函数模型的应用
函数模型及应用研究报告
函数模型及应用研究报告函数模型是指通过对一个或多个自变量的输入，通过一系列数学运算得出一个或多个因变量的输出的数学模型。
函数模型是数学应用中的重要工具，广泛应用于各个领域，包括工程、物理、计算机科学等等。
本文旨在探讨函数模型的应用，并以实际问题为例，研究其在解决实际问题中的应用和效果。
二、函数模型的概述1. 函数模型的定义：函数模型是通过对自变量进行加工运算，得到因变量的数学模型。
函数模型可以是线性的、非线性的、离散的或连续的等等。
2. 函数模型的应用：函数模型广泛应用于各个领域。
在经济领域，函数模型可以用于描述供需关系，预测经济走势。
在物理领域，函数模型可以用于描述运动物体的位移、速度、加速度等等。
在工程领域，函数模型可以用于优化设计、提高生产效率。
在计算机科学领域，函数模型可以用于解决各种算法和计算问题。
三、函数模型在实际问题中的应用1. 函数模型在经济学中的应用：函数模型可以用于描述供需关系。
例如，在市场经济中，供给和需求的关系决定了商品的价格和数量。
通过建立供给和需求的函数模型，可以分析价格对数量的影响，预测未来市场的变化趋势，辅助经济决策。
2. 函数模型在物理学中的应用：函数模型可以用于描述运动物体的位移、速度、加速度等等。
例如，在物体运动的过程中，可以通过建立位移与时间的函数模型，预测物体的运动轨迹；通过建立速度与时间的函数模型，计算物体在不同时间点的速度。
这对于研究物体的运动规律、优化设计等方面都具有重要意义。
3. 函数模型在工程学中的应用：函数模型可以用于优化设计、提高生产效率。
例如，在工程设计中，通过建立输入与输出之间的函数模型，可以确定最优设计参数，提高产品质量和性能；在生产过程中，通过建立生产过程的函数模型，可以分析生产效率和成本之间的关系，优化生产流程。
这对于提高工程效益具有重要作用。
4. 函数模型在计算机科学中的应用：函数模型是计算机科学的基石。
在算法设计与分析中，函数模型可以用于描述算法的时间复杂度、空间复杂度等；在机器学习中，函数模型可以用于构建分类器和回归器，实现数据分析和预测；在图像处理中，函数模型可以用于描述图像的变换和处理。
4.5.3函数模型的应用课件(人教版)
16
已知函数模型解决实际问题，往往给出的函数解析式含有参数，需要 将题中的数据代入函数模型，求得函数模型中的参数，再将问题转化为已 知函数解析式求函数值或自变量的值.
17
1．某种商品在近 30 天内每件的销售价格 P(元)和时间 t(天)的函数关 系为：
P＝t－＋t2＋0100<0t<2255≤，t≤30. (t∈N*) 设该商品的日销售量 Q(件)与时间 t(天)的函数关系为 Q＝40－ t(0<t≤30，t∈N*)，求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金 额最大是第几天？
31
2．某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表：
身高 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170
/cm
体重 6.13 7.90 9.90 12.15 15.02 17.50 20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.05
/kg
第四章 指数函数与对数函数
4.5 函数的应用(二)
第3课时 函数模型的应用
2
学习目标
核心素养
1.会利用已知函数模型解决实际问
题．(重点) 通过本节内容的学习，使学生认识函
2．能建立函数模型解决实际问 数模型的作用，提高学生数学建模、
题．(重点、难点) 数据分析的素养.
3．了解拟合函数模型并解决实际问
车有营运利润的时间不超过
解 y≥0，得 6－ 11≤x≤6＋
________年．
11，所以有营运利润的时间为 2 11.
又 6<2 11<7，所以有营运利润的时
间不超过 7 年．]
12
合作探究 提素养
13
函数模型的应用 高一数学
2.与指数函数有关的函数模型:y=kax+b(k≠0,a>0,且a≠1)
与对数函数有关的函数模型:y=klogax+b(k≠0,a>0,且a≠1).
二、解决函数实际应用问题的基本步骤
解决函数实际应用问题的一般步骤
(1)设恰当的变量:研究实际问题中的变量之间的关系,并用x,y
剂量服用,据监测:服药后每毫升血液中的含药量y(单位:微克)
与时间t(单位:小时)之间近似满足曲线如图所示.
(1)写出服药后y与t之间的函数解析式y=f(t);
(2)据进一步测定:每毫升血液中含药量不少于0.25微克时,治
疗有效.求服药一次后治疗有效的时间.
解:(1)当 0≤t<1 时,y=4t;
的打“×”.
(1)银行利率、细胞分裂等增长率问题可以用指数型函数模
型来表述.( √ )
(2)在函数建模中,散点图可以帮助我们选择恰当的函数模型.
( √ )
(3)当自变量在不同的范围下,对应关系不同时,可以选择分段
函数模型.( √ )
合作探究·释疑解惑
探究一 与指数函数有关的函数模型的应用
【例1】 某医药研究所开发了一种新药,假设成年人按规定的
相差0.16;
对于选项B,当x=1时,y=0.3;当x=2时,y=0.8;当x=3时,y=1.5,相差
较大,不符合题意;
对于选项C,当x=1,2时,符合题意;当x=3时,y=0.8,与0.76相差
0.04,与选项A比较,更符合题意;
对于选项D,当x=1时,y=0.2;当x=2时,y=0.45;当x=3
表示问题中的变量.
(2)建立函数模型:将y表示为x的函数,写出y关于x的解析式,并
函数模型的应用实例 课件
解：由题意，知将产量随时间变化的离散量分别抽 象为 A(1，1)，B(2，1.2)，C(3，1.3)，D(4，1.37)这 4 个 数据．
(1)设模拟函数为 y＝ax＋b 时，将 B，C 两点的坐标 代入函数式，得32aa＋ ＋bb＝ ＝11..32， ，解得ab＝＝01..1，
所以有关系式 y＝0.1x＋1. 由此可得结论为：在不增加工人和设备的条件下， 产量会每月上升 1 000 双，这是不太可能的．
过筛选，以指数函数模型为最佳，一是误差小，二是由于 厂房新建，随着工人技术和管理效益逐渐提高，一段时间 内产量会明显上升，但经过一段时间之后，如果不更新设 备，产量必然趋于稳定，而该指数函数模拟恰好反映了这 种趋势．因此选用指数函数 y＝－0.8×0.5x＋1.4 比较接近 客观实际．
类型 3 建立拟合函数解决实际问题(规范解答) [典例 3] (本小题满分 12 分)某个体经营者把开始六 个月试销 A、B 两种商品的逐月投资金额与所获纯利润列 成下表：
(3)设模拟函数为 y＝abx＋c 时，
将 A，B，C 三点的坐标代入函数式，
得aabb2＋＋cc＝＝11，.2，
① ②
ab3＋c＝1.3. ③
由①，得 ab＝1－c，代入②③，
得bb2（（11－－cc））＋＋cc＝＝11.2.3，.
则cc＝＝1111..32－ －－－bbbb22，，解得bc＝＝10..45.， 则 a＝1－b c＝－0.8. 所以有关系式 y＝－0.8×0.5x＋1.4. 结论为：当把 x＝4 代入得 y＝－0.8×0.54＋1.4＝1.35. 比较上述三个模拟函数的优劣，既要考虑到误差最 小，又要考虑生产的实际，如：增产的趋势和可能性．经
设 y＝kx＋b，取点(1，0.30)和(4，1.20)代入， 得01..32＝ ＝k4＋ k＋b， b，解得kb＝＝00..3，所以 y＝0.3x.(8 分) 设第 7 个月投入 A，B 两种商品的资金分别为 x 万元、 (12－x)万元，总利润为 W 万元， 那么 W＝yA＋yB＝－0.15(x－4)2＋2＋0.3(12－x)． 所以 W＝－0.15(x－3)2＋0.15×9＋3.2.(10 分) 当 x＝3 时，W 取最大值，约为 4.55 万元，此时 B 商品的投资为 9 万元．(11 分)
第9节函数模型及其应用
第9节函数模型及其应用
函数模型是数学中的一个重要概念，它是一种关系，将一个集合的元
素映射到另一个集合的元素。
在数学中，函数模型被广泛应用于各种领域，如物理学、经济学、工程学等。
在物理学中，函数模型可以描述物理现象中的关系。
例如，牛顿第二
定律F=ma中的加速度a可以看作是力F和质量m之间的函数关系。
通过
函数模型，我们可以推导出物体在受到力作用下的运动轨迹和速度变化。
在经济学中，函数模型可以描述供求关系、价格弹性和成本效益等。
例如，需求曲线和供应曲线的交点可以表示市场均衡状态，价格弹性可以
用来衡量消费者对价格变化的敏感度，成本效益模型可以帮助企业决策时
做出合理的成本分析。
在工程学中，函数模型经常用于设计和优化过程。
例如，一个工程师
可以使用函数模型来描述一个机械系统的运动，分析其动力学和静力学特性，从而进行设计和改进。
另外，函数模型还可以用来优化一些参数，使
系统在给定约束条件下达到最佳性能。
除了以上领域之外，函数模型还广泛应用于计算机科学、统计学和生
物学等领域。
在计算机科学中，函数模型用于数据处理、算法设计和模拟
等方面。
在统计学中，函数模型用于描述变量之间的关系和概率分布。
在
生物学中，函数模型用于描述生物体的生理过程和遗传机制。
总之，函数模型是描述现实世界中各种关系的数学工具。
它不仅提供
了定量分析的方法，还可以帮助我们理解和预测复杂的现象。
通过函数模
型的应用，我们可以深入研究问题，做出合理的决策，并推动各个领域的
发展。
函数模型的应用
函数模型的应用
函数模型作为一种新兴的数学技术，已经在许多不同领域发挥着重要作用。
它
不仅在科学研究和工程设计中得到了广泛的应用，而且在生活娱乐中也发挥了重要作用。
首先，函数模型可以用来设计游戏。
函数模型可以模拟游戏中的各种情况，例
如游戏中的角色，地形，物体等，以及它们之间的相互作用。
这样，游戏开发者就可以根据函数模型设计出更加复杂，更有趣的游戏，从而提高游戏的娱乐性。
此外，函数模型还可以用来设计虚拟现实系统。
虚拟现实系统是一种仿真系统，可以模拟真实环境，例如建筑、景观等。
通过函数模型，可以模拟虚拟现实系统中的各种物体，以及它们之间的相互作用。
这样，虚拟现实系统就可以更加逼真，更有趣，从而为人们带来更多的娱乐。
最后，函数模型还可以用来设计智能家居系统。
智能家居系统是一种自动控制
系统，可以控制家庭电器，例如电视、灯光等。
通过函数模型，可以模拟智能家居系统中的各种设备，以及它们之间的相互作用。
这样，智能家居系统就可以更加智能化，更加便捷，从而为人们带来更多的娱乐。
总之，函数模型在生活娱乐中也发挥了重要作用。
它可以用来设计游戏、虚拟
现实系统和智能家居系统，从而为人们带来更多的娱乐。
《函数模型的应用实例》教学反思
《函数模型的应用实例》教学反思一、设计背景函数模型的应用是中学数学的重要内容之一,它主要包含三个方面，利用给定的函数模型，解决实际问题、建立确定性函数模型解决问题及建立拟合函数模型解决实际问题，本节课我将课堂的重点放在了拟合函数模型解决实际问题这个方面，培养学生数学学科素养，体现数学在实际生活中的应用。
二、设计意图函数模型作本身来源于现实，需要学生从现实问题当中发现问题、提出问题、建立模型、数据收集、数据处理及运算、检验模型的拟合程度，对学生的能力提出了很高的要求，作为一堂课的，在有限的时间下完成这一些列的活动探究，需要做好精心的准备，如果能做到即完成了教学任务，又让学生提高兴趣，体验数学建模的意义及乐趣，则这节课就达到了老师的追求。
三、课堂实录数学模型的应用，教师首先面临的问题是如何带领学生从大篇幅的文字背后抽象出重要的信息，从而激发学生探索知识的激情，本节课，我以数学中的经典故事为背景，设计问题一，创设教学情境。
故事讲述的是历史上有名的澳大利亚人兔大战，859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的水草，并且没有兔子的天敌，这里成了兔子生存的理想场所，兔子的数量不断增加，到1890年，新南威尔斯州的兔子数量估计就有3600万只，到1926年，全澳洲的兔子数量已增长的创纪录的100亿只，这么多只兔子相当于10亿只山羊所吃的牧草，草原的载畜力大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口，这使澳大利亚人头痛不已，他们采用各种方法消灭兔子，直到二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚才松了口气。
对于这个背景，蕴含的有两个数学模型，第一个是兔子繁殖增长的模型，第二个模型是兔子由于受病毒感染数量减少模型，但作为刚接触数学模型的学生来说，他们更关心什么问题呢？出于这种考虑，我提出了本节课三问中的第一个问题问题一：澳大利亚的”人兔大战”告诉我们什么道理？学生的回答果然没有按照我若预想的那样发展，经过小组合作交流之后，学生出现了几种有意思的结果：学生回答一：人兔大战的故事告诉我们，国门生物安全属于非传统安全，是国家安全体系的重要组成部分，事关国家安全和发展，事关社会大局稳定，需要高度重视。
函数模型的应用实例 课件
2.建立函数模型解决问题的框图表示
一次函数、二次函数模型的应用
商场销售某一品牌的羊毛衫，购买人数是羊毛衫标价的一次函数，标 价越高，购买人数越少．把购买人数为零时的最低标价称为无效价格，已知无效 价格为每件 300 元．现在这种羊毛衫的成本价是 100 元/件，商场以高于成本价的 价格(标价)出售．问：
分段函数模型的应用
经市场调查，某城市的一种小商品在过去的近 20 天内的销售量(件)与 价格(元)均为时间 t(天)的函数，且销售量近似满足 g(t)＝80－2t(件)，价格近似满
足于 f(t)＝2155－＋2121tt，，100≤<tt≤≤1200
(元)．
(1)试写出该种商品的日销售额 y 与时间 t(0≤t≤20)的函数表达式；
函数模型的应用实例
教材整理 函数模型的应用 1．常见的函数模型
函数模型 (1)正比例函数模型 (2)反比例函数模型 (3)一次函数模型 (4)二次函数模型
函数解析式 f(x)＝kx(k为常数，k≠0) f(x)＝(k为常数，k≠0) f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
[探究共研型] 拟合数据构建函数模型
探究1 画函数图象的一般步骤有哪些？ 【提示】 列表、描点、连线．
探究2 学校食堂要了解全校师生的午间就餐情况，以备饭菜，你能用数学 知识给予指导性说明吗？
【提示】 第一步：收集样本一周的数据，制成样本点．如(1，x1)，(2，x2)，…， (7，x7)．
第二步：描点，对上述数据用散点图的形式，给予直观展示． 第三步：数据拟合，选择一个合适的数学模型拟合上述样本点． 第四步：验证上述模型是否合理、有效，并做出适当的调整．
课件6：3.2.2 函数模型的应用实例
[边听边记] 设裁员 x 人，可获得的经济效益为 y 万元，则 y＝(2a－x)(b＋0.01bx)－0.4bx＝－1b00[x2－2(a－70)x]＋2ab，
依题意，2a－x≥34·2a，∴0<x≤a2. 又 140<2a<420,70<a<210. (1)当 0<a－70≤a2，即 70<a≤140 时，x＝a－70，y 取到最大 值；
(2)由题意：0.9xk<4k，即
0.9x<14，两边取对数，得
xlg
1 0.9<lg4.
1
因为
lg
0.9<0，所以lg04.9＝－－1＋2l2gl2g 3＝－－1＋0.600.92504 2＝－－00..600425 08≈13.14，则
xmin＝14.
故至少通过 14 块玻璃，光线强度能减弱到原来的14以下．
指数、对数型函数模型
(1)某城市现有人口总数为100万人，如果年自然 增长率为1.2%，试解答下面的问题：
①写出该城市的人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系 式；
②计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人)； ③ 计 算 大 约 多 少 年 以 后 该 城 市 人 口 总 数 将 达 到 120 万 人．(精确到1年) ((1＋1.2%)10≈1.127，(1＋1.2%)15≈1.196， (1＋1.2%)16≈1.21)．
(2)由题意，燕子静止时 v＝0，即 5log21q0＝0，解得 q＝10； 当 q＝80 时， v＝5log28100＝15(m/s)． 答案： (2)10 15 m/s
3．光线通过一块玻璃，其强度要损失 10%，把几块这样 的玻璃重叠起来，设光线原来的强度为 k，通过 x 块玻璃以后 强度为 y.
指数函数模型的生活中的例子
指数函数模型的生活中的例子
指数函数模型在生活中有许多应用，以下是一些常见的例子：
1.指数增长模型：人口增长是一个经常被描述为指数增长的
例子。
随着时间的推移，人口数量以指数形式增加。
这意
味着每个时间段的增长量都与当前的总人口数量成正比，
而不是与固定值相等。
类似的情况还可以用于描述病毒传
播、社交媒体用户数量等。
2.化学反应速率：在化学反应中，一些反应的速率可以用指
数函数模型来描述。
例如，放射性衰变是一个常见的指数
过程。
放射性元素的衰变速率与其当前的数量成正比，因
此可以用指数函数来建模。
3.衰减过程：指数函数模型也可以用于描述衰减过程。
例如，
放置在室外的热液体将以指数形式冷却。
温度的变化量与
当前的温度差成正比，因此可以用指数函数来描述冷却过
程。
4.资产贬值：一些资产，如汽车、电子设备等，在使用过程
中会贬值。
资产值的减少可以用指数函数模型来描述，其
中资产价值每年以固定比例减少。
5.金融利率：指数函数模型在金融领域也有应用，例如利率
的复利计算。
在复利计算中，投资本金和利率成指数关系，可以利用指数函数模型来计算投资的增长。
这些只是一些常见的例子，指数函数模型在现实生活中的应用
非常广泛，可以涵盖许多不同的领域。
一次函数模型及应用
一次函数模型及应用一次函数模型是指含有一次幂的函数，可以用以下形式表示：y = kx + b，其中k和b为常数，x为自变量，y为因变量。
一次函数又称为线性函数，其与直线的关系密切。
一次函数模型广泛应用于实际生活中各个领域，下面将以几个具体的实际例子来说明一次函数模型的应用。
第一个例子是汽车的油耗问题。
假设某辆汽车在行驶时，每小时的平均油耗为k 升，初始油量为b升。
那么在x小时后，油量为y升的关系可以用一次函数模型来表示：y = -kx + b。
其中负号表示油量在不断减少。
这个模型可以帮助我们预测在车速不变的情况下，汽车在行驶x小时后的剩余油量。
通过测量汽车不同车速下的油耗数据，可以确定k的值，并通过初始油量来确定b的值。
在实际生活中，这个模型可以帮助我们合理安排加油时间，避免油量不足造成的困扰。
第二个例子是商品价格的变化。
假设某商品的价格在每个月都以恒定的速度上涨，每月涨价k元。
初始价格为b元。
那么在x个月后，商品价格为y元的关系可以用一次函数模型来表示：y = kx + b。
通过测量商品连续几个月的变价趋势，可以确定k的值，并通过初始价格来确定b的值。
这个模型可以用来预测未来几个月内商品价格的变化情况，帮助消费者做出购买决策。
第三个例子是人口增长问题。
假设某地区的人口在每年都以固定比例的速度增长，每年增长k人。
初始人口数量为b人。
那么在x年后，人口数量为y人的关系可以用一次函数模型来表示：y = kx + b。
通过观察人口连续几年的增长情况，我们可以确定k的值，并通过初始人口数量来确定b的值。
这个模型可以用来预测未来几年内人口的增长趋势，对于城市规划和社会发展具有重要意义。
以上三个例子只是一次函数模型在实际应用中的几个常见例子，实际上一次函数模型在各个领域都有广泛的应用。
在经济学中，一次函数模型被用来研究需求和供应的关系，分析市场价格的变化。
在物理学中，一次函数模型被用来描述物体的速度、加速度和位移之间的关系。
4.5.3函数模型的应用课件(人教版)
y=55196e0.021876t，t∈[0,9].
（2）分别取t=1,2，…，8，由：y=55196e0.021876t 可得我国在
1951～1958年间的各年末人口总数；查阅国家统计局网站，
得到我国在1951～1958年各年末人口总数，如表所示：
关系？
思考1:上表提供的数据对应的散点图大致如何？
体重（kg）
o
身 高 （ cm ）
思考2:根据这些点的散布情况，可以选用那个函数模型进行拟合，
使它能比较近似地反应这个地区未成年男性体重与身高的函数
关系？
体 重 （ kg ）
指数型函数模型y=a·bx，因为它的
图象与散点的变化趋势最类似.
o
思考3:如何求出函数关系式中参数a,b？
A．70元
B．65元
C．60元
D．55元
解析：设该商品每件单价提高x元，销售该商品的月利润为y元，
则y＝(10＋x)(500－10x)＝－10x2＋400x＋5 000
＝－10(x－20)2＋9 000
∴当x＝20时，ymax＝9 000，此时每件定价为50＋20＝70元.
2．以每秒a米的速度从地面垂直向上发射子弹，t秒后的高度x米
（3）以（1）中的模型作预测，大约在什么时候我国的人口总数
到达13亿？
设置探究问题：
(1)本例中所涉及的数量有哪些?
答：经过t年后的人口数y,y0；人口年平均增长率r；经过的
时间t以及1950～1959年我国的人口数据.
(2)描述所涉及数量之间关系的函数模型是否是确定的?确定
这种函数模型需要几个因素?
下表是1951～1958年我国的人口数据资料：
函数模型在实际生活中的应用
函数模型在实际生活中的应用函数应用题涉及的题型比较多，下面谈谈函数模型在实际生活中的应用：一、一次函数模型例1 假如你计划买一部手机，而你的朋友给你推荐手机消费有三种可供选择，如下表：从经济角度考虑，哪一种手机卡更为合适？分析：这道题目的背景是消费问题，用表格的形式给出了已知条件，其中存在的数学等量关系为：月消费金额=月租费+每分钟通话费×月通话时间，从而建立月通话时间与月消费金额之间的一次函数关系式．解：设月通话总时间为x 分钟，则三种手机卡的月消费金额分别:连通卡：36.012+=y （)0≥x神州卡：x y 6.0=)0(≥x都市卡：x y 2.024+=)0(≥x 由 ⎩⎨⎧=+=x y x y 6.036.012 解得： ⎩⎨⎧==3050y x 由 ⎩⎨⎧+==x y x y 2.0246.0 解得： ⎩⎨⎧==3660y x 由 ⎩⎨⎧+=+=x y x y 36.0122.024 解得：⎩⎨⎧==3975y x 由图可知：①当500<≤x 时，选用神州行卡；② 当50=x 时，选用神州行卡或连通卡更为经济合适；③ 当7550<<x 时，选用连通卡更为经济合适；④ 当75=x 时，选用都市卡或连通卡；⑤ 当75>x 时选用都市卡更为经济合适．评注：在求解该问题时要注意找出其中数学量之间的关系，从而建立一定的函数关系式来求解．二、分段函数模型例2：某旅行社组团去风景旅游，若每团人数在30人或30人以下，飞机票每张收费900元；若每团人数多于30人，则给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到每张降为450元为止．每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15000元．（1）写出飞机票的价格关于人数的函数；（2）每团人数为多少时，旅行设可获得最大利润？分析：注意价格与人数之间的关系，从而确定函数的解析式．解：（1）设旅行团人数为x 人，由题得075x <≤飞机票价格为y 元，则90090010(30)y x ⎧=⎨--⎩0303075x x <≤<≤即900120010y x ⎧=⎨-⎩0303075x x <≤<≤ （2）设旅行社获利S 元则90015000(120010)15000x S x x -⎧=⎨--⎩0303075x x <≤<≤ 即29001500010(60)21000x S x -⎧=⎨--+⎩0303075x x <≤<≤故当60x =时，旅行设可获得最大利润． 评注：在对分段函数进行求最值时，一定要注意分析自变量的范围．三、二次函数模型二次函数是出现的比较多的函数模型，求解此类问题常常通过对其单调区间的讨论来求解．例3：某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示．（I ）写出图一表示的市场售价与时间的函数关系P=f(t)；写出图二表求援 种植成本与时间的函数关系式Q=g(t)； （II ）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？注：市场售价和种植成本的单位：元/102kg ，时间单位：天）分析：这是一个分段函数与二次函数相结合的应用题，可以根据函数图象写出解析式，从而利用二次函数来确定函数的最值问题．解：（1）由图可得市场售价与时间的函数关系为： f （t ）＝⎩⎨⎧≤<-≤≤-;300200,3002,2000,300t t t t 由图2可得种植成本与时间的函数关系为：g （t ）＝2001（t －150）2＋100，0≤t ≤300． （2）设t 时刻的纯收益为h （t ），则由题意得h （t ）＝f （t ）－g （t ），即h （t ）＝⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-+-≤≤++-.300200,21025272001,2000,217521200122t t t t t t当0≤t ≤200时，配方整理得h （t ）＝－2001（t －50）2＋100，所以，当t ＝50时，h （t ）取得区间［0，200］上的最大值100；当200＜t ≤300时，配方整理得h （t ）＝－2001（t －350）2＋100， 所以，当t ＝300时，h （t ）取得区间（200，300］上的最大值87.5．综上，由100＞87．5可知，h （t ）在区间［0，300］上可以取得最大值100，此时t ＝50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大．评注：求本题的最值时一定要注意先求出每一定义域中每一段上的最值，然后来加以比较．四、函数()xb ax x f +=()0,>b a 模型 这类函数的模型常常是通过均值定理或者函数的单调性求最值，此时要注意等号能否取到．例4：甲、乙两地相距120千米，汽车从甲地以速度v （千米／时）匀速行驶到乙地，速度不得超过100千米／时.已知汽车每小时的运输成本（单位:元）由可变部分和固定部分组成：固定部分为64元；可变部分与速度 v 的平方成正比，比例系数为0.01. (1)求汽车每小时的运输成本w(元)(2)把全程运输成本y （元）表示为速度v （千米／时）的函数，并指出函数的定义域；(3)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？分析：本题可以先根据题意写出全程的运输成本，观察函数式的特点可以知道结合基本不等式来求解． 解：（（1）分析可以得到6401.02+=v w ； (2)全程运输成本y （元）表示为速度v （千米／时）的函数关系式是：vv y 120)6401.0(2⋅+=，其中函数的定义域是]100,0(∈v ； (3)整理函数有)6401.0(120120)6401.0(2vv v v y +⋅=⋅+=, 根据基本不等式， 1926401.02120)6401.0(120=⋅⋅≥+⋅=v v v v y ， 当且仅当]100,0(806401.0∈==v vv 即时，取等号成立， 故汽车应以80千米／时的速度行驶，全程运输成本最小为192元．评注：对基本不等式的应用要注意“一正二定三相等”的特点．当然，涉及函数的应用问题还有很多，关键是确定用哪种类型的函数．。
函数模型在实际问题中的应用
函数模型在实际问题中的应用在我们的日常生活和工作中，数学的身影无处不在，而函数作为数学中的重要概念，更是有着广泛且实用的应用。
函数模型能够帮助我们理解和解决各种各样的实际问题，从经济领域的成本与收益分析，到物理世界中的运动规律描述，从环境科学中的资源分配，到工程技术中的优化设计，都离不开函数模型的助力。
先来说说经济领域中的成本与收益问题。
假设一家工厂生产某种产品，其生产成本 C 与产量 x 之间的关系可以用函数 C(x) ＝ ax ＋ b 来表示，其中 a 表示单位产品的变动成本，b 是固定成本。
而产品的销售收益 R 与产量 x 的关系可以用函数 R(x) ＝ px 来表示，其中 p 是单位产品的销售价格。
那么，工厂要想获得利润，就需要考虑收益大于成本，即R(x) ＞C(x)，通过这样的函数关系，我们可以确定最佳的产量，使得利润最大化。
再看物理中的运动问题。
比如一个物体做自由落体运动，其下落的距离 h 与时间 t 的关系可以用函数 h ＝ 1/2gt²来表示，其中 g 是重力加速度。
通过这个函数，我们可以计算出物体在不同时刻所处的位置，从而预测其运动轨迹。
在环境科学中，函数模型也发挥着重要作用。
例如，研究某个区域的水资源分配问题。
假设该区域的水资源总量是固定的，而不同部门的用水需求可以用函数表示。
通过建立这些函数关系，我们可以合理地规划水资源的分配，以满足各个部门的需求，同时保证水资源的可持续利用。
工程技术方面，以桥梁的设计为例。
桥梁的承重能力与桥梁的结构参数之间存在着函数关系。
工程师们需要通过建立准确的函数模型，来确定桥梁的最佳设计方案，既要保证桥梁的安全性，又要控制建设成本。
让我们通过一个具体的例子来更深入地理解函数模型的应用。
假设我们要设计一个矩形的花坛，花坛的周长为一定值 L。
我们知道矩形的周长 L ＝ 2(x ＋ y)，其中 x 和 y 分别是矩形的长和宽。
而花坛的面积 S ＝ xy。
五类特殊函数模型的探究及应用
ʏ赵邦一张丽园高考中的不等式㊁最值及取值范围问题,不仅要构建初等函数(二次函数㊁幂函数,以及指数和对数函数),还要构建某些特殊的初等函数的复合函数模型求解㊂下面归纳整理五类特殊函数模型的应用㊂模型1:反比例函数的复合函数y= a x+bc x+d(cʂ0,a dʂb c)例1设函数f(x)=1-x1+x,则下列函数中为奇函数的是()㊂A.f(x-1)-1B.f(x-1)+1C.f(x+1)-1D.f(x+1)+1解法1:探究函数f(x)=1-x1+x=-1+ 21+x的对称中心,利用奇函数的定义判断㊂对于A,f(x-1)-1=2x-2,定义域不关于原点对称,不是奇函数㊂对于B,f(x-1)+ 1=2x是奇函数㊂对于C,f(x+1)-1= 2x+2-2不是奇函数㊂对于D,f(x+1)+ 1=2x+2,定义域不关于原点对称,不是奇函数㊂应选B㊂解法2:探究函数f(x)的对称中心,利用图像平移验证㊂f(x)=1-x1+x=-1+ 21+x的对称中心为(-1,-1),其图像向右平移1个单位再向上平移1个单位得到f(x-1)+1为奇函数㊂应选B㊂感悟:函数奇偶性的判断是在定义域关于原点对称的前提下,根据f(-x)与f(x)的关系得到结论,有时也可以借助图像平移探究复合函数的奇偶性㊂模型2:对钩函数y=a x+bx(a>0,b>0)例2求函数f(x)=x3-xx4+x2+1在区间[1,3]上的最值㊂解:通过合理变形,换元化归,利用对钩函数的性质求解㊂易得当x=0时,f(x)=0㊂当xʂ0时,易得f(x)=x3-xx4+x2+1= x-1xx-1x2+3㊂设x-1x=t,则t=x-1x在[1,3]上单调递增,则tɪ0,83㊂原函数等价于g(t)=t t2+3,tɪ0,83㊂易得g(0)=0㊂当t>0时,g(t)=tt2+3=1t+3t㊂易知对钩函数y=x+3x在(0,3)上单调递减,在3,83上单调递增㊂因为g(t)>0,所以g(t)m a x=g(3)=36㊂又g(0)=0, g83=2491,所以g(t)m i n=0㊂由上可得,g(t)m a x=36,g(t)m i n=0,所求f(x)m a x=36,f(x)m i n=0㊂感悟:对钩函数y=a x+bx(常数a,bɪR+)是奇函数,其单调递增区间为-ɕ, -b a,b a,+ɕ,单调递减区间为-b a,0,0,b a㊂9知识结构与拓展高一数学2023年7 8月Copyright©博看网. All Rights Reserved.模型3:形如y =A a 2x +B a x+C (a >0,a ʂ1)例3 已知函数f (x )=4x -2x +1-3,g (x )=x 2-4m x -2m (m ȡ1),若对于任意的x 1ɪ[0,1],总存在x 2ɪ[0,1],使得f (x 1)=g (x 2)成立,则实数m 的取值范围为㊂解:记f (x )=4x -2x +1-3,x ɪ[0,1]的值域为A ㊂令t =2x,t ɪ[1,2],则f (x )=4x-2x +1-3等价于函数y =t 2-2t -3=(t -1)2-4㊂因为y =t 2-2t -3在t ɪ[1,2]上递增,所以y m a x =-3,y m i n =-4,即A =[-4,-3]㊂记g (x )=x 2-4m x -2m (m ȡ1),x ɪ[0,1]的值域为B ㊂因为对称轴为x =2m ȡ2,所以g (x )=x 2-4m x -2m 在x ɪ[0,1]上递减,所以g (x )m a x =g (0)=-2m ,g (x )m i n =g (1)=1-6m ,即B =[1-6m ,-2m ]㊂对于任意x 1ɪ[0,1],总存在x 2ɪ[0,1],使得f (x 1)=g (x 2)成立,则A ⊆B ,需满足1-6m <-2m ,1-6m ɤ-4,-2m ȡ-3,m ȡ1,解得m >14,m ȡ56,m ɤ32,m ȡ1,即1ɤm ɤ32㊂感悟:本题是利用换元化归求值域的,注意题中t =2x,x ɪ[0,1],则t ɪ[1,2]为函数y =t 2-2t -3=(t -1)2-4的定义域㊂模型4:函数f (x )=a x-1a x+1的奇偶性与单调性例4 已知0<a 且a ʂ1,函数f (x )=4a x+2a x+1+x c o s x (-1ɤx ɤ1),设函数f (x )的最大值是M ,最小值是N ,则( )㊂A .M +N =8B .M +N =6C .M -N =8D .M -N =6解:由题意得f (x )=3+a x-1a x+1+x c o s x ㊂令g (x )=a x-1a x +1+x c o s x ,则g (x )是奇函数,所以g (x )的值域为对称区间,设-m ɤg (x )ɤm (m >0),则3-m ɤf (x )ɤ3+m ㊂据此可得,M +N =m +3+3-m =6,M -N =m +3-(3-m )=2m ㊂应选B ㊂感悟:由函数f (x )=a x-1a x+1,可得f (-x )+f (x )=a -x-1a -x +1+a x-1a x +1=1-ax1+ax +a x-1a x+1=0,则f (x )=a x-1a x +1为奇函数,其定义域为R ㊂因为f (x )=a x-1a x +1=1+-2a x+1,所以当a >1时为减函数,当0<a <1时为增函数㊂模型5:对数函数的复合函数f (x )=l o g a (x 2+1ʃx )的奇偶性与单调性例5 已知函数f (x )=l n (x +x 2+1)+3e x+1e x +1,x ɪ[-k ,k ](k >0)的最大值和最小值分别是M 和m ,则M +m =㊂解:因为g (x )=3e x+1e x +1=3-2e x +1,x ɪ[-k ,k ]为增函数,所以g (x )m i n =g (-k )ɤg (x )ɤg (k )=g (x )m a x ,所以g (-k )+g (k )=3-2e -k +1 +3-2e k +1=6-2=4㊂因为h (x )=l n (x +x 2+1),x ɪ[-k ,k ](k >0)为奇函数且为增函数,所以h (x )m i n =h (-k )ɤh (x )ɤh (k )=h (x )m a x ,所以h (-k )+h (k )=-h (k )+h (k )=0㊂故g (-k )+h (-k )+g (k )+h (k )=g (-k )-h (k )+g (k )+h (k )=g (-k )+g (k )=4,即M +m =4㊂感悟:本题涉及一个典型的奇函数f (x )=l n (x +x 2+1),此函数的定义域为R ㊂由(x +x 2+1)(-x +x 2+1)=1,可得-x +x 2+1=1x +x 2+1,对于函数f (x )=l n (x +x 2+1),很容易得到f (-x )=-f (x ),因此f (x )=l n (x +x 2+1)是奇函数㊂作者单位:河南省安阳市实验中学(责任编辑 郭正华)1 知识结构与拓展 高一数学 2023年7 8月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
函数模型的应用实
后，体积变为
4 9
a
.若一个新丸体积变为 8 a,
27
则需经过的天数为( )
A125天
B100天
C75天
D50天
练习3
将进货单价为80元的商品按90元一个售出 时，能卖出400个，已知这种商品每个涨 价1元，其销售量就减少20个，为了取得 最大利润，每个售价应定为( )
A.95元 C.105元
B.100元 D.110元
例6 某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表
身高 60 70 80 90 /cm
体重 6.13 7.90 9.99 12.15 /kg
100 110
15.02 17.50
120 130 140 150 160 170
20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.05
(1)根据表所提供的数据,能否建立恰当的函数模型, 使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重y kg与身高 x cm 的函数关系?试写出这个函数模型 的解析式.
由图象可知,当x<1500件时,该公司亏损; 当x=1500件时,公司不赔不赚; 当x>1500件时,公司赢利.
练习5：某地区今年1月、2月、3月，患某种传 染病的人数分别为52,61,68，为了预测以后各 月的患病人数，甲选择了模型 乙选择了模型 （其中y是患病人数，x为月份数。a,b,c,p,q， r都是常数)，结果4月，5月，6月份的患病人数 分别为74,78，83，你认为谁选择的模型较好？
55
50
45
40
35
30
25
20
15
10
5
x
60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170
讲函数模型及其应用课件
一次函数模型在社会科学中的应 用
在社会科学中，一次函数模型可以用来描 述人口增长、城市化率等社会现象。
二次函数模型的应用
二次函数模型在经济学中的应用
通过建立二次函数模型，可以描述和分析经济现象，例如需求与价格 的关系、供给与价格的关系等。
总结词
生物学中，函数模型被用来描述和分析生物体的生理特征和行为，如种群动态、基因表 达等。
详细描述
在生物学中，函数模型被用来描述和分析生物体的生理特征和行为，例如种群动态、基 因表达等。通过建立函数模型，生物学家可以对生物数据进行数学分析和预测，从而更
好地理解生物系统的运行规律和演化趋势。
计算机科学中的函数模型应用
三角函数模型在社会科学 中的应用
在社会科学中，三角函数模型 可以用来描述社会现象的周期 性变化，例如人口普查、就业 率变化等。
指数函数与对数函数模型的应用
指数函数与对数函数在经济学中的应用
在经济学中，指数函数和对数函数被广泛应用于描述增长和衰减过程 ，例如复利计算、人口增长预测等。
指数函数与对数函数在物理学中的应用
总结词
计算机科学中，函数模型被用来描述和 分析计算机系统和算法的性能和行为。
VS
详细描述
在计算机科学中，函数模型被用来描述和 分析计算机系统和算法的性能和行为。通 过建立函数模型，计算机科学家可以对计 算机系统和算法进行数学分析和优化，从 而提高计算机系统的效率和性能。
THANKS
感谢观看
三角函数模型在物理学中 的应用
在物理学中，三角函数模型可 以用来描述周期性运动，例如 简谐振动、交流电等。
三角函数模型在工程学中 的应用
4.5.3函数模型的应用
那么，碳14的变化规律属于哪种常用的函数模型，如 何利用已知数据建立具体的数学函数模型？
分析：本例提供了三个不同增长方式的奖励 模型，按要求选择其中一个函数作为刻画奖 金总数与销售利润的关系.
由于公司总的利润目标为1000万元，所以 部门销售利润一般不会超过公司总的利润.
由于公司总的利润目标为1000万元，所以 部门销售利润一般不会超过公司总的利润.
于是，只需在区间[10,1000]上，寻找并验 证所选函数是否满足两条要求：
①奖金总数不超过5万元，
②同时奖金不超过利润的25%，
不妨先作出函数图象，通过观察函数的 图象，得到初步的结论,再通过具体计算，确 认结果.
解:用信息技术画出函数y＝0.25x， y＝log7x＋1，
y＝1.0y02x的图象.
8 y＝0.25x
7
y＝1.002x
6
y＝5
5
4
y＝log7x＋1
3
2
1
（3）以（1）中的模型作预测，大约在什么时候我 国人口总数达到13亿？
事实上，我国1990年的人口数为11.43亿，直到2005年 才突破13亿。对由函数模型所得的结果与实际情况不符， 你有何看法？
思考
事实上，我国1990年的人口数为11.43亿，直到2005年 才突破13亿。对由函数模型所得的结果与实际情况不符， 你有何看法？
当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按 确定的比率衰减（称为衰变率），属于指数衰减
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函数模型的应用
一、选择题
1．下表显示了函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断其最可能的函数模型是( ) x 45678910
y 15171921232527
A.一次函数模型B．二次函数模型
C．指数型函数模型D．对数型函数模型
2．已知某矩形广场的面积为4万平方米，则其周长至少为( )
A．800米B．900米
C．1 000米D．1 200米
3．某沙漠地区的某时段气温f(t)与时间t的函数关系是f(t)＝－t2＋24t－101(4≤t≤18)，则该沙漠地区在该时段的最大温差是( )
A．54 B．58
C．64 D．68
4．某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )
A.p＋q
2
B.
p＋1q＋1－1
2
C.pq
D.p＋1q＋1－1
5．据调查，苹果园地铁的自行车存车处在某星期日的存车量为4 000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.3元，普通车存车费是每辆一次0.2元，若普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式是( )
A．y＝0.1x＋800(0≤x≤4 000)
B．y＝0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)
C．y＝－0.1x＋800(0≤x≤4 000)
D．y＝－0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)
6．某种细胞每15分钟分裂一次(1→2)，这种细胞由1个分裂成4 096个需经过( ) A．12小时B．4小时
C．3小时D．2小时
7．某公司在甲、乙两地销售同一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为( )
A．45.606万元B．45.6万元
C．45.56万元D．45.51万元
8.如图所示，将桶1中的水缓慢注入空桶2中，开始时桶1中有a升水，t min后桶1中剩余的水符合指数衰减曲线y1＝a e－nt，那么桶2中的水就是y2＝a－a e－nt.假设过5 min后，桶
1和桶2中的水量相等，若再过m min后桶1中的水只有a
8
升，则m的值为( )
A．7 B．8 C．9 D．10
二、填空题
9．某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝e kx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时．
10．某同学高三阶段12次数学考试的成绩呈现前几次与后几次均连续上升，中间几次连续下降的趋势．现有三种函数模型：①f(x)＝pq x；②f(x)＝log a x＋q；③f(x)＝(x－1)(x－q)2＋p(其中p，q为正常数，且q>2)．要能较准确反映该同学数学成绩与考试次序的关系，应选________(填序号)作为模拟函数．若f(1)＝4，f(3)＝6，则所选函数f(x)的解析式为________________．
11．某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万
元．又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)＝40Q－1
20
Q2，则总利润L(Q)的最大值是________ 万元．
12．一个容器装有细沙a cm3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min后剩余的细沙量为y＝a e－bt(cm3)，经过8 min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min，容器中的沙子只有开始时的八分之一．
答案精析
1．A 2.A 3.C 4.D 5.D 6.C 7.B
8．D [由题意，得a e －5n
＝a －a e －5n
，即e －n
＝1
51()2
.
再经过m min 后，桶1中的水只有a
8升，
则有a e
－n (5＋m )
＝a
8
，即e －n (5＋m )
＝2－3
，
亦即55
1()2
m +＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123，所以m ＋55＝3，解得m ＝10.]
9．24
解析 由题意得⎩
⎪⎨⎪⎧
e b
＝192，
e 22k ＋b
＝48，
∴e 22k ＝48192＝14，∴e 11k
＝12，
∴当x ＝33时，
y ＝e 33k ＋b ＝(e 11k )3·e b ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12
3·e b ＝18
×192＝24.
10．③ f (x )＝x 3
－9x 2
＋24x －12(1≤x ≤12，且x ∈Z) 11.2 500 12．16
解析 由题意得a ·e －b ×8
＝12a ，所以b ＝ln 28
， 所以y ＝a ·ln 2-8
e
·t .
若容器中的沙子只有开始时的八分之一， 则有a ·ln 2
-8
e
·t ＝1
8
a ，解得t ＝24，
所以再经过的时间为24－8＝16(min)．。