极坐标系ppt(优秀)
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人教版高中数学选修4-4 第一讲 坐标系 二 极坐标系 (共34张PPT)教育课件
A. y 1
sin t
1
x t2
C.
1
yt 2
x cos t
B. y 1
cos t
x tan t
D. y 1
tan t
7.极坐标方程
2
arcsin化(为 直0)角坐标方程的形
式是 （ ）
A. x2 y2 x 0
B．y x(1 x)
C. 2x 1 4y2 1 D.．y (x 1)
2.极坐标（,）与(ρ，2kπ+θ)( k )表z 示 同一个点.即一点的极坐标的统一的表达式 为(ρ，2kπ+θ)
3.如果规定ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除 极 点外,平面内的点和极坐标就可以一一对 应了。
我们学了直角坐标,也学了极坐 标，那么这两种坐标有什么关系呢? 已知点的直角坐标为,如何用极坐标 表示这个点呢?
M (, )
0
x
2
4
5
6
C
1.如图，在极坐标系中，写出点 AF(,6B, ,4C3 ,)D的, G极(坐5, 标53，所) 并在标的出位E置( 72 , ) ,
E D BA
O
X
4 F
3
G 5
3
解：如图可得A,B,C,D的坐标分别为
(4,0)
(2, )
(3, )
(1, 5 )
4
2
6
点E,F,G的位置如图所示
1
4.极坐标方程ρ=cosθ与ρcosθ= 的2 图形是（ ） B
A
B
C
D
解x=：12把，ρc故os排θ=除A，、12 化D；为又直圆角ρ坐=c程os，θ显得然: 过点 (0,1)，又排除C，故选B。
5、若A、B的两点极坐标为A(4,
极坐标系公开课精品PPT课件
（2）当M在极点时，它的极坐标为（0，θ）， 可取任意值。
题组一. 如图，写出各点的极坐标：
2
5
4
6
D• Q E•
•C
。 O
•P
B
A
•
7 x
A(4,0)
B(3, )
4
C(2,
2
)
D(5,
5 6
)
E(4.5, )
F
•R
4
G
• 5
F(6, 4) 3
G(7, 5) 3
3 在图中描出点P(3,
9
),
3 Q(5,-
办公
（1）他向东偏北60 °方向 楼E
走120m后到达什么位置？ 120m
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
45°
（2）如果有人打听体育馆
和办公楼的位置，他应
50m
60°
如何描述？
A教 60m 学楼
B体 育馆
从这向北 走2000米.
请问：去屠宰场怎么走？
思考:“从这向南走2000米”这句话包含哪些要素? 它为何能使问路人明确屠宰场的位置?
7
),
R(6, 10
)
4
6
3
想一想？
①平面上一点的极坐标是否唯一？ ②若不唯一，那有多少种表示方法？ ③坐标不唯一是由谁引起的？ ④不同的极坐标是否可以写出统一表达式？
一般地，极坐标 (, ) 与
(, 2k )( k Z ) 表示同一个点。
三、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况
P
[1]给定（,）,就可以在极坐标 M
More You Know, The More Powerful You Will Be
极坐标系 课件
3.极坐标与直角坐标的互化 任意角的三角函数的定义及其基本关系式是联系点的极坐
标与直角坐标的互化公式的纽带.事实上，若 ρ>0，sin θ＝ ρy ，cos θ＝ρx ，所以 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，ρ2＝x2＋
y2，tan θ＝yx(x≠0).
1.极坐标系的概念 极坐标系就是用长度和角度来确定平面内点的位置.极坐标 系的建立有四个要素：①极点；②极轴；③长度单位； ④角度单位和它的正方向.四者缺一不可.
2.点的极坐标 每一个有序实数对(ρ，θ)确定一个点的位置.其中，ρ是点M的 极径，θ是点M的极角.平面上给定一点，可以写出这个点的 无数多个极坐标.如果限定ρ>0，0≤θ<2π，则除极点外，平面 上的点就与它的极坐标构成一一对应的关系.
2.点与极坐标的关系 一般地，极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)表 示 同 一 个 点 ， 特别地，极点O的坐标为(0，θ)(θ∈R). 如果规定ρ>0, 0≤θ<2π ，那么除 极点 外 ， 平 面 内 的 点 可用 唯一的极坐标(ρ，θ)表示；同时，极坐标(ρ，θ)表示的 点也是 唯一 确定的.
∴点的直角坐标(－2，2 3)化为极坐标为4，23π.
(2)∵ρ＝ x2＋y2＝ （ 6）2＋（－ 2）2＝2 2，tan θ＝yx＝
－ 33，θ∈[0，2π)，由于点( 6，－ 2)在第四象限， ∴θ＝116π.∴点的直角坐标( 6，－ 2)化为极坐标为
2 2，116π
(3)∵ρ＝ x2＋y2＝ 3π 2 2＋3π 2 2＝3 22π，tan θ＝yx＝1，θ ∈[0，2π).由于点3π 2 ，3π 2 在第一象限，∴θ＝π4 .∴点的直角
θ＝54π，∴x＝2cos54π＝－ 2，y＝2sin54π＝－ 2.
选修4-4极坐标市公开课一等奖省赛课微课金奖PPT课件
9/18
（一）直线极坐标方程
1、求过极点，倾角为5 射线极坐标
方程。
4
易得 5 ( 0)
4
2、求过极点，倾角为 方程。
4
直线极坐标
或 5
4
4
10/18
结论：直线极坐标方程
( 0)表示极角为的一条射线。 ＝ ( R)表示极角为的一条直线。
11/18
（一）直线坐标方程
O
X
叫做点M极角,
有序数对（,）就叫做M极 坐标。
3/18
二.极坐标系下点与极坐标对应情况
1.给定(,),就能够在极坐标 平面内确定唯一一点M。
P
M (ρ,θ)…
2.给定平面上一点M,但却有 O
X
没有数个极坐标与之对应。
原因在于：极角有没有数个。
4/18
假如限定ρ＞0,0≤θ＜2π 那么除极点外,平面内点和极坐标 就能够一一对应了.
18/18
42
求点A(2, 7 )到这条直线的距离。
4
解：将直线
sin(
)
2 化为直角坐标方
42
程为x y 1 0,点A(2, 7 )化为直角坐标为
4
（ 2，－ 2）
点到直线的距离为
2－ 2－1 ＝
2
2
2
16/18
练习：4 6、确定极坐标方程 4 sin( )与
3
3 cos sin 8 0所表示的曲线
及位置关系。
17/18
高考
1.在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建 立极坐标系.曲线 C 的极坐标方程为 ρcosθ－π3＝1,M，N 分别为 C 与 x 轴，y 轴的交点． (1)写出 C 的直角坐标方程,并求 M，N 的极坐标； (2)设 MN 的中点为 P,求直线 OP 的极坐标方程．
（一）直线极坐标方程
1、求过极点，倾角为5 射线极坐标
方程。
4
易得 5 ( 0)
4
2、求过极点，倾角为 方程。
4
直线极坐标
或 5
4
4
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结论：直线极坐标方程
( 0)表示极角为的一条射线。 ＝ ( R)表示极角为的一条直线。
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（一）直线坐标方程
O
X
叫做点M极角,
有序数对（,）就叫做M极 坐标。
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二.极坐标系下点与极坐标对应情况
1.给定(,),就能够在极坐标 平面内确定唯一一点M。
P
M (ρ,θ)…
2.给定平面上一点M,但却有 O
X
没有数个极坐标与之对应。
原因在于：极角有没有数个。
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假如限定ρ＞0,0≤θ＜2π 那么除极点外,平面内点和极坐标 就能够一一对应了.
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求点A(2, 7 )到这条直线的距离。
4
解：将直线
sin(
)
2 化为直角坐标方
42
程为x y 1 0,点A(2, 7 )化为直角坐标为
4
（ 2，－ 2）
点到直线的距离为
2－ 2－1 ＝
2
2
2
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练习：4 6、确定极坐标方程 4 sin( )与
3
3 cos sin 8 0所表示的曲线
及位置关系。
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高考
1.在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建 立极坐标系.曲线 C 的极坐标方程为 ρcosθ－π3＝1,M，N 分别为 C 与 x 轴，y 轴的交点． (1)写出 C 的直角坐标方程,并求 M，N 的极坐标； (2)设 MN 的中点为 P,求直线 OP 的极坐标方程．
《极坐标系的概念》课件PPT
四、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况 P
M
(ρ,θ)
一 给定 就可以在极坐标平
面内确定唯一的一点M
O
X
二 给定平面上一点M 但却有无数个极坐标与之对 应原因在于：极角有无数个
如果限定ρ＞0 0≤θ＜二π
那么除极点外 平面内的点和极坐标就可以一一对应了.
数学运用
例2、在极坐标系中，
（1）已知两点P（5、），Q（1，），求线段PQ的长度。
ra(1sin)
事实上 笛卡尔和克里斯蒂娜的确有过交情 不过 笛 卡尔是 一六四九 年 一0 月 四 日应克里斯蒂娜邀请 才来到的瑞典 并且当时克里斯蒂娜已经成为了瑞典 女王 并且 笛卡尔与克里斯蒂娜谈论的主要是哲学 问题 有资料记载 由于克里斯蒂娜女王时间安排很 紧 笛卡尔只能在早晨五点与他探讨哲学 天气寒冷 加上过度操劳让笛卡尔不幸患上肺炎 这才是笛卡尔 真正的死因 心形线的故事究竟几分是真几分是假 还是留给大家 自己判断吧
在生命进入倒计时的那段日子 它日夜思念的还 是街头偶遇的那张温暖的笑脸 它每天坚持给他写信 盼望着他的回音 然而 这些信都被国王拦截下来 公 主一直没有收到它的任何消息 在笛卡尔给克里斯汀 寄出第十三封信后 它永远地离开了这个世界 此时 被软禁在宫中的小公主依然徘徊在皇宫的走廊里 思 念着远方的情人 这最后一封信上没有写一句话 只 有一个方程：r=a 一-sinθ 国王看不懂 以为这个方 程里隐藏着两个人不可告人的秘密 便把全城的数学 家召集到皇宫 但是没有人能解开这个函数式 它不 忍看着心爱的女儿每天闷闷不乐 便把这封信给了他
小结
•
C
3 2
-
•
E
5 3
+
E(3,- )
极坐标系 课件
自我 校对
1.极点 极轴 2.极径 极角 3.ρsinθ x2＋y2
思考探究 1 极坐标系与平面直角坐标系有什么区别和联系？ 提示 平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景，而 极坐标系以角这一平面图形为几何背景；极坐标系和平面直角坐标 系都由两个量构成，都是平面坐标系．
思考探究 2 把直角坐标化为极坐标时，如何确定极角 θ？ 提示 先由 tanθ＝xy(x≠0)，求出 tanθ 的值，再根据点(x，y)所 在的象限取最小正角 θ.
典例剖析
【例 1】 在极坐标系中作出下列各点，并说明每组中各点间 的位置关系．
(1)A(2,0)，B(2，π6)，C(2，4π)，D(2，π2)，E(2，32π)，F(2，54π)， G(2，161π)．
(2)A(0，π4)，B(1，4π)，C(2，54π)，D(3，54π)，E(3，94π)．
【解】 (1)如下图所示，这些点都在以极点为圆心，半径为 2 的圆上．
பைடு நூலகம்
【解】 如下图所示 关于极轴的对称点为 B(2，－3π)．
关于直线 l 的对称点为 C(2，23π)． 关于极点 O 的对称点为 D(2，－23π)．
规律技巧 点(ρ，θ)关于极轴的对称点是(ρ，－θ)，关于直线 l 的对称点是(ρ，π－θ)，关于极点 O 的对称点是(ρ，π＋θ)．
【例 3】 (1)把点 M 的极坐标(2，23π)化为直角坐标形式； (2)把点 M 的直角坐标(－ 3，－1)化成极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)．
3．极坐标与直角坐标的互化 我们把极轴与平面直角坐标系 xOy 的 x 轴的正半轴重合，且两 种坐标系取相同的长度单位，设 P(x，y)是平面上的任意一点，如 下图：
则有换算公式：
自控理论4-2极坐标图市公开课一等奖省赛课微课金奖PPT课件
17) )
令 Im[G( jw )] 0 得 w1 0, w2 17 与实轴交点：Re[G( jw1 )] 100, Re[G( jw2 )] 8
令 Re[G( jw )] 0 得 w 1.2
与虚轴交点：
Im[G( jw )] w1.2 56.8
w 17 -8
Im
w=∞ w1.2 -j56.8
令 Re G(jw )H (jw ) 0 求得w代入Im G(jw )H (jw )中，即得与虚轴的交点
再取几个w点计算A(w )和j (w )，即可得
Nyquist图的大致形状。
第15页
例 绘制开环系统极坐标图。
G(s)
1000
(s 1)(s 2)(s 5)
解 此系统 ν= 0，n - m = 3, G(j 0)=100∠0 0 ； G(j∞)=0∠(n-m)(-900)= 0∠-270 0
wn
wr
第5页
Im
振荡步骤 G( jw )
G(s)
w
2 n
s2
2wn s
w
2 n
A: w r w n
1 2 2
1
B:
A(w n )
1
2
M r 2 1 2
j (w n ) 90o
0
1
Re
A
B
第6页
7. 二阶微分步骤
G( jw )
(1
w
2T
2
)2
(2wT
)2
tg
1
1
2wT w 2T
第18页
G( jw )H ( jw )
10
jw(1 j0.2w )(1 j0.05w )
中频段:
高中数学极坐标 ppt课件
角，有序数对（，）就
叫做M的极坐标。
O
X
特别强调：表示线段OM的长度，即点M到
极点O的距离；表示从OX到OM的角度，即
以OX（极轴）为始边，OM 为终边的角。
ppt课件
5
题组一：说出下图中各点的极坐标
2
4
5
6
C
E
D
B
A
O
X
4 F
G 5
3
ppt课件
3
6
特别规定： 当M在极点时，它的 极坐标=0，可以取任意值。
O
x
M ( 2, ∏ / 3)
12 （ 3）2 2 tan 3 3
ppt课件
1
13
极坐标与直角坐标的互化关系式: 设点M的直角坐标是 (x, y)
极坐标是 (ρ,θ)
2 x2 y2 , tan y ( x 0)
x
x=ρcosθ, y=ρsinθ
ppt课件
14
互化公式的三个前提条件： 1. 极点与直角坐标系的原点重合; 2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半
对应了.
ppt课件
11
极坐标和直角坐标的互化
平面内的一个点的直角坐标是(1, 3 ) 这个点如何用极坐标表示?
ppt课件
12
在直角坐标系中, 以原点作为极点, x轴的正半轴作为极轴, 并且两种坐标系中取相 同的长度单位
点M的直角坐标为 (1, 3) 设点M的极坐标为(ρ,θ)
y
M (1, 3)
θ
B (2, )
C (1, )
6
2
2
D (3, )
24
E (2, 3 )
4
ppt课件
极坐标系ppt(优秀)
19.4.1 极坐标系
学习要点： 极坐标系是不同于直角坐标系的另一种坐标系，在这两种坐标系中都可以确定点的位置，其各有特点。通常情况下，在运动的过程中，若点作平移变动，则选择直角坐标系；而若点作旋转变动，则采用极坐标系。
复习回顾
x
y
o
y
z
o
x
●
●
●
o
P
P(x,y)
P(x,y,z)
（1）在数轴上，直线上所有点的集合与全体实数的集合建立一一对应；
A
B
C
D
E
F
G
O
X
解析：
新课讲解
四、1、负极径的定义
说明：一般情况下，极径都是正值；在某些必要情况下，极径也可以取负值。
对于点M（，）负极径时的规定：
[1]作射线OP，使XOP=
[2]在OP的反向延长 线上取一点M，使OM= ; 如图示：
O
X
P
M
新课讲解
O
X
P
= /4
M
2、负极径的实例
新课讲解
三、点的极坐标的表达式的研究:
X
O
M
如图：OM的长度为4，
请说出点M的极坐标的其他表达式 .
思考：这些极坐标之间有何异同？
思考：这些极角有何关系？
这些极角的始边相同，终边也相同。也就是说它们是终边相同的角。
本题点M的极坐标统一表达式：
极径相同，不同的是极角。
练一练
题组2：在极坐标系里描出下列各点
（3）建系应使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上。
建立坐标系是为了确定点的位置。由此，在所创建的坐标系中，应满足： 任意一点都存在一个坐标与之对应；反之，依据一个点的坐标就能确定这个点的位置； 而确定点的位置即为求出此点在设定的坐标系中的坐标。
利用极坐标系计算二重积分省公开课一等奖全国示范课微课金奖PPT课件
0
0
极坐标系下区域面积 rdrd . D
第5页
例 1 写出积分 f ( x, y)dxdy的极坐标二次积分形
D
式，其中积分区域
D {( x, y) | 1 x y 1 x2 , 0 x 1}.
解
在极坐标系下
x y
r r
cos sin
x2 y2 1
所以圆方程为 r 1,
第24页
5、将
1
dx
x
(x2
y
2
)
1 2
dy
化为极坐标形式的二次积分为
0
x2
_______________,其值为_______________.
二、计算下列二重积分:
1、 ( x 2 y 2 )d 其中D 是由直线 y x ,
D
y x a, y a, y 3a(a 0)所围成的区域.
0
2
( )
d f (r cos ,r sin )rdr.
0
0
（在积分中注意使用对称性）
第21页
思索题
交换积分次序:
a cos
I
2
d
0
f (r, )dr
2
(a 0).
第22页
思索题解答
D
:
2
2
,
0 r a cos
y
arccos r
a
r a cos
D
o
ax
a
arccos r
D
1
x2 a2
y2 b2
dxdy
D
1 r 2abrdrd 2 ab.
3
第20页
小结
二重积分在极坐标下计算公式
极坐标系ppt(青松教学)
“负”表示“反向 ”。
O
P
X P
X
M
学堂B
21
练答习：：（写－出6，点 （+π6），6
）的负极径的极坐标
或（－6，－ 11 +π）
6
6
负极径小结：极径变为负，极角增加 。
特别强调：一般情况下（若不作特别说明时）， 认为 ≥ 0 。因为负极径只在极少数情况使用。
学堂B
22
五、极坐标系下点的极坐标
26
3.在极坐标系中,与点(－8, 6 )关 于极点对称的点 的一个坐标是
(A)
A.(8, )
6
C. (－8, 5 )
6
B. (8, － 5 )
6
D.(－8, － )
6
学堂B
27
课堂小结
[1]建立一个极坐标系需要哪些要素？ 极点；极轴；长度单位；角度单位和它的正方向。
[2]极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式？ 无数.极径有正有负；极角也有正负且无数个。
对于点M（，）负极径时的规定：
[1]作射线OP，使XOP=
P
[2]在OP的反向延长
线上取一点M，使OM= ;
O
X
如图示：
M
学堂B
16
新课讲解
2、负极径的实例
在极坐标系中画出点:M（－3，/4）的位置
[1]作射线OP，使XOP= /4 [2]在OP的反向延长线上取一
P = /4
点M，使OM= 3;
始边，OM 为终边的角。
学堂B
10
练一练
题组1：说出下图中各点的极坐标
2
4
5
6
C
E
D
BA
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x
新课讲解
二、极坐标系内一点的极坐标的规定: 对于平面上任意一点M，用 表示线段OM的长度，用 表示从Ox到OM 的角度， 叫做点M的极径， 叫做点M 的极角，有序数对（，） 就叫做M的极坐标。
M
O
x
特别强调：表示线段OM的长度，即点M到极点O的 距离；表示从Ox到OM的角度，即以Ox（极轴）为 始边，OM 为终边的角。
C
11 12
6
D A E O B X 23 12
5 4
3 2
新课讲解
3、关于负极径的思考 “负极径”真是“负”的吗？
？？？
根据极径定义，极径是距离，当然是正的。现 在所说的“负极径”中的“负”到底是什么意思？
思考：试把负极径时点的确定过程，与正极径
时点的确定过程相比较，看看有什么相同，有什么 不同？
的对称点的一个坐标为（2
课外作业
课堂小结
1、极坐标 （ρ，2kπ+θ） 和（-ρ，2kπ+θ+π）其中 k Z
表示同一个点（ρ，θ）；
2、点 M（ρ，θ） 关于极点的对称点的一个坐标为（-ρ，θ）
或（ρ，π+θ） ；
3、点 M（ρ，θ） 关于极轴的对称点的一个坐标为（ρ，-θ）
或（-ρ，π-θ） ；
4、点 M（ρ，θ） 关于直线 ρ，-θ） 或（ρ，π-θ） ；
4、正、负极径时，点的确定过程比较
画出点: （3，/4） 和（－3，/4） [1]作射线OP，使XOP= /4 [2]在OP的上取一点M，使OM= 3 [1]作射线OP，使XOP= /4
M
P X P
O
[2]在OP的反向延长线上取一点M，使 OM= 3
M
O
X
给定ρ,θ在极坐标系中描点的方法：先按极角找到极径所在的 射线，后按极径的正负和数值在这条射线或其反向延长线上描 点。
建系时，根据几何特点选择适当的直角坐标系: （1）若图形有对称中心，则可选对称中心为坐标原点； （2）若图形有对称轴，则可选择对称轴为坐标轴； （3）建系应使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上。
巩固练习
选择适当的坐标系，表示边长为1的正六边形的顶点。
y F E
A B
O
D C
x
创设情境
（1）若有一艘军舰巡逻在海面上，发现前方有一群 水雷，如何确定他们的位置以便将它们引爆呢？
5、负极径的实质 从比较来看，负极径比 正极径多了一个操作，将射 线OP“反向延长”。
O 而反向延长也可以看成是旋 转 ，因此，所谓“负极径” 实质是针对方向的。这与数 学中通常的习惯一致，用 “负”表示“反向 ”。 O M
P M X P X
练习：写出点 的负极径的极坐标 （ 6， ） 6 11 答：（－6， +π） 或（－6，－ +π） 6 6
X
（ 3， 2k
4
）
新课讲解
六、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况
[1]给定（,）,就可以在极坐标平面 内确定唯一的一点M。 [2]给定平面上一点M，但却有无数个 极坐标与之对应。
P M O (ρ,θ)… X
原因在于：极角有无数个。
六、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况
一般地,若(ρ,θ)是一点M的极坐标,则(ρ,θ+2kπ)或
(－ρ,θ+(2k + 1)π)都可以作为它的极坐标.
若限定ρ＞0,0≤θ＜2π或－π＜θ≤ π,
则除极点外,平面内的点和极坐标就可一一对应了.
题组4 1. 在极坐标系中，与点(－3, )重合 6 的点是( C) A.(3, 6 ) B. (－3, － 6 )
C. (3, － ) D. (－3, ) 2.在极坐标系中,与(ρ,θ)关于极轴对称 的点是( D ) A.(－ρ,θ) B.(－ρ,－θ) C.(－ρ,θ＋π) D.(－ρ,π－θ)
军 舰
水雷群
创设情境
从这向 北1000米
请问去农行 路怎么走？
情境分析
请分析上面这句话，他告诉了问路人什么？
从 这 向 北 走 1 0 0 0 米 ！
出发点
方向
距离
在生活中人们经常用方向和距离来表示一点 的位置。这种用方向和距离表示平面上一点 的位置的思想，就是极坐标的基本思想。
新课讲解
一、极坐标系的建立： 在平面内取一个定点O，叫做极点。 引一条射线Ox，叫做极轴。 再选定一个长度单位和角度单 位及它的正方向（通常取逆时 针方向）。 这样就建立了一个极坐标系。 O
复习回顾
直角坐标系 数 轴 平面直角 坐标系 空间直角 坐标系
R
（ x , y)
ห้องสมุดไป่ตู้
（ x , y , z)
复习回顾
建立坐标系是为了确定点的位置。由此，在所创建的坐标系 中，应满足： 任意一点都存在一个坐标与之对应；反之，依据一个点的坐 标就能确定这个点的位置； 而确定点的位置即为求出此点在设定的坐标系中的坐标。
练一练
题组1：说出下图中各点的极坐标
2
5 6
C E D O B A X
4
4 3
F
G
5 3
特别规定: 当M在极点时，它的极坐标=0，可以 取任意值。
想一想？
①平面上一点的极坐标是否唯一？ ②若不唯一，那有多少种表示方法？
③坐标不唯一是由谁引起的？
④不同的极坐标是否可以写出统一表达式？
P O X
如图示：
M
新课讲解
2、负极径的实例
在极坐标系中画出点:M（－3，/4）的位置
[1]作射线OP，使XOP= /4 [2]在OP的反向延长线上取一 点M，使OM= 3; 如图示： M（－3，/4）
●
P
= /4
O
X
M
练一练
题组3：说出下图中当极径取负值时各点的极坐标
2
负极径小结：极径变为负，极角增加 。
特别强调：一般情况下（若不作特别说明时）， 认为 ≥ 0 。因为负极径只在极少数情况使用。
五、极坐标系下点的极坐标
探索点M（3，/4）的所有极坐标 M [1]极径是正的时候： 2k 3， O 4 [2]极径是负的时候： P
新课讲解
三、点的极坐标的表达式的研究: 如图：OM的长度为4，
4
M
请说出点M的极坐标的其他表达式 . O 思考：这些极坐标之间有何异同？ 极径相同，不同的是极角。 思考：这些极角有何关系？
X
这些极角的始边相同，终边也相同。也就是说它们 是终边相同的角。 π 本题点M的极坐标统一表达式： 4， 2kπ+ 4
5 6
5 － 6
3.在极坐标系中,与点(－8, 6 )关
于极点对称的点 的一个坐标是 (A)
A.(8, ) 6
B. (8, －
C. (－8,
5 6
)
D.(－8, － ) 6
5 6
)
课堂小结
[1]建立一个极坐标系需要哪些要素？ 极点；极轴；长度单位；角度单位和它的正方向。
[2]极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式？ 无数.极径有正有负；极角也有正负且无数个。 [3]一点的极坐标是否有统一的表达式？ 有.（，2k） 或（-，2kπ）
练一练
题组2：在极坐标系里描出下列各点
A(3, 0) 4 D(5, ) 3 5 G (6, ) 3
B(6, 2 ) 5 E (3, ) 6
C (3, ) 2 F (4, )
解析：
5 6
2
C
E F A O B X
4 3
D
G
5 3
新课讲解
四、1、负极径的定义 说明：一般情况下，极径都是正值；在某些必要 情况下，极径也可以取负值。 对于点M（，）负极径时的规定： [1]作射线OP，使XOP= [2]在OP的反向延长 线上取一点M，使OM= ;
学习要点： 极坐标系是不同于直角坐标系的另一种坐标系，在这两种 坐标系中都可以确定点的位置，其各有特点。通常情况下，在 运动的过程中，若点作平移变动，则选择直角坐标系；而若点 作旋转变动，则采用极坐标系。
复习回顾
4.1.1 直角坐标系
y
●
P(x,y)
z
●
P(x,y,z)
o P
●
●
o
x x
o
y
（1）在数轴上，直线上所有点的集合与全体实数的集合建立一一对应； （2）在平面直角坐标系上，平面上所有点的集合与全体有序实数对 （x , y）的集合建立一一对应； （3）在空间直角坐标系上，空间上所有点的集合与全体三元有序实数对 （x , y , z）的集合建立一一对应；