处理高中数学恒成立问题的几种方法

2
7 得到3＜a＜ 2
时f(x)min= 5-4 <a<5+4
2
时，直线y=a和y= f(x)的图像恒有
三个不同的交点。
四、数形结合法
所以a> 2 又由题意可知：应有p真q假或p假q真两种情况： ①若p真q假，
7 3 〈a 〈 2 5 a≤ 2
5
数形结合是解决函数问题的一种常见方法，在解决数 学的恒成立问题中也经常用到，巧妙地应用数形结合可以 达到事半功倍的良好效果。 例4.已知函数f(x)= − 1 x + 3
2
我们高中生对二次函数不陌生，但对二次函数能真正 做到灵活应用，还存在一定的难度。在综合试题中，构造 二次函数，运用二次方程的实根分布、对称轴、存在性等 相关知识，求得参数的取值范围。 例1：已知命题p：指数函数f(x)=(2a-6) 在R上单调递 减，命题q：关于x的方程x2-3ax+2a2+1=0的两个实数根恒 大于3。若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围。 解:若p为真，则f(x)在R上单调递减。则0＜2a-6＜1 若q为真，则令f(x)= x2-3ax+2a2+1，应满足：
a ≥1 a − 1 ≥ 2
由分类讨论可知f(x)= 数f(x)的图像
y (0,2) (2,2)
根据解析式得到函
则根据图像得到a+b+c的取值范围：4<a+b+c<6.
(1,1) (4,1)
x O
2 x − a − 1 ( x ≥ a) a − 1 (1 ≤ x < a) − 2 x + a + 1 ( x < 1)
一、化归二次函数法
解得a≥3或a≤-1 所以a的取值范围是a≥3或a≤-1
三、应用导数法
对于含有高次幂的函数及含有 e x或㏑ x 形式的函数， 很难应用基本的初等函数知识来解决恒成立问题，不妨我 们通过函数的求导、利用函数的单调性、极值(最值)来解 决，从而求的参数的取值范围。 例3.设函数f(x)=x3-6x+5 (x∈R),若关于x的方程f(x)=a 恒有三个不等的实根，求实数a的取值范围。 解：f(x)=x3-6x+5 (x∈R) 则f'（x）=3x2-6 令f'（x）=0 解得：x1=
∆ = (−3a) 2 − 4(2a 2 + 1) ≥ 0 3a − (− ) 〉 3 2 f (3) = 9 − 9a + 2a 2 + 1 〉 0
x
x2=2
2
当x> 当 -
2 2
或x<<x<
2 2
时f'（x）>0
时f'（x）<0
2
则：当x=当x= 当5-4
2 2
时 f(x)max=5+4
针对高中数学的恒成立问题，不一定只有上述的几种 方法，解决此类问题的关键是要抓住恒成立的实质，具体 问题具体分析。同时要想解决好此类问题，掌握基础知识 是关键，我们只有把基础知识牢固掌握然后灵活应用，才 能从中找出更多更巧妙的解题方法。
或
a <1 1 − a ≥ 2
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[ 教学交流 处理高中数学恒成立问题的几种方法
汝州市第五高级中学/陈振杰 ◇◇Biblioteka Baidu
新课标形势下的高考越来越注重对学生的综合素质和 应用能力的考查，数学中的恒成立问题便是一个考查学生 各方面能力的典型问题。由于恒成立问题没有一个固定的 处理模式及思维方法，因此在各类考试中，给我们带来许 多的麻烦。这些试题一般综合性强，在考查学生基础知识 的同时，也考查学生对问题的分析能力及对综合知识的驾 驭能力。如何快速、准确地解答好这类问题，我通过潜心 研究，常常用以下几种方法来处理。
2 2
x −1
得a无解
5 7 〈a≤3 得2 或a ≥
( x ≤ 2) ( x > 2)
7 a ≤ 3 或a ≥ 2 ②若p假q真，则 5 a〉 2
5
，若互不相等的
2
实数a、b、c满足a<b<c且恒有f(a)= f(b)= f(c),求a+b+c的取 值范围。
1 − x+3 解：由于f(x)= 2 2
x −1
则 实数的取值范围是： 2 〈 a ≤ 3 或a ≥
二、分类讨论法
7 2
( x ≤ 2) ( x > 2)
1 x −1 ( x ≤ 1) 2 x −1 (1 < x ≤ 2) 2 1 ( x > 2) − 2 x + 3
针对于含有绝对值运算符号的恒成立问题，去掉绝对 值运算符号是解决此类题型的关键，要根据试题的要求进 行适当的分类讨论。 例2.设函数f(x)=︱x-1︱+︱x-a︱若对于任何实数x恒 有f(x) ≥2成立，求实数a的取值范围。 解：对于 ∀ x∈R恒有f(x) ≥2成立，只需f(x)min ≥2即 可 ①当a≥1时，f(x)=︱x-1︱+︱x-a︱= 有f(x)min=a-1 ②当a<1时，同理可得f(x)min=1-a 所以有