数字图像处理 第五章图像复原与重建

逆滤波

对于线性位移不变系统，进行傅里叶变换后表 现为频率域图像
ห้องสมุดไป่ตู้
G(u, v) F (u, v) H (u, v) N (u, v)

无噪声理想情况下
G(u, v) F (u, v) H (u, v) 则F (u, v) G(u, v) / H (u, v)
1/H(u，v)称为逆滤波器
约束最小二乘复原

均方误差最小约束（维纳滤波） 将f和n视为随机变量，令
QR
1/2 f
R
1/2 n
ˆ Qf 使 最小，解得最佳复原为
Rf，Rn分别为信号和噪声的协方差矩阵。
-1 1 ˆ f (H ' H Rf Rn ) H ' g
主要内容
背景知识 图像退化/复原过程的模型 代数恢复 频域恢复 几何校正
逆滤波
ˆ (u, v) : 原始图像的傅立叶变换估计F
G(u, v)+N (u, v) ˆ F (u, v) H (u, v) N (u, v) F (u, v) H (u, v)
做傅里叶反变换得复原图像
ˆ ( x, y ) f ( x, y ) N (u , v) H 1 (u , v) e j 2 ( ux vy ) dudv f
k=0 k -1
m是x/a的整数部分，L = ka是x的取值范围 垂直方向匀速运动的图像复原方法类似
维纳滤波

维纳滤波是从退化函数和噪声统计特征入手，假设图像 信号近似看成平稳随机过程的前提下，按照恢复图像与 原图像的均方差最小原则来恢复图像. 即
ˆ ( x, y)]2}= min E{([ f ( x, y) f

图像复原过程
图像复原过程相当于设计一个滤波器，使 其能从退化图像中复原出真实图像的估值 ，这种估值根据预定的最佳准则，具有最 优的性质。 代数恢复法讨论均方误差最小意义下，图 像的最佳估计

无约束复原

准则函数

退化模型的噪声项为
n g Hf
ˆ ||2最小 使噪声范数尽可能小，即使|| n ||2 || g Hf
T 0
H (u , v)＝ e
0
T
j 2 ux0 ( t )
dt e j 2 uat / T dt
0 m k 0
T
T sin( ua )e j ua ua 0 x, y L
ˆ ( x, y ) A mg '[( x ma ), y ] g '[( x ka ), y ] f a为位移量，T 为总运动时间, A = f(x + ka)/k,
F (u)
退化


f ( x)e j 2 ux dx
复原
无噪声退化模型
g x, y f ( x, y) * h( x, y) g x, y f ( x, y) * h( x, y) nx, y
有噪声退化模型
离散图像退化模型

对图像和点扩散函数均匀采样，得到离散的退 化模型：
空间坐标变换方法一

已知h1(x，y)和h2(x，y)条件下的校正
直接法，由退化图像的像素坐标(x’,y’)计
算出原图像对应像素的校正坐标值(x,y)，保 持其灰度值不变。
校正后图像像素分布不规则，出现挤压、疏密不
均现象，还需进行灰度内插生成栅格图像
间接法，由假设的校正图像整数坐标(x,y)计

F (u , v)e j 2 (ux0 (t ) vy0 (t )) dt
0
F (u , v) H (u , v) 退化函数H (u , v)＝ e j 2 (ux0 (t ) vy0 (t )) dt
0 T
去除匀速直线运动造成的模糊
水平方向匀速运动 若x0 (t )＝at / T , y0 (t ) 0 g ( x, y ) f ( x at / T ), y dt
定义准则函数为关于f的估计最小的问题

求极值可得
ˆ ) || g Hf ˆ ||2 J( f
ˆ (H ' H )1 H ' g H 1H '1 H ' g H 1g f
G (u, v) ˆ F (u, v) H (u, v)

频率域则表现为两者乘积。 频率域去卷积公式
约束最小二乘复原
退化函数 : H (u, v) e
k [( u M / 2)2 ( v N / 2) 2 ]5 / 6
去除匀速直线运动造成的模糊

获取图像过程中，由于景物和摄像机之间 的相对运动造成的图像模糊
去除匀速直线运动造成的模糊
去除匀速直线运动造成的模糊

退化模型估计：
设f(x,y)进行平面运动，

恢复问题归结与找到合适的点扩散函数，其其与图像卷 积后能满足上式,再计算图像估计
* H ( u , v ) ˆ (u, v) F G (u, v) 2 (u , v ) / Pf (u , v ) | H (u, v) | P
Pn
0,逆滤波
H (u, v)
算对应退化图像的非整数坐标(x’,y’)，由 其周围像素灰度内插得到其灰度值。
常用方法，
较容易实现
常见图像几何变换

平移
y
x ' x tx y ' y ty
x
常见图像几何变换

旋转
x ' x cos y sin y ' x sin y cos
u
u （c）改进的逆滤波器响应
逆滤波
限制滤波的频率信息使其接近原点,使其具有 低通滤波性质
1 H -1 (u，v) H (u，v) D D0 D D0 0 D0为截止频率，D u 2 +v 2
逆滤波
对左图进行逆滤波 (a) 用全滤波的结果 (b) D0为40时截止H的结果 (c) D0为80时的结果 (d) D0为85时的结果
当H为奇异的，会导致无约束复原问题的病态 性，因此需要在恢复过程中施加某种约束，即 约束复原。 2 ˆ 约束最小二乘复原问题是使形式为 Qf 的函数 2 2 ˆ ，在约束条件|| g Hf || = n 时最小 准则函数 2 2 2 ˆ ˆ ˆ J ( f ) || Qf || || g Hf || || n ||

几何畸变
背景知识

运动模糊
背景知识



图像复原是试图利用退化过 程的先验知识去除已退化的 图像的退化因素，尽可能恢 复图像本来面目的技术。 思路：即找出退化的原因,分 析引起退化的环境因素,建立 相应的数学模型,并沿着使图 像降质的逆过程恢复图像。 过程: 找退化原因→建立退化模型 →反向推演→恢复图像。
空间坐标变换（数学模型）
假设一幅图像f , 像素点坐标为( x, y ), 经过几何变换失真产生一幅 图像g , 像素点坐标为( x ', y '). 该变换可表示为 : x ' h1 ( x, y ) y ' h2 ( x, y )
如果h1 ( x, y )和h2 ( x, y )在解析分析中已知, 理论上可以用相反的变换 从失真图像g ( x ', y ')复原f ( x, y ). 未知变换函数情况下常用的方法是用"连接点"表达像素的空间重定位.
常见几何变换

缩放
y
x ' cx y ' dy
第五章 图像复原与重建
主要内容
背景知识 图像退化/复原过程的模型 代数恢复(选) 频域恢复(选) 几何校正

背景知识
传感 器非 线性 畸变 产生原因 光学 系统 中的 衍射 几何 畸变 图像 运动 造成 的模 糊
光学 系统 的像 差
摄影 胶片 的非 线性
大气 流的 扰动 效应
背景知识
退化图像中噪声问题：在H(u,v)为零或很小，N(u,v)/H(u,v) 会变得很大，会对逆滤波恢复的图像产生很大的影响，使 估计图像与原图像差别很大
逆滤波
解决途径
人为设置H-1(u,v) ，使其H(u,v)避免出现0及 数值较小的值
H(u,v) H-1(u,v) HI(u,v)
u （a）图像退化响应 （b）逆滤波器响应

求极小值得
ˆ (H ' H Q ' Q)1 H ' g f
λ为常数系数（拉格朗日系数），γ为1/ λ 指定不同Q，得到不同复原图像
约束最小二乘复原

能量约束 Q=I
I表示单位矩阵
解得最佳复原解为
1 ˆ f (H ' H I ) H ' g
2 ˆ 物理意义为在约束条件下复原图像能量 || f || 最小
退化函数,
H * (u , v)
H (u , v )的复共轭 未退化图像的功率谱
2 P ( u , v ) | N ( u , v ) |
噪声的功率谱, Pf (u, v) | F (u, v) |2
维纳滤波
逆滤波和维纳滤波的比较 (a) 全滤波的逆滤波结果 维纳滤波的结果非常接近原始图像,比逆滤波要好 (b) 半径受限的逆滤波结果 (c) 维纳滤波的结果 (交互选择K)
T

0 T



T
0
f [ x x0 (t ), y y0 (t )]dt e j 2 (ux vy ) dxdy f [ x x0 (t ), y y0 (t )]e j 2 (ux vy ) dxdy dt




主要内容
背景知识 图像退化/复原过程的模型 代数恢复 频域恢复 几何校正

几何失真

图像在获取和显示过程中，由于成像系统本身的非线性、 图像获取视角的变化及拍摄对象表面弯曲等原因，产生 图像几何形状的失真。
几何失真

常见几何失真 原图像
透视失真
枕形失真
桶形失真
几何校正
几何校正：将存在几何失真的图像校正成 无几何失真的图像 在对图像定量分析前，进行此处理，以免 影响分析精度

几何校正
几何校正基本方法是先建立数学模型，再 利用已知条件确定模型参数，最后根据模 型对图像进行校正 通常由两个基本操作组成:

空间坐标变换
修改像素空间坐标，对图像平面上像素坐标位置
进行校正或重新安排，以恢复其原有的空间关系
灰度内插
对空间变换后图像中像素赋予相应灰度值，以恢
复原空间位置上的灰度值
主要内容
背景知识 图像退化/复原过程的模型 代数恢复 频域恢复 几何校正

图像退化/复原过程的模型
图像复原的关键在于建立图像退化模型, 反映图像退化原因 通常将成像系统作为线性位移不变系统，点扩散函数用 h（x，y）表示，获取退化图像为g（x，y），建立系统 退化模型如下：
退化函数 H 复原滤波
约束最小二乘复原
平滑约束 Q描述图像平滑程度，对应一个二阶平 滑算子，如拉普拉斯算子，则
0 1 0 QC 1 4 1 0 1 0
约束条件为应用各点二阶导数的平方 和最小， Cfˆ 其值越小f越平滑。 最佳复原解为
2
fˆ (H ' H C ' C)1 H ' g
g e x, y f e (m, n)he ( x m, y n) e x, y
m 0 n 0
M 1 N 1
向量矩阵形式为
g Hf n
其中，H为MN×MN的矩阵。
主要内容
背景知识 图像退化/复原过程的模型 代数恢复 频域恢复 几何校正
背景知识

与图像增强技术比较：
同：改善图像质量 异：图像增强技术不考虑图像退化原因，通
粗放型
严谨型
过基本探索性各种技术过程增强图像，一般 要借助人的视觉系统的特性，以取得看起来 好的视觉结果； 图像复原则认为图像是在某种情况下退化 或恶化，需要根据相应的退化模型和知识重 建，恢复原始的图像。通常会涉及到设立一 个最佳的准则,它将会产生期望的最佳估计。 退化图像处理：先复原再增强
x0(t)和y0(t)分别是在 x和y方向上随时间变化的运动参数, g(x,y)为 模糊图像，t为运动时间， T为快门打开到关 闭的总曝光时间，模糊图像表示为
g ( x, y) f [ x x0 (t ), y y0 (t )]dt
o
T
去除匀速直线运动造成的模糊
其傅里叶变换为
G (u , v)