ARCH模型的影响分析_陈萍

S
726
数 学 的 实 践 与 认 识
32 卷
提出了局部影响的曲率度量概念, 为统计诊断的研究提供了一个新方法, 有关这方面的研究目前 仍在继续发展之中. 见文献[ 6] . 为便于讨论现把影响图的方程改写成参数方程的形式: P: G( X) =
q
X L D ( X)
( 22)
今考虑空间 R 中过 X0 以 d 为方向的一条直线 X= X0 + td , 其中 d 为单位方向向量 . t 为实参数. 这条直线映射到影响图上得到一条曲线 : L d : G = Gd( t ) = G( X0 + td ) ( 23) 这条曲线称为 d 方向的提升线( lif t ed line ) . 提升线的法曲率就是影响图沿 d 方向的曲率. 定义 2 影响图 ( 22) 式在 X0 处沿 d 方向的曲率和最大 ( 小) 曲率分别定义为 : b N G d Cd = 2 ( 24) a Gd a b C d 和 C max , C min 都称为影响曲率. 使 C d 达到最大值的方向记为 d m ax . G d, G d 分别表示提升线 G = Gd b N b ( t ) 关于 t 的一阶, 二阶导数. 且在 t = 0, 即 X= X0 处记值. G d 表示向量 G d 在 X0 处法空间的投影. 易见, 影响曲率 C d 表示影响图在 X0 处沿 d 方向的变化率. 它反映了模型对 X 沿 d 方向扰 动的敏感程度. 而 d m ax 则表示对于扰动最敏感的方向. 它指出了 X 如何干扰原模型使之产生最 大的似然距离上的改变. 因此, 这个方向是影响分析中, 最值得关心的方向. 对 ARCH ( m ) 模 型, C min 和 d m in 也是值得关心的方向. 本文最后将说明这些概念在金融工程中的意义. ( 26) b d 其中 L 为 L ( H ) 关于 H的二阶导数 , 在 H处计值 . G 和 $ 分别定义为 : H 52L d( X) 5H X G= , $ = ( 27) 5X 5 H 5X d 1û 它们是 p × q 阶矩阵. 且在( H , X0 ) 处计值 . 最大 ( 小 ) 影响曲率可表示为: Cm ax = 2ûK , Cm in = S b S b b 2ûK 2û ,K 1( K 2 ) 矩阵 F = G L G = $ L $ 的绝对值最大 ( 小 ) 的特征值. 对应于 K 1( K 2) 的特征向量 即为最大( 小 ) 影响曲率方向 d m ax ( d m in) . b. 则 证明 首先影响图 G = G( X) 关于 X 的一阶, 二阶导数记为 Va和 V 定理 由定义 2 给出的 C d , 对模型 M 可表示为: bGd û = 2ûd S$ SL b- 1$ d û C d = 2ûd SG SL C m ax = ‖ m ax C d , C min = d‖ = 1
T ′ ′ ′ ′ ′
( 15)
T
L(H ) = L n∏ f ( y t ûY t - 1; H )= t= 1 又
T 2 L n ( 2P) -
1 2
( y t - x t′ B) 2 1 L n ( h t ) ∑ 2∑ ht t= 1 t= 1
T ′ 2 ′ 2
( 16)
5 L nf ( y t ûY t - 1 ; H ) 1 5 L nht 1 = 5H 2 5H 2 5( y t - x t′ B) 2 = 5H 且
2 2 2 u2 t = A 0 + A 1u t - 1 + A 2ut - 2 + … + A m u t- m + w t
( 1) ( 2)
R 0
2
当t= S 其它
( 3)
( 4) ( 5)
式中 w t 是白噪声过程: E ( w t) = 0 E ( w t w S) = K 0
2
当t= S 其它
最大影响方向 .
关键词 : 金融工程 ; A R CH 模型 ; 影响分析 ; 曲率
1 引 言
在现代金融理论中 , 金融市场上收益的风险与价格的不确定性往往是用方差来度量的 . 传统的经济计量模型往往假定样本的方差保持不变 . 随着金融理论的发展和实证工作的深 入 , 已发现这一假设不尽合理[ 1, 2] . 一般 , 描述风险资产( 如股票 , 期权) 的价格 , 需引入随机 变量 , 而且其方差往往随时间而变化. Engle ( 1982) [ 3] 提出用有条件的异方差自回归模型 ( Aut o Regr ession Co ndit ional Het eroskedastirt y ) 简称 ARCH 模型来解决这一问题 . 应当 注意到 , 模型仅是对复杂的现实世界的近似 , 模型背后不正确的假设将造成对风险资产的错 误估价 . 因此 , 研究模型对扰动的敏感程度很有必要的 . 本文利用统计诊断理论, 对一般线 性 ARCH 模型进行了局部影响分析 , 给出了局部影响的曲率度量 , 求出了相应的最大影响 方向, 为模型的风险分析提供了一个理论框架. 考虑 m 阶自回归模型: yt = U 0 + U 1y t - 1 + U 2y t - 2 + … + + U m y t- m + u t 这里 u t 是白噪声 . E ( u t) = 0 E ( u t uS) = 当 u2 t 满足 A R ( m ) 模型时, 即
第 32 卷第 5 期 2002 年 9 月
数学的实践与认识 M AT HEM A T ICS IN PRACT ICE A ND T HEORY
V ol. 32 N o. 5 Sep. , 2002
管理科学
ARCH 模型的影响分析
陈 萍
( 南京理工大学理学院 , 南京 210094)
摘要 : 本文对一般线 性 A R CH( m ) 模型 , 进行局部影响分析 , 给出了局部 影响的曲率度量 . 求出了相应的
m
∑Aj
j= 1
5u 2 t- j 5H
=
0 0 2 u t- 1 + … + 0 0
0 + 0 u2 t- m
- 2u t- j x t - j 0 A j ∑ j= 1 0
m
5期
陈 萍 : A RCH 模型的影响分析
725
m
= 将 ( 18) , ( 19) 代入 ( 17) 中, 得 :
( 6)
称 u t 为 m 阶自回归异方差模型 , 简记为 ut ～A RCH ( m ) . 为方便计算, 经常用下面的等价形式表示 A RCH ( m ) . 设
收稿日期 : 1999-12-24
724
数 学 的 实 践 与 认 识
32 卷
ut = ht vt 这里{ T t } 是 i. i. d 序列且 E ( M t ) = 0, E ( T ) = 1, ht 满足: 2 2 2 ht = A 0 + A 1 ut - 1 + A 2u t - 2 + … + A mu t - m 进一步 , 将( 7) , ( 8) 代入到( 4) 中 , 可得 : h tv 2 t = ht + w t
- 2x t 5 ut = 5 H ′ 0
2x t x t 0
′
0 0
-
3 局部影响分析
我们讨论局部影响分析的出发点是把模型的扰动看作是似然函数的扰动 . 事实上 , 在 很多情况下, 扰动因素可以用一个指标 X 表示 . X= ( X1, X2, … , Xq ) . 常见的扰动方式, 如数 据删除 , 均值漂移 , 方差加权等等 , 均可如此表示 . 以下符号的定义见文献[ 4] . 定义 1 如果模型满足文献[ 4] 中的条件 ( 1) —( 5) . 则定义似然距离为: d d L D ( X) = 2 L ( H ) - L(H ( X) ) ( 21) d d 这里 H 表示 H 的最小二乘估计 . H ( X) 表示对原模型 M 加入扰动因素 X 后, H的最小二 乘估计 , 此时的模型记为 M ( X) . 从几何上看, 函数 z = L D ( X) 表示 ( q + 1) 维空间的一个 q 维曲面 . 这个曲面称为影响图 ( inf luence g raph) . 这个影响图随 X 变化的情况 , 很全面的反 应了扰动的影响. 规定 X0 对应于无扰动的原模型 M = M ( X0) , 因此影响图在 X= X0 处的变化反映了原模 型对于扰动的敏感程度 , 称之为局部影响. 下面我们考虑局部影响的曲率度量. 为了研究影响图 z = L D ( X) 在 X0 附近的变化情况, 必须借助于二阶导数. 1986 年, Co ok
2 S t( H ) L nht 1 u2 t 5 ht 52L nh t 1 5 ′ 1 ut b= 5 L = [ 2 u tx t] 2 + 1 5H ′ 2 5H h t ht 5H ′ 2 ht 5H 5H ′ ′ - 2 x t ut 1 5ht 1 2x t x t 0 + 2ht 2h 2 t 5 H ′ 0 0 0 d 的求法见[ 5] . a b 下面利用 L ( H ), L( H ) 求出局部影响的曲率度量. 另外, 关于 H的最小二乘估计 H
2
( 7) ( 8) ( 9)Βιβλιοθήκη Baidu
2 模型的对数似然函数及前二阶导数
为对模型参数作局部影响分析, 首先应求出模型对数似然函数的前二阶导数 . 设线性模型中干扰项为 A RCH ( m ) 过程 . 即设: ′ yt = x t B + u t ( 11) 这里 x t 是事先决定的观察向量, 假定干扰项( 误差项) u t 满足 ( 7) 、 ( 8) 式. 为方便起见, 以前 项观察为条件 , ( = + 1, + 2, … , 0) ; 用后 个观察来估计 , ( t = 1, 2, … , T ) ; 设 Y t m t m m T 表示 t 时刻得到的所有数据的向量. Y t = ( y t , y t- 1 , … , y 1, y 0 , …, y - m + , x t , x t - 1, …, x 1 , x 0 , …, x - m - 1) ′ ( 12) ′ 设 v t ～i. i. d N ( 0, 1) , 且与 x t 和 Y t- 1 独立. 则 y t 关于均值 x t B 和方差 v t 的条件分布为正态的. ′ 2 1 - ( y t - x t B) f ( y t ûY t - 1; q ) = exp ( 13) 2ht 2Pht 式中 ′ 2 ′ ′ 0+ A 1( y t - 1- x t B) + A 2 ( yt- 2 - x t- 2 B ) 2+ …+ A m ( y t - m - x t - m B′ ) 2 = [ z t ( B) ] D ( 14) ht = A ′ 这里 D = ( A 0, A 1, A 2, …, A m)′ , [ z t ( B) ] ′ ≡ [ 1, ( y t - 1 - x ′ t - 1 B) , ( y t - 2 - x t - 2 B) , …, ( y t - m ′ 2 , x t - m B) ] . 把未知参数 , 改为 a ×1 维向量 H H= ( B′ , D′ )′ 样本的以最初 m 个观察为条件的对数似然函数为:
∑j= 1
2A j ut - j x t - j z t ( B)
m
( 19)
5Lnf ( y t ûY t - 1 ; H ) = 5 H La (H ) =
T
1 ut 2h t 2h 2 t
2
∑j= 1 2 t
2A j ut - j x t - j z t ( B)
+
( x t ut ) ht 0
m
1 5( y t - x t B) ( y t - x t B) 5h t ht 5H h2 t 5H
( 17) ( 18)
- 2x t u t 0
5ht = 5H
5 A 0 +
∑Au
j j= 1
2 t- j
5H 0 1 0 + 0
=
5A 0 + 5H
m
∑
j= 1
2 5 A j u2 t- 1 + 5H
( 20)
∑
t= 1
1 u 5L nh t 1 5 u - 1 2 ht 5H 2 5H
2 t
5L nf ( y t ûY t - 1 ; H ) 记 St ( H )= , 则由( 17) 式得: 5H 2 2 1 ut 5 L nh t 1 5ut S t( H ) = - 1 2 ht 5H 2ht 5H 两边对 H求导: 5S t ( H ) 5L nh t 1 5u2 t u2 t 52L nht 52u 2 t 5ut2 1 5ht = 1 + 1 - 1 + 1 5H ′ 2 5H ht 5H ′ 2 ht 5 H 5H ′ 2h t 5H 5H ′ 5H 2h 2 t 5 H ′ 这里 52u2 t = 5 H 5H ′ 则