第3章 自动控制原理

2 n 1 c( s ) 2 2 s 2n s n s
s n n 1 2 2 2 s ( s n ) d ( s n )2 d
拉氏反变换得：
c(t ) 1 - e
c(t ) 1 -
-nt
[cos d t

1-
2
从上式可看出，瞬态分量随时间t的增长衰减到零， 而稳态分量等于1，因此，上述欠阻尼二阶系统的单 位阶跃响应稳态误差为零。
45
欠阻尼二阶系统 单位阶跃响应性能指标
1.上升时间tr ：令 h(tr ) 1，则
1-
1 1-
2
e-nt sin(d t arccos ) 1
所以：
- arccos tr d
46
2.峰值时间
：
根据极值定理有：
dc ( t ) 0 dt t t
p
n e
- n t p
sin(d t p ) - d e
1-
- n t p
cos(d t p ) 0
10
反映系统响应快速性的指标有：tr、tp、ts 反映系统响应的平稳性和阻尼程度： ％ 反映系统控制精度的指标有： ess

11
注意事项：
%, t s 及ess 三项指标是针对阶跃响 应
而言的，对于非阶跃输 入，则只有 稳态误差e ss , 而没有％和t s。
12
3－2 一、二阶系统分析与计算
一阶系统单位阶跃响应
输入：
r (t ) 1(t )
1 R( s ) s
输出：
1 1 C ( s ) ( s ) R( s ) Ts 1 s
c(t ) 1 - e
-
t T
15
单位阶跃响应曲线
初始斜率： dh(t ) |t 0 1 dt T
16
性能指标
1. 平稳性： 非周期、无振荡， ＝0 2. 快速性ts：
2.欠阻尼(0 < < 1) 二阶系统的单位阶跃响应
2 n C ( s) 2 2 R(s) s 2n s n
s1,2 -n jn 1 - 2
- jd
n为根的实部的模值；
d n 1 - 2 为阻尼振荡角频率
38
二阶欠阻尼系统的输出
0
0 1 s
t
5
②单位斜坡函数 其数学表达式为： t f ( t ) t . 1( t ) 0 其拉氏变换为：

0
f(t) t 0 t <0
F ( s ) t e - st dt L [ f ( t )]
1 2 s
0
t
6
③单位脉冲函数
其数学表达式为： 0 t0 f (t ) d (t ) t 0
2 n
25
二阶系统的特征方程为
解方程求得特征根： s1,2 -n n 2 - 1
s 2n s 0
2 2 n
s1,s2完全取决于 ，n两个参数。
当输入为阶跃信号时，则微分方程解的形式为：
c(t ) A0 Ae A2e 1
s1t
s2t
式中 A0 , A , A2为由r(t)和初始条件确定的待定的 1 系数。
即在外作用加于系统之前，被控量及其各阶导数相 对于平衡工作点的增量为零，系统处于相对平衡状 态。即
c( t ) 0，(t ) 0， c ...
4

2. 典型外作用
①单位阶跃函数1(t) f(t)
其数学表达式为： 1 t 0 f ( t ) 1( t ) t <0 0 其拉氏变换为： F ( s ) 1 e - st dt L [ f ( t )]

1.
2.
3.
一阶系统如图所示， 试求： 当KH＝0.1时，求系 统单位阶跃响应的调 节时间ts，放大倍数 K，稳态误差ess； 如果要求ts＝0.1秒， 试问系统的反馈系数 KH应调整为何值？ 讨论KH的大小对系 统性能的影响及KH 与ess的关系。
R(s ) B (s )
E (s ) 100 100 s s
t 3T时，c(t ) 0.95 [对应5%误差带 ]
t 4T时，c(t ) 0.98 [对应2%误差带 ]
3.准确性 ess：
ess 1 - c() 0
17
结论：
T值的大小反映系统的惯性。T越 小，惯性越小，响应速度越快。 反之，则响应速度慢。
18
举例说明（一阶系统）
0
f(t)
ω 2 ω2 s
8
三、阶跃响应的性能指标
h(t )
h( t p ) h( ) ∞
误差带
t 0
tr t p
ts
9
1、峰值时间tp：指h(t)曲线中超过其稳态值 而达到第一个峰值所需的时间。 2、上升时间tr：指h(t)曲线从终值的10%上升 到终值的90%所需时间。对于有振荡的系统， 则为从0第一次上升到终值所用的时间。 3、超调量％：指h(t)中对稳态值的最大超 出量与稳态值之比。 4、调节时间ts：指响应曲线中，h(t)进入稳 态值附近5%h()或2%h()误差带，而 不再超出的最小时间。 5、稳态误差ess：指响应的稳态值与期望值之 差。
32
二阶系统单位阶跃响应
1.过阻尼( 1)二阶系统的单位阶跃响应
1 1 1 C ( s) (s - s1 )(s - s2 ) s (T1s 1)(T2 s 1) s
2 n
s1 -n n 2 - 1 -1/ T1
s2 -n - n 2 - 1 -1/ T2
r (t )
r (t )
ess T
c (t )
t
21
二、二阶系统的数学模型及单位阶跃响应

定义： 由二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。
22
二阶系统数学模型
二阶系统的微分方程一般式为：
d c(t ) dc(t ) 2 2 2n n c(t ) n r (t ) dt 2 dt
其拉氏变换为：
L[ f ( t )] F ( s ) 1

定义：
-
d
( t ) dt 1
图中1代表了脉冲强度。单位脉冲作用在现实中是 不存在的，它是某些物理现象经数学抽象化的结 果。
7
④正弦函数
其数学表达式为： sin ωt t0 f (t ) t<0 0 其拉氏变换为： F ( s ) sin ω t e - st dt L[ f ( t )]
26
①特征根分析— 0 < < 1 （欠阻尼）
s1, 2 -n jn 1 -

2
此时s1,s2为一对共轭复 根，且位于复平面的左 半部。
27
②特征根分析— 1（临界阻尼）
s1,2 -n n 2 - 1 -n

此时s1,s2为 一对相等的 负实根。
KH H
C (s )
2. 单位脉冲响应:
1 1 C (s) R( s) 1 Ts 1 Ts
c (t )
1 g (t ) c(t ) e T
1 T
t T
单位脉冲响应曲线 也是一条指数曲线， 在 t=0 时幅值为 1/T；

c(t )
1 -t / T e T
0
T
2T
3T

30
⑤ 特征根分析— -1 < < 0 （负阻尼）
s1,2 -n jn 1 - 2

此时s1,s2为 一对实部为 正的共轭复 根，位于复 平面的右半 部。
31
⑥ 特征根分析— < -1 （负阻尼）
s1,2 -n n 2 - 1

此时s1,s2为 两个正实根， 且位于复平 面的正实轴 上。
第3章
主要内容:
时域分析法
时域性能指标
一、二阶系统分析与计算
系统稳定性分析
稳态误差分析计算
1
3-1 系统时间响应的性能指标
控制系统的数学模型是分析、研究和设 计控制系统的基础，经典控制论中三种分 析（时域，根轨迹，频域）、研究和设计 控制系统的方法，都是建立在这个基础上 的。
2
一、时域分析法的特点
一、一阶系统的数学模型及单位阶跃响应
定义：
由一阶微分方程描述的系统称为一阶 系统。
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一阶系统数学模型
微分方程：
dc(t ) T c( t ) r ( t ) dt
动态结构图： R(s )
1 Ts C( s )
传递函数： C ( s )
1 R( s ) Ts 1
14
2
(n 0)
-阻尼比
n - 无阻尼振荡频率
23
二阶系统的反馈结构图
R(s )
nn2 2 s( s 2nn)) s( s 2
C (s )
24
二阶系统的传递函数
开环传递函数：
G( s)
闭环传递函数：

s( s 2n )
2 n
C ( s) 2 2 R(s) s 2n s n
它根据系统微分方程，通过拉氏变换，直接求 出系统的时间响应。依据响应的表达式及时间响应 曲线来分析系统控制性能，并找出系统结构、参数 与这些性能之间的关系。 这是一种直接方法，而且比较准确，可以提供 系统时间响应的全部信息。
3
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二、典型初始状态，典型外作用
1. 典型初始状态
通常规定控制系统的初始状态为零状态。
阻尼比和超调量的关系曲线如下图所示
43
d n 1 -

2
在 一定的情况下， n 越大，振荡频率 d 也越高，响应平稳性也越差。
结论：对于二阶欠阻尼系统而言， 大，
n小，系统响应的平稳性好。
44
稳态精度
h(t ) 1 -
1 1-
2
e
-nt
sin(d t arccos )
4T
t
20
3. 单位速度响应
R( s ) 1 s2
1 1 1 T T C ( s) 2 2- 1 Ts s s s s 1/ T -t / T
c (t )
c(t ) t - T - Te

响应曲线由两部分组成： 稳态分量为（t-T），它 也是单位斜坡函数，但 有时间T的延迟，即稳态 误差。瞬态分量为Te-t/T, 以1/T的系数衰减到零。 T越小，稳态误差也越小。
平稳性（％）
暂态分量的振幅为：A
e -nt 1- 2
振荡角频率为： d n 1 - 2
结论： 越大，ω d越小，幅值也越小，响应的振荡 倾向越弱，超调越小，平稳性越好。反之， 越小， 42 ω d 越大，振荡越严重，平稳性越差。
当 ＝0时，为零阻尼响应，具有频率为 n 的 不衰减（等幅）振荡。
取C(s)拉氏反变换得：
1 h(t ) 1 e T2 / T1 - 1
1 - t T1
1 e T1 / T2 - 1
-
1 t T2
, (t 0) (3 -1 - 4)
33
过阻尼系统分析


衰减项的幂指数的绝对值一个大，一个小。绝 对值大的离虚轴远，衰减速度快，绝对值小的 离虚轴近，衰减速度慢； 衰减项前的系数一个大，一个小； 二阶过阻尼系统的动态响应呈非周期性，没有 振荡和超调，但又不同于一阶系统； 离虚轴近的极点所决定的分量对响应产生的影 响大，离虚轴远的极点所决定的分量对响应产 生的影响小，有时甚至可以忽略不计。
s1=s2=-n
28
③特征根分析— 1 （过阻尼）
s1,2 -n n 2 - 1
此时s1,s2
为两个负 实根，且 位于复平 面的负实 轴上。
29
④ 特征根分析— 0 （零阻尼）
s1,2 -n n 2 - 1 jn
此时s1,s2为 一对纯虚根， 位于虚轴上。 S1,2= jn
(sin d t )]
1 1-
2
பைடு நூலகம்
e-nt sin(d t arccos )
39
二阶欠阻尼系统输出分析

二阶欠阻尼系统的单位阶跃响应由稳态 分量和暂态分量组成。稳态分量值等于 1，暂态分量为衰减过程，振荡频率为 ωd。
40
下图为二阶系统单位阶跃响应的通用曲线。
41
下面根据上图来分析系统的结构参数 、 n 对阶 跃响应的影响
34
过阻尼系统单位阶跃响应
c(t)
0
t
35
与一阶系统阶跃响应的比较
c(t)
1
一阶系统响应
二阶过阻尼系统
0
t
36
二阶过阻尼系统阶跃响应指标分析
1.误差ess lim[r ( t ) - c( t )] 0
t
2.响应没有振荡 ％ 0
对于过阻尼二阶系统的响应指标，不着重讨论!
37