极坐标系ppt(优秀)

新课讲解
三、点的极坐标的表达式的研究: 如图：OM的长度为4，
4

M
请说出点M的极坐标的其他表达式 . O 思考：这些极坐标之间有何异同？ 极径相同，不同的是极角。 思考：这些极角有何关系？

X
这些极角的始边相同，终边也相同。也就是说它们 是终边相同的角。 π 本题点M的极坐标统一表达式： 4， 2kπ+ 4
复习回顾
直角坐标系 数 轴 平面直角 坐标系 空间直角 坐标系
R
（ x , y)
（ x , y , z)
复习回顾
建立坐标系是为了确定点的位置。由此，在所创建的坐标系 中，应满足： 任意一点都存在一个坐标与之对应；反之，依据一个点的坐 标就能确定这个点的位置； 而确定点的位置即为求出此点在设定的坐标系中的坐标。
建系时，根据几何特点选择适当的直角坐标系: （1）若图形有对称中心，则可选对称中心为坐标原点； （2）若图形有对称轴，则可选择对称轴为坐标轴； （3）建系应使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上。
巩固练习
选择适当的坐标系，表示边长为1的正六边形的顶点。
y F E
A B
O
D C
x
创设情境
（1）若有一艘军舰巡逻在海面上，发现前方有一群 水雷，如何确定他们的位置以便将它们引爆呢？
练一练
题组2：在极坐标系里描出下列各点
A(3, 0) 4 D(5, ) 3 5 G (6, ) 3
B(6, 2 ) 5 E (3, ) 6
C (3, ) 2 F (4, )

解析：
5 6

2
C
E F A O B X

4 3
D
G
5 3
新课讲解
四、1、负极径的定义 说明：一般情况下，极径都是正值；在某些必要 情况下，极径也可以取负值。 对于点M（，）负极径时的规定： [1]作射线OP，使XOP= [2]在OP的反向延长 线上取一点M，使OM= ;
P O X
如图示：
M
新课讲解
2、负极径的实例
在极坐标系中画出点:M（－3，/4）的位置
[1]作射线OP，使XOP= /4 [2]在OP的反向延长线上取一 点M，使OM= 3; 如图示： M（－3，/4）
●
P
= /4
O
X
M
练一练
题组3：说出下图中当极径取负值时各点的极坐标
2

Βιβλιοθήκη Baidu对称点的一个坐标为（2
课外作业
学习要点： 极坐标系是不同于直角坐标系的另一种坐标系，在这两种 坐标系中都可以确定点的位置，其各有特点。通常情况下，在 运动的过程中，若点作平移变动，则选择直角坐标系；而若点 作旋转变动，则采用极坐标系。
复习回顾
4.1.1 直角坐标系
y
●
P(x,y)
z
●
P(x,y,z)
o P
●
●
o
x x
o
y
（1）在数轴上，直线上所有点的集合与全体实数的集合建立一一对应； （2）在平面直角坐标系上，平面上所有点的集合与全体有序实数对 （x , y）的集合建立一一对应； （3）在空间直角坐标系上，空间上所有点的集合与全体三元有序实数对 （x , y , z）的集合建立一一对应；
课堂小结
1、极坐标 （ρ，2kπ+θ） 和（-ρ，2kπ+θ+π）其中 k Z
表示同一个点（ρ，θ）；
2、点 M（ρ，θ） 关于极点的对称点的一个坐标为（-ρ，θ）
或（ρ，π+θ） ；
3、点 M（ρ，θ） 关于极轴的对称点的一个坐标为（ρ，-θ）
或（-ρ，π-θ） ；
4、点 M（ρ，θ） 关于直线 ρ，-θ） 或（ρ，π-θ） ；
X
（ 3， 2k

4
）
新课讲解
六、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况
[1]给定（,）,就可以在极坐标平面 内确定唯一的一点M。 [2]给定平面上一点M，但却有无数个 极坐标与之对应。
P M O (ρ,θ)… X
原因在于：极角有无数个。
六、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况
一般地,若(ρ,θ)是一点M的极坐标,则(ρ,θ+2kπ)或
(－ρ,θ+(2k + 1)π)都可以作为它的极坐标.
若限定ρ＞0,0≤θ＜2π或－π＜θ≤ π,
则除极点外,平面内的点和极坐标就可一一对应了.
题组4 1. 在极坐标系中，与点(－3, )重合 6 的点是( C) A.(3, 6 ) B. (－3, － 6 )
C. (3, － ) D. (－3, ) 2.在极坐标系中,与(ρ,θ)关于极轴对称 的点是( D ) A.(－ρ,θ) B.(－ρ,－θ) C.(－ρ,θ＋π) D.(－ρ,π－θ)
5、负极径的实质 从比较来看，负极径比 正极径多了一个操作，将射 线OP“反向延长”。
O 而反向延长也可以看成是旋 转 ，因此，所谓“负极径” 实质是针对方向的。这与数 学中通常的习惯一致，用 “负”表示“反向 ”。 O M
P M X P X
练习：写出点 的负极径的极坐标 （ 6， ） 6 11 答：（－6， +π） 或（－6，－ +π） 6 6
5 6
5 － 6
3.在极坐标系中,与点(－8, 6 )关
于极点对称的点 的一个坐标是 (A)
A.(8, ) 6
B. (8, －
C. (－8,
5 6
)
D.(－8, － ) 6
5 6
)
课堂小结
[1]建立一个极坐标系需要哪些要素？ 极点；极轴；长度单位；角度单位和它的正方向。
[2]极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式？ 无数.极径有正有负；极角也有正负且无数个。 [3]一点的极坐标是否有统一的表达式？ 有.（，2k） 或（-，2kπ）
练一练
题组1：说出下图中各点的极坐标

2
5 6
C E D O B A X

4

4 3
F
G
5 3
特别规定: 当M在极点时，它的极坐标=0，可以 取任意值。
想一想？
①平面上一点的极坐标是否唯一？ ②若不唯一，那有多少种表示方法？
③坐标不唯一是由谁引起的？
④不同的极坐标是否可以写出统一表达式？

x
新课讲解
二、极坐标系内一点的极坐标的规定: 对于平面上任意一点M，用 表示线段OM的长度，用 表示从Ox到OM 的角度， 叫做点M的极径， 叫做点M 的极角，有序数对（，） 就叫做M的极坐标。

M
O
x
特别强调：表示线段OM的长度，即点M到极点O的 距离；表示从Ox到OM的角度，即以Ox（极轴）为 始边，OM 为终边的角。
C
11 12
6
D A E O B X 23 12
5 4
3 2
新课讲解
3、关于负极径的思考 “负极径”真是“负”的吗？
？？？
根据极径定义，极径是距离，当然是正的。现 在所说的“负极径”中的“负”到底是什么意思？
思考：试把负极径时点的确定过程，与正极径
时点的确定过程相比较，看看有什么相同，有什么 不同？
负极径小结：极径变为负，极角增加 。
特别强调：一般情况下（若不作特别说明时）， 认为 ≥ 0 。因为负极径只在极少数情况使用。
五、极坐标系下点的极坐标
探索点M（3，/4）的所有极坐标 M [1]极径是正的时候： 2k 3， O 4 [2]极径是负的时候： P
4、正、负极径时，点的确定过程比较
画出点: （3，/4） 和（－3，/4） [1]作射线OP，使XOP= /4 [2]在OP的上取一点M，使OM= 3 [1]作射线OP，使XOP= /4
M
P X P
O
[2]在OP的反向延长线上取一点M，使 OM= 3
M
O
X
给定ρ,θ在极坐标系中描点的方法：先按极角找到极径所在的 射线，后按极径的正负和数值在这条射线或其反向延长线上描 点。
军 舰
水雷群
创设情境
从这向 北1000米
请问去农行 路怎么走？
情境分析
请分析上面这句话，他告诉了问路人什么？
从 这 向 北 走 1 0 0 0 米 ！
出发点
方向
距离
在生活中人们经常用方向和距离来表示一点 的位置。这种用方向和距离表示平面上一点 的位置的思想，就是极坐标的基本思想。
新课讲解
一、极坐标系的建立： 在平面内取一个定点O，叫做极点。 引一条射线Ox，叫做极轴。 再选定一个长度单位和角度单 位及它的正方向（通常取逆时 针方向）。 这样就建立了一个极坐标系。 O