函数的极值与函数图像.

2 3
x f ( x)
(–∞, –3)
–3
(–3, 3) – 单调递减
3 0
( 3 , + ∞)
+
0
+
单调递增
f (x) 单调递增
54
54
所以, 当 x = –3 时, f (x)有极大值 54 ; 当 x = 3 时, f (x)有极小值 – 54 .
求下列函数的极值:
(1) f ( x) 6 x x 2; (2) f ( x) x 27 x; 3 3 (3) f ( x) 6 12 x x ; (4) f ( x) 3x x . 解: 2 (3) 令f ( x) 12 3x 0, 解得 x1 2, x2 2.
2 3
所以, 当 x = –2 时, f (x)有极小值 – 10 ; 当 x = 2 时, f (x)有极大值 22 .
(4) 令f ( x) 3 3x 2 0, 解得 x1 1, x2 1.
所以, 当 x = –1 时, f (x)有极小值 – 2 ; 当 x = 1 时, f (x)有极大值 2 .
2 3
x
f ( x)
1 (, ) 12
–
1 12 0
1 ( ,) 12 +
f (x)
单调递减
49 24
单调递增
1 49 1 所以, 当 x 时, f (x)有极小值 f ( ) . 12 24 12
求下列函数的极值:
(1) f ( x) 6 x x 2; (2) f ( x) x 27 x; 3 3 (3) f ( x) 6 12 x x ; (4) f ( x) 3x x . 解: 2 (2) 令f ( x) 3x 27 0, 解得 x1 3, x2 3.列表:
3.3.2函数的极值与导数
复习:函数单调性与导数关系 设函数y=f(x) 在 某个区间 内可导，
f(x)增函数 f(x)减函数 y
y=f(x) f '(x)>0
y
y=f(x)
f '(x)<0
o a o a b x b x 如果在某个区间内恒有 f ( x) 0 ,则 f ( x)为常数.
巩固：
（3）用方程f’(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成 若干个开区间，并列成表格 （4）由f’(x)在方程f’(x)=0的根左右的符号，来判断 f(x)在这个根处取极值的情况
1 3 例1 求函数 f ( x) x 4 x 4 的极值. 3 解: 1 3 2 因为 f ( x) x 4 x 4, 所以 f ( x) x 4. 3 令 f ( x) 0, 解得 x 2, 或 x 2. 当 f ( x) 0 , 即 x 2 , 或 x 2 ; 当 f ( x) 0 , 即 2 x 2 .
变式
求下列函数的极值:
(1) f ( x) 6 x x 2; (2) f ( x) x 27 x; 3 3 (3) f ( x) 6 12 x x ; (4) f ( x) 3x x . 解: 1 (1) f ( x) 12 x 1, 令 f ( x) 0, 解得 x . 列表: 12
1 3 ∴a＝2，b＝0，c＝－2.
1 3 3 (2)f(x)＝ x － x， 2 2 3 2 3 3 ∴f′(x)＝ x － ＝ (x－1)(x＋1)． 2 2 2 当 x<－1 或 x>1 时，f′(x)>0；当－1<x<1 时，f′(x)<0， ∴函数 f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，在(－ 1,1)上为减函数． ∴当 x＝－1 时， 函数取得极大值 f(－1)＝1； 当 x＝1 时， 函数取得极小值 f(1)＝－1.
x
结论：极值点处，f(x) =0 注意:(1) f(x0) =0， x0不一定是极值点
(2)只有f(x0) =0且x0两侧单调性不同 ， x0才是极值点. (3)求极值点，可以先求f(x0) =0的点，再列表判断单调 性
小结
求解函数极值的一般步骤： （1）确定函数的定义域
（2）求方程f’(x)=0的根
当 x 变化时, f (x) 的变化情况如下表:
x
(–∞, –2)
–2
(–2, 2)
–
2 0
( 2, +∞)
f ( x)
+
0
+
f (x) 单调递增
28 / 3 单调递减
4 / 3 单调递增
所以, 当 x = –2 时, f (x)有极大值 28 / 3 ; 当 x = 2 时, f (x)有极小值 – 4 / 3 .
极值
y yf(x) f (x)<0 极大值点两侧 f (x)>0 f (x)<0
x
f(x) f(x)
X<x2
增
x2
极大值
X>x2
减
f(x) >0 f(x) =0 f(x) <0
f (x)>0
x2 b x
O a x1 极小值点两侧
x1 X<x1 X>x1 f(x) f(x) <0 f(x) =0 f(x) >0 减 极小值 增 f(x)
• 例3
• • • •
已知 f(x) ＝ ax3 ＋ bx2 ＋ cx(a≠0) 在 x ＝ ±1时取得极值，且f(1)＝－1， (1)试求常数a、b、c的值； (2)试判断x＝±1时函数取得极小值还是极 大值，并说明理由． [ 解析 ] (1) 由 f′( － 1) ＝ f′(1) ＝ 0 ，得 3a ＋ 2b ＋c＝0,3a－2b＋c＝0. 又f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1.
解：
1 3 1 2 7 f(x) x - x 单调区间 3 2 2
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（第一步） 定义域R,f′(x)=x2-x=x(x-1) （第二步） 令x(x-1)>0, 得x<0或x>1， 则f(x)单增区间（－∞，0）,（1，+∞） （第三步）令x(x-1)<0,得0<x<1, f(x)单减区(0,1). 注意: 求单调区间: 1:首先注意 定义域, 2:其次区间不能用 ( U) 连接
• [点评] 若函数f(x)在x0处取得极值，则一 定有f′(x0)＝0，因此我们可根据极值得到 一个方程，来解决参数．