理论力学4资料
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1
静力学
第四章 空间力系
第四章 空间力系
实际工程中，绝大多数结构所受力 系的作用线往往是不在同一平面内的， 即空间力系，空间力系是最一般的力系。 本章将研究空间力系的简化和平衡问题。 与平面力系一样，先研究空间力系的特 殊情况 — 即空间汇交力系和空间力偶 系，然后研究空间力系的一般情况 — 空间任意力系。
F (3i 4 j 5k ) kN
Fx 3 kN, Fy 4 kN, Fz 5 kN
所以力 F 的大小为
F Fx2 Fy2 Fz2 5 2 kN
力 F 的方向余弦以及与坐标轴的夹角为
cosF,i 3 0.424
52
cosF, j 4 0.566
52
F,i q 64.9 F, j b 55.55
13
静力学
第四章 空间力系
2. 空间汇交力系的合力
与平面汇交力系类似，空间汇交力系的合力等于各分力
的矢量和，合力的作用线通过汇交点。即
n
FR F1 F2 Fn Fi
n
n
i 1
FR Fi (Fxii Fyi j Fzik)
i 1
i 1
合力在x、y、z轴的投影为
Fx Fx1 Fx2 Fxn
Fx FR
Fxi FR
cos(FR ,
j)
Fy FR
Fyi FR
cos(FR , k)
Fz FR
Fzi
FR
15
静力学
第四章 空间力系
例题 4-2
在刚体上作用着四个汇交力，它们在坐标轴 上的投影如下表所示，试求这四个力的合力的大 小和方向。
F1
F2
F3
F4
单位
Fx
1
2
0
2
kN
Fy
10
n
Fxi
i1
Fy Fy1 Fy2 Fyn
n
Fyi
i1
Fz Fz1 Fz2 Fzn
n
Fzi
i 1
14
静力学
第四章 空间力系
合力矢FR的大小和方向余弦为
大小
FR Fx2 Fy2 Fz2 ( Fxi )2 ( Fyi )2 ( Fzi )2
方向余弦
cos(FR ,i)
10
静力学
第四章 空间力系
例题 4-4
如图所示圆柱斜齿轮，其上受啮合力Fn的作用。
已知斜齿轮的啮合角(螺旋角) β 和压力角 q ，试求
力 Fn 沿 x，y 和 z 轴的分力。
11
静力学
第四章 空间力系
例题 4-4 解： 将力Fn向 z 轴和Oxy 平面投影
Fz Fn sin q ,
Fxy Fn cosq
所以合力的大小为
FR 52 302 62 kN 31 kN
合力的方向余弦为
cosFR
,i
5 31
,
cosFR ,
j
30 , 31
cosFR
,k
6 31
合力FR 与x，y，z 轴间夹角
FR , i 83.7, FR , j 14.6, FR , k 78.8
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静力学
第四章 空间力系
15
－5
10
kN
Fz
3
4
1
－2
kN
解： 由上表得
Fx 1 kN 2 kN 0 kN 2 kN 5 kN, Fy 10 kN 15 kN 5 kN 10 kN 30 kN, Fz 3 kN 4 kN 1 kN 2 kN 6 kN 16
静力学
第四章 空间力系
例题 4-2
Fx 1 kN 2 kN 0 kN 2 kN 5 kN, Fy 10 kN 15 kN 5 kN 10 kN 30 kN, Fz 3 kN 4 kN 1 kN 2 kN 6 kN
4
静力学 间接投影法
第四章 空间力系
5
静力学
第四章 空间力系
当力与轴Ox，Oy正向夹角不易确定时，可先将 F 投 影到坐标平面xy上，然后再投影到x、y轴上，即
F Fxy cosx F sin g cos
Fy Fxy sin F sin g sin
Fz F cosg
这里要强调指出，空间力在 轴上的投影是代数量，而在 平面上的投影则是矢量。
2
静力学
第四章 空间力系
§4-1 空间汇交力系
1.力在直角坐标轴上的投影 直接投影法
Βιβλιοθήκη Baidu
3
静力学
第四章 空间力系
若已知力与正交坐标系 Oxyz三轴正向间的夹角
q、b、g 。则由空间力
在轴上的投影定义，可 直接将力F投影在正交 坐标系Oxyz三轴上
Fx F cosq , Fy F cos b , Fz F cos g
cos q Fx 0.220，
F
cos b Fy 0.322,
F
cos g Fz 0.919,
F
q 76.7
b 71.1
g 23
A Fx
x
Fy β q
y
γ
Fz
F
z
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静力学
第四章 空间力系
例题 4-2
已知力沿直角坐标轴的解析式为
试求这个力的大小和方向，并作图表示。
解： 由已知条件得
6
静力学
第四章 空间力系
与平面力类似，空间力的解析表达式为
F Fxi Fy j Fzk i、 j、 k 分别为坐标轴 Ox、 Oy、 Oz正向的单位矢量
如果已知力F在x、 y、z轴上的投影，则可求得力F 的大小和方向余弦为
F Fx2 Fy 2 Fz 2
cos(F , i) Fx , cos(F , j) Fy , cos(F , k) Fz
将力Fxy向x，y 轴投影
Fx Fxy sin b Fn cosq sin b
Fy Fxy cos b Fn cosq cos b
12
静力学
例题 4-4
第四章 空间力系
沿各轴的分力为
Fx (Fn cosq sin b ) i Fy (Fn cosq cos b ) j Fz (Fn sin q ) k
cosF,k 5 0.707
F,k g 180 45 135
52
9
静力学
第四章 空间力系
例题 4-3
三棱柱底面为直角等腰三角形，在其侧平面
ABED上作用有一力F，力F与OAB平面夹角为30º，求
力F在三个坐标轴上的投影。
解：
利用二次 投影法，先将 力F投影到Oxy 平面上，然后 再分别向x，y， z轴投影。
F
F
F
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静力学
第四章 空间力系
例题 4-1
已知车床在车削一圆棒时，由测力计测得刀具承 受的力F 的三个正交分量 Fx，Fy，Fz的大小各为 4.5 kN，6.3 kN，18 kN，试求力F 的大小和方向。
解：力F 的大小
F Fx2 Fy2 Fz2 19.6 kN
力F 的方向余弦及与坐标轴的夹角为
静力学
第四章 空间力系
第四章 空间力系
实际工程中，绝大多数结构所受力 系的作用线往往是不在同一平面内的， 即空间力系，空间力系是最一般的力系。 本章将研究空间力系的简化和平衡问题。 与平面力系一样，先研究空间力系的特 殊情况 — 即空间汇交力系和空间力偶 系，然后研究空间力系的一般情况 — 空间任意力系。
F (3i 4 j 5k ) kN
Fx 3 kN, Fy 4 kN, Fz 5 kN
所以力 F 的大小为
F Fx2 Fy2 Fz2 5 2 kN
力 F 的方向余弦以及与坐标轴的夹角为
cosF,i 3 0.424
52
cosF, j 4 0.566
52
F,i q 64.9 F, j b 55.55
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静力学
第四章 空间力系
2. 空间汇交力系的合力
与平面汇交力系类似，空间汇交力系的合力等于各分力
的矢量和，合力的作用线通过汇交点。即
n
FR F1 F2 Fn Fi
n
n
i 1
FR Fi (Fxii Fyi j Fzik)
i 1
i 1
合力在x、y、z轴的投影为
Fx Fx1 Fx2 Fxn
Fx FR
Fxi FR
cos(FR ,
j)
Fy FR
Fyi FR
cos(FR , k)
Fz FR
Fzi
FR
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静力学
第四章 空间力系
例题 4-2
在刚体上作用着四个汇交力，它们在坐标轴 上的投影如下表所示，试求这四个力的合力的大 小和方向。
F1
F2
F3
F4
单位
Fx
1
2
0
2
kN
Fy
10
n
Fxi
i1
Fy Fy1 Fy2 Fyn
n
Fyi
i1
Fz Fz1 Fz2 Fzn
n
Fzi
i 1
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静力学
第四章 空间力系
合力矢FR的大小和方向余弦为
大小
FR Fx2 Fy2 Fz2 ( Fxi )2 ( Fyi )2 ( Fzi )2
方向余弦
cos(FR ,i)
10
静力学
第四章 空间力系
例题 4-4
如图所示圆柱斜齿轮，其上受啮合力Fn的作用。
已知斜齿轮的啮合角(螺旋角) β 和压力角 q ，试求
力 Fn 沿 x，y 和 z 轴的分力。
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静力学
第四章 空间力系
例题 4-4 解： 将力Fn向 z 轴和Oxy 平面投影
Fz Fn sin q ,
Fxy Fn cosq
所以合力的大小为
FR 52 302 62 kN 31 kN
合力的方向余弦为
cosFR
,i
5 31
,
cosFR ,
j
30 , 31
cosFR
,k
6 31
合力FR 与x，y，z 轴间夹角
FR , i 83.7, FR , j 14.6, FR , k 78.8
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静力学
第四章 空间力系
15
－5
10
kN
Fz
3
4
1
－2
kN
解： 由上表得
Fx 1 kN 2 kN 0 kN 2 kN 5 kN, Fy 10 kN 15 kN 5 kN 10 kN 30 kN, Fz 3 kN 4 kN 1 kN 2 kN 6 kN 16
静力学
第四章 空间力系
例题 4-2
Fx 1 kN 2 kN 0 kN 2 kN 5 kN, Fy 10 kN 15 kN 5 kN 10 kN 30 kN, Fz 3 kN 4 kN 1 kN 2 kN 6 kN
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静力学 间接投影法
第四章 空间力系
5
静力学
第四章 空间力系
当力与轴Ox，Oy正向夹角不易确定时，可先将 F 投 影到坐标平面xy上，然后再投影到x、y轴上，即
F Fxy cosx F sin g cos
Fy Fxy sin F sin g sin
Fz F cosg
这里要强调指出，空间力在 轴上的投影是代数量，而在 平面上的投影则是矢量。
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静力学
第四章 空间力系
§4-1 空间汇交力系
1.力在直角坐标轴上的投影 直接投影法
Βιβλιοθήκη Baidu
3
静力学
第四章 空间力系
若已知力与正交坐标系 Oxyz三轴正向间的夹角
q、b、g 。则由空间力
在轴上的投影定义，可 直接将力F投影在正交 坐标系Oxyz三轴上
Fx F cosq , Fy F cos b , Fz F cos g
cos q Fx 0.220，
F
cos b Fy 0.322,
F
cos g Fz 0.919,
F
q 76.7
b 71.1
g 23
A Fx
x
Fy β q
y
γ
Fz
F
z
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静力学
第四章 空间力系
例题 4-2
已知力沿直角坐标轴的解析式为
试求这个力的大小和方向，并作图表示。
解： 由已知条件得
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静力学
第四章 空间力系
与平面力类似，空间力的解析表达式为
F Fxi Fy j Fzk i、 j、 k 分别为坐标轴 Ox、 Oy、 Oz正向的单位矢量
如果已知力F在x、 y、z轴上的投影，则可求得力F 的大小和方向余弦为
F Fx2 Fy 2 Fz 2
cos(F , i) Fx , cos(F , j) Fy , cos(F , k) Fz
将力Fxy向x，y 轴投影
Fx Fxy sin b Fn cosq sin b
Fy Fxy cos b Fn cosq cos b
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静力学
例题 4-4
第四章 空间力系
沿各轴的分力为
Fx (Fn cosq sin b ) i Fy (Fn cosq cos b ) j Fz (Fn sin q ) k
cosF,k 5 0.707
F,k g 180 45 135
52
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静力学
第四章 空间力系
例题 4-3
三棱柱底面为直角等腰三角形，在其侧平面
ABED上作用有一力F，力F与OAB平面夹角为30º，求
力F在三个坐标轴上的投影。
解：
利用二次 投影法，先将 力F投影到Oxy 平面上，然后 再分别向x，y， z轴投影。
F
F
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静力学
第四章 空间力系
例题 4-1
已知车床在车削一圆棒时，由测力计测得刀具承 受的力F 的三个正交分量 Fx，Fy，Fz的大小各为 4.5 kN，6.3 kN，18 kN，试求力F 的大小和方向。
解：力F 的大小
F Fx2 Fy2 Fz2 19.6 kN
力F 的方向余弦及与坐标轴的夹角为