合肥市寿春中学必修第二册第二单元《复数》测试卷(答案解析)

一、选择题
1．在复平面内,复数1i +与13i +分别对应向量OA 和OB ,其中O 为坐标原点,则AB =（ ）
A
B
C ．2
D ．4
2．已知平面直角坐标系中O 是原点，向量OA ，OB 对应的复数分别为23i -，
32i -+，那么向量BA 对应的复数是（ ）
A ．55i -+
B ．55i -
C ．55i +
D ．55i --
3．已知方程()()2
440x i x ai a R ++++=∈有实根b ，且z a bi =+，则复数z 等于（ ） A ．22i -
B ．22i +
C ．22i -+
D ．22i --
4．设x ∈R ，则“1x =”是“复数()
()2
11z x x i =-++为纯虚数”的( )
A ．充分必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分不必要条件
D ．既不充分也不必要条件
5．若11z z -=+，则复数z 对应的点在（ ） A ．实轴上
B ．虚轴上
C ．第一象限
D ．第二象限
6．若C z ∈，且22i 1z +-=，则22i z --的最小值是（ ） A ．2 B ．3
C ．4
D ．5
7．设313i
z i
+=-，则232020z z z z ++++=（ ）
A ．1
B ．0
C ．1i --
D ．1i +
8．已知i 是虚数单位，复数z 满足()341z i i +=+，则z 的共轭复数在复平面内表示的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 9．已知i 为虚数单位，（1＋i ）x ＝2＋yi ，其中x ，y ∈R ，则｜x ＋yi ｜＝
A ．
B ．2
C ．4
D
10．i 为虚数单位，复平面内表示复数2i
z i
-=+的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
11．设复数11i
z i
，那么在复平面内复数1z -对应的点位于（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
12．已知复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则
1z
z
+＝（ ）
A ．
32
i
+ B ．
132
i
+ C ．
332
i
+ D ．
12
i
+ 二、填空题
13．已知复数z 满足1z =，则2z i -（其中i 是虚数单位）的最小值为____________. 14．若z a bi =+，
2
1z
R z
∈+，则实数a ，b 应满足的条件为________. 15．已知复数1z =，i 为虚数单位，则34z i -+的最小值为_________.
16．已知复数z 满足等式|1|1z i --=（i 为虚数单位），则|3|z -的最大值为________.
17．设1x ，2x 是实系数一元二次方程2
0ax bx c ++=的两个根，若1x 是虚数，2
12
x x 是实
数，则2481632
1111112222221x x x x x x S x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=++++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
______．
18．若实数,m n 满足20212(4)(2)i mi n i ⋅+=+，且z m ni =+，则||z =_____． 19．已知，则 =____．
20．定义运算a c ad bc b d
=-，复数z 满足
i 1i 1i
z =+，z 为z 的共轭复数，则z ＝
___________.
三、解答题
21．复数1z 、2z 满足120z z ⋅≠，1212||||z z z z +=-，证明：2
122
0z z <.
22．设m R ∈，复数22(56)(3)m m m m i -++-(i 为虚数单位)是纯虚数． （1）求m 的值；
（2）若2mi -+是方程2
0x px q ++=的一个根，求实数p ，q 的值．
23．已知复数(,)z a bi a b =+∈R ，且2(1)430a i a b i --++=．
（Ⅰ）求复数z ； （Ⅱ）若m
z z
+
是实数，求实数m 的值． 24．复数(
)()2
12
510,1225,z a a
i z
a a i =++-=-+-，其中a R ∈ .
（1）若2a =-，求1z 的模； （2）若12z z +是实数，求实数a 的值.
25．已知z 为复数，2z i +为实数，且(12)i z -为纯虚数，其中i 是虚数单位． （1）求复数z ；
（2）若复数z 满足1z ω-=，求ω的最小值．
26．已知z 是纯虚数，并使得
2
1z i
+∈-R ，求z
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．C 解析：C 【分析】
利用复数的几何意义、向量的模长公式和坐标运算，即可求解，得到答案． 【详解】
因为复数1i +与13i +分别对应向量OA 和OB ， 所以向量(1,1)OA =和(1,3)OB =， 所以(0,2)AB OB OA =-=，则202AB AB ===，
故选C ． 【点睛】
本题主要考查了复数的几何意义、向量的模长计算和坐标运算，着重考查了推理能力和计算能力，属于基础题．
2．B
解析：B 【分析】
由向量减法的坐标运算可得向量(5,5)BA OA OB =-=-，根据复数与复平面内的点一一对应，即可得结果. 【详解】
向量OA ，OB 对应的复数分别为23i -，32i -+， 根据复数与复平面内的点一一对应， 可得向量(2,3)OA =-，(3,2)OB =-．
由向量减法的坐标运算可得向量(5,5)BA OA OB =-=-， 根据复向量、复数与复平面内的点一一对应， 可得向量BA 对应的复数是55i -，故选B ． 【点睛】
解决复数与平面向量一一对应的题目时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化．
3．A
解析：A 【解析】 【详解】
由b 是方程()()2
440x i x ai a R ++++=∈的根可得()2
440b i b ai ++++=,
整理可得：()()
2
440b a i b b ++++=，
所以2
0440b a b b +=⎧⎨
++=⎩，解得2
2
a b =⎧⎨=-⎩，所以22z i =-，故选A . 4．A
解析：A 【解析】
分析：先化简“复数()
()2
11z x x i =-++为纯虚数”，再利用充要条件的定义判断.
详解：因为复数()
()2
11z x x i =-++为纯虚数，
所以210
, 1.10
x x x ⎧-=∴=⎨
+≠⎩ 因为“x=1”是“x=1”的充要条件，
所以“1x =”是“复数()
()2
11z x x i =-++为纯虚数”的充分必要条件.
故答案为A.
点睛：（1）本题主要考查纯虚数的概念，考查充要条件的判断，意在考查学生对这些知识
的掌握水平.(2) 复数(,)z a bi a b R =+∈为纯虚数0
,0a b =⎧⇔⎨≠⎩不要把下面的b≠0漏掉了. 5．B
解析：B 【分析】
首先分析题目，设z x yi =+，将其代入11z z -=+进行化简可得0x =，从而可得结论. 【详解】
设z x yi =+，则11x yi x yi +-=++， 即()()2
2
2211x y x y -+=++， 解得0x =，
所以z yi =，它对应的点在虚轴上. 故选B. 【点睛】
本题主要考查复数的模以及复数的几何意义，属于中档题.
6．B
解析：B 【分析】
由复数的模的几何意义，可得z 在复平面的轨迹是以()2,2-为圆心，以1为半径的圆，根据圆的几何性质可得结果. 【详解】
设i z x y =+(),x y ∈R ，则()22i 22i 1z x y +-=++-=， 所以()()2
2
221x y ++-=，表示圆心为()2,2-，半径为1r =的圆.
()()22i 22i z x y --=-+-=
，表示点(),x y 和()2,2之间的距
离，
故()min 22i 22413z r --=---=-=. 故选：B. 【点睛】
本题考查复数的模的几何意义，考查圆的性质，考查学生的计算求解能力，属于中档题.
7．B
解析：B 【分析】
利用复数代数形式的乘除运算化简z ，再由等比数列的前n 项和公式及虚数单位i 的运算性质求解． 【详解】 3(3)(13)1013(13)(13)10
i i i i
z i i i i +++=
===--+， 202020202
3
2020
(1)(1)(11)0111z z i i i z z z z
z i i
---∴+++⋯+====---．
故选：B ． 【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查虚数单位i 的运算性质，训练了等比数列前n 项和的求法，是基础题．
8．A
解析：A 【分析】
利用复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义即可得出． 【详解】
复数z 满足()341z i i +=+，∴()()()()3434134z i i i i +-=+-，
∴257z i =-，∴712525
z i =-． ∴712525
z i =
+． 则复平面内表示z 的共轭复数的点71,2525⎛⎫
⎪⎝
⎭在第一象限． 故选：A ． 【点睛】
此题考查复数的运算和几何意义，涉及共轭复数概念辨析，关键在于熟练掌握运算法则，根据几何意义确定点的位置.
9．A
解析：A 【解析】 【分析】
首先求得x ,y 的值，然后求解复数的模即可. 【详解】
由题意可得：2x xi yi +=+，结合复数的充分必要条件可知：2
x x y
=⎧⎨=⎩，
则2x y ==，22x yi i +=+== 本题选择A 选项. 【点睛】
本题主要考查复数相等的充分必要条件，复数模的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
10．C
解析：C 【解析】
(2)2112
2(2)(2)555
i i i i z i i i i -----=
===--++-．故选C 11．C
解析：C 【分析】
先求出z i =-，11z i -=--，即得解. 【详解】
由题得21(1)21(1)(1)2
i i i
z i i i i ---=
===-++-， 所以11z i -=--，它对应的点的坐标为(1,1)--， 所以在复平面内复数1z -对应的点位于第三象限. 故选：C
12．B
解析：B 【分析】
由复数1z i =+，得到1z i =-，进而得到121z i
z i
++=-，根据复数的除法运算法则，即可求解. 【详解】
由题意，复数1z i =+，可得1z i =-，则()()()()2112131112
i i z i i z i i i +++++===--+. 故选：B. 【点睛】
本题主要考查了复数的除法运算，以及共轭复数的概念及应用，其中解答中熟练应用复数的除法运算的法则，以及熟记复数的共轭复数的概念是解答的关键，着重考查运算与求解能力.
二、填空题
13．1【分析】复数满足为虚数单位）设利用复数模的计算公式与三角函数求值即可得出【详解】解：复数满足为虚数单位）设则当且仅当时取等号故答案为：1【点睛】本题考查了复数的运算法则模的计算公式及其三角函数求值
解析：1 【分析】
复数z 满足||1(z i =为虚数单位），设cos sin z i θθ=+，[0θ∈，2)π．利用复数模的计算公式与三角函数求值即可得出． 【详解】 解：
复数z 满足||1(z i =为虚数单位）， 设cos sin z i θθ=+，[0θ∈，2)π．
则|2||cos (sin 2)|1z i i θθ-=+-，当且仅当sin 1θ=时
取等号． 故答案为：1． 【点睛】
本题考查了复数的运算法则、模的计算公式及其三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
14．或【分析】根据复数的运算得出再由复数是实数的条件得出实数应满足的条件【详解】因为故有所以或即或是ab 应满足的条件故答案为：或【点睛】本题考查复数的运算和复数的概念属于中档题
解析：0b =或221a b += 【分析】
根据复数的运算得出2
1+z
z
()()
()
222222
2
2
22
12114a a b ab b b a i
a
b
a b
+-++--=+--，再由复数是实数的
条件得出实数a ，b 应满足的条件. 【详解】
()22222211()1212z a bi a bi a bi
z a bi a abi b a b abi +++===
+++++-+-+
()
()2
22
2
2
22
12()
14a
b abi
a bi a
b a b
+--=++--
()()()2
2
2
2
2
2
2
2
222
112214a a b b a b i a bi ab a b a b
+-++--+=+--
()()()
222232
2
22
22
12214a a b ab b a b b a b i a b a b +-+++--=+--
()()()22222
2
22
22
12114a a b ab b b a i a b a b
+-++--=+--
因为
2
1z R z
∈+，故有()
22
10b b a --=,所以0b =或2210b a --=， 即0b =或221a b +=是a ，b 应满足的条件. 故答案为：0b =或221a b +=. 【点睛】
本题考查复数的运算和复数的概念，属于中档题.
15．4【分析】利用复数的几何意义转化求解即可【详解】解:复数z 满足为虚数单位复数z 表示：复平面上的点到(00)的距离为1的圆的几何意义是圆上的点与的距离所以其最小值为：故答案为：4【点睛】本题考查复数的
解析：4 【分析】
利用复数的几何意义，转化求解即可. 【详解】
解:复数z 满足1z =，i 为虚数单位， 复数z 表示：复平面上的点到(0，0)的距离为1的圆.
34z i -+的几何意义是圆上的点与()34-，的距离，
14-= . 故答案为：4. 【点睛】
本题考查复数的几何意义，复数的模的求法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题.
16．【分析】根据复数的几何意义得表示以为圆心1为半径的圆表示复数所对应的点到点的距离然后再利用点与圆的位置关系求解【详解】解：根据复数的几何意义得表示以为圆心1为半径的圆表示复数所对应的点到点的距离点到
解析：51
+
【分析】
根据复数的几何意义得|1|1
z i
--=表示以()
1,1
C为圆心，1为半径的圆，|3|
z-表示复数z所对应的点P到点()
3,0
Q的距离，然后再利用点与圆的位置关系求解.
【详解】
解：根据复数的几何意义得|1|1
z i
--=表示以()
1,1
C为圆心，1为半径的圆，
|3|
z-表示复数z所对应的点P到点()
3,0
Q的距离，
点Q到圆心C的距离为5
CQ=
所以|3|
z-的最大值为51
CQ r
+=.
51.
【点睛】
本题主要考查复数的几何意义，还考查了数形结合的思想方法，属于基础题.
17．-2【分析】设（s）则则利用是实数可得于是取则代入化简即可得出【详解】设（s）则则∵是实数∴∴∴∴∴取则∴则故答案为：【点睛】本题考查了实系数一元二次方程的虚根成对定理考查了复数的概念考查了复数的性
解析：-2
【分析】
设1i
x s t
=+（s，t∈R，0
t≠）．则
2
i
x s t
=-．则
12
2
x x s
+=，22
12
x x s t
=+．利用
2
1
2
x
x
是实数，可得22
3s t=．于是122
x x s
+=，22
12
x x s t
=+．
2
11
22
10
x x
x x
⎛⎫
++=
⎪
⎝⎭
，取
1
2
x
x
ω
=，则210
ωω
++=，31
ω=．代入化简即可得出．
【详解】
设1i
x s t
=+（s，t∈R，0
t≠）．则
2
i
x s t
=-．
则122x x s +=，22
12x x s t =+．
∵()2
23223122222i 33i i s t x s st s t t x s t s t s t
+--==+-++是实数， ∴2330s t t -=， ∴223s t =．
∴122x x s +=，22
12x x s t =+．
∴()2
222
1212121242s x x x x x x x x =+=++=，
∴
12
21
10x x x x ++=， 取1
2
x x ω=， 则210ωω++=， ∴31ω=． 则
2
4
8
16
32
248163211111122222211x x x x x x S x x x x x x ωωωωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫=++++++=++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
220ωωωω=++++
2=-．
故答案为：2-． 【点睛】
本题考查了实系数一元二次方程的虚根成对定理，考查了复数的概念，考查了复数的性质
210ωω++=，属于中档题.
18．【分析】先通过复数代数形式的四则运算法则对等式进行运算再利用复数相等求出最后由复数的模的计算公式求出【详解】因为所以已知等式可变形为即解得【点睛】本题主要考查复数代数形式的四则运算法则复数相等的概念
【分析】
先通过复数代数形式的四则运算法则对等式进行运算，再利用复数相等求出,m n ，最后由复数的模的计算公式求出z ． 【详解】
因为2021i i =，所以已知等式可变形为2
(4)44i mi n ni +=+-，
即2
444m i n ni -+=+-，2
444m n n
⎧-=-⎨=⎩ 解得31m n =⎧⎨
=⎩ ，3i z =+
z ∴=．
【点睛】
本题主要考查复数代数形式的四则运算法则，复数相等的概念以及复数的模的计算公式的应用．
19．-2-3i 【解析】分析：化简已知的等式即得a 的值详解：由题得(1-i)31+i-3i=a ∴a=(1-i)4(1+i)(1-i)-3i=-2i·-2i2-3i=-2-3i 故答案为-2-3i 点睛：（1）
解析：-2-3i
【解析】
分析：化简已知的等式，即得 a 的值. 详解：由题得
，
故答案为-2-3i
点睛：（1）本题主要考查复数的综合运算，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和基本的运算能力.(2)本题是一个易错题，已知没有说“a”是一个实数，所以它是一个复数，如果看成一个实数，解答就错了. 20．2＋i 【解析】根据题意得到=故得到z=2-i ＝2＋i 故答案为2＋i
解析：2＋i
【解析】 根据题意得到1z i zi i i =-=1i +,故得到z=2-i ，z ＝2＋i.
故答案为2＋i.
三、解答题
21．见解析．
【分析】
通过复数的模相等，判断两个复数对应的向量垂直，然后设出复数比证明即可．
【详解】
设复数1z 、2z 在复平面上对应的点为1Z 、2Z ，
由1212||||z z z z +=-知，以1OZ 、2OZ 为邻边的平行四边形为矩形，
∴12OZ OZ ⊥，故可设12z ki z =(k ∈R 且0k ≠)，∴2222122
0z k i k z ==-<. 【点睛】
本题关键之处在于模长相等的处理，可以得到1OZ 、2OZ 为邻边的平行四边形为矩形． 22．（1）2.（2）4p =，8q =．
【分析】
（1）根据纯虚数的定义求出m 的值即可；
（2）将2mi -+代入方程20x px q ++=，得到关于p ，q 的方程组，解出即可．
【详解】
（1）复数22(56)(3)m m m m i -++-是纯虚数，
2256030
m m m m ⎧-+=∴⎨-≠⎩ 解得：2?30?
3m m m m ==⎧⎨≠≠⎩或且 2m ∴=
（2）
2mi -+是方程20x px q ++=的一个根
由（1）可得2m =，即：22i -+是方程20x px q ++=的一个根
2(22)(22)0i p i q ∴-++-++=
即(2)(28)0p q p i -++-=
20280p q p -+=⎧∴⎨-=⎩
解得：4p =，8q =．
【点睛】
本题解题关键是掌握纯虚数定义和复数相等求参数方法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
23．（Ⅰ）33z i =-（Ⅱ）18m =
【分析】
（Ⅰ）根据复数相等列方程组，解得,a b （Ⅱ）先化复数为代数形式，再根据复数为实数列式，解得实数m 的值．
【详解】
解： （Ⅰ）由题意240{30
a a
b a ++=-+=，解之得3,3a b ==-． 所以33z i =-为所求
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，()133333333666m i m m m m z i i i z i +⎛⎫⎛⎫+=-+=-+=++- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ m z z +
是实数，306
m ∴-=，即18m =为所求． 【点睛】 本题考查复数相等以及复数概念，考查基本分析求解能力，属中档题
24．（1
）（2）5a =-或3a =.
【解析】
（1）2a =-，则136z i =+，
则1z ==
=，
∴1z
的模为.
（2）()
()2125101225z z a a i a a i +=++-+-+- ()()
()261025a a a i ⎡⎤=-+-+-⎣⎦ ()()
26215a a a i =-++- 因为12z z +是实数，所以22150a a +-=，解得5a =-或3a =
故5a =-或3a =.
25．（1）=42z i -（2）1
【详解】
试题分析：（1）求复数z 时采用待定系数法，首先=(,)z a bi a b R +∈设，代入已知条件得到关于,a b 的方程，从而解得,a b ，得到复数z （2）采用待定系数法得到复数ω实虚部的关系式，进而结合两点间距离公式得到ω的最小值
试题
（1）=(,)z a bi a b R +∈设，
则2(2)z i a b i +=++，因为2z i +为实数，所以有20b +=① (12)(12)()2(2)i z i a bi a b b a i -=-+=++-，因为(12)i z -为纯虚数，
所以20,20a b b a +=-≠，②
由①②解得4,2a b ==-.
故=42z i -.
（2）因为=42z i -，则42z i =+，
设(,)x yi x y R ω=+∈，因为1z ω-=，即22(4)(2)1x y -+-=
又ωω的最小值即为原点到圆22(4)(2)1x y -+-=上的点距离的最小
值，因为原点到点(4,2)=r=1，原点在圆外，
所以ω的最小值即为1.
考点：1.待定系数法；2.复数运算及相关概念；3.数形结合法
26．-2i
【分析】
设()z bi b R =∈，代入
21z i +-进行化简，根据21z i +-为实数，列方程，解方程求得b 的值，也即求得z .
【详解】
设()z bi b R =∈，代入21z i +-得()()()()
()212221112bi i b b i bi R i i i ++-+++==∈--+，所以20b +=，解得2b =-.所以2z i =-.
【点睛】
本小题主要考查复数除法运算，考查复数是纯虚数、实数的概念和运算，属于基础题.。