化工应用数学-常微分方程数值解-一阶联立方程组与高阶方程

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取h 0.5，解1步。
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dC3 dt
k3C22
初值条件：C1(0) C0 , C2 (0) C3 (0) 0
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一阶常微分方程组的初值问题可描述为：
y1' f1( x, y1, y2 , , yn ) y2' f2 ( x, y1, y2 , , yn )
yn' fn ( x, y1, y2 , , yn )
显式欧拉方程
y1(0) 1 y2 (0) 1
uui01yu0 i
hf (xi , ui ) i 0,1,2,
, n 1
y1(1) y1(0) 1 y1' (0)
11
(2x2
y1
y23
)
x0
10 1
y2 (1) y2 (0) 1 y2' (0)
11
(x
y1
-
y2
)
x0
10 1
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y j ( x0 )
y
0 j
j 1,2, , n
一阶：微分方程组的最高阶数为1阶；
常微分：代表只有一个未知数。
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假设有如下一阶常微分方程组，求 y1(1)、y2 (1)、y1(2)、y2 (2)，h 1
y1' 2x2 y1 y23
y2' x y1 y2
令 : y y1; y' y2 则: y1' y2 y2' x y1 y2
那么二阶常微分方程初值 问题转化为一阶常微分方 程组初值问题：
y1' y2'
y2 x
y1
y2
y1
(0)
1；y2
(0)
1
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用改造的欧拉公式解
y'' xy
y(0)
0
y
'
(0)
---
---
Y ( y1, y2 , , yn )T ;Y (x0 ) ( y1(x0 ), y2 (x0 ), , yn (x0 ))T
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从理论上讲，高阶微分方程均可化为一阶常微分方
程组来求解。
y'' x y y'
x
0时，y
1;
y'
1
即y0 1; y0' 1
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假设有如下一阶常微分方程组，求 y1(1)、y2 (1)、y1(2)、y2 (2)，h 1
y1' 2x2 y1 y23
y2' x y1 y2
显式欧拉方程
y1(0) 1 y2 (0) 1
uui01yu0 i
hf (xi , ui ) i 0,1,2,
, n 1
y1(1) 1 y2 (1) 1
为方便起见可将其写为
向量形式：
yn' fn ( x, y1, y2 , , yn )
y j ( x0 )
y
0 j
j 1,2, , n
Y---'
---
---
f (X ,Y)
Y---(x0 ) Y0
---
---
Y ' ( y1' , y2' , , yn' )T ; f ( f1, f2 , , fn )T
y1(2) y1(1) 1 y1' (1)
y2 (2) y2 (1) 1 y2' (1)
11 (2x2
y1
y23
)
x 1
11 (x
y1
-
y2
)
x 1
1 2 3
11 2
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一阶常微分方程组的初值问题可描述为：
y1' f1( x, y1, y2 , , yn )
y2' f2 ( x, y1, y2 , , yn )
常微分方程数值解
例1：在一个与外界没有质量交换的封闭系统中，三
个组分浓度分别为C1、C2和C3。当系统在特定频率
光照下发生反应，求每种物质浓度随时间变化规律。
k1C1
k3C22
C1 C2 C3
k2题：
dC1 dt
k1C1 k2C2C3
dC2 dt
k1C1 k2C2C3 k3C22