容斥原理

10厘米
当堂反馈2：
五（1）有50人，参加数学课外小组的 有35人，参加语文课外小组的有30人，每人至 少参加数学、语文中的一个组。问两个组都参 加的有多少人？
分析：用数形结合的办法先 画出图形再作解答。
参加两个课外小组的共有多少人？为什么 这个人数比全班人数还多？
30+35－50＝15（人）
例3 64名小学生都订了语文、数学、科技报纸 中的至少一种，其中订数学报的有28人，订语文报 的有41人，订科技报的有20人，同时订语文、数学 报的有10人，同时订数学、科技报的有12人，同时 订语文、科技报的有12人，问：3种报纸都订的有多 少人？ 分析：用数形结合的办法先画出图形再作解答。
分析：用数形结合的办法，先根据题意画出
线段图，看图， 参加竞赛的人数应该怎样求？
做对二36人
8人
竞赛人数？
做对一24人
24+36－8＝52（人） 答：参加竞赛的有52人。
当堂反馈1：
五（3）班学生在期中考试时，语文得 100分的有12人，数学得100分的有17人，两门 都得100分的有6人，五（3）班参加语文、数 学考试中至少有1门得100分的共有多少人？ 分析：五（3）班参加语文、数学考试 至少有1门得100分的人数等于语文得100分的 人数加上数学得100分的人数。这里面有没有 重复算的？重复算的人数要不要从中减去？ 12+17－6＝23（人）
解：10000÷5＝2000（个） 1000）……25
2000+1428－285＝3143（个）
当堂反馈4：
在1－1000的自然数中，能被5或9整除 的数共有多少个？ （1）在1－1000的自然数中，5的倍数有多少个？ 1000÷5=200（个） （2）在1－1000的自然数中， 9的倍数有多少个？ 1000÷9=111（个）……1
例2 一张长10厘米，宽5厘米的长方形纸片，一 张面积是40平方厘米的圆形纸片，两张覆盖在桌子 上的面积是60平方厘米，如图，求两张纸片重合部 分的面积是多少？
40平方厘米 5厘米
分析：长方形纸片的面积是多大？圆形纸片
的面积是多大？两张纸片的面积合起来是多大？ 那为什么只覆盖桌子60平方厘米？ 10×5+40－60＝30（平方厘米） 答：两张纸片重合部分的面积是30平方厘米。
综合算式： 48－48÷12×7+48÷4×1＝32（人） 或48－（48÷12×7－48÷4×1）＝32（人）
作业布置
1、完成课本P55——57页综合训练题。
2、预习十三讲逻辑推理。
掌握一种解题方 法比做一百道题 更重要。
容斥原理，就是在计数时把各种情况 都“包含”进来，加在一起，再“排除” 重复部分。所以容斥原理又叫包含排除原 理。在解这类问题时，要善于采用数形结 合的办法，把重复计算的部分减去。
算得准确是解题的基本要求。 容斥原理能帮助我们准确解 答很多数学中重复计数的问 题。
三、讲练结合，训练思维
例1 一次数学竞赛，只有两道题，结果做对第一 题的有24人，做对第二题的有36人，两题都做对的 有8人，参加竞赛的有多少人？
48－27＝21（人）48－33＝15（人） 48－40＝8（人）
21+15+8＝44 （人）
48－44＝4 （人）
例4
在1－10000的自然数当中，能被5或7 整除的数共有多少个？
分析：先求出1－10000的自然数中5、7 的倍数各有多少个，再求出它们的和， 然后减去重复的部分（重复的部分是什 么？怎么算?
数28 12
10 语41 12 科20
当堂反馈3：
某班共有学生48人，其中27人会游泳，33人 会骑自行车，40人会打乒乓球。这个班至少 有一样不会的最多 多少人？三项都会的至少 有多少人? 分析：1、不会游泳的有多少人？2、不会骑自行车的 有多少人？3、不会打乒乓球的有多少人？ 求出以上问题后，再求这个班至 少有一样不会的最多有多少人应该 怎么求？三项都会的至少有多少人 又该怎样求？
容斥原理
制作：蔡玉枝 主讲：蔡玉枝
一、创设情景导入新课
一张照片上有两对父子，可只有三个人，这是怎 么回事？你能用算式解答这个问题并说明理由吗？
2+2－1＝3（人）
因为一对父子是两个人，两对父子就是2+2，而 其中有一个人重复计算了，所以要减1.这就是我们今 天要学习的容斥原理。
二、什么叫容斥原理？
（3）在1－1000的自然数中，5和9共同的倍数有多少个?
1000÷45=22 （个） ……10 （4）在1－1000的自然数中，能被5 或9整除的数共有多少个？ 200+111－22＝289（个）
四、难题指导，拓展前进
P56T4五（1）班的学生去图书馆借书，每人至少 借1本，最后统计：20人借了文艺书，25人借了 故事书，30人借了科技书，有9人既借了文艺书 又借了故事书，有11人既借了文艺书又借了科技 书，有10人既借了故事书又借了科技书，有1人 三种书都借了。五（1）班有多少学生？ 分析：五（1）人人都借了书，至少借一本书 的有多少人？这个人数是不是全班的人数？ 重复计算了那些数？怎样求全班人数？ 20+25+30－9－11－10－1＝44（人）
P57T7在一个车间48个工人中，调查会游泳和会 骑自行车的人数，发现每个工人至少会一样，平 均每12个工人中有7人会游泳，每4个人中有1个 人两样都会，会骑自行车的有多少人？ 分析：会游泳的有多少人?48÷12×7=28（人） 两样都会的有多少人？ 48÷4×1=12（人） 会骑自行车的有多少人？48－28+12＝32（人） 或48－（28－12）＝32人
64人订报分哪几种情况？有订一 种的，有订两种的，有订三种的。 至少订一种报的人数是可求的， 其中包含有订两种的，也包含了 订三种的。从中减去重复计算的 部分就与全班的总人数是相等的。
解答：（1）至少订一种报的有多少人？ 28+41+20＝89（人） （2 ）至少订两种报的有多少人？10+12+12＝34 （人） （3 ）三种报都订的有多少人？64－（89－34）＝9 （人） 综合算式：64－〔 28+41+20 － （10+12+12 ）〕＝9（人） 用方程式更好理解 28+41+20 － （10+12+12 ）－X＝64 答：三种报纸都订的有9人。