2 2
与 E 交于 M ，N 两点，△MF △
F ，△NF △
F 的重心分
1 2
1 2
别为 G ，H ．若原点 O 在以 GH 为直径的圆内，求实数 m 的取值范围．
21．（本小题满分 12 分）
已知函数 f ( x ) a (1 x ) ln x 2 (a ∈R )，且 f ( x ) 在(0，+∞)上满足 f ( x ) ≤0 恒成立． （1）求实数 a 的值；
（2）令 g ( x ) x
f ( x ) ax x a
在 (a ，) 上的最小值为 m ，求证：11 f ( m ) 10 ．
（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题做答。

如果多做，则按所做 的第一题记分。

22． [选修 4—4：坐标系与参数方程]（10 分）
ˆ ˆ ˆ
n
n ˆ 2 2
2 2
2
在平面直角坐标系 xOy 中，P (2，0)．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立
极坐标系，已知曲线 C 的极坐标方程为 M 为 PQ 的中点．
2 ，点 Q (ρ，θ)(0≤θ≤
)为 C 上的动点，
（1）请求出 M 点轨迹 C 的直角坐标方程；
1
（2）设点 A 的极坐标为 A (1，π)，若直线 l 经过点 A 且与曲线 C 交于点 E ，F ，弦
1
EF 的中点为 D ，求
AD AE AF
的取值范围．
23． [选修 4—5：不等式选讲]（10 分）
已知 a >0，b >0． （1）若关于 x 的不等式|x +3|-|x -1|≤a 值；
-3a 对任意实数 x 都成立，求实数 a 的最小
（2）求证：
a
b
≥ a b ． b a
2019年相阳教育“黉门云”高考等值试卷★ 预测卷
理科数学
（全国Ⅲ卷）参考答案及评分标准
一、选择题：每小题 5 分，共 60 分．
1．C 2．D 3．A 4．A 5．B 6．C 7．C
8．D
9．B
10．B
11．B
12．D
二、填空题：每小题 5 分，共 20 分．
13．2
14．2
5
15．126 16．
3
4
三、解答题：共 70 分．
17．解：（1）∵ a +2，2a ，a +1 成等差数列，
1
2
3
∴ 4a =a +2+a +1= a +a +3，
2 1
3 1 3
即 4a q =a +a q +3，①…………………………………………………………………2 1
1
1
分
由 S =4a -1 可得 a +a q +a q =4a q -1，即 a -3a q +a q +1=0，②…………………3 3 2
1
1
1
1
1
1
1
分
联立①②及 q >1 解得 a =1，q =2，
1
∴ a 2n 1．……………………………………………………………………………5 n
2 2 2 2
（2）T = n
1
2 3 n
20 21 22
2n
1
，
1 1
2
3 n 1 n T = ， 2 21 22 23 2n 1 2n
1 1 1 1 1 n 两式作差得 T =
2 20 21 22 2n 1 2n
=
1
1 1
n
n n 2 2 ，
1 2n 2n
2
于是 T
4
n
n 2 2n 1
．……………………………………………………………………8 分
∵ n ≥2 时， T T n n 1
4
n 2 n 1 n
4 0 ，
2n 1 2n 2 2n 1 ∴ {T }(n ∈N *)单调递增．……………………………………………………………10 n
分
而 T =1<3，T =2<3，T = 1 2 3
11 13 <3，T = >3，
4 4
∴ 当 n =1，2，3 时，T <3． (12)
n
分
18．解：（1）由已知有 x 45
，y 36 ，b
x y
n .x . y i i
i 1 x 2
n .x 2 i
16310 8 45 36 20400 8 45
0.80
， a ˆ
36 0.8045 0 i 1
， (4)
分
故变量 y 关于变量 x 的线性回归方程为 y =0.80x ， (5)
分
所以当 x =2500 时，y=2500×0.80=2000． (6)
分
（2）由题意可知 X 的可能取值有 1，2，3，4． (7)
n n
2 4
ˆ
n
n 2
P ( X 1)
C C 5 3 C 8
1 14
， P ( X 2)
C C 5 3 C 8
3
， 7
P ( X 3)
C C 3 C 1
5 3 ， P ( X 4) 5 ． …………………………………11 C 7 C 14 8
8
分
所以 X 的分布列为
X
1 2
3
4
P
1
14
3 7
3 7
1 14
E (X )= 1
1 3 3 1 5
2 3 4 ． (12)
14 7 7 14 2 分
19．（1）证明：如图，连接 AC ，易知
AC ∩BD =O ． ∵ 侧面 ABCD 是菱形，
∴ AC ⊥BD ．
又由题知 EO ⊥面 ABCD ，AC 面 ABCD ， ∴ EO ⊥AC ，
z
E
F 而 EO ∩BD =O ，且 EO ，BD 面 BED ，
D
C
∴ AC ⊥面 BED ． ∴ AC ⊥ED ．
x
A
O
B
y
∵ CF //ED ，
∴ AC ⊥CF ． (5)
分
（2）解：由（1）知 AO ⊥BO ，OE ⊥AO ，OE ⊥BO ，于是以 O 为坐标原点，OA ， OB ，OE 所在直线分别为 x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图．设 AB =AE =2． ∵ 在菱形 ABCD 中，∠BAD =60º，
∴ AO =
3
，BO =1．
1 3 4
2 2
4 2 1 4 4 4
在 △R t EAO 中，EO =
EA 2 AO 2
=1．
于是 O (0，0，0)，A (
3 ，0，0)，B (0，1，0)，E (0，0，1)，C (-
3 ，0，0)，
∴ AB =(-
3 ，1，0)， BE =(0，-1，1)， BC =(-
3 ，-1，0)． (7)
分
又由 EF AB ， 可解得 F (-
3 ，1，1)，于是 BF =(-
3 ，0，1)． ……………8 分
设平面 BCE 的法向量为 n =(x ，y ，z )，
1
1
1
1
则由 n • BE =0，n • BC =0 得
1
1
3 3
令 y =1，则 x = ， z =1，即 n =( ，1，1)．…………10 1
1
1 1 分
同理可得平面 BCF 的法向量 n =( 2
n n 1
∴ cos<n ，n >=
1
2
=
1 2
n n 7
1
2
3
3
，-1，1)．
1
故二面角 E -BC -F 的平面角的余弦值为 ． (12)
7
分
20．解：（1）设椭圆的半焦距为 c ，由题意有 A (-a ，0)，B (0，b )，
于是
c 3
b 1
，且 ，
a 2 2 2
结合 a
=b
+c ，解得 a =2，b =1，
x
∴ 椭圆 E 的方程为
y 4
2
1． (4)
分
（2）设 M ( x ，y ) ， N ( x ，y ) ，
1
1
2
2
1 1
y z 0， 1 1
3 3 3x
y
0， 222
2
由已知联立方程
m 2 x my ，
2 m 消去 x ，得 (m 4) y m y 4 0 ， x 2 4
y 2 1， 4
由
0 可得 m 4 4m 2 16 0 ，解得 m <
2 2 5 ．
且 y y
1 2
m 3
m 4 16
，y y ，………………………………………………7 m 2
4
4( m 2 4)
分
x y x y
由题意得△MF △
F ，△NF △ F 的重心
G ( 1 ， 1 )，
H ( 2 ， 2 ) ，……………………8 3 3 3 3
分
∵ 原点 O 在以 GH 为直径的圆内，
∴ OG OH 0 ，即
x x
y y 1 2
1 2
9
0 ． (9)
分
∵ x x
y y
(m 1 2
1 2
2
1) y y
1
2
m m ( y y )
2
4
(m
1)
m
16 m m m ( ) 0
4(m
4) 2 m 4
4
，
m
16m 16 整理得 0 4(m 4)
， 即 m 4 -16m 2 -16=0，
变形为 (5m 4)( m 4) 0 ， 即 m <4，满足 m <2+2
5
， (11)
分
故-2<m <2． (12)
分
21．解：（1）当 x >0 时，原函数可化为 f ( x ) a (1x ) 2ln x ，则 f
(x)
2 2 ax
a ，
x x (1)
分
当 a ≤0 时， f
(x) >0，故 f ( x ) 在 (0，)上单调递增，
4
2 2 3
2 1 2
1
2 1 2
3
4 1 2 2 4 3
3
4 2 2 4 2 2 2 2 2 2
由于f(1)=0，所以当x 1时，f(x)f(1)0，不合题意． (2)
分
当a 0时，f (x)
2
a(x )
a
x
，
22
∴当0x 时，f (x)0 ；当x 时，f
a a
(x)0，
所以f(x)
22
在(0，)上单调递增，f(x)在(，)上单调递减，
a a
即f(x)
2
f( )
max a
a 22ln22ln a．
所以要使f(x)≤0在(0，)时恒成立，则只需f(x)≤0，
max
亦即a 22ln22ln a≤0． (3)
分
令(a)a 22ln22ln a，则(a)12a 2
，a a
∴当0a 2时，(a)0；当a 2时，(a)0，
即(a)在(0，2)上单调递减，在(2，)上单调递增．
又(2)0，所以满足条件的a只有2，即a 2． (5)
分
（2）由（1）知a=2，f(x)22x 2ln x，
∴g(x)x f(x)ax2x 2x ln x
x a x 2
(x 2)，
于是g (x)2(x 2ln x 4)
(x 2)2
． (6)
分
令s(x)x 2ln x 4，则s (x)12x 2
，x x
由于x 2，所以s (x)0，即s(x)在(2，)上单调递增；又s(8)0，s(9)0 ，
∴x (8，9)，使得s(x)0，即2ln x x 4，0000
且当2x x时，s(x)0；当x x时，s(x)0，
00
即g(x)在(2，x)上单调递减；在(x ，)上单调递增，
00
∴g(x)
min g(x )
2x 2x ln x0
00
x 2
x22x
00
x 2
x． (10)
分
即m x，
∴f(m)f(x)22x 2ln x x 2(11，10)，
0000
即11f(m)10． (12)
分
22．解：（1）∵C的直角坐标方程为x+y=4， (1)
分
∴点Q(x，y)满足x+y=4(y≥0)． (20)
分
设M(x，y)，则x x 2y
0，y 0，即x=2x-2，y=2y，22
∴(2x-2)+(2y)=4(y≥0)，
整理得C的轨迹方程为(x-1)+y=1(y≥0)． (51)
分
（2）直线l过点A(-1，0)，
所以直线l的参数方程为x 1t c os ，
(θ为参数，θ为倾斜角，[0，)) y t sin ，6
代入C：t24t cos 30，
则∴t t 4cos ，
12
t t 3，
12
t t
12
AD22cos 32
(，]
AM.AN t .t 333
12
． (10)
22
22
00
22
22
1
分
23．解：（1）∵|x+3|-|x-1|=|x+3|-|1-x|≤|(x+3)+(1-x)|=4， (3)
分
∴a2-3a≥4，
解得a≥4，或a≤-1（舍去）．
∴a的最小值为4． (5)
分
（2）∵a b
b a
-(a b)=
a a
b b a b b a
ab
=
=
a(a b)b(a b)
ab
(a b)( a b)
ab
=
( a b)2( a b)
ab
≥0
∴a b
b a
≥( a b)． (10)
分。