对偶理论

第二篇 对偶规划

§2.1 问题的提出：

1. 在单纯形法实施中，我们是针对最大化目标来进行的，那末目标是最小化时则如何求？ 方法有二：

（1）在单纯形法中最优性原则下，调入变量是f 方程中具有最大正系数的一个，可行性原则不变。

（2）把最大化线性规划目标化成最小化线性规划目标来求，则可用通常的单纯形法，问题是如何“化”。

这个问题就是这一篇中要讲的对偶问题。

2. 在有限的材料中加工若干个产品，如何安排生产产品数，使获取利润（或产值）最大—这是线性规划原始问题之一，反过来要问，在产值（利润）固定情形之下，使单位材料的产值最大，即资源单位价格—影子价格最大，这是本篇研究的第二个问题。

3. 3.1 上面所讨论的线性规划问题中，假定各参数j i ij c b a ,,都是已知的常数。但是 （1）这些参数往往是一些估计和预测的数字 （2）市场条件一变，j c 值就会变化 （3）工艺条件一变，ij a 也会变化

（4）资源可供使用量变化，也会引起i b 的变化 自然而然有下述问题：

3.2 Problem one ：当系数中一个或多个变化时，最优解如何变？ Problem two ：系数在何范围内变化，最优基仍然不变？

Problem three ：若最优解已经变化，如何用最简便的方法找到现行的规划问题的最优解呢？

3.2 这些都是决策者所关心的。为了建立一个总的策略方法，以应付各种偶然发生情况，必经研究和分析，由于系数改变而导致最优解的变化，这样分析，称为灵敏度分析。 §2.2 线性规划的对偶问题：

一、原始问题是规范形式时的对偶问题： 1.定义：设⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=mn m n

a

a a a A

1

111 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n x x X 1 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=m b b b 1 ⎪

⎪⎪

⎭⎫ ⎝⎛=n c c c 1

则称 f max x c T

= f m i n x c T

= s.t. AX ≤b 和 s.t. AX ≥b

x ≥0 x ≥0

为规范线性问题。

2.例1 f max =2132x x + 例2 f min =2122x x +

s.t. 212x x +≤12 s.t. 2142x x +≥1 212x x +≤8 212x x +≥1 1x ≤8 21x x +≥1

2x ≤3 21,x x ≥0 21,x x ≥0

也均是规范线性问题。 3. 规范线性问题的特点： （1）所有决策变量都是非负的。

（2）所有约束条件是⎩⎨

⎧≥≤。

当目标函数最小化类型

型当目标函数最大化类型

型,, 4. 规范线性问题的对偶问题：

（1）f max x c T = 互为对偶 g m i n y b T =

s.t. AX ≤b ⇔ s.t. YA ≥c (Y A '⇔≥c ) x ≥0 Y ≥0

其中（Ⅰ）一个问题求最大化而另一问题求最小化

（Ⅱ）一个问题的一个约束条件对应另一个问题的一个变量

（Ⅲ）一个问题中约束条件的右边系数=另一个问题中目标函数的相应系数 （Ⅳ）最大化问题有“≤”约束条件而最小化问题有“≥”约束条件

（Ⅴ）两个问题的变量均非负

(Ⅵ) 把原问题的系数矩阵转置为对偶问题的系数矩阵

5. 例1的对偶问题为 例2的对偶问题为 432138812min y y y y g +++= 321m a x y y y g ++= s.t. 3212y y y ++≥2 s.t. 3212y y y ++≤2 4212y y y ++≥3 32124y y y ++≤2 21,y y ≥0 321,,y y y ≥0 二、原始问题是一般形式时的对偶问题

1. 在标准形式中，所有约束条件都是等式（=）。而在一般形式中，约束条件有不等式（≥，≤）和等式构成。

例3 3212min x x x f -+=

s.t. 1321=++x x x (Ⅰ) 321x x x +-≥2 (Ⅱ)

32132x x x +-≤3 (Ⅲ)

321,,x x x ≥0

(1) 例3不是规范性线性问题

(2) 由于目标函数是最小化，故(Ⅱ)式不动，(Ⅲ)式两边乘（-1），(Ⅰ)式 化为

⎩

⎨

⎧-≥---≥++11

321321x x x x x x (3) 3212min x x x f -+= 432132m a x y y y y g -+-= s.t. 321x x x ++≥1 s.t. 43212y y y y -+-≤2 321x x x ---≥-1 ⇒ 43213y y y y +--≤1 321x x x +-≥2 4321y y y y -+-≤-1 32132x x x -+-≥-3 4321,,,y y y y ≥0

321,,x x x ≥0

2. [注] 上式过程归纳为8个字“乘负变向，等式拆两”。

三、对偶定理

1. 原始问题 对偶问题

f max x c T

= g m i n y b T

=

s.t. AX ≤b Y A '≥c x ≥0 Y ≥0 A 为约束矩阵 A '为A 转置 b 为右端常数 b 为成本向量 c 为价格向量 c 为右端常数向量 2. 对偶定理

如果原问题与对偶问题中任何一个问题有最优解，则另一个问题也一定有最优解，并且两个目标函数的最优值相等。 §2.3 影子价格 一、问题的提出

1. 例4 某一家工厂生产甲、乙两种产品，每件产品所耗费的材料，产值，以及该厂的所储