高考数学大一轮复习 第四章 第4节 平面向量应用举例

垂直问题 的运算 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中 a，b
性质 为非零向量
数量积
a·b
夹角问题
cos θ＝_|_a_||_b_| (θ 为向量 a，b 的夹角)
的定义
整理ppt
二、向量在物理中的应用 1．向量的加法、减法在力的分解与合成中的应用． 2．向量在速度的分解与合成中的应用． 3．向量的数量积在合力做功问题中的应用：W＝f·s.
整理ppt
所以N→P2＝x20＋(y0－1)2＝－13y20－2y0＋17 ＝－13(y0＋3)2＋20. 因为 y0∈[－2 3，2 3]， 所以当 y0＝－3 时，N→P2 取得最大值 20，故P→E·P→F的最大 值为 19.
整理ppt
规律方法 2 1.平面向量与解析几何交汇的题目，向量多 用于“包装”，解决此类问题的关键是利用向量的意义、运 算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从 而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题．
(1) 在 △ ABC 中 ， 已 知 向 量 A→B 与 A→C 满 足
|AA→ →BB|＋|AA→→CC|·B→C＝0，且|AA→ →BB|·|AA→ →CC|＝12，则△ABC 为(
)
A．等边三角形
B．直角三角形
C．等腰非等边三角形 D．三边均不相等的三角形
整理ppt
(2)设 a，b，c 为同一平面内具有相同起点的任意三个非
第四节 平面向量应用举例
整理ppt
[考情展望] 1.用向量的方法解决某些简单的平面几何 证明问题.2.与三角函数、解析几何等知识交汇命题，体现向 量运算的工具性．
整理ppt
一、向量在平面几何中的应用 1．平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运 算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相 似、长度、夹角等问题．
l：x＝8，P 为该平面上一动点，作 PQ⊥l，垂足为 Q，且 P→C＋12P→Q·P→C－12P→Q＝0.
(1)求动点 P 的轨迹方程； (2)若 EF 为圆 N：x2＋(y－1)2＝1 的任一条直径，求P→E·P→F 的最大值．
整理ppt
【尝试解答】 (1)设 P(x，y)，则 Q(8，y)． 由P→C＋12P→Q·P→C－12P→Q＝0， 得|P→C|2－14|P→Q|2＝0，即(x－2)2＋y2－14(x－8)2＝0，化简得 1x62 ＋1y22 ＝1. 所以点 P 在椭圆上，其方程为1x62 ＋1y22 ＝1.
为
．
【答案】 5 N
整理ppt
5．在△ABC 中，AB＝2，AC＝3，A→B·B→C＝1，则 BC＝( ) A. 3 B. 7 C．2 2 D. 23
【答案】 A 6．(2014·山东高考)在△ABC 中，已知A→B·A→C＝tan A，当
A＝π6时，△ABC 的面积为
．
【答案】
1 6
整理ppt
考向一 [080] 向量在平面几何中的应用
整理ppt
2．用向量解决常见平面几何问题的技巧
问题类型
所用知 识
公式表示
a∥b⇔a＝λb
线平行、点共线、 共线向 ⇔__x1_y_2_－__x_2y_1_＝__0_(b_≠__0_)_
相似等问题
量定理 其中 a＝(x1，y1)， b＝(x2，y2)
整理ppt
数量积 a⊥b⇔_a_·b_＝__0__⇔__x_1x_2_＋__y_1y_2_＝__0___
整理ppt
(2)基向量法 适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量共 线构造关于设定未知量的方程来进行求解．
整理ppt
对点训练 (1)已知点 O，N，P 在△ABC 所在平面内，
且|O→A|＝|O→B|＝|O→C|，N→A＋N→B＋N→C＝0，P→A·P→B＝P→B·P→C＝
P→C·P→A，则点 O，N，P 依次是△ABC 的( )
零向量，且 a 与 b 不共线，a⊥c，|a|＝|c|，则|b·c|的值一定等
于( )
A．以 a，b 为邻边的平行四边形的面积
B．以 b，c 为两边的三角形面积
C．以 a，b 为两边的三角形面积
D．以 b，c 为邻边的平行四边形的面积
(3)已知△ABC 的三边长 AC＝3，BC＝4，AB＝5，P 为
整理ppt
(2)因P→E·P→F＝(N→E－N→P)·(N→F－N→P) ＝(－N→F－N→P)·(N→F－N→P) ＝(－N→P)2－N→F2＝N→P2－1， P 是椭圆1x62 ＋1y22 ＝1 上的任一点，设 P(x0，y0)， 则有1x620 ＋1y220 ＝1，即 x20＝16－43y02，又 N(0,1)，
A．重心、外心、垂心 B．重心、外心、内心
C．外心、重心、垂心 D．外心、重心、内心
(注：三角形的三条高线交于一点，此点称为三角形的垂
心)
(2)(2013·课标全国卷Ⅱ)已知正方形 ABCD 的边长为 2，E
为 CD 的中点，则A→E·B→D＝
.
整理ppt
【答案】 (1)C (2)2
整理ppt
考向二 [081] 平面向量在解析几何中的应用 (2015·苏州模拟)已知平面上一定点 C(2,0)和直线
整理ppt
1．已知三个力 f1，f2，f3 作用于物体同一点，使物体处
于平衡状态，若 f1＝(2,2)，f2＝(－2,3)，则|f3|为( )
A．2.5
B．4 2
C．2 2
D．5
【答案】 D
整理ppt
2．已知 O 是△ABC 所在平面上一点，若Oຫໍສະໝຸດ BaiduA·O→B＝O→B·O→C
＝O→C·O→A，则 O 是△ABC 的( )
AB 边上任意一点，则C→P·(B→A－B→C)的最大值为
．
整理ppt
【答案】 (1)A (2)D (3)9
整理ppt
规律方法 1 1.向量在平面几何中的三大应用：一是借助 运算判断图形的形状；二是借助模、数量积等分析几何图形 的面积；三是借助向量探寻函数的最值表达式，进而求最值．
2．平面几何问题的向量解法 (1)坐标法 把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向 量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算， 从而使问题得到解决．
A．内心
B．重心
C．外心 D．垂心
【答案】 D
整理ppt
3．若A→B·B→C＋A→B2＝0，则△ABC 为( )
A．钝角三角形
B．锐角三角形
C．等腰直角三角形 D．直角三角形
【答案】 D
整理ppt
4．已知两个力 F1、F2 的夹角为 90°，它们的合力 F 的大
小 为 10 N ， 合 力 与 F1 的 夹 角 为 60°， 那 么 F1 的 大 小