解密：粟裕在黄桥战役中做的三道“数学题”
一名将军排兵布阵数学题
一名将军排兵布阵数学题摘要：1.问题背景2.将军排兵布阵的数学问题3.数学问题的解决方法4.将军对解决方案的反应5.问题背后的启示正文：在古代，一名将军为了在战争中取得胜利，需要巧妙地安排兵力，使得每个士兵都能发挥最大的作用。
有一天，这位将军遇到了一个看似简单的数学问题，却让他绞尽脑汁。
这个问题是这样的：假设有一个由100 名士兵组成的方阵，每一行有10 名士兵，总共10 行。
现在需要从方阵中挑选出一些士兵，组成一个新的方阵。
新方阵的要求是：新方阵的每一行都要比原方阵的对应行多2 名士兵。
问最少需要从原方阵中挑选出多少名士兵，才能满足这个条件？将军对这个问题的解决方案非常感兴趣，因为它可以帮助他在战争中更有效地调动兵力。
为了解决这个问题，将军请教了一位聪明的谋士。
谋士告诉将军，解决这个问题需要运用数学中的“最优化理论”。
具体来说，可以通过求解一个线性规划问题来找到最少需要挑选的士兵数量。
线性规划是一种求解最优化问题的方法，它主要涉及四个步骤：1.确定目标函数；2.列出约束条件；3.画出可行域；4.在可行域内找到最优解。
在这个问题中，目标函数是最少挑选士兵数量，约束条件是原方阵和新方阵的行数以及总人数。
通过画出可行域，我们可以找到最优解，即最少需要挑选的士兵数量。
将军听了谋士的解释后，认为这个方法非常巧妙，可以帮助他在战争中更有效地调动兵力。
他感慨道：“战争虽然残酷，但智慧之光始终照耀着人类。
通过运用数学智慧，我们可以更好地保卫家园。
”这个故事告诉我们，无论在古代战争还是现代社会，数学都是解决问题的重要工具。
部编数学八年级上册专题13.2将军饮马(最值模型)专项讲练(解析版)含答案
专题13.2 将军饮马（最值模型） 专项讲练三角形中的最值（将军饮马模型）问题在考试中，无论是解答题，还是选择、填空题，都是学生感觉有困难的地方，也恰是学生能力区分度最重要的地方，主要考查转化与化归等的数学思想。
在各类考试中都以中高档题为主，中考说明中曾多处涉及。
在解决几何最值问题主要依据是：①两点之间，线段最短；②垂线段最短，涉及的基本方法还有：利用轴对称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。
希望通过本专题的讲解让大家对这类问题有比较清晰的认识。
【解题技巧】题型1: 求两条线段和最小值例1．（2022·广东新丰·八年级期末）如图所示，在ABC V 中，AB AC =，直线EF 是AB 的垂直平分线，D 是BC 的中点，M 是EF 上一个动点，ABC V 的面积为12，4BC =，则BDM V 周长的最小值是______．【答案】8【分析】连接AD ，AM ，由EF 是线段AB 的垂直平分线，得到AM =BM ，则△BDM 的周长=BD +BM +DM =AM +DM +BD ，要想△BDM 的周长最小，即要使AM +DM 的值最小，故当A 、M 、D 三点共线时，AM+DM最小，即为AD，由此再根据三线合一定理求解即可．【详解】解：如图所示，连接AD，AM，∵EF是线段AB的垂直平分线，∴AM=BM，∴△BDM的周长=BD+BM+DM=AM+DM+BD，∴要想△BDM的周长最小，即要使AM+DM的值最小，∴当A、M、D三点共线时，AM+DM最小，即为AD，∵AB=AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC，122BD BC==，∴1122ABCS AD BC=×=△，∴AD=6，∴△BDM的周长最小值=AD+BD=8，故答案为：8．【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三线合一定理，解题的关键在于能够根据题意得到当A、M、D三点共线时，AM+DM最小，即为AD．变式1．（2022·甘肃西峰·八年级期末）如图，在等边△ABC中，E为AC边的中点，AD垂直平分BC，P是AD上的动点．若AD=6，则EP+CP的最小值为_______________．【答案】6【分析】要求EP+CP的最小值，需考虑通过作辅助线转化EP，CP的值，从而找出其最小值求解．【详解】解：作点E关于AD的对称点F，连接CF，∵△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中垂线，∴点E关于AD的对应点为点F，∴CF就是EP+CP的最小值．∵△ABC 是等边三角形，E 是AC 边的中点，∴F 是AB 的中点，∴CF =AD =6，即EP +CP 的最小值为6，故答案为6．【点睛】本题考查等边三角形的性质和轴对称等知识，熟练掌握等边三角形和轴对称的性质是本题的关键．变式2．（2021·湖北洪山·八年级期中）如图，将△ABC 沿AD 折叠使得顶点C 恰好落在AB 边上的点M 处，D 在BC 上，点P 在线段AD 上移动，若AC ＝6，CD ＝3，BD ＝7，则△PMB 周长的最小值为 ___．【答案】18【分析】首先明确要使得△PMB 周长最小，即使得PM +PB 最小，再根据翻折的性质可知PM =PC ，从而可得满足PC +PB 最小即可，根据两点之间线段最短确定BC 即为最小值，从而求解即可．【详解】解：由翻折的性质可知，AM =AC ，PM =PC ，∴M 点为AB 上一个固定点，则BM 长度固定，∵△PMB 周长=PM +PB +BM ，∴要使得△PMB 周长最小，即使得PM +PB 最小，∵PM =PC ，∴满足PC +PB 最小即可，显然，当P 、B 、C 三点共线时，满足PC +PB 最小，如图所示，此时，P 点与D 点重合，PC +PB =BC ，∴△PMB 周长最小值即为BC +BM ，此时，作DS ⊥AB 于S 点，DT ⊥AC 延长线于T 点，AQ ⊥BC 延长线于Q 点，由题意，AD 为∠BAC 的角平分线，∴DS =DT ，∵1122ACD S AC DT CD AQ ==V g g ，1122ABD S AB DS BD AQ ==V g g ，∴11221122ABDACD AB DS BD AQ S S AC DT CD AQ ==V V g g g g ，即：AB BD AC CD =，∴763AB =，解得：AB =14，∵AM =AC =6，∴BM =14-6=8，∴△PMB 周长最小值为BC +BM =3+7+8=18，故答案为：18．【点睛】本题考查翻折的性质，以及最短路径问题等，掌握翻折的基本性质，利用角平分线的性质进行推理求解，理解并熟练运用两点之间线段最短是解题关键．变式3．（2022·河南濮阳·八年级期末）如图，等边三角形ABC 的边长为5，A 、B 、1A 三点在一条直线上，且11ABC A BC V V ≌．若D 为线段1BC 上一动点，则AD CD +的最小值是________．【答案】10【分析】连接CA 1交BC 1于点E ，C 、A 1关于直线BC 1对称，推出当点D 与B 重合时，AD +CD 的值最小，最小值为线段AA 1的长＝10．【详解】解：连接CA 1交BC 1于点E ，过点B 作直线l ⊥AB ，如图，∵△ABC 是等边三角形，11ABC A BC V V ≌∴11A BC V 是等边三角形，AB =A 1B =5∵A 、B 、1A 三点在一条直线上，∴ △ABC 与△A 1BC 1关于直线l 对称，∵∠ABC ＝∠A 1BC 1＝60°，∴∠CBC 1＝60°，∴∠C 1BA 1＝∠C 1BC ，∵BA 1＝BC ，∴BD ⊥CA 1，CD ＝DA 1，∴C 、A 1关于直线BC 1对称，∴当点D 与B 重合时，AD +CD 的值最小，最小值为线段AA 1的长＝10，故答案为：10．【点睛】本题考查轴对称﹣最短问题，等边三角形的性质等知识，解题的关键是学会找对称点，形成两点之间的线段来解决最短问题，属于中考常考题型．变式4．（2022•西湖区月考）如图直线l 1，l 2表示一条河的两岸，且l 1∥l 2，现要在这条河上建一座桥．桥建在何处才能使从村庄A 经过河到村庄B 的路线最短？画出示意图，并说明理由．【分析】先确定AA ′与河等宽，且AA ′⊥河岸，连接BA ′，与河岸的交点就是点C ，过点C 作CD 垂直河岸，交另一河岸于点D ，即可得出答案．【答案】解：如图，先确定AA ′与河等宽，且AA ′⊥河岸，连接BA ′，与河岸的交点就是点C ，过点C 作CD 垂直河岸，交另一河岸于点D ，CD 就是所求的桥的位置．理由：由作图过程可知，四边形ACDA ′为平行四边形，AD 平移至A ′C 即可得到线段A ′B ，两点之间，线段最短，由于河宽不变，CD 即为桥．【点睛】本题考查的是作图﹣平移变换以及利用轴对称解决最短路径问题，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键．题型2: 求两条线段差最大值例2．（2022·绵阳市·八年级专题练习）如图，5AB AC ==，110BAC Ð=°，AD 是∠BAC 内的一条射线，且25BAD Ð=°，P 为AD 上一动点，则PB PC -的最大值是______．作点B 关于射线AD 的对称点B ¢，连接则AB AB ¢=，PB PB ¢=，B AD BAD Ð=Т∵ 5AB AC ==，∴5AB AC ¢==，∴ AB C ¢V 是等边三角形，∴5B C ¢=，在PB C ¢V 中，PB PC B C -¢£¢，变式1．（2022·福建福州·八年级期中）如图，在等边ABC V 中，E 是AC 边的中点，P 是ABC V 的中线AD 上的动点，且6AB =，则BP PE -的最大值是________．【答案】3【分析】连接PC ，则BP =CP ，BP PE -=CP-PE ，当点P 与点A 重合时，CP -PE =CE ，进而即可求解．【详解】解：连接PC ，∵在等边ABC V 中，6AB =，P 是ABC V 的中线AD 上的动点，∴AD 是BC 的中垂线，∴BP =CP ，∴BP PE -=CP-PE ，∵在CPE △中，CP -PE ＜CE ，∴当点P 与点A 重合时，CP -PE =CE ，∵E 是AC 边的中点，∴BP PE -的最大值=6÷2=3．故答案是：3．【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，三角形三边长关系，连接CP ，得到BP PE -=CP-PE ，是解题的关键．题型3: 求三条（周长）最小值（双动点问题）【模型图示】要求：点P 位定点，在直线1l ，2l 上分别找点M ，N ，使PMN △周长（即MN PN PM ++）最小操作：分别作点P 关于直线1l ，2l 的对称点’P 和”P ，连结”’P P 与直线1l ，2l 的交点为M ，N ，()”’最小值△P P C PMN =求”’P P 长度通法：如上图，一般会给一个特殊角（15°，30°，45°，60°，75°）A ，连结’AP ，AP ，”AP ，由对称性可求A AP P Ð=Ð2”’也为特殊角（30°，60°，90°，120°，150°），”’AP AP AP ==，可得特殊等腰”’△P AP ，利用三边关系求出”’P P 要求：点P ，Q 为定点，直线1l ，2l 上分别找M ，N ，使PQMN 周长（即MN PN PM PQ +++）小操作：分别作点P ，Q 关于直线1l ，2l 的对称点’P 和’Q ，连结’’Q P 与直线1l ，2l 的交点为M ，N ，()’’最小值四边形Q P PQ C PQMN +=例3．（2022·上虞市初二月考）如图，点P 是∠AOB 内任意一点，OP =6cm ，点M 和点N 分别是射线OA 和射线OB 上的动点，若△PMN 周长的最小值是6 cm ，则∠AOB 的度数是（ ）A ．15B ．30C ．45D ．60【答案】B 【分析】分别作点P 关于OA 、OB 的对称点C 、D ，连接CD ，分别交OA 、OB 于点M 、N ，连接OC 、OD 、PM 、PN 、MN ，由对称的性质得出PM=DM ，OP=OC ，∠COA=∠POA ；PN=DN ，OP=OD ，∠DOB=∠POB，得出∠AOB=12∠COD，证出△OCD是等边三角形，得出∠COD=60°，即可得出结果．【解析】分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示：∵点P关于OA的对称点为D，关于OB的对称点为C，∴PM=DM，OP=OD，∠DOA=∠POA；∵点P关于OB的对称点为C，∴PN=CN，OP=OC，∠COB=∠POB，∴OC=OP=OD，∠AOB=12∠COD，∵△PMN周长的最小值是6cm，∴PM+PN+MN=6，∴DM+CN+MN=6，即CD=6=OP，∴OC=OD=CD，即△OCD是等边三角形，∴∠COD=60°，∴∠AOB=30°，故选：B．【点睛】此题考查轴对称的性质，最短路线问题，等边三角形的判定与性质，熟练掌握轴对称的性质，证明三角形是等边三角形是解题的关键．变式1．（2022·安徽安庆·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别取一点M、N，使△AMN的周长最小，则∠MAN＝_____°．【答案】80【分析】作点A关于BC、CD的对称点A1、A2，根据轴对称确定最短路线问题，连接A1、A2分别交BC、DC于点M、N，利用三角形的内角和定理列式求出∠A1+∠A2，再根据轴对称的性质和角的和差关系即可得∠MAN．【详解】如图，作点A关于BC、CD的对称点A1、A2，连接A1、A2分别交BC、DC于点M、N，连接AM、AN，则此时△AMN的周长最小，∵∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°，∴∠BAD＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°，∴∠A1+∠A2＝180°﹣130°＝50°，∵点A关于BC、CD的对称点为A1、A2，∴NA＝NA2，MA＝MA1，∴∠A2＝∠NAD，∠A1＝∠MAB，∴∠NAD+∠MAB＝∠A1+∠A2＝50°，∴∠MAN＝∠BAD﹣（∠NAD+∠MAB）＝130°﹣50°＝80°，故答案为：80．【点睛】本题考查了轴对称的最短路径问题，利用轴对称将三角形周长问题转化为两点间线段最短问题是解决本题的关键．变式2．（2021·江苏九年级一模）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，D，E，F分别是AB，BC，AC边上的动点，则△DEF的周长的最小值是（）A．2.5B．3.5C．4.8D．6【答案】C【分析】如图作D关于直线AC的对称点M，作D关于直线BC的对称点N，连接CM，CN，CD，EN，FM，DN，DM．由∠MCA=∠DCA，∠BCN=∠BCD，∠ACD+∠BCD=90°，推出∠MCD+∠NCD=180°，可得M、B、N共线，由DF+DE+EF=FM+EN+EF，FM+EN+EF≥MN，可知当M、F、E、N共线时，且CD⊥AB时，DE+EF+FD的值最小，最小值=2CD，求出CD的值即可解决问题．【详解】解：如图，作D关于直线AC的对称点M，作D关于直线BC的对称点N，连接CM，CN，CD，EN ，FM ，DN ，DM ．∴DF =FM ，DE =EN ，CD =CM ，CD =CN ，∴CD =CM =CN ，∵∠MCA =∠DCA ，∠BCN =∠BCD ，∠ACD +∠BCD =90°，∴∠MCD +∠NCD =180°，∴M 、C 、N 共线，∵DF +DE +EF =FM +EN +EF ，∵FM +EN +EF ≥MN ，∴当M 、F 、E 、N 共线时，且CD ⊥AB 时，DE +EF +FD 的值最小，最小值为MN =2CD ，∵CD ⊥AB ，∴12•AB •CD =12•AB•AC ，∴CD =•AB AC AB =125=2.4，∴DE +EF +FD 的最小值为4.8．故选：C ．【点睛】本题考查了轴对称-最短问题、两点之间线段最短、垂线段最短等知识，解题的关键是灵活运用轴对称以及垂线段最短解决最短问题，属于中考选择题中的压轴题．变式3．（2021·和平区·天津一中八年级期末）如图，25AOB Ð=°，点M ，N 分别是边OA ，OB 上的定点，点P ，Q 分别是边OB ，OA 上的动点，记MPQ a Ð=，PQN b Ð=，当MP PQ QN ++的值最小时，b a -的大小=__________（度）．【答案】50【分析】作M 关于OB 的对称点M ¢，N 关于OA 的对称点N ¢，连接M N ¢¢，交OB 于点P ，交OA 于点Q ，连接MP ，QN ，可知此时MP PQ QN ++最小，此时OPM OPM NPQ OQP AQN AQN ¢¢Ð=Ð=ÐÐ=Ð=Ð，，再根据三角形外角的性质和平角的定义即可得出结论．【详解】作M 关于OB 的对称点M ¢，N 关于OA 的对称点N ¢，连接M N ¢¢，交OB 于点P ，交OA 于点Q ，连接MP ，QN ，如图所示．根据两点之间，线段最短，可知此时MP PQ QN ++最小，即MP PQ QN M N ¢¢++=，∴OPM OPM NPQ OQP AQN AQN ¢¢Ð=Ð=ÐÐ=Ð=Ð，，∵MPQ PQN a b Ð=Ð=，，∴11(180)(180)22QPN OQP a b Ð=°-Ð=°-，，∵QPN AOB OQP Ð=Ð+Ð，25AOB Ð=°，∴11(180)25(180)22a b °-=°+°- ，∴50b a -=° ．故答案为：50．【点睛】本题考查轴对称-最短问题、三角形内角和，三角形外角的性质等知识，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键，综合性较强．课后训练：1．（2022·重庆八中七年级期末）如图，90A C Ð=Ð=°，且4AB AC ==，D ，E 分别为射线AC 和射线CF 上两动点，且AD CE =，当BD BE +有最小值时，则BDE D 的面积为________．【答案】6【分析】延长AC ，以点C 为圆心，AC 为半径，作圆弧交延长线于点G ，得AC CG =．连接AE 、GE 、BG ，ADB CEA CEG D D D @@，得BD AE GE ==，当点B ，E ，G 三点在一条直线，BD BE GE BE+=+距离最短．过点E ¢作E H AC ¢∥交BA 于点H ，得BHE E CG D D ¢¢@，得BH E C AH ¢==，BE E G ¢¢=，D ¢，过点E ¢作E H AC ¢∥交BA 于点H ∴E H AC ¢∥∴BE Ð又∵AC HE CG ¢==，90BHE E CG ¢¢Ð=Ð=°∴BHE E CG D D ¢¢@∴122CE BH AH AB ¢====2．（2021·山东临沂市·八年级期末）如图，ABC D 中，AB AC =，3BC =，6ABC S D =，AD BC ^于点D ，EF 是AB 的垂直平分线，交AB 于点E ，交AC 于点F ，在EF 上确定一点P ，使PB PD +最小，则这个最小值为（ ）A ．3.5B ．4C ．4.5D ．5【答案】B【分析】根据三角形的面积公式得到AD=4，由EF 垂直平分AB ，得到点A ，B 关于直线EF 对称，于是得到AD=PB+PD 的最小值，即可得到结论．【详解】解：∵AB=AC ，BC=3，S △ABC =6，AD ⊥BC 于点D ，∴AD=4，∵EF 垂直平分AB ，∴点A ，B 关于直线EF 对称，∴EF 与AD 的交点P 即为所求，如图，连接PB ，此时PA=PB ，PB+PD=PA+PD=AD ，AD=PB+PD 的最小值，即PB+PD 的最小值为4，故选：B ．【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，线段的垂直平分线的性质，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．3．（2022·山东八年级期末）如图，在ABC V 中，6AB =，7BC =，4AC =，直线m 是ABC V 中BC 边的垂直平分线，P 是直线m 上的一动点，则APC △的周长的最小值为_________．【答案】10【分析】根据题意知点C 关于直线m 的对称点为点B ，故当点P 与点D 重合时，AP ＋CP 值的最小，求出AB 长度即可得到结论．【详解】解：∵直线m 垂直平分BC ，∴B 、C 关于直线m 对称，设直线m 交AB 于D ，∴当P 和D 重合时，AP ＋CP 的值最小，最小值等于AB 的长，∴△APC 周长的最小值是6＋4＝10．故答案为：10．【点睛】本题考查了勾股定理，轴对称−最短路线问题的应用，解此题的关键是找出P 的位置．4．（2022·陕西安康·八年级期末）如图，ABC V 的面积为24，AB 的长为8，AD 平分BAC Ð，E 、F 分别是AD 和AC 上的动点，则CE EF +的最小值为____________．【点睛】本题考查轴对称—最短路线问题．灵活应用角平分线性质、三角形三边的关系、垂线段最短，将所求最小值转化为求CH 的长是解题的关键．5．（2022·山东临沂·八年级期中）如图，ABC D 中，AB AC =，3BC =，6ABC S D =，AD BC ^于点D ，EF 是AB 的垂直平分线，交AB 于点E ，交AC 于点F ，在EF 上确定一点P ，使PB PD +最小，则这个最小值为（ ）A ．3.5B ．4C ．4.5D ．5【答案】B 【分析】根据三角形的面积公式得到AD=4，由EF 垂直平分AB ，得到点A ，B 关于直线EF 对称，于是得到AD=PB+PD 的最小值，即可得到结论．【详解】解：∵AB=AC ，BC=3，S △ABC =6，AD ⊥BC 于点D ，∴AD=4，∵EF 垂直平分AB ，∴点A ，B 关于直线EF 对称，∴EF 与AD 的交点P 即为所求，如图，连接PB ，此时PA=PB ，PB+PD=PA+PD=AD ，AD=PB+PD 的最小值，即PB+PD 的最小值为4，故选：B ．【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，线段的垂直平分线的性质，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．6．（2022·河南·安阳市殷都区教科培中心八年级期末）如图，在ABC V 中，AB AC =，边AC 的垂直平分线MN 分别交AB ，AC 于点M ，N ，点D 是边BC 的中点，点P 是MN 上任意一点，连接PD ，PC ，若A a Ð=，CPD b Ð=，PCD V 周长最小时，a ，b 之间的关系是（ ）A ．a b>B ．a b <C ．a b =D ．90a b=°-故选C ．【点睛】本题考查线段垂直垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义以及三角形外角性质．根据题意理解当A 、P 、D 在同一直线上时PCD L V 最小是解题关键．7．（2022·全国·八年级期中）如图，在Rt ABC V 中，ACB 90Ð=°，AC 9=，BC 12=，15AB =，AD 是BAC Ð的平分线，若点P 、Q 分别是AD 和AC 上的动点，则PC PQ +的最小值是______．CO=PC+PO=PC+PQ ，此时PC+PQ 有可能取得最小值，∵当CO 垂直于AB 即CO 移到CM 位置时，CO ∴PC+PQ 的最小值即为CM 的长度，8．（2022·清远市八年级期中）如图，点D 是锐角AOB Ð内一点，DE OA ^于点E ，点F 是线段OE 的一个动点，点G 是射线OB 的一个动点，连接DF 、FG 、GD ，当DFG V 的周长最小时，FDG Ð与AOB Ð的数量关系式是________．【答案】2180FDG AOB Ð+Ð=°【分析】作D 关于OA 的对称点D ′，作D 关于OB 的对称得D ″，连接D ′D ″，交OA 、OB 于F 、G ，此时△DFG 的周长最小，最小值为D ′D ″，连OD 、OD ′、OD ″，根据轴对称的性质得出△GOD ≌△GOD ″，△FOD ≌△FOD ′，即可得出∠BOD =∠BOD ′，∠ODG =∠OD ″G ，∠DOA =∠AOD ′，∠ODF =∠ODF ′，由∠D ′OD ″=2∠AOB ，∠GDF =∠ODF ′+∠ODG ″根据三角形内角和定理即可得出2∠AOB +∠GDF =180°．【详解】解：作D 关于OA 的对称点D ′，作D 关于OB 的对称得D ″，连接D ′D ″，交OA 、OB 于F 、G ，此时△DFG 的周长最小，最小值为D ′D ″，连OD 、OD ′、OD ″，由轴对称的性质可知，△GOD ≌△GOD ″，△FOD ≌△FOD ′，∴∠BOD =∠BOD ″，∠ODG =∠OD ″G ，∠DOA =∠AOD ′，∠ODF =∠OD ′F ，∴∠D ′OD ″=2∠AOB ，∠GDF =∠OD ′F +∠OD ″G ，∵∠D ′OD ″+∠OD ′F +∠OD ″G =180°，∴2∠AOB +∠GDF =180°，故答案为2∠AOB +∠GDF =180°．【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．9．（2021·湖北武汉市·八年级期末）如图，点A 在y 轴上，G 、B 两点在x 轴上，且G （﹣3，0），B （﹣2，0），HC 与GB 关于y 轴对称，∠GAH ＝60°，P 、Q 分别是AG 、AH 上的动点，则BP ＋PQ ＋CQ 的最小值是（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】B 【分析】分别作B 、C 关于AG 和AH 对称的点B ¢、C ¢，连接BP 、CQ 、B C ¢、C Q ¢，PQ ，得出BP ＋PQ ＋CQ 的最小值为B C ¢¢，再依据等边三角形的性质和判定和轴对称的性质分别求得B P PN ¢+和C Q QN ¢+即可求得．【详解】解：分别作B 、C 关于AG 和AH 对称的点B ¢、C ¢，连接BP 、CQ 、B C ¢、C Q ¢，PQ∵HC 与GB 关于y 轴对称， ∴GO=HO,BO=CO,∵x 轴⊥y 轴，∴AG=AH ，B ¢、C ¢关于y 轴对称，∴当B ¢、C ¢，P 、Q 在同一条直线上时，BP PQ CQ B P PQ C Q B C ¢¢¢¢==＋＋＋＋最小，此时//B C x ¢¢轴，∵∠GAH ＝60°，∴△AGH 为等边三角形，∴∠AGO=60°，∵//B C x ¢¢轴，B 、B ¢关于AG 对称，∴60BPG B PG PGB ¢Ð=Ð=Ð=°,B P BP ¢=，∴△BPG 为等边三角形，过作PM ⊥GO 交x 轴与M ，∵G （﹣3，0），B （﹣2，0），∴BG=1，BO=2，∴111,22PB PB BG BM BG ¢=====，∴171222B P PN BP MB BO ¢+=++=++=，同理可得72C Q QN ¢+=,即7B C ¢¢=．故选：B ．【点睛】本题考查轴对称的性质，等边三角形的性质和判断，坐标与图形变化．能借助轴对称的性质正确变形将折线的长化成一条线段的长是解题关键．10．（2022·河南·九年级专题练习）如图，在ABC D 中，AB AC =，AC 的垂直平分线交AC 于点N ，交AB 于点M ，12AB cm =，BMC D 的周长是20cm ，若点P 在直线MN 上，则PA PB -的最大值为（ ）A ．12cmB ．8cmC ．6cmD ．2cm 【答案】B 【分析】根据已知条件MN 垂直平分AC ，可知MA MC =，即可将BMC D 的周长转换为AB+BC ，即可求出8BC cm =，再通过作辅助线（见详解），可得到PA PB PC PB -=-，则PBC D 中PC PB BC -<，当P B C 、、共线时（PC PB -）有最大值即可得到PA PB -最大值，得到答案．【详解】解：∵MN 垂直平分AC ∴MA MC=又∵20BMC C BM MC BC cmD =++=∴20BM MA BC cm++=12BM MA AB cm +== 8BC cm=在MN 上取点P 1∵MN 垂直平分AC连接1P A 、1PB 、1PC ∴11P A PC = ∴PA PB PC PB-=-在1PBC D 中11PC PB BC -<当1P 运动2P 位置时，即P B C 、、共线时（PC PB -）有最大值，此时8PC PB BC cm -==.即PA PB -最大值是8cm,故答案选B.【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等11．（2021·河南商丘·八年级期中）如图，等边△ABC 中，AD 为BC 边上的高，点M 、N 分别在AD 、AC 上，且AM ＝CN ，连BM 、BN ，当BM +BN 最小时，∠MBN 的度数为（ ）A ．15°B ．22.5°C ．30°D ．47.5°【答案】C 【分析】如图1中，作CH ⊥BC ，使得CH ＝BC ，连接NH ，BH ．证明△ABM ≌△CHN （SAS ），推出BM ＝HN ，由BN +HN ≥BH ，可知B ，N ，H 共线时，BM +BN ＝NH +BN 的值最小，求出此时∠MBN 即可解决问题．【详解】解：如图1中，作CH ⊥BC ，使得CH ＝BC ，连接NH ，BH ．∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，CH⊥BC，∴∠DAC＝∠DAB＝30°，AD∥CH，∴∠HCN＝∠CAD＝∠BAM＝30°，∵AM＝CN，AB＝BC＝CH，∴△ABM≌△CHN（SAS），∴BM＝HN，∵BN+HN≥BH，∴B，N，H共线时，BM+BN＝NH+BN的值最小，如图2中，当B，N，H共线时，∵△ABM≌△CHN，∴∠ABM＝∠CHB＝∠CBH＝45°，∵∠ABD＝60°，∴∠DBM＝15°，∴∠MBN＝45°﹣15°＝30°，∴当BM+BN的值最小时，∠MBN＝30°，故选：C．【点睛】本题考查轴对称，等边三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．12．（2022·湖北青山·八年级期中）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝30°，AC ＝2，以BC 为边向左作等边△BCE ，点D 为AB 中点，连接CD ，点P 、Q 分别为CE 、CD 上的动点．（1）求证：△ADC 为等边三角形；（2）求PD +PQ +QE 的最小值．【答案】（1）证明见解析；（2）4．【分析】（1）先根据直角三角形的性质可得60,BAC AD CD Ð=°=，再根据等边三角形的判定即可得证；（2）连接,PA QB ，先根据等边三角形的性质可得12ACE ACD Ð=Ð，再根据等腰三角形的三线合一可得CE 垂直平分AD ，然后根据线段垂直平分线的性质可得PA PD =，同样的方法可得QB QE =，从而可得PD PQ QE PA PQ QB ++=++，最后根据两点之间线段最短即可得出答案．【详解】证明：（1）Q 在Rt ABC V 中，90,30,2ACB ABC AC Ð=°Ð=°=，60,24BAC AB AC Ð\=°==，Q 点D 是Rt ABC V 斜边AB 的中点，2AD AC \==，ADC \V 是等边三角形；（2）如图，连接,PA QB ，BCE QV 和ADC V 都是等边三角形，60BCE \Ð=°，60ACD Ð=°，1302ACE ACB BCE ACD \Ð=Ð-Ð=°=Ð，CE \垂直平分AD ，PA PD \=，同理可得：CD 垂直平分BE ，QB QE \=，PD PQ QE PA PQ QB \++=++，由两点之间线段最短可知，当点,,,A P Q B 共线时，PA PQ QB ++取得最小值AB ，故PD PQ QE ++的最小值为4．【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质等知识点，熟练掌握等边三角形的性质是解题关键．13．（2022·福建·莆田二中八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C在直线MN上，∠BCN＝30°，点P为MN上一动点，连结AP，BP．当AP+BP的值最小时，∠CBP的度数为_____．【答案】15°##15度【分析】作点B关于MN的对称点D，连接AD交MN于P，连接BP，CD，先证明△BCD是等边三角形，从而得到AC=CD，∠ACD＝∠ACB +∠BCD＝150°，进而求得∠CDP＝15°，据轴对称性可得∠CBP的度数．【详解】如图，作点B关于MN的对称点D，连接AD交MN于P，连接BP，CD，∵点B与点D是关于MN的对称点，∠BCN＝30°，∴BC=CD，∠BCD＝60°，∴△BCD是等边三角形，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴AC=CD，∠ACD＝∠ACB +∠BCD＝150°，∴∠CDP＝15°，∵点B与点D是关于MN的对称点，，且△BCD是等边三角形，∴由等边三角形的轴对称性可知：∠CBP=∠CDP=15°，故答案为：15°．【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形和等边三角形的性质，轴对称最短线路问题等知识，明确AP+BP的最小值为AD长是解题的关键．14．（2022·湖北·武汉市六中位育中学八年级）如图，//AB DP ，E 为DP 上一动点，AB CB CD ==，过A 作AN EC ^交直线EC 于N ，过D 作DM EC ^交直线EC 于点M ，若114B Ð=°，当AN DM -的值最大时，则ACE Ð= ________ ．【答案】123°【分析】当DM 与DP 重合，AN 与AB 重合时，|AN -DM |的值最大，此时|AN -DM |=AB ，画出相应的图形，根据条件，利用三角形的内角和、邻补角的意义，求出结果．【详解】解：当DM 与DP 重合，AN 与AB 重合时，|AN -DM |的值最大，此时|AN -DM |=AB ，∵∠ABC =114°，∴∠CDE =180°-114°=66°，∴∠MCD =90°-66°=24°，又∵AB =BC ，∴∠ACB =（180°-114°）÷2=33°，∴∠ACE =180°-∠ACB -∠DCM =180°-33°-24°=123°，故答案为：123°．【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形内角和、直角三角形、等腰三角形的性质等知识，根据题意画出相应图形是解决问题的关键．。
将军一马数学题
将军一马数学题
（原创版）
目录
1.将军一马数学题的背景和起源
2.将军一马数学题的解题思路和方法
3.将军一马数学题的启示和价值
正文
一、将军一马数学题的背景和起源
“将军一马数学题”起源于古代战争中的一个故事。
据说，古时一位将军在战场上遇到了一个棘手的问题：他需要率领部队穿越一片狭窄的峡谷，但敌人在峡谷的另一侧设有重兵把守。
为了尽快通过峡谷，将军需要找到一种方法，使得部队既能够安全通过，又能够最大限度地减少敌人的攻击。
这个问题逐渐演变成了一个著名的数学问题，即“将军一马数学题”。
二、将军一马数学题的解题思路和方法
将军一马数学题的解题思路主要涉及到图论中的最短路径问题。
最短路径问题是指在给定有向图或无向图中，从源节点到目的节点之间寻找一条边权值之和最小的路径问题。
解决这个问题的方法有 Dijkstra 算法、Floyd 算法等。
将军一马数学题的解题过程可以分为以下几个步骤：
1.将将军和马看作两个节点，峡谷看作一条边，构建一个图模型。
2.利用最短路径算法，如 Dijkstra 算法或 Floyd 算法，求解从将军节点到马节点的最短路径。
3.根据算法结果，将军可以通过的最短路径来指导他的行动，以最小化敌人的攻击。
三、将军一马数学题的启示和价值
将军一马数学题不仅具有趣味性，还具有一定的现实意义。
它启示我们在解决实际问题时，可以将问题抽象成数学模型，利用数学方法来求解。
同时，它也体现了数学在战争、工程等领域中的应用价值。
此外，将军一马数学题也反映了图论这一数学分支在实际问题中的广泛应用。
揭秘：粟裕的几次败仗
揭秘：粟裕的几次败仗粟裕素以能征善战、愈战愈奇著称于世。
毛泽东曾说，数粟裕最会打仗。
苏中民谣“毛主席当家家家旺粟司令打仗仗仗胜”，其实粟裕指挥的第三野战军是五大野战军中战绩最大，损失也是最大的一支部队。
在这里仅把所知道一些战役粗略统计了一下，总结了粟裕指挥三野的八大败仗，供大家探讨，有些战例的资料缺乏，仅作参考，欢迎给予补充。
一、泗县战役1946年7月华野山东部队将国民党第7军的172师包围在泗县城里打了两天，华野损失惨重。
此时国民党第7军的171师也突破阻击逼近泗县，对粟裕部队形成内外夹攻之势，华野不得不撤围。
其中华野核心主力之一的鲁南第8师遭受重大损失，伤亡过半。
从此国民党第7军中便流传着“钢军硬，共军不敢碰一碰”的顺口溜。
如果按“8师伤亡过半”的标准，那么泗县战役，仅8师就伤亡5000人左右。
再加上参战的2纵、9纵，此役，解放军伤亡应在7000人左右，国民党军仅损失3000人。
二、淮阴之战1946年9月，张灵甫率国民党整编74师主攻苏皖解放区首府淮阴，整编74师一路突破华野在运河与洪泽湖之间设置三道防线，到达淮阴城下，谭震林下令扒开运河大堤，放水也无法迟滞74师的迅猛攻击。
18日张灵甫亲临一线督战，发起夜战，从解放军各纵队的结合部成功突破，用假口令诈开南门，对华野进行内外夹击，解放军反击未能奏效，全线崩溃，被迫于19日撤出淮阴。
74师继续追击，又于22日攻占淮安，至此，国民党军控制两淮，张灵甫获三等云麾勋章。
解放军在华东只剩下了山东解放区，华中主要工商区两淮的丢失对于华野兵力补充、后勤补给和部队回旋都造成了致命的打击。
三、第二次涟水保卫战1946年12月，张灵甫统一指挥国民党军整编74师和整编第28师第192旅以及新7军一部共5个旅二攻涟水，张灵甫吸取以往教训，以一部从西面攻击涟水，解放军措手不及，华野三大主力之一的第6师奉命回师增援，在涟水城外被74师重创，6师伤亡达5000人以上，完全丧失了战斗力。
江苏省泰兴市黄桥集团2024届中考数学押题试卷含解析
江苏省泰兴市黄桥集团2024届中考数学押题试卷注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．如图，∠ACB=90°，D 为AB 的中点，连接DC 并延长到E ，使CE=13CD ，过点B 作BF ∥DE ，与AE 的延长线交于点F ，若AB=6，则BF 的长为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．102．全球芯片制造已经进入10纳米到7纳米器件的量产时代. 中国自主研发的第一台7纳米刻蚀机，是芯片制造和微观加工最核心的设备之一，7纳米就是0.000000007米. 数据0.000000007用科学计数法表示为（ ） A ．9710-⨯ B ．10710-⨯ C ．11710-⨯ D ．12710-⨯3．一球鞋厂，现打折促销卖出330双球鞋，比上个月多卖10%，设上个月卖出x 双，列出方程（ ） A ．10%x ＝330B ．（1﹣10%）x ＝330C ．（1﹣10%）2x ＝330D ．（1+10%）x ＝3304．如图，在⊙O 中，弦AB=CD ，AB ⊥CD 于点E ，已知CE•ED=3，BE=1，则⊙O 的直径是（ ）A ．2B 5C ．5D ．55．下面调查方式中，合适的是（ ）A ．调查你所在班级同学的体重，采用抽样调查方式B ．调查乌金塘水库的水质情况，采用抽样调査的方式C．调查《CBA联赛》栏目在我市的收视率，采用普查的方式D．要了解全市初中学生的业余爱好，采用普查的方式6．若分式11x-有意义，则x的取值范围是A．x＞1 B．x＜1 C．x≠1D．x≠07．如图是由五个相同的小立方块搭成的几何体，则它的俯视图是（）A．B．C．D．8．下图是某几何体的三视图，则这个几何体是（）A．棱柱B．圆柱C．棱锥D．圆锥9．如图，已知AB∥CD，∠1=115°，∠2=65°，则∠C等于（）A．40°B．45°C．50°D．60°10．如图，AD是半圆O的直径，AD＝12，B，C是半圆O上两点．若AB BC CD==，则图中阴影部分的面积是（）A．6πB．12πC．18πD．24π二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．分解因式：m3–m=_____．12．如图，CB=CA，∠ACB=90°，点D在边BC上(与B、C不重合)，四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，给出以下结论：①AC=FG；②S△FAB：S四边形CBFG=1：2；③∠ABC=∠ABF；④AD2=FQ•AC，其中正确的结论的个数是______．13．如图，四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，AB＝6，对角线AC与BD相交于点O，点E在AC上，若OE＝23，则CE的长为_______14．如果抛物线y=（m﹣1）x2的开口向上，那么m的取值范围是__．15．如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=50°，则∠2=_____°．16．布袋中装有2个红球和5个白球，它们除颜色外其它都相同．如果从这个布袋里随机摸出一个球，那么所摸到的球恰好为红球的概率是 ________．三、解答题（共8题，共72分）17．（8分）定义：如果把一条抛物线绕它的顶点旋转180°得到的抛物线我们称为原抛物线的“孪生抛物线”．(1)求抛物线y＝x2﹣2x的“孪生抛物线”的表达式；(2)若抛物线y＝x2﹣2x+c的顶点为D，与y轴交于点C，其“孪生抛物线”与y轴交于点C′，请判断△DCC’的形状，并说明理由：(3)已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3与y轴交于点C，与x轴正半轴的交点为A，那么是否在其“孪生抛物线”上存在点P，在y轴上存在点Q，使以点A、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由．18．（8分）如图，四边形ABCD中，∠C＝90°，AD⊥DB，点E为AB的中点，DE∥BC.（1）求证：BD平分∠ABC；（2）连接EC，若∠A＝30°，DC＝3，求EC的长.19．（8分）如图所示，点B、F、C、E在同一直线上，AB⊥BE，DE⊥BE，连接AC、DF，且AC=DF，BF=CE，求证：AB=DE．20．（8分）如图，要在木里县某林场东西方向的两地之间修一条公路MN，已知C点周围200米范围内为原始森林保护区，在MN上的点A处测得C在A的北偏东45°方向上，从A向东走600米到达B处，测得C在点B的北偏西60°方向上．（1）MN是否穿过原始森林保护区，为什么？（参考数据：3≈1.732）（2）若修路工程顺利进行，要使修路工程比原计划提前5天完成，需将原定的工作效率提高25%，则原计划完成这项工程需要多少天？21．（8分）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，∠ABC的平分线BD交AC于点D，DE⊥AB于点E．（1）依题意补全图形；（2）猜想AE与CD的数量关系，并证明．22．（10分）已知：如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB 的延长线于G．求证：△ADE≌△CBF；若四边形BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？并证明你的结论．23．（12分）﹣（﹣1）2018+4﹣（13）﹣124．为了计算湖中小岛上凉亭P到岸边公路l的距离，某数学兴趣小组在公路l上的点A处，测得凉亭P在北偏东60°的方向上；从A处向正东方向行走200米，到达公路l上的点B处，再次测得凉亭P在北偏东45°的方向上，如图所示．求凉亭P到公路l的距离．（结果保留整数，参考数据：2≈1.414，3≈1.732）参考答案一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1、C【解题分析】∵∠ACB=90°，D为AB的中点，AB=6，∴CD=12AB=1．又CE=13 CD，∴CE=1，∴ED=CE+CD=2．又∵BF∥DE，点D是AB的中点，∴ED是△AFB的中位线，故选C．2、A【解题分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【题目详解】数据0.000000007用科学记数法表示为7×10-1．故选A．【题目点拨】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．3、D【解题分析】解：设上个月卖出x双，根据题意得：（1+10%）x=1．故选D．4、C【解题分析】作OH⊥AB于H，OG⊥CD于G，连接OA，根据相交弦定理求出EA，根据题意求出CD，根据垂径定理、勾股定理计算即可．【题目详解】解：作OH⊥AB于H，OG⊥CD于G，连接OA，由相交弦定理得，CE•ED=EA•BE，即EA×1=3，解得，AE=3，∴AB=4，∵OH⊥AB，∴AH=HB=2，∵AB=CD，CE•ED=3，∴CD=4，∵OG⊥CD，∴EG=1，由题意得，四边形HEGO是矩形，由勾股定理得，OA=225AH OH +=，∴⊙O 的直径为25，故选C ．【题目点拨】此题考查了相交弦定理、垂径定理、勾股定理、矩形的判定与性质；根据图形作出相应的辅助线是解本题的关键． 5、B【解题分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．【题目详解】A 、调查你所在班级同学的体重，采用普查，故A 不符合题意；B 、调查乌金塘水库的水质情况，无法普查，采用抽样调査的方式，故B 符合题意；C 、调查《CBA 联赛》栏目在我市的收视率，调查范围广适合抽样调查，故C 不符合题意；D 、要了解全市初中学生的业余爱好，调查范围广适合抽样调查，故D 不符合题意；故选B ．【题目点拨】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．6、C【解题分析】分式分母不为0，所以10x -≠，解得1x ≠.故选：C.7、A【解题分析】试题分析：从上面看易得上面一层有3个正方形，下面中间有一个正方形．故选A ．【考点】简单组合体的三视图．8、D【解题分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．【题目详解】由俯视图易得几何体的底面为圆，还有表示锥顶的圆心，符合题意的只有圆锥．故选D ．【题目点拨】本题考查由三视图确定几何体的形状，主要考查学生空间想象能力以及对立体图形的认识．9、C【解题分析】分析：根据两直线平行，同位角相等可得1115EGD ∠=∠=︒，再根据三角形内角与外角的性质可得∠C 的度数． 详解：∵AB ∥CD ，∴1115EGD ∠=∠=︒，∵265∠=，∴1156550C ∠=-=，故选C.点睛：考查平行线的性质和三角形外角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.10、A【解题分析】根据圆心角与弧的关系得到∠AOB=∠BOC=∠COD=60°，根据扇形面积公式计算即可．【题目详解】∵AB BC CD ==，∴∠AOB=∠BOC=∠COD=60°.∴阴影部分面积=2606=6360⨯ππ. 故答案为：A.【题目点拨】本题考查的知识点是扇形面积的计算，解题关键是利用圆心角与弧的关系得到∠AOB=∠BOC=∠COD=60°.二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11、m （m+1）（m-1）【解题分析】根据因式分解的一般步骤：一提（公因式）、二套（平方差公式()()22a b a b a b -=+-，完全平方公式()2222a ab b a b ±+=±）、三检查（彻底分解），可以先提公因式，再利用平方差完成因式分解 【题目详解】解：()()()32111m m m m m m m -=-=+- 故答案为：m （m+1）（m-1）．【题目点拨】本题考查因式分解，掌握因式分解的技巧是解题关键．12、①②③④ ．【解题分析】由正方形的性质得出∠FAD ＝90°，AD ＝AF ＝EF ，证出∠CAD ＝∠AFG ，由AAS 证明△FGA ≌△ACD ，得出AC ＝FG ，①正确；证明四边形CBFG 是矩形，得出S △FAB ＝12FB •FG ＝12S 四边形CBFG ，②正确； 由等腰直角三角形的性质和矩形的性质得出∠ABC ＝∠ABF ＝45°，③正确；证出△ACD ∽△FEQ ，得出对应边成比例，得出④正确．【题目详解】解：∵四边形ADEF 为正方形，∴∠FAD ＝90°，AD ＝AF ＝EF ，∴∠CAD ＋∠FAG ＝90°，∵FG ⊥CA ，∴∠GAF ＋∠AFG ＝90°，∴∠CAD ＝∠AFG ，在△FGA 和△ACD 中，G C AFG CAD AF AD ＝＝＝∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，∴△FGA ≌△ACD （AAS ），∴AC ＝FG ，①正确；∵BC ＝AC ，∴FG ＝BC ，∵∠ACB ＝90°，FG ⊥CA ，∴FG ∥BC ，∴四边形CBFG 是矩形，∴∠CBF ＝90°，S △FAB ＝12FB •FG ＝12S 四边形CBFG ，②正确； ∵CA ＝CB ，∠C ＝∠CBF ＝90°，∴∠ABC ＝∠ABF ＝45°，③正确；∵∠FQE ＝∠DQB ＝∠ADC ，∠E ＝∠C ＝90°，∴△ACD ∽△FEQ ，∴AC ：AD ＝FE ：FQ ，∴AD •FE ＝AD 2＝FQ •AC ，④正确；故答案为①②③④．【题目点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的性质；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键．13、或【解题分析】分析：由菱形的性质证出△ABD 是等边三角形，得出BD =AB =6，132OB BD ==，由勾股定理得出OC OA ===，即可得出答案． 详解：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB =AD =6，AC ⊥BD ，OB =OD ，OA =OC ，∵60BAD ∠=︒，∴△ABD 是等边三角形，∴BD =AB =6， ∴132OB BD ==，∴OC OA ===∴2AC OA ==∵点E 在AC 上,23OE =， ∴当E 在点O 左边时2353CE OC =+=，当点E 在点O 右边时233CE OC =-=，∴53CE =或3；故答案为53或3.点睛：考查菱形的性质，注意分类讨论思想在数学中的应用，不要漏解.14、m ＞2【解题分析】试题分析：根据二次函数的性质可知，当抛物线开口向上时，二次项系数m ﹣2＞2．解：因为抛物线y=（m ﹣2）x 2的开口向上，所以m ﹣2＞2，即m ＞2，故m 的取值范围是m ＞2．考点：二次函数的性质．15、40【解题分析】如图，∵∠1=50°，∴∠3=∠1=50°，∴∠2=90°﹣50°=40°，故答案为：40.16、【解题分析】试题解析：∵一个布袋里装有2个红球和5个白球，∴摸出一个球摸到红球的概率为：．考点：概率公式．三、解答题（共8题，共72分）17、（1）y=-（x-1）²=-x²+2x-2;（2）等腰Rt △，（3）P1（3，-8），P2（-3，-20）.【解题分析】（1）当抛物线绕其顶点旋转180°后，抛物线的顶点坐标不变，只是开口方向相反，则可根据顶点式写出旋转后的抛物线解析式；（2）可分别求出原抛物线和其“孪生抛物线”与y轴的交点坐标C、C′，由点的坐标可知△DCC’是等腰直角三角形；（3）可求出A（3，0），C（0，-3），其“孪生抛物线”为y=-x2+2x-5，当AC为对角线时，由中点坐标可知点P不存在，当AC为边时，分两种情况可求得点P的坐标．【题目详解】（1）抛物线y=x2-2x化为顶点式为y=（x-1）2-1，顶点坐标为（1，-1），由于抛物线y=x2-2x绕其顶点旋转180°后抛物线的顶点坐标不变，只是开口方向相反，则所得抛物线解析式为y=-（x-1）2-1=-x2+2x-2；（2）△DCC'是等腰直角三角形，理由如下：∵抛物线y=x2-2x+c=（x-1）2+c-1，∴抛物线顶点为D的坐标为（1，c-1），与y轴的交点C的坐标为（0，c），∴其“孪生抛物线”的解析式为y=-（x-1）2+c-1，与y轴的交点C’的坐标为（0，c-2），∴CC'=c-（c-2）=2，∵点D的横坐标为1，∴∠CDC'=90°，由对称性质可知DC=DC’，∴△DCC'是等腰直角三角形；（3）∵抛物线y=x2-2x-3与y轴交于点C，与x轴正半轴的交点为A，令x=0，y=-3，令y=0时，y=x2-2x-3，解得x1=-1，x2=3，∴C（0，-3），A（3，0），∵y=x2-2x-3=（x-1）2-4，∴其“孪生抛物线”的解析式为y=-（x-1）2-4=-x2+2x-5，若A、C为平行四边形的对角线，∴其中点坐标为(32，−32)，设P（a，-a2+2a-5），∵A、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，∴Q（0，a-3），∴23252a a a--+-＝−32，化简得，a2+3a+5=0，△＜0，方程无实数解，∴此时满足条件的点P不存在，若AC为平行四边形的边，点P在y轴右侧，则AP∥CQ且AP=CQ，∵点C和点Q在y轴上，∴点P的横坐标为3，把x=3代入“孪生抛物线”的解析式y=-32+2×3-5=-9+6-5=-8，∴P1（3，-8），若AC为平行四边形的边，点P在y轴左侧，则AQ∥CP且AQ=CP，∴点P的横坐标为-3，把x=-3代入“孪生抛物线”的解析式y=-9-6-5=-20，∴P2（-3，-20）∴原抛物线的“孪生抛物线”上存在点P1（3，-8），P2（-3，-20），在y轴上存在点Q，使以点A、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形．【题目点拨】本题是二次函数综合题型，主此题主要考查了根据二次函数的图象的变换求抛物线的解析式，解题的关键是求出旋转后抛物线的顶点坐标以及确定出点P的位置，注意分情况讨论．18、（1）见解析；（2）EC=【解题分析】（1）直接利用直角三角形的性质得出12DE BE AB==，再利用DE∥BC，得出∠2＝∠3，进而得出答案；（2）利用已知得出在Rt△BCD中，∠3＝60°，DC=，得出DB的长，进而得出EC的长. 【题目详解】（1）证明：∵AD⊥DB，点E为AB的中点，∴12DE BE AB==.∴∠1＝∠2.∵DE∥BC，∴∠2＝∠3.∴∠1＝∠3.∴BD平分∠ABC.（2）解：∵AD⊥DB，∠A＝30°，∴∠1＝60°.∴∠3＝∠2＝60°.∵∠BCD＝90°，∴∠4＝30°.∴∠CDE＝∠2+∠4＝90°.在Rt△BCD中，∠3＝60°，3DC=，∴DB＝2.∵DE＝BE，∠1＝60°，∴DE＝DB＝2.∴22437EC DE DC=+=+=.【题目点拨】此题主要考查了直角三角形斜边上的中线与斜边的关系，正确得出DB，DE的长是解题关键.19、证明见解析【解题分析】试题分析：证明三角形△ABC≅△DEF,可得AB＝DE.试题解析：证明：∵BF＝CE，∴BC=EF,∵AB⊥BE，DE⊥BE，∴∠B=∠E=90°，AC=DF,∴△ABC≅△DEF,∴AB=DE.20、（1）MN不会穿过森林保护区.理由见解析；（2）原计划完成这项工程需要25天.【解题分析】试题分析：（1）要求MN是否穿过原始森林保护区，也就是求C到MN的距离．要构造直角三角形，再解直角三角形；（2）根据题意列方程求解．试题解析：（1）如图，过C作CH⊥AB于H，设CH=x，由已知有∠EAC=45°, ∠FBC=60°则∠CAH=45°, ∠CBA=30°，在RT△ACH中，AH=CH=x，在RT△HBC中，tan∠HBC=CH HB∴HB=tan30CH =33x =3x ， ∵AH+HB=AB∴x+3x=600解得x≈220（米）>200（米）．∴MN 不会穿过森林保护区．（2）设原计划完成这项工程需要y 天，则实际完成工程需要y-5根据题意得：15y =(1+25％)×1y，解得：y=25知：y=25的根． 答：原计划完成这项工程需要25天．21、 (1)见解析;(2)见解析.【解题分析】（1）根据题意画出图形即可；（2）利用等腰三角形的性质得∠A ＝45∘．则∠ADE ＝∠A ＝45°，所以AE ＝DE ，再根据角平分线性质得CD ＝DE ，从而得到AE ＝CD ．【题目详解】解：（1）如图：（2）AE 与 CD 的数量关系为AE ＝CD ．证明：∵∠C ＝90°，AC ＝BC ，∴∠A ＝45°．∵DE ⊥AB ，∴∠ADE ＝∠A ＝45°．∴AE ＝DE ，∵BD 平分∠ABC ，∴CD ＝DE ，∴AE ＝CD ．【题目点拨】此题考查等腰三角形的性质，角平分线的性质，解题关键在于根据题意作辅助线.22、（1）证明见解析（2）当四边形BEDF 是菱形时，四边形AGBD 是矩形；证明见解析；【解题分析】（1）在证明全等时常根据已知条件，分析还缺什么条件，然后用（SAS ，ASA ，SSS ）来证明全等；（2）先由菱形的性质得出AE=BE=DE ，再通过角之间的关系求出∠2+∠3=90°即∠ADB=90°，所以判定四边形AGBD 是矩形．【题目详解】解：()1证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴4C ∠=∠，AD CB =，AB CD =．∵点E 、F 分别是AB 、CD 的中点， ∴12AE AB =，12CF CD =． ∴AE CF =．在AED 和CBF 中，AD CB DAE C AE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ADE CBF SAS ≅．()2解：当四边形BEDF 是菱形时，四边形AGBD 是矩形．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴//AD BC ．∵//AG BD ，∴四边形AGBD 是平行四边形．∵四边形BEDF 是菱形，∴DE BE =．∵AE BE =，∴AE BE DE ==．∴12∠=∠，34∠=∠．∵1234180∠+∠+∠+∠=，∴2223180∠+∠=．∴2390∠+∠=．即90ADB ∠=．∴四边形AGBD 是矩形．【题目点拨】本题主要考查了平行四边形的基本性质和矩形的判定及全等三角形的判定．平行四边形基本性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．三角形全等的判定条件：SSS ，SAS ，AAS ，ASA ．23、-1.【解题分析】直接利用负指数幂的性质以及算术平方根的性质分别化简得出答案．【题目详解】原式=﹣1+1﹣3=﹣1．【题目点拨】本题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题的关键．24、凉亭P 到公路l 的距离为273.2m ．【解题分析】分析：作PD ⊥AB 于D ，构造出Rt △APD 与Rt △BPD ，根据AB 的长度．利用特殊角的三角函数值求解．【题目详解】详解：作PD ⊥AB 于D ．设BD=x，则AD=x+1．∵∠EAP=60°，∴∠PAB=90°﹣60°=30°．在Rt△BPD中，∵∠FBP=45°，∴∠PBD=∠BPD=45°，∴PD=DB=x．在Rt△APD中，∵∠PAB=30°，∴PD=tan30°•AD，即DB=PD=tan30°•AD=x=33（1+x），解得：x≈273.2，∴PD=273.2．答：凉亭P到公路l的距离为273.2m．【题目点拨】此题考查的是直角三角形的性质，解答此题的关键是构造出两个特殊角度的直角三角形，再利用特殊角的三角函数值解答．。
初中数学最值问题01专题-将军饮马模型与最值问题(含答案)
初中数学最值问题专题1 将军饮马模型与最值问题【模型导入】 什么是将军饮马？“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗。
而由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。
【模型描述】如图，将军在图中点A 处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？【模型抽象】如图，在直线上找一点P 使得P A +PB 最小？这个问题的难点在于P A +PB 是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段． 【模型解析】作点A 关于直线的对称点A ’，连接P A ’，则P A ’=P A ，所以P A +PB =P A ’+PB 当A ’、P 、B 三点共线的时候，P A ’+PB =A ’B ，此时为最小值（两点之间线段最短）B 将军军营河P【模型展示】【模型】一、两定一动之点点在OA 、OB 上分别取点M 、N ，使得△PMN 周长最小．此处M 、N 均为折点，分别作点P 关于OA （折点M 所在直线）、OB （折点N 所在直线）的对称点，化折线段PM +MN +NP 为P ’M +MN +NP ’’，当P ’、M 、N 、P ’’共线时，△PMN 周长最小．【例题】如图，点P 是∠AOB 内任意一点，∠AOB =30°，OP =8，点M 和点N 分别是射线OA 和射线OB 上的动点，则△PMN 周长的最小值为___________．BBP OBAMNP''A【模型】二、两定两动之点点在OA 、OB 上分别取点M 、N 使得四边形PMNQ 的周长最小。
考虑PQ 是条定线段，故只需考虑PM +MN +NQ 最小值即可，类似，分别作点P 、Q 关于OA 、OB 对称，化折线段PM +MN +NQ 为P ’M +MN +NQ ’，当P ’、M 、N 、Q ’共线时，四边形PMNQ 的周长最小。
苏版初二上册将军饮马模型浅解讲义
苏版初二上册13将军饮马问题=轴对称问题=最短距离问题（轴对称是工具，最短距离是题 眼）。
所谓轴对称是工具，即这类问题最常用的做法确实是作轴对称。
而最短距离 是题眼，也就意味着归类这类的题目的理由。
比如题目经常会显现线段 a+b 如此 的条件或者问题。
一旦显现能够快速联想到将军饮马问题，然后利用轴对称解题。
将军饮马故事“将军饮马”问题是数学问题中的经典题目，要紧转化成“两点之间线段最短问题” 原题：如图，一位将军，从A 地动身，骑马到河边给马饮水，然后再到B 地，问如何样选择饮水的地点，才能使所走的路程最短？模型一：一条定直线，同侧两定点在直线l 的同侧有两点A,B,在L 上求一点P ，使得PA+PB 值最小。
一样做法：作点 A （B ）关于直线的对称点，连接 A ’B ，A ’B 与直线交点即为所求点。
A ’B 即为最短距离 。
理由：A ’为 A 的对称点，因此不管 P 在直线任何位置都能得到 AP =A ’P 。
因此 PA+PB=PA ’+PB 。
如此问题就化成了求 A ’到 B 的最短距离，直截了当相连就能够了。
例一：某供电部门预备在输电主干线L 上连接一个分支线路，分支点为M ，同时向新落成的A 、B 两个居民小区送电。
已知两个居民小区A 、B 分别到主干线的距离AA1=2千米，BB1=1千米，且A1B1=4千米。
（1）假如居民小区A 、B 位于主干线L 的两旁，如图（1）所示，那么分支点M 在什么地点时总路线最短？最短线路的长度是多少千米？ （2）假如居民小区A 、B 位于主干线L 的同旁，如图（2）所示，那么分支点M 在什么地点时总路线最短？现在分支点M 与A1的距离是多少千米？ 模型二：一条定直线，一定点，一动点•A •B • A • B• B • A • A ’ • B ’ • A ’ • B ’ L L如图，已知直线L和定点A，在直线K上找一点B，在直线L上找一点P，使得AP+PB值最小。
2020中考数学专题8——最值问题之将军饮马 -含答案
【模型解析】2020 中考专题 8——最值问题之将军饮马班级姓名.总结：以上四图为常见的轴对称类最短路程问题，最后都转化到：“两点之间，线段最短”解决。
特点：①动点在直线上；②起点，终点固定；方法：作定点关于动点所在直线的对称点。
【例题分析】例1.如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB 的顶点A 在x 轴的正半轴上，顶点B 的坐标为(3，3 )，点C 的坐标为(1，0)，点2P 为斜边OB 上的一动点，则PA＋PC 的最小值为．例 2.如图，在五边形ABCDE 中，∠BAE＝120°，∠B＝∠E＝90°，AB＝BC＝1，AE＝DE＝2，在BC、DE 上分别找一点M、N．(1)当△AMN 的周长最小时，∠AMN＋∠ANM＝；(2)求△AMN 的周长最小值．例3.如图，正方形ABCD 的边长为 4，点E 在边BC 上且CE＝1，长为 2 的线段MN 在AC 上运动．(1)求四边形BMNE 周长最小值；(2)当四边形BMNE 的周长最小时，则tan∠MBC 的值为．例4.在平面直角坐标系中，已知点A(一 2，0)，点B(0，4)，点E 在OB 上，且∠OAE＝∠OB A．如图，将△AEO 沿x 轴向右平移得到△AE′O′，连接A'B、BE'．当AB＋BE'取得最小值时，求点E'的坐标．例5.如图，已知正比例函数y＝kx(k＞0)的图像与x轴相交所成的锐角为70°，定点A的坐标为(0，4)，P 为y 轴上的一个动点，M、N 为函数y＝kx(k＞0)的图像上的两个动点，则AM＋MP＋PN 的最小值为．【巩固训练】1.如图1 所示，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P，使PD＋PE 的和最小，则这个最小值为．图1 图2 图3 图42.如图2，在菱形ABCD 中，对角线AC＝6，BD＝8，点E、F、P 分别是边AB、BC、AC 上的动点，PE＋PF 的最小值是．3.如图3，在边长为2 的等边△ABC 中，D 为BC 的中点，E 是AC 边上一点，则BE＋DE 的最小值为．4.如图 4，钝角三角形ABC 的面积为 9，最长边AB＝6，BD 平分∠ABC，点M、N 分别是BD、BC 上的动点，则CM＋MN 的最小值为．5.如图5，在△ABC 中，AM 平分∠BAC，点D、E 分别为AM、AB 上的动点，＝6，则BD＋DE的最小值为(1)若AC＝4，S△ABC(2)若∠BAC＝30°，AB＝8，则BD＋DE 的最小值为．(3)若AB＝17，BC＝10，CA＝21，则BD＋DE 的最小值为．6.如图6，在△ABC中，AB＝BC＝4，S△ABC＝4一点，则PK＋QK 的最小值为．，点P、Q、K 分别为线段AB、BC、AC 上任意图6 图7 图8 图97.如图7，AB 是⊙O 的直径，AB＝8，点M 在⊙O 上，∠MAB＝20°，N 是弧MB 的中点，P 是直径AB 上的一动点，则PM＋PN 的最小值为．8.如图 8，在锐角△ABC 中，AB＝4，∠BAC＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D，M、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM＋MN 的最小值是．9.如图 9，圆柱形玻璃杯高为 12cm、底面周长为 18cm，在杯内离杯底 4cm 的点C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿 4cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为cm．10.如图 10，菱形OABC 中，点A 在x 轴上，顶点C 的坐标为(1，OC、OB 上，则CE＋DE＋DB 的最小值是．)，动点D、E 分别在射线图10 图11 图12 图1311.如图 11，点A(a，1)、B(－1，b)都在双曲线y＝－3(x＜0)上，点P、Q 分别是x 轴、y 轴上x的动点，当四边形PABQ 的周长取最小值时，PQ 所在直线的解析式是．12.如图12，点P 是∠AOB 内任意一点，OP＝5cm，点M 和点N 分别是射线OA 和射线OB 上的动点，△PMN 周长的最小值是5cm，则∠AOB 的度数是．13.如图13，∠AOB＝30°，点M、N 分别在边OA、OB 上，且OM＝1，ON＝3，点P、Q 分别在边OB、OA 上，则MP＋PQ＋QN 的最小值是．14.如图 14，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，点D 是AB 边的中点，过D 作DE⊥BC 于点E． (1)点P 是边BC 上的一个动点，在线段BC 上找一点P，使得AP＋PD 最小，在下图中画出点P； (2)在(1)的条件下，连接CD 交AP 于点Q，求AQ 与PQ 的数量关系；图 143315. 在矩形 ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，G 为边 AD 的中点．(1) 如图 1，若 E 为 AB 上的一个动点，当△CGE 的周长最小时，求 AE 的长．(2) 如图 2，若 E 、F 为边 AB 上的两个动点，且 EF ＝4，当四边形 CGEF 的周长最小时，求 AF的长．16. 如图，抛物线 y = - 1x 2+ 2x + 4 交y 轴于点B ，点A 为x 轴上的一点，OA =2，过点A 作直线MN ⊥ AB2 交抛物线与 M 、N 两点. （1） 求直线 AB 的解析式；（2） 将线段 AB 沿 y 轴负方向平移 t 个单位长度，得到线段 A 1B 1 ，求 MA 1 + MB 1 取最小值时实数 t 的值.33172020 中考专题 8——最值问题之将军饮马参考答案例1.解：作A 关于OB 的对称点D，连接CD 交OB 于P，连接AP，过D 作DN⊥OA 于N，则此时PA＋PC 的值最小，∵DP＝PA，∴PA＋PC＝PD＋PC＝CD，∵B(3，)，∴AB＝，OA＝3，∵tan∠AOB＝AB＝3，∴∠AOB＝30°，∴OB＝2AB＝2 ，OA 31 1 3 3由三角形面积公式得：×OA×AB＝2×OB×AM，∴AM＝2，∴AD＝2×2＝3，2∵∠AMB＝90°，∠B＝60°，∴∠BAM＝30°，∵∠BAO＝90°，∴∠OAM＝60°，∵DN⊥OA，∴∠NDA＝30°，∴AN＝1AD＝23，由勾股定理得：2DN＝33 ，2∵C(1，0)，∴CN＝3﹣1﹣2 23＝1，在Rt△DNC 中，由勾股定理得：DC＝，2 2即PA＋PC 的最小值是31．2例2.解：作A 关于BC 和ED 的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC 于M，交ED 于N，则A′A″即为△AMN 的周长最小值．⑴作EA 延长线的垂线，垂足为H，∠BAE＝120°，∴∠AA′A″＋∠AA″A′＝60°，∠AA′A″＝∠A′AM，∠AA″A′＝∠EAN，∴∠CAN＝120°－∠AA′A″－∠AA″A′＝60°，也就是说∠AMN＋∠ANM＝180°－60°＝120°.⑵过点A′作EA 延长线的垂线，垂足为H，∵AB＝BC＝1，AE＝DE＝2，∴AA′＝2BA＝2，AA″＝2AE＝4，则Rt△A′HA 中，∵∠EAB＝120°，∴∠HAA′＝60°，∵A′H⊥HA，∴∠AA″H＝30°，∴AH＝1AA′＝1，∴A′H＝2，A″H＝1＋4＝5，∴A′A″＝2 ，例3.解：作EF∥AC 且EF＝于P，，连结DF 交AC 于M，在AC 上截取MN＝，延长DF 交BC 作FQ⊥BC 于Q，作出点E 关于AC 的对称点E′，则CE′＝CE＝1，将MN 平移至E′F′处，3332242 - 22 3 3 则四边形 MNE ′F ′为平行四边形，当 BM ＋EN ＝BM ＋FM ＝BF ′时，四边形 BMNE 的周长最小， 由∠FEQ ＝∠ACB ＝45°，可求得 FQ ＝EQ ＝1，∵∠DPC ＝∠FPQ ，∠DCP ＝∠FQP ，∴△PFQ ∽△PDC ， ∴PQ PQ + QE + EC ＝ PQ ，∴ CD PQ PQ + 2 1 ＝ ，解得：PQ ＝ 4 2 ，∴PC ＝ 8 ，3 3由对称性可求得 tan ∠MBC ＝tan ∠PDC ＝ 2 ．3例 4.【提示】将△AEO 向右平移转化为△AEO 不动，点 B 向左平移，则点 B 移动的轨迹为一平行于 x 轴的直线，所以作点 E 关于该直线的对称点 E 1，连接 AE 1，与该直线交点 F 即为最小时点 B 的位置，求出 BF 长度即可求出点 E 向右平移的距离．例 5.解：如图所示，直线 OC 、y 轴关于直线 y ＝kx 对称，直线 OD 、直线 y ＝kx 关于 y 轴对称，点A ′是点 A 关于直线 y ＝kx 的对称点．作 A ′E ⊥OD 垂足为 E ，交 y 轴于点 P ，交直线 y ＝kx 于 M ，作 PN ⊥直线 y ＝kx 垂足为 N ， ∵PN ＝PE ，AM ＝A ′M ，∴AM ＋PM ＋PN ＝A ′M ＋PM ＋PE ＝A ′E 最小(垂线段最短)， 在 RT △A ′EO 中，∵∠A ′EO ＝90°，OA ′＝4，∠A ′OE ＝3∠AOM ＝60°， ∴OE ＝1OA ′＝2，A ′E ＝ ＝2 ．2 ∴AM ＋MP ＋PN 的最小值为 2 ．333337【巩固训练】答案1.解：连接BD，∵点B 与D 关于AC 对称，∴PD＝PB，∴PD＋PE＝PB＋PE＝BE 最小．∵正方形ABCD 的面积为 12，∴AB＝2又∵△ABE 是等边三角形，∴BE＝AB＝2，，故所求最小值为2 ．2.解：∵四边形ABCD 是菱形，对角线AC＝6，BD＝8，∴AB＝5，作E 关于AC 的对称点E′，作E′F⊥BC 于F 交AC 于P，连接PE，则E′F 即为PE＋PF 的最小值，∵1⋅AC⋅BD＝AD⋅E′F，∴E′F＝24，∴PE＋PF 的最小值为24.2 5 53.解：作B 关于AC 的对称点B′，连接BB′、B′D，交AC 于E，此时BE＋ED＝B′E＋ED＝B′D，根据两点之间线段最短可知B′D 就是BE＋ED 的最小值，∵B、B′关于AC 的对称，∴AC、BB′互相垂直平分，∴四边形ABCB′是平行四边形，∵三角形ABC 是边长为2，D 为BC 的中点，∴AD⊥BC，AD＝，BD＝CD＝1，BB′＝2AD＝2 ，作B′G⊥BC 的延长线于G，∴B′G＝AD＝，在Rt△B′BG 中，BG＝3，∴DG＝BG﹣BD＝3﹣1＝2，在Rt△B′DG 中，B′D＝．故BE＋ED 的最小值为7 ．4.解：过点C 作CE⊥AB 于点E，交BD 于点M，过点M 作MN⊥BC 于N，∵BD 平分∠ABC，ME⊥AB 于点E，MN⊥BC 于N，∴MN＝ME，∴CE＝CM＋ME＝CM＋MN 是最小值．∵三角形ABC 的面积为 9，AB即CM＋MN 的最小值为 3．＝6，∴12×6⋅CE＝9，∴CE＝3．333335.提示：作点E 关于AM 的对称点E′，BH⊥AC 于H，易知BD＋DE 的最小值即为BH 的长. 答案：(1)3；(2)4；(3)8．6.解：如图，过A 作AH⊥BC 交CB 的延长线于H，∵AB＝CB＝4，S△ABC＝4，∴AH＝2，∴cos∠HAB＝AH＝2 3＝3，∴∠HAB＝30°，∴∠ABH＝60°，∴∠ABC＝120°，AB 4 2∵∠BAC＝∠C＝30°，作点P 关于直线AC 的对称点P′，过P′作P′Q⊥BC 于Q 交AC 于K，则P′Q 的长度＝PK＋QK 的最小值，∴∠P′AK＝∠BAC＝30°，∴∠HAP′＝90°，∴∠H＝∠HAP′＝∠P′QH＝90°，∴四边形AP′QH 是矩形，∴P′Q＝AH＝2 ，即PK＋QK 的最小值为2 ．7.解：作点N 关于AB 的对称点N′，连接OM、ON、ON′、MN′，则MN′与AB 的交点即为PM＋PN 的最小时的点，PM＋PN 的最小值＝MN′，∵∠MAB＝20°，∴∠MOB＝2∠MAB＝2×20°＝40°，∵N 是弧MB 的中点，∴∠BON＝12∠MOB＝1×40°＝20°，2由对称性，∠N′OB＝∠BON＝20°，∴∠MON′＝∠MOB＋∠N′OB＝40°＋20°＝60°，∴△MON′是等边三角形，∴MN′＝OM＝OB＝1AB＝18 ＝4，2 2∴PM＋PN 的最小值为 4，22338.解：如图，作BH⊥AC，垂足为H，交AD 于M′点，过M′点作M′N′⊥AB，垂足为N′，则BM′＋M′N′为所求的最小值．∵AD 是∠BAC 的平分线，∴M′H＝M′N′，∴BH 是点 B 到直线AC 的最短距离，∵AB＝4，∠BAC＝45°，∴BH＝AB sin45°＝4×2＝2 ．2∵BM＋MN 的最小值是BM′＋M′N′＝BM′＋M′H＝BH＝2 ．9.解：沿过A 的圆柱的高剪开，得出矩形EFGH，过C 作CQ⊥EF 于Q，作A 关于EH 的对称点A′，连接A′C 交EH 于P，连接AP，则AP＋PC 就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，∵AE＝A′E，A′P＝AP，∴AP＋PC＝A′P＋PC＝A′C，∵CQ＝1×182cm＝9cm，A′Q＝12cm﹣4cm＋4cm＝12cm，在Rt△A′QC 中，由勾股定理得：A′C＝15cm，故答案为：15．10.解：连接AC，作B 关于直线OC 的对称点E′，连接AE′，交OC 于D，交OB 于E，此时CE＋DE＋BD 的值最小，∵四边形OCBA 是菱形，∴AC⊥OB，AO＝OC，即A 和C 关于OB 对称，∴CE＝AE，∴DE＋CE＝DE＋AE＝AD，∵B 和E′关于OC 对称，∴DE′＝DB，∴CE＋DE＋DB＝AD＋DE′＝AE′，过C 作CN⊥OA 于N，∵C(1，)，∴ON＝1，CN＝，由勾股定理得：O C＝2，即AB＝BC＝OA＝OC＝2，∴∠CON＝60°，∴∠CBA＝∠COA＝60°，∵四边形COAB 是菱形，∴BC∥OA，∴∠DCB＝∠COA＝60°，∵B 和E′关于OC 对称，∴∠BFC＝90°，∴∠E′BC＝90°﹣60°＝30°，∴∠E′BA＝60°＋30°＝90°，CF＝1BC＝1，由勾股定理得：BF＝2＝E′F，在Rt△EBA 中，由勾股定理得：AE′＝4，即CE＋DE＋DB 的最小值是 4．310 ⎩⎩11.解：把点 A (a ，1)、B (﹣1，b )代入 y ＝﹣ 3(x ＜0)得 a ＝﹣3，b ＝3，则 A (﹣3，1)、B (﹣1，x3)，作 A 点关于 x 轴的对称点 C ，B 点关于 y 轴的对称点 D ，所以 C 点为(﹣3，﹣1)，D 点为(1， 3)，连结 CD 分别交 x 轴、y 轴于 P 点、Q 点，此时四边形 PABQ 的周长最小，设直线 CD 的解析式为 y ＝kx ＋b ，则⎧-3k + b = -1 ，解得⎧k = 1，所以直线 CD 的解析式为 y ＝x ＋2．⎨k + b = 3 ⎨b = 212.解：分别作点 P 关于 OA 、OB 的对称点 C 、D ，连接 CD ，分别交 OA 、OB 于点 M 、N ，连接 OC 、OD 、PM 、PN 、MN ，如图所示：∵点 P 关于 OA 的对称点为 D ，关于 OB 的对称点为 C ，∴PM ＝DM ，OP ＝OD ，∠DOA ＝∠ POA ；∵点 P 关于 OB 的对称点为 C ，∴PN ＝CN ，OP ＝OC ，∠COB ＝∠POB ， ∴OC ＝OP ＝OD ，∠AOB ＝1∠COD ，2∵△PMN 周长的最小值是 5cm ，∴PM ＋PN ＋MN ＝5，∴DM ＋CN ＋MN ＝5，即 CD ＝5＝OP ， ∴OC ＝OD ＝CD ，即△OCD 是等边三角形，∴∠COD ＝60°，∴∠AOB ＝30°；13 解：作 M 关于 OB 的对称点 M ′，作 N 关于 OA 的对称点 N ′，连接 M ′N ′，即为 MP ＋PQ ＋QN 的最小值．根据轴对称的定义可知：∠N ′OQ ＝∠M ′OB ＝30°，∠ONN ′＝60°， ∴△ONN ′为等边三角形，△OMM ′为等边三角形，∴∠N ′OM ′＝90°， ∴在 Rt △M′ON′中，M ′N ′＝ ．故答案为 ．10314.解：(1)作点 A 关于BC 的对称点 A′，连 DA′交BC 于点P.(2)由(1)可证得PA 垂直平分CD，∴AQ＝CQ＝3PQ15.解：(1)∵E 为AB 上的一个动点，∴作G 关于AB 的对称点M，连接CM 交AB 于E，那么E 满足使△CGE 的周长最小；∵在矩形ABCD 中，AB＝6，BC＝8，G 为边AD 的中点，∴AG＝AM＝4，MD＝12，而AE∥CD，∴△AEM∽△DCM，∴AE：CD＝MA：MD，∴AE＝CD ⨯MA＝2；MD(2)∵E 为AB 上的一个动点，∴如图，作G 关于AB 的对称点M，在CD 上截取CH＝4，然后连接HM 交AB 于E，接着在EB 上截取EF＝4，那么E、F 两点即可满足使四边形CGEF 的周长最小．∵在矩形ABCD 中，AB＝6，BC＝8，G 为边AD 的中点，∴AG＝AM＝4，MD＝12，而CH＝4，∴DH＝2，而AE∥CD，∴△AEM∽△DHM，∴AE：HD＝MA：MD，∴AE＝HD ⨯MAMD＝2，3∴AF ＝4＋2＝14．3 316.解：（1）依题意，易得B（0，4），A（2，0），则AB解析式：y=-2x+4（2）∵AB⊥MN∴直线MN：y =1x - 12⎧y =-1x2+ 2x + 4⎪与抛物线联立可得：⎨⎪y =⎩21x - 1 2解得：M（-2，-2）将AB向负方向平移t个单位后，A1（2，-t），B1（0，4-t）则A1 关于直线x=-2 的对称点A2 为（-6，-t）当A2、M、B1 三点共线时，MA1 +MB1取最小值∴t =143。
行程问题(提高卷)-六年级数学小升初思维拓展(通用版)
行程问题一、选择题(共16小题)1.两辆汽车都从北京出发到天津，货车每小时行60千米，15小时可到达。
客车每小时行50千米，如果两辆车要同时到达，客车要早出发小时。
()A.1B.2C.3D.42.美美家到学校的距离为1543米，她步行的速度为55米每分钟，当她走了20分钟，距离学校还有米。
()A.243B.288C.443D.5433.十八世纪，某国、某人在浓雾中散步，另一乘马车之人从他身后来到他身旁，他问马车的速度是多少，对方答道：每分钟176米．二人各自继续同向而行，5分钟后，乘马车之人在他前方660米处隐于浓雾中看不见了．问步行人每分钟步行()A.11米B.22米C.33米D.44米4.小明由家去学校然后又按原路返回，去时每分钟行a米，回来时每分钟行b米，求小明来回的平均速度的正确算式是()A.(a+b)÷2B.2÷(a+b)C.1÷(1a +1b) D.2÷(1a+1b)5.亮亮早上8：00从甲地出发去乙地，速度是每小时8千米．他在中间休息了1小时，结果中午12：00到达乙地．那么，甲、乙两地之间的距离是( )千米．A.16B.24C.32D.406.小亮上山时的速度是每小时走2千米，下山时的速度是每小时走6千米，那么他在上、下山全过程中的平均速度是每小时( )千米．A.5B.4C.3D.27.一艘汽船和一艘帆船从A港驶向B港(A、B两港相距80千米)，已知汽船经过两港中点时，帆船刚走了30千米，汽船到达B港时，帆船恰好走到两港的中点，汽船的速度是帆船的( )倍．A.1.5B.2C.3D.48.小红上山时每走30分钟休息10分钟，下山时每走30分钟休息5分钟．已知小红下山的速度是上山速度的1.5倍，如果上山用了3时50分，那么下山用了( )小时．A.1.25B.2.0C.2.5D.2.259.李老师骑摩托车从上课，他算了一下按原定速度1小时30分就可以到达．行驶过程中有12千米的道路正在修路，走这段不平的路时，速度只相当于原速的，因此晚到了10分．那么李老师家离学校有多少千米？()A.30B.72C.35D.3610.甲、乙两人进行100米赛跑，甲冲过终点线时，乙正好在甲后面20米处，第二次比赛时甲的起跑线比原起跑线推后20米，且两次比赛中各自速度不变，问第二次比赛结果是()A.两人同时到达B.甲到终点线时，乙正好在甲后面2米C.甲到终点线时，乙正好在甲后面4米D.乙到终点线时，甲正好在乙后面2米11.某人上山速度为a，沿原路下山速度为2a，那么他的平均速度为()A.aB.aC.aD.以上都不对12.三个人同时前往相距30千米的甲地，已知三人行走的速度相同，都是5千米每小时；现在还有一辆自行车，但只能一个人骑，已知骑车的速度为10千米每小时．现先让其中一人先骑车，到中途某地后将车放下，继续前进；第二个人到达后骑上再行驶一段后又放下让第三个人骑行，自己继续前进，这样三人同时到达甲地．问：三人花的时间为( )小时．A.3B.4C.5D.613.甲、乙两艘轮船从相距654千米的两地相对开出而行，8小时两船还相距22千米．已知乙船每小时行42千米，甲船每小时行( )千米．A.35B.37C.42D.4514.麦昆和板牙在6号公路上赛车，他们同时出发，麦昆9：02到达终点，比板牙早到16分钟。
将军饮马问题例题
将军饮马问题例题
摘要：
1.将军饮马问题的定义与背景
2.将军饮马问题的数学模型
3.解析将军饮马问题的关键步骤
4.将军饮马问题的实际应用
正文：
一、将军饮马问题的定义与背景
将军饮马问题是数学中的一个经典问题，起源于古代战争中将军在河边饮马的情景。
问题描述为：一位将军站在河边，他的马在河对岸，将军与马之间的距离已知，问将军如何在保证不被敌人发现的情况下，使得自己与马之间的距离最短。
这个问题实际上涉及到的是几何光学的知识，尤其是光的传播和直线传播的原理。
二、将军饮马问题的数学模型
为了解决将军饮马问题，我们需要建立一个数学模型。
首先，我们可以将问题简化为二维平面几何问题，将军所在位置为A 点，马所在位置为B 点，河对岸为C 点，AC 与BC 的夹角为θ，那么，将军到马最短距离就是线段AB 在角度θ上的投影。
根据三角函数知识，我们可以知道，这个投影长度等于线段AB 的长度乘以cosθ。
三、解析将军饮马问题的关键步骤
解决将军饮马问题的关键在于找到角度θ的值。
我们可以通过以下步骤来
求解：
1.画出问题场景的示意图，明确各点的位置关系。
2.利用三角函数中的正切函数，求出角度θ。
3.利用三角函数中的余弦函数，求出将军到马的最短距离。
四、将军饮马问题的实际应用
将军饮马问题虽然起源于战争场景，但在现实生活中，它的应用却非常广泛。
比如在光学领域，将军饮马问题可以帮助我们理解光线的传播和反射；在工程领域，将军饮马问题可以帮助我们解决最短路径问题，提高运输效率。
一名将军排兵布阵数学题
一名将军排兵布阵数学题（实用版）目录1.题目背景及意义2.题目分析3.解题思路4.解答过程5.总结正文一名将军排兵布阵数学题，是一道经典的数学问题，也被称为“将军问题”或“士兵排队问题”。
这个问题可以追溯到古代战争时期，将军们需要合理地安排士兵的位置，以便在战争中取得胜利。
如今，这个问题已经成为了组合数学中的一个经典案例，被广泛应用于教学和研究中。
这道题目描述如下：一名将军有 n 个士兵，他要将这些士兵排列成一个队伍，每个士兵都可以向前或向后看，但不能向左右看。
要求队伍中任意两个相邻士兵都不能看到对方。
问：最少需要多少个士兵才能满足这个条件？对于这个问题，我们可以从简单的情况入手，逐步寻找规律。
当 n=1 时，显然只需要 1 个士兵；当 n=2 时，需要 2 个士兵；当 n=3 时，需要 4 个士兵。
我们可以发现，当 n 增加时，需要的士兵数量呈现出一个递增的趋势。
那么，如何找到一个通用的解题思路呢？我们可以将问题转化为一个数学模型。
假设当前有 n 个士兵，我们需要在 n 个士兵之间插入一些障碍物，使得任意两个相邻士兵都不能看到对方。
我们可以将这些障碍物看作是“墙壁”，每个“墙壁”占据一个位置，从而将这 n 个士兵分割成 n+1段。
这样，我们就需要在 n+1 段之间选择 n 个位置放置“墙壁”。
根据组合数学的知识，从 n+1 个位置中选择 n 个位置的方案数为C(n+1, n)，即 (n+1)!/(n!(n+1))。
因此，当 n 个士兵需要满足题目要求时，最少需要 C(n+1, n) 个士兵。
解答过程如下：1.当 n=1 时，需要 1 个士兵；2.当 n=2 时，需要 2 个士兵；3.当 n=3 时，需要 4 个士兵；4.当 n=4 时，需要 6 个士兵；5.当 n=5 时，需要 9 个士兵；……我们可以发现，随着 n 的增加，需要的士兵数量逐渐递增。
通过这个数学模型，我们可以很好地解决了这个经典的将军问题。
将军饮马是数学趣题
将军饮马是数学趣题将军饮马，数学趣题起源于中国古代汉朝的《孙子算经》一书。
这道数学题目被誉为是一道经典的智力题，以其巧妙的逻辑推理和数学思辨而闻名于世。
本文将从历史背景、题目描述、解题思路以及拓展应用等方面进行论述。
一、历史背景将军饮马这道数学题目最早出现在中国古代汉朝的《孙子算经》一书中。
这本书是我国古代《九章算术》的前身，是我国最早的一本数学专著。
《孙子算经》不仅介绍了一些数学问题的解法，还包括了丰富的应用题，将军饮马就是其中之一。
二、题目描述将军饮马题目的原始描述如下：将军有一匹马，马行斗数百里当水洼方休息，此时马出绕场一周正好与将军走过的距离相同。
假设将军骑马的速度是马走的速度的倍数，试问将军骑马绕场一周的距离与马走的距离之比是多少？三、解题思路1. 假设马的速度为V，将军骑马的速度为KV。
2. 马行斗数百里当水洼方休息，这句话提示我们马在行进的过程中要绕过水洼。
我们假设马走的距离为D，那么将军骑马绕场一周的距离就是2πr，其中r为水洼的半径。
3. 马行驶的时间为D/V，将军骑马行驶的时间为2πr/(KV)。
4. 题目中提到马出绕场一周正好与将军走过的距离相同，即D =2πr。
带入上述时间的公式，可以得到D/V = 2πr/(KV)。
5. 简化方程，消去D和r，可以得到K = 2π。
四、拓展应用将军饮马这道数学题目虽然在形式上看似简单，但在解题的过程中需要灵活运用逻辑推理和数学思维。
这道题目还可以引申出一些有趣的数学应用，例如：1. 运用此题中的思路，可以计算其他不同形状的路径与距离的关系，从而解决一些实际生活中的问题，如驾车行驶、飞行航迹规划等。
2. 结合此题可以进行有关速度和时间的计算，如在不同速度和时间限制下，计算出马和将军的行进距离。
3. 将这道题的数学逻辑与几何知识相结合，可引申出更多有趣的数学趣题。
总结：将军饮马作为一道数学趣题，不仅仅体现了古代智者的智慧和深厚的数学造诣，更是一道展示逻辑推理和数学思辨的经典题目。
八年级数学上册最短路径问题(将军饮马)专项训练(含解析)
最短路径问题（将军饮马）专项训练一、单选题1．如图，在ABC 中，AB AC =，10BC =，60ABC S =△，D 是BC 中点，EF 垂直平分AB ，交AB 于点E ，交AC 于点F ，在EF 上确定一点P ，使PB PD +最小，则这个最小值为( )A ．10B ．11C ．12D ．132．如图方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AC 的两个端点均在小正方形的顶点上，点P 也在小正方形的顶点上．某人从点P 出发，沿图中已有的格点所连线段走一周（即不能直接走线段AC 且要回到P ），则这个人所走的路程最少是（ ）A ．7B ．14C ．10D ．不确定3．如图，在等边△ABC 中，AB ＝2，N 为AB 上一点，且AN ＝1，AD ＝3，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 是AD 上的动点，连接BM 、MN ，则BM+MN 的最小值是（ ）A ．3B ．2C ．1D ．34．如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠BAC=30°，AB=12，AD 平分∠BAC ，点PQ 分别是AB 、AD 边上的动点，则BQ+QP 的最小值是（ ）A．4 B．5 C．6 D．75．如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，∠B=50°，∠A=26°，将△ABC沿DE折叠，点A的对应点是点A′，则∠AEA′的度数是（）A．145°B．152°C．158°D．160°6．图1为某四边形ABCD纸片，其中∠B=70°，∠C=80°．若将CD迭合在AB上，出现折线MN，再将纸片展开后，M、N两点分别在AD、BC上，如图2所示，则∠MNB的度数为（）度.A．90 B．95 C．100 D．1057．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为底边在△ABC外作等腰△ACD，过点D作∠ADC的平分线分别交AB，AC于点E，F．若AC＝12，BC＝5，△ABC的周长为30，点P是直线DE上的一个动点，则△PBC周长的最小值为（）A．15 B．17 C．18 D．208．平面直角坐标系xOy中，已知A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－1)三点，D(1，m)是一个动点，当△ACD 的周长最小时，则△ABD的面积为（）A．13B．23C．43D．839．如图，等边△ABC的边长为4，AD是边BC上的中线，F是边AD上的动点，E是边AC上一点，若AE=2，则EF+CF取得最小值时，∠ECF的度数为（）A ．15°B ．22.5°C ．30°D ．45°10．如图，在△ABC 中，∠C =90°，∠BAC =30°，AB =8，AD 平分∠BAC ，点PQ 分别是AB 、AD 边上的动点，则PQ +BQ 的最小值是A ．4B ．5C ．6D ．711．如图，锐角三角形ABC 中，∠C ＝45°，N 为BC 上一点，NC ＝5，BN ＝2，M 为边AC 上的一个动点，则BM ＋MN 的最小值是（ ）A ．29B ．21C ．74D ．4512．如图是一块长，宽，高分别是6cm ，4cm 和3cm 的长方体纸盒子，一只老鼠要从长方体纸盒子的一个顶点A 处，沿着长方体的表面到长方体上和A 相对的顶点B 处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（ ）A ．(3213cm +B 85cmC 97cmD 109cm13．如图，ABC ∆是等边三角形，2AB =，AD 是BC 边上的高，E 是AC 的中点，P 是AD 上的一个动点，则PE PC +的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．2314．如图，在锐角△ABC 中，AB ＝42，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM ＋MN 的最小值是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．615．如图，A 、B 是两个居民小区，快递公司准备在公路l 上选取点P 处建一个服务中心，使P A +PB 最短．下面四种选址方案符合要求的是（ ）A ．B ．C ．D ．16．已知：如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠A ＜∠B ，CM 是斜边AB 上的中线，将△ACM 沿直线CM 折叠，点A 落在点A 1处，CA 1与AB 交于点N ，且AN=AC ，则∠A 的度数是（ ）A ．30°B ．36°C ．50°D ．60°17．如图，在ABC 中，90BCA ∠=︒，3BC =，4CA =，AD 平分BAC ∠，点M N 、分别为AD AC 、上的动点，则CM MN +的最小值是（ ）A ．1.2B ．2C ．2.4D ．518．在平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为（ 2，0 ），（4，0），点C 的坐标为（m ，3 m ）（m 为非负数），则CA ＋CB 的最小值是（ ）A ．6B ．37C ．27D ．5二、填空题 19．如图，在等边ABC ∆中，D 是BC 的中点，E 是AB 的中点，H 是AD 上任意一点．如果10AB AC BC ===，53AD =，那么HE HB +的最小值是 ．20．如图，在ABC 中，10AB AC cm ==，8BC cm =，AB 的垂直平分线交AB 于点M ，交AC 于点N ，在直线MN 上存在一点P ，使P 、B 、C 三点构成的PBC 的周长最小，则PBC 的周长最小值为______．21．如图，等腰三角形ABC 的底边BC 长为6，面积是36，腰AC 的垂直平分线EF 分别交AC ，AB 边于E ，F 点，若点D 为BC 边的中点，点M 为线段EF 上一动点，则CDM ∆周长的最小值____．22．如图，P 是AOB ∠内一定点，点M ，N 分别在边OA ，OB 上运动，若30AOB ∠=︒，3OP =，则PMN 的周长的最小值为___________.23．等边三角形ABC中，∠BPC＝150°，BP＝3，PC＝4，M、N分别为AB，AC上两点，且AM＝AN，则PM+PN的最小值为__．24．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AC=4，M是AB边上一动点，N是AC边上的一动点，则MN+MC的最小值为_____．25．如图，四边形ABCD中，∠BAD=130°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN 周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为____．26．如图所示，在边长为2的等边三角形ABC中，G为BC的中点，D为AG的中点，过点D作EF∥BC 交AB于E，交AC于F，P是线段EF上一个动点，连接BP，GP，则△BPG的周长的最小值是________．27．已知∠AOB=30°，点P、Q分别是边OA、OB上的定点，OP=3，OQ=4，点M、N是分别是边OA、OB上的动点，则折线P-N -M -Q长度的最小值是___________.28．如图，在等边三角形ABC中，BC边上的中线4AD=，E是AD上的一个动点，F是边AB上的一个动点，在点E、F运动的过程中，EB EF+的最小值是______．29．如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=12，在OA上有一点Q，OB上有一点R，若△PQR 周长最小，则最小周长是_____30．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD是∠BAC的平分线，AD＝4．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是_____．31．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，AB=4，点D是BC上一动点，以BD为边在BC 的右侧作等边△BDE，F是DE的中点，连结AF，CF，则AF+CF的最小值是_____.32．如图，∠AOB的边OB与x轴正半轴重合，点P是OA上的一动点，点N（6，0）是OB上的一定点，点M是ON的中点，∠AOB=30°，要使PM+PN最小，则点P的坐标为_____．33．某市为解决农村燃气困难，在P处建立了一个燃气站，从P站分别向A、B、C村铺设燃气管道。
将军饮马问题(解析版)
将军饮马问题模型的概述：唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题：将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边让战马饮水后再到B 点宿营。
问如何行走才能使总的路程最短。
模型一(两点在河的异侧)：将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边让战马饮水后再到B 点宿营，将在何处渡河使行走距离最短并求最短距离。
方法：如右图，连接AB，与线段L交于点M,在M处渡河距离最短，最短距离为线段AB的长。
模型二(两点在河的同侧)：将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，需先走到河边让战马饮水后再到B点宿营，将在何处渡河使行走距离最短并求最短距离。
方法：如右图，作点B关于直线L的对称点B'，连接AB',与直线L的交点即为所求的渡河点，最短距离为线段AB'的长。
模型三：如图，将军同部队行驶至P处，准备在此驻扎，但有哨兵发现前方为两河AB、BC的交汇处，为防止敌军在对岸埋伏需派侦察兵到河边观察，再返回P处向将军汇报情况，问侦察兵在AB、BC何处侦查才能最快完成任务并求最短距离。
数学描述：如图在直线AB、BC上分别找点M、N，使得∆PMN周长最小。
方法：如右图，分别作点P关于直线AB、BC的对称点P'、P''，连接P'P''，与两直线的交点即为所求点M、N，最短距离为线段P'P''的长。
模型四如图，深夜为防止敌军在对岸埋伏，将军又派一队侦察兵到河边观察，并叮嘱观察之后先去存粮位置点Q处查看再返回P处向将军汇报情况，问侦察在AB、BC何处侦查才能最快完成任务并求最短距离。
数学描述：如图在直线AB、BC上分别找点M、N，使得四边形PQNM周长最小。
方法：如右图，分别作点P、点Q关于直线AB、BC的对称点P'、Q'，连接P'Q'，与两直线的交点即为所求点M、N，最短距离为线段(PQ+P'Q')的长。
专题11 将军饮马求最值问题-2022年中考数学之二次函数重点题型专题(全国通用版)(解析版)
专题11 将军饮马求最值问题1．（2021·河北廊坊市·中考二模）如图，在平面直角坐标系中，过点57,26P ⎛⎫- ⎪⎝⎭的抛物线2223y x bx =-++．分别交x 轴于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），交y 轴于点C ．（1）求抛物线的函数表达式．（2）若点Q 是抛物线对称轴上一点，当BQ CQ +取得最小值时，求点Q 的坐标．（3）当()0M m ，，()0N n ，两点满足：502m -<<，0n >，且90PMN ∠=︒时，若符合条件的M 点的个数有2个，直接写出n 的取值范围．【答案】（1）224233y x x =--+；（2）41,3⎛⎫- ⎪⎝⎭；（3）75056n <<． 【分析】（1）把点P (−52，76)代入y =−223x +bx +2即可求解；（2）连接AC ，交对称轴l 于点Q ，连接BQ ，此时BQ CQ +取得最小值，即为AC 的长，求得直线AC 的函数表达式，即可求解；（3）利用两点之间的距离公式结合勾股定理的逆定理得到关于m 的一元二次方程272503m m n ++=，根据0>，求解即可．【详解】解：（1）∵点P (−52，76)在抛物线2223y x bx =-++上，∴27255()26322b =-⨯--+，解得：43b =-．∴抛物线的函数表达式为：224233y x x =--+；（2）2224282(1)3333y x x x =--+=-++， ∴抛物线的对称轴l 为1x =-．由2242033x x --+=，得13x =-，21x =，∴()30A -，，()01B ，． 由0x =，得2y =， ∴C (0，2)，∵A ，B 两点关于对称轴l 对称，∴连接AC ，交对称轴l 于点Q ，连接BQ ，此时BQ CQ +取得最小值，即为AC 的长． 设直线AC 的函数表达式为y kx c =+，∴032k c c =-+⎧⎨=⎩，解得232k c ⎧=⎪⎨⎪=⎩． ∴223y x =+， 当1x =-时，43y =， ∴点Q 的坐标为413⎛⎫- ⎪⎝⎭，；（3）∵M (m ，0)，N (0，n )，P (−52，76)，∠PMN =90°，且满足：502m -<<，0n >，∴2225726PM m ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，222MN m n =+，2225726PN n ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∵222PM MN PN +=，∴22222257572626m m n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，整理得关于m 的一元二次方程：272503m m n ++=，∵符合条件的M 点的个数有2个， ∴0>，即2754203n -⨯⨯>，解得：7556n <，n 的取值范围为75056n <<． 【点睛】本题主要利用了抛物线与x 轴的交点坐标的求解，待定系数法求函数解析式，二次函数的顶点坐标与对称轴的求法，勾股定理的逆定理以及一元二次方程根与系数的关系等，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．2．（2021·广西西林·九年级期中）如图，抛物线与x 轴交于A （1，0）、B （﹣3，0）两点，于y 轴交于点C （0，3），顶点为D ． （1）求该抛物线的解析式及顶点D 的坐标； （2）请计算以A 、B 、D 、C 为顶点的四边形的面积；（3）在x 坐标轴上是否存在点Q ，使得Q 点到C 、D 两点的距离之和最短，若存在，请直接写出Q 点坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）y ＝﹣x 2﹣2x +3，D （﹣1，4）；（2）9；（3）存在， Q （﹣37，0）．【分析】（1）由待定系数法求出抛物线的表达式，进而求出顶点D 的坐标．（2）根据勾股定理证明BCD △是直角三角形，四边形ABCD 的面积＝12×BC ×CD +12×AB ×OC ，计算求解．（3）作点C 关于x 轴的对称点E （0，﹣3），连接DE ，计算得出直线DE 的解析式，DE 交x 轴于点Q ，代入计算求出点Q 的坐标． 【详解】解：（1）∵设抛物线的表达式为y ＝ax 2+bx +c ，将点A 、B 、C 的坐标代入抛物线表达式得：09303a b c a b c c ++=⎧⎪-+=⎨⎪=⎩，解得123a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩∴抛物线的表达式为y ＝﹣x 2﹣2x +3，∵抛物线的对称轴为x ＝﹣1，当x ＝﹣1时，y ＝﹣x 2﹣2x +3＝4， ∴点D 的坐标为（﹣1，4）；（2）∵由点B 、C 、D 的坐标可知，BC 2＝18，CD 2＝2，BD 2＝20， ∴BC 2+CD 2＝BD 2， ∴△BCD 为直角三角形，∴四边形ABCD 的面积＝1122BC CD AB OC ⨯⨯+⨯⨯＝1132243922⨯⨯+⨯⨯=．（3）存在，Q （﹣37，0），如图作点C 关于x 轴的对称点E （0，﹣3），连接DE 交x 轴于点Q ，则点Q 为所求点， ∵设直线ED 的表达式为y ＝kx +b ，将D 、E 两点坐标代入可得，304bk b -=+⎧⎨=-+⎩， 解得73k b =-⎧⎨=-⎩，∴直线DE 的表达式为y ＝﹣7x ﹣3， 令y ＝﹣7x ﹣3＝0，解得x ＝﹣37，∴点Q 的坐标为（﹣37，0）．【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查运用待定系数法求二次函数解析式，勾股定理的逆用，求多边形面积及两点间线段最短，运用数形结合的方法是解题关键．3．（2021·山东东营·中考真题）如图，抛物线212y x bx c =-++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，直线122y x =-+过B 、C 两点，连接AC ．（1）求抛物线的解析式； （2）求证：AOC ACB ∽；（3）点()3,2M 是抛物线上的一点，点D 为抛物线上位于直线BC 上方的一点，过点D 作DE x ⊥轴交直线BC 于点E ，点P 为抛物线对称轴上一动点，当线段DE 的长度最大时，求PD PM +的最小值．【答案】（1）213222y x x =-++；（2）见解析；（3【分析】（1）先利用直线122y x =-+得到点B 和点C 的坐标，利用待定系数法求解； （2）根据解析式求得点A 的坐标，求出两个三角形的边长，根据两组对应边成比例夹角相等求证；（3）设点D 的坐标为213,222x x x ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，将线段DE 的长用函数关系式表示为顶点式形式，利用函数的性质得到当2x =时，线段DE 的长度最大，得到点D 的坐标，再利用轴对称及勾股定理求出答案即可． 【详解】（1）解：∵直线122y x =-+分别与x 轴和y 轴交于点B 和点C ， ∴点B 的坐标为（4，0），点C 的坐标为（0，2），把()4,0B ，()0,2C 分别代入212y x bx c =-++，得8402b c c -++=⎧⎨=⎩， 解得322b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴抛物线的解析式为213222y x x =-++．（2）∵抛物线213222y x x =-++与x 轴交于点A ，∴2132022x x -++=，解得11x =-，24x =， ∴点A 的坐标为()1,0-， ∴1AO =，5AB =，在Rt AOC 中，1AO =，2OC =，∴AC∴AO AC ，∵AC AB =∴AO ACAC AB=， 又∵OAC CAB ∠=∠， ∴AOC ACB ∽．（3）设点D 的坐标为213,222x x x ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭则点E 的坐标为1,22x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∴213122222DE x x x ⎛⎫=-++--+ ⎪⎝⎭213122222x x x =-+++-2122x x =-+=21(2)22x --+ ∵102-<， ∴当2x =时，线段DE 的长度最大． 此时，点D 的坐标为()2,3， ∵()0,2C ，()3,2M∴点C 和点M 关于对称轴对称，连接CD 交对称轴于点P ，此时PD PM +最小．连接CM 交直线DE 于点F ，则90DFC ∠=︒，点F 的坐标为()2,2，∴CD ∵PD PM PC PD CD +=+=∴PD PM +．【点睛】此题考查的是二次函数的综合知识，利用待定系数法求函数解析式，函数图象与坐标轴的交点问题，函数的最值问题，轴对称的性质，勾股定理，证明两个三角形相似，熟练掌握各知识点是解题的关键．4．（2021·湖北恩施·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 为正方形，点A ，B 在x 轴上，抛物线2y x bx c =++经过点B ，()4,5D -两点，且与直线DC 交于另一点E ．（1）求抛物线的解析式；（2）F 为抛物线对称轴上一点，Q 为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点Q ，F ，E ，B 为顶点的四边形是以BE 为边的菱形．若存在，请求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）P 为y 轴上一点，过点P 作抛物线对称轴的垂线，垂足为M ，连接ME ，BP ．探究EM MP PB ++是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）223y x x =+-；（2）存在以点Q ，F ，E ，B 为顶点的四边形是以BE 为边的菱形，点F 的坐标为(-或(1,-或(1,5-或(1,5-；（3）EM MP PB ++1，此时点M 的坐标为51,4⎛⎫- ⎪⎝⎭．【分析】（1）由题意易得5AD AB ==，进而可得()4,0A -，则有()10B ,，然后把点B 、D 代入求解即可；（2）设点()1,F a -，当以点Q ，F ，E ，B 为顶点的四边形是以BE 为边的菱形时，则根据菱形的性质可分①当BF BE =时，②当EF BE =时，然后根据两点距离公式可进行分类求解即可；（3）由题意可得如图所示的图象，连接OM 、DM ，由题意易得DM =EM ，四边形BOMP 是平行四边形，进而可得OM =BP ，则有1EM MP PB DM MO ++=++，若使EM MP PB ++的值为最小，即1DM MO ++为最小，则有当点D 、M 、O 三点共线时，1DM MO ++的值为最小，然后问题可求解． 【详解】解：（1）∵四边形ABCD 为正方形，()4,5D -， ∴5AD AB ==，()4,0A -， ∴4AO =， ∴OB =1，∴()10B ,， 把点B 、D 坐标代入得：164510b c b c -+=⎧⎨++=⎩，解得：23b c =⎧⎨=-⎩，∴抛物线的解析式为223y x x =+-；（2）由（1）可得()10B ,，抛物线解析式为223y x x =+-，则有抛物线的对称轴为直线1x =-， ∵点D 与点E 关于抛物线的对称轴对称， ∴()2,5E ，∴由两点距离公式可得()()222120526BE =-+-=，设点()1,F a -，当以点Q ，F ，E ，B 为顶点的四边形是以BE 为边的菱形时，则根据菱形的性质可分：①当BF BE =时，如图所示：∴由两点距离公式可得22BF BE =，即()()2211026a ++-=，解得：a =∴点F 的坐标为(-或(1,-； ②当EF BE =时，如图所示：∴由两点距离公式可得22EF BE =，即()()2221526a ++-=，解得：5a =∴点F 的坐标为(1,5-或(1,5-；综上所述：当以点Q ，F ，E ，B 为顶点的四边形是以BE 为边的菱形，点F 的坐标为(-或(1,-或(1,5-或(1,5-； （3）由题意可得如图所示：连接OM 、DM ，由（2）可知点D 与点E 关于抛物线的对称轴对称，()10B ,， ∴1OB =，DM =EM ，∵过点P 作抛物线对称轴的垂线，垂足为M ， ∴1,//PM OB PM OB ==， ∴四边形BOMP 是平行四边形， ∴OM =BP ，∴1EM MP PB DM MO ++=++，若使EM MP PB ++的值为最小，即1DM MO ++为最小，∴当点D 、M 、O 三点共线时，1DM MO ++的值为最小，此时OD 与抛物线对称轴的交点为M ，如图所示：∵()4,5D -，∴OD =∴1DM MO ++1，即EM MP PB ++1，设线段OD 的解析式为y kx =，代入点D 的坐标得：54k =-， ∴线段OD 的解析式为54y x =-， ∴51,4M ⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合、菱形的性质及轴对称的性质，熟练掌握二次函数的综合、菱形的性质及轴对称的性质是解题的关键．5．（2020·浙江·临海市九年级期中）在平面直角坐标系中，已知212y x bx c =-++(b 、c 为常数)的顶点为P ，等腰直角三角形ABC 的顶点A 的坐标为(0，－1)，点C 的坐标为(4，3)，直角顶点B 在第四象限．(1)如图，若抛物线经过A 、B 两点，求抛物线的解析式．(2)平移(1)中的抛物线，使顶点P 在直线AC 上并沿AC 时，试证明：平移后的抛物线与直线AC 交于x 轴上的同一点．(3)在(2)的情况下，若沿AC 方向任意滑动时，设抛物线与直线AC 的另一交点为Q ，在滑动过程中线段PQ 的长度是否发生变化？若不变，请直接写出PQ 的长度，若改变请说明理由．(4)在(2)的情况下，若沿AC 方向任意滑动时，设抛物线与直线AC 的另一交点为Q ，取BC 的中点N ，试探究NP +BQ 是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)21212y x x =-+-；(2)证明见解析；(3)PQ=(4)存在，NP +BQ的最小值为【分析】（1）先求出点B 的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的函数表达式；（2）如图，设顶点P 在直线AC 上并沿ACP ′，作P ′M ∥y 轴，PM ∥x 轴，交于M 点，根据直线AC 的解析式求得△P ′PM 是等腰直角三角形，进而求得抛物线向上平移1个单位，向右平移1个单位，从而求得平移后的解析式，进而求得与x 轴的交点，与直线AC 的交点，即可证得结论；（3）可设P 的坐标为（m ，m -1），则平移后抛物线的函数表达式为：y =-12（x -m ）2+m -1．求出平移后抛物线与直线y =x -1的交点，然后利用两点的距离公式求解即可；（4）如图所示，作点B 关于直线AC 的对称点B ′，由分析可知，当B ′、Q 、F （AB 中点）三点共线时，NP +BQ 最小，最小值为线段B ′F 的长度．【详解】(1)∵等腰直角三角形ABC 的顶点A 的坐标为(0，−1)，C 的坐标为(4，3)∴点B 的坐标为(4，−1)．∵抛物线过A (0，−1)，B (4，−1)两点， ∴2111442c b c -=⎧⎪⎨-=-⨯++⎪⎩， 解得：21b c =⎧⎨=-⎩，∴抛物线解析式为21212y x x =-+- (2)如图，设顶点P 在直线AC 上并沿ACP ′，作P ′M ∥y 轴，PM ∥x 轴，交于M 点，∵点A 的坐标为(0，−1)，点C 的坐标为(4，3)，∴直线AC 的解析式为y =x −1，∴△P ′PM 是等腰直角三角形，∵PP∴P ′M =PM =1，∴抛物线向上平移1个单位，向右平移1个单位， ∵21212y x x =-+-21(2)12x --+=， ∴平移后的抛物线的解析式为y 21(3)22x =--+， 令y =0，则021(3)22x =--+， 解得x 1=1，x 2=5，∴平移后的抛物线与x 轴的交点为(1，0)，(5，0)，显然(1，0)在直线y =x −1上，∴平移后的抛物线与直线AC 交于x 轴上的同一点(1，0)．(3)不变，PQ=理由如下：设P 的坐标为（m ，m -1），则平移后抛物线的函数表达式为：y =-12（x -m ）2+m -1． 解方程组：211()12y x y x m m =-⎧⎪⎨=--+-⎪⎩解得：111x m y m =⎧⎨=-⎩，2223x m y m =-⎧⎨=-⎩， ∴P （m ，m -1），Q （m -2，m -3）．∴PQ(4)如图，取点B 关于AC 的对称点B ′，易得点B ′的坐标为(0，3)，BQ =B ′Q ，取AB 中点F ， 连接QF ，FN ，QB ′，易得FN ∥PQ ，且FN =PQ ，∴四边形PQFN 为平行四边形∴NP =FQ ．∴NP +BQ =FQ +B ′Q ⩾FB=∴当B ′、Q 、F 三点共线时，NP +BQ最小，最小值为【点睛】本题为二次函数中考压轴题，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、一次函数、几何变换（平移，对称）、等腰直角三角形、平行四边形、轴对称-最短路线问题等知识点，考查了存在型问题，试题难度较大．6．（2021·陕西·西安中考模拟预测）如图，已知两条直线//a b ，直线a 、b 间的距离为h ，点M 、N 在直线b 上，MN x =；点P 在直线a 上，并且40+=x h ．（1）记PMN 的面积为S ；①求S 与x 的函数关系为 ；当10x =时，S = ；②求当x 的长为多少时，PMN 的面积最大？最大面积是多少？（2）①请你用尺规作图的方法确定PMN 的周长最小时点P的位置（要求不写作法，但保留作图痕迹）：并判断PMN 的形状为 ；②直接写出当PMN 的面积最大时这个最小周长的值；（3）请你在（2）②中得到的PMN 内求一点A ，使得++AP AM AN 的和最小，求出++AP AM AN 和的最小值．【答案】（1）①21202S x x =-+，150；②当20x 时，PMN 的面积最大，最大面积为200；（2）①等腰三角形；②周长的最小值20=+（3）++AP AM AN 的最小值为：20220=+ 【分析】（1）①根据x +h =40得出h =40-x ，再由三角形的面积公式即可得出结论；②利用配方法求解即可．（2）①作出△PMN ，由图可知△PMN 是以线段MN 为底的等腰三角形；②根据勾股定理求出PN 的长，进而可得出结论；（3）将△MP A 绕点M 顺时针旋转60°得到△MP ′A ′，根据图形旋转的性质得出P ′A ′=P A ，∠MA ′P ′=120°．连接AA ′，则△MAA ′是等边三角形．由此可得出P ′，A ′，A ，N 四点在一条直线上，故AP +AM +AN =P ′A ′+AA ′+AN =P ′N ，所以AP +AM +AN 和的最小值等于P ′N 的长，由此可得出结论．【详解】解：（1）①∵x +h =40，∴h =40-x ，S =12x （40-x ）=-12x 2+20x (0<x <40)．当x =10时，S =150．故答案为：S =-12x 2+20x (0<x <40)，150．②∵S =-12（x -20）2+200，∴当x =20时，△PMN 的面积最大，最大面积为200；（2）①如图1，PMN 是以线段MN 为底的等腰三角形．故答案为：等腰三角形．②周长最小时点P 为MN 的垂直平分线与直线a 的交点，周长的最小值20=+ 理由：如图，过点P 作PD ⊥MN ，垂足为D∴ND =12MN =10∵40MN PD +=∴PD =20M由勾股定理得，PN PM ==∴△PMN 周长的最小值=PM +PN +MN =20（3）如图2，在等腰PMN 的顶角MPN ∠的平分线上取点A ，使得30AMN ANM ∠=∠=︒，点A 在此处可使得++AP AM AN 的和最小．此时120MAP NAP NAM ∠=∠=∠=︒．将MPA △绕点M 顺时针旋转60︒得到MP A ''．P A PA ''∴=，120MA P ''∠=︒．连接AA '，则MAA '是等边三角形．MA AA '∴=，60MA A MAA ''∠=∠=︒．180MA P MAA MAA MAN '''∴∠+=+∠=︒．即P '，A '，A ，N 四点共线上，AP AM AN P A AA AN P N ''''∴++=++=，AP AM AN ∴++和的最小值等于P N '的长，此时，10cos30NA MA ==÷︒=，10tan 30AB =⨯︒=AP AM AN ∴++的最小值为：20220+=+ 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，二次函数的最值问题，等腰三角形的判定与性质等知识，在解答（3）时涉及到图形的旋转及三角形函数的定义等知识，难度较大． 7．（2021·江西东湖·九年级月考）如图，已知点()1,0A -，()3,0B ，()0,1C 在抛物线2y ax bx c =++上．（1）求抛物线解析式；（2）在直线BC 上方的抛物线上求一点P ，使PBC 的面积为1；（3）若点M 是抛物线对称轴上一动点，当AM CM -的值最大时，求M 点的坐标；（4）在x 轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点Q ，使=BQC BAC ∠∠？若存在，求出Q 点坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）212133y x x =-++；（2）点P 的坐标为（1，43）或（2，1）；（3）（1，2）；（4）存在，点Q 的坐标为（1，1）【分析】（1）设抛物线的解析式为(1)(3)y a x x =+-，将点C 的坐标代入即可求出结论；（2）过点P 作PD ⊥x 轴，交BC 于点D ，连接PC 、PB ，利用待定系数法求出直线BC 的解析式，设点P 的坐标为212(,1)33x x x -++，则点D 的坐标为1(,1)3x x -+，求出PD 的长，然后利用三角形的面积列出方程即可求出结论；（3）根据三角形的三边关系，AM CM -＜AC ，当A 、C 、M 共线时，AM CM -=AC ，从而得出当A 、C 、M 共线时，AM CM -最大，利用待定系数法求出直线AC 的解析式，并求出抛物线的对称轴，即可求出点M 的坐标；（4）作△ABC 的外接圆圆心为M ，与抛物线的对称轴交于点Q ，连接BQ 、CQ 、MB 和MC ，设抛物线对称轴与x 轴交于点D ，利用圆周角定理即可证出=BQC BAC ∠∠，然后求出∠BMC ，设圆M 的半径为r ，由222CM BM BC +=列出方程即可求出r ，从而求出MQ =MB用勾股定理求出DM 即可求出DQ ，从而求出结论．【详解】解：（1）设抛物线的解析式为(1)(3)y a x x =+-，将点C 的坐标代入，得1(01)(03)a =+- 解得：13a =- ∴该抛物线的解析式为2112(1)(3)1333y x x x x =-+-=-++； （2）过点P 作PD ⊥x 轴，交BC 于点D ，连接PC 、PB ，设直线BC 的解析式为y =kx ＋d将点B 和点C 的坐标分别代入，得301k d d +=⎧⎨=⎩ 解得：131k d ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∴直线BC 的解析式为113y x =-+ 设点P 的坐标为212(,1)33x x x -++，则点D 的坐标为1(,1)3x x -+ ∴PD =221211(1)(1)3333x x x x x -++--+=-+ ∴22111133()22322PBC S OB DP x x x x =⋅=⨯⨯-+=-+△ ∵PBC S =△1 ∴213122x x -+=解得：121,2x x ==∴点P 的坐标为（1，43）或（2，1）； （3）根据三角形的三边关系，AM CM -＜AC ，当A 、C 、M 共线时，AM CM -=AC ∴当A 、C 、M 共线时，AM CM -最大设直线AC 的解析式为y =mx ＋n将点A 、C 的坐标分别代入，得01m n n -+=⎧⎨=⎩ 解得：11m n =⎧⎨=⎩ ∴直线AC 的解析式为y =x ＋1 抛物线212133y x x =-++的对称轴为直线x =23123-⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭=1 将x =1代入y =x ＋1中，解得y =2∴点M 的坐标为（1，2）；（4）存在，作△ABC 的外接圆圆心为M ，与抛物线的对称轴交于点Q ，连接BQ 、CQ 、MB 和MC ，设抛物线对称轴与x 轴交于点D ，如下图所示，∴=BQC BAC ∠∠∵点()1,0A -，()3,0B ，()0,1C∴OA =OC ，AB =3－（-1）=4∴△OAC 为等腰直角三角形，BD =12AB =2 ∴∠BAC =45°∴∠BQC =45°∴∠BMC =2∠BQC =90°设圆M 的半径为r ，由222CM BM BC +=则222210r r OB OC +=+=解得：r∴MQ =MB在Rt △BDM 中，DM =1∴DQ =DM ＋MQ 1∴点Q 的坐标为（1，1）．【点睛】此题考查的是抛物线与圆的综合大题，此题难度较大，掌握利用待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式、圆周角定理及推论和勾股定理是解题关键．8．（2021·广东·广州市九年级月考）如图所示，抛物线2y x mx n =-++经过点A （1，0）和点C （4，0），与y 轴交于B（1）求抛物线所对应的解析式．（2）连接直线BC ， 抛物线的对称轴与BC 交于点E ， F 为抛物线的顶点，求四边形AECF 的面积．（3）x 轴上是否存在一点P ， 使得PB +PE 的值最小，若存在，请求出P 点坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）254y x x =-+-；（2）458；（3）存在，P （2011，0） 【分析】（1）利用待定系数法求得抛物线的解析式；（2）先把解析式配方成顶点式得到F 的坐标（52，94），然后确定B 点坐标，接着利用待定系数法求出直线BC 的解析式，则可确定E 点坐标，然后利用四边形AECF 的面积=S △ACE +S △ACF 进行计算；（3）作点E 关于x 轴的对称点M ，连接BM 交x 轴于点P ，利用两点之间线段最短可判定此时PB +PE 的值最小，接着利用待定系数法求出直线BM 的解析式，然后计算函数值为0时的自变量的值即可得到点P 的坐标；【详解】解：（1）∵抛物线2y x mx n =-++经过点A （1，0）和点C （4，0）∴可得101640m n m n -++=⎧⎨-++=⎩，解得54m n =⎧⎨=-⎩∴抛物线解析式为254y x x =-+-；（2）225954()24y x x x =-+-=--+， 则抛物线的对称轴为直线x =52， 顶点F 的坐标为（52，94）； 当x =0时，y =-x 2+5x -4=-4，则B 点坐标为（0，-4）设直线BC 的解析式为y =kx +b ，把B （0，-4），C （4，0）代入得440b k b =-⎧⎨+=⎩， 解得：14k b =⎧⎨=-⎩， 则直线BC 的解析式为y =x -4，当x =52时，y =x -4=542-=32-，则E 点坐标为（52，32-）， 所以四边形AECF 的面积=S △ACE +S △ACF =12×（4-1）×32+12×（4-1）×94 =458．（3）作点E 关于x 轴的对称点M ，连接BM 交x 轴于点P ，连接PE ，此时PB +PE 有最小值，即BM 的长由（2）已求E 点坐标为（52，32-）， ∴M 点坐标为（52，32） 设直线BM 的解析式为11y k x b =+，将B （0，-4），M （52，32）代入解析式可得11145322b k b =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 解得：111154k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ ∴直线BM 的解析式为：1145y x =- 当y =0时，11405x =-，解得2011x= 所以点P 的坐标为（2011，0） ．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式及二次函数与图形相关知识，掌握二次函数的性质利用数形结合思想解题是关键．9．（2021·天津北辰·中考二模）如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，抛物线212y x bx c =++（b ，c 为常数），经过点()4,0A -和点()0,2B -．（Ⅰ）求抛物线的解析式；（Ⅰ）在抛物线上是否存在一点P ，使PAB OAB SS =？若存在，请求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由； （Ⅰ）点M 为直线AB 下方抛物线上一点，点N 为y 轴上一点，当MAB △的面积最大时，直接写出2MN ON +的最小值．【答案】（1）213222y x x =+-；（2）存在；点P坐标为(2-+或(2--或（-2，﹣3）；（3）3【分析】（1）根据给出的点A ，点B 坐标，利用待定系数法可求解析式；（2）分两种情况讨论，利用平行线之间的距离相等，可求OP 解析式，EP ''的解析式，联立方程组可求解；（3）过点M 作MF ⊥AC ，交AB 于F ，设点M （m ，12m 232+m ﹣2），则点F （m ，-12m ﹣2），可求MF 的长，由三角形面积公式可求△MAB 的面积＝24m m --，利用二次函数的性质可求点M 坐标，过点O 作∠KOB ＝30°，过点N 作KN ⊥OK 于K 点，过点M 作MP ⊥OK 于P ，延长MF 交直线KO 于Q ，由直角三角形的性质可得KN =12ON ，可得MN +12ON ＝MN +KN ，则当点M ，点N ，点K 三点共线，且垂直于OK 时，MN +12ON 有最小值，即最小值为MP ，由直角三角形的性质可求解．【详解】（1）∵把点A （-4，0），点B （0，﹣2）， 带入抛物线解析式为212y x bx c =++ 得210(4)(4)22b c c ⎧=⨯-+-+⎪⎨⎪-=⎩， 解得322b c ⎧=⎪⎨⎪=-⎩∴抛物线解析式为：y 12=x 232+x ﹣2； （2）如图1，当点P 在直线AB 上方时，过点O 作OP ∥AB ，交抛物线于点P ，∵OP ∥AB ，∴△ABP 和△ABO 是等底等高的两个三角形，∴S △P AB ＝S △ABO ，∵点()4,0-A 和点()0,2B -．∴直线AB 的解析式为122y x =-- ∵OP ∥AB ，∴直线PO 的解析式为y 12=-x ， 联立方程组可得解得：x y =⎧⎨=⎩或x y =⎧⎨=⎩∴点P (2-+ 或(2--+；当点P ''在直线AB 下方时，在OB 的延长线上截取BE ＝OB ＝2，过点E 作E P ''∥AB ，交抛物线于点P ''，连接A P ''，B P ''，∴AB ∥E P ''∥OP ，OB ＝BE ，∴△S AP B ''＝S △ABO ，∵E P ''∥AB ，且过点E （0，﹣4），∴直线E P ''解析式为y 12=x ﹣4， 联立方程组可得 ， 解得23x y =-⎧⎨=-⎩， ∴点P ''（-2，﹣3），综上所述：点P 坐标为(2-+ 或(2--+或（-2，﹣3）；（3）如图2，过点M 作MF ⊥AC ，交AB 于F ，设点M（m，12m232+m﹣2），则点F（m，-12m﹣2），∴MF12=-m﹣2﹣（12m232+m﹣2）12=-m2-2m，∴△MAB的面积12=⨯4×(12-m2-2m)＝24m m--，∴当m＝-2时，△MAB的面积有最大值，∴点M（-2，﹣3），如图3，过点O作∠KOB＝30°，过点N作KN⊥OK于K点，过点M作MP⊥OK于P，延长MF交直线KO于Q，∵∠KOB＝30，KN⊥OK，∴KN12=ON，∴MN12+ON＝MN+KN，∴当点M，点N，点K三点共线，且垂直于OK时，MN12+ON有最小值，即最小值为MP，∵∠KOB＝30，∴直线OK解析式为y=，当x ＝2时，点Q （-2，，∴QM ＝3，∵OB ∥QM ，∴∠PQM ＝∠PON ＝30，∴PM 12=QM 32=，∴MN 12+ON 32，即2MN +ON=3 ． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，直角三角形的性质，平行线的性质，垂线段最短等知识，利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来是本题的关键．10．（2021·山东临淄·中考二模）如图，在平面直角坐标系中，点A （1，0），点B （0，3），点C 在x 轴的负半轴上，∠BCA ＝45°，CD ⊥AB ，垂足为点D ，CD 与y 轴交于点E ． 点A ，B ，C 分别在二次函数图象上．（1）求二次函数表达式；（2）连接AE 并延长交二次函数的图象于点F ，请你求出点F 的坐标；（3）设二次函数的对称轴与x 轴的交点为H ，在直线AF 上有一动点M ，连接MH ，将线段MH 绕点M 顺时针旋转90°得到线段MN ，连接HN ，AN ，求NH ＋AN 的最小值．【答案】（1）y =－x 2－2x +3；（2）F (－2，3)；（3）25【分析】（1）根据∠CBO =∠BCA 得出OC =OB ，推出点C 的坐标，再利用待定系数法求得解析式即可； （2）先证明△COE ≌△BOA ，得出点E 的坐标和∠EAO 的度数，求出直线AE 的表达式，再联立两个函数表达式求出点F 的坐标；（3）根据旋转的性质得到△MHN 是等腰直角三角形，求出MH NH的值，如图所示，过点N 作NS ⊥ x 轴，垂足为S ，在x 轴上（线段SH 的异侧）作ST =NS ，再证明△MHA ∽△HNT ，根据相似三角形对应边成比例求出NS 的长度，再根据动点N 到x 轴的距离保持不变转化为将军饮马模型，过点A 作直线y =2的对称点A ´，连接A ´H ， 则A ´H 即为NH +AN 的最小值，根据勾股定理A ´H 的长度，NH ＋AN 的最小值即可得解．【详解】解：（1）在Rt △BOC 中，∠BCA =45°，∴ ∠CBO =∠BCA =45°，∴ OC =OB =3 .∴C （－3，0），将A （1，0），B （0，3），C （－3，0）分别代入y =ax 2+bx +c ，得03093a b c c a b c =++⎧⎪=⎨⎪=-+⎩，解这个方程组，得123a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，所求二次函数的表达式为y =－x 2－2x +3．（2）∵CD ⊥AB ，∴∠DCA +∠DAC =90°，∵∠BAO +∠ABO =90°，∴∠ABO =∠OCE ，又∵OC =OB ，∠COE =∠BOA ，∴ △COE ≌△BOA ，∴ OE =OA =1，∴ E (0，1)，∠EAO =45° ，∴ 直线AE 的表达式为y =－x +1，联立两个函数表达式，列方程组，得2231y x x y x ⎧=--+⎨=-+⎩， 解得23x y =-⎧⎨=⎩，10x y =⎧⎨=⎩（舍去）， ∴ F (－2，3)．（3）∵H 为二次函数的对称轴与x 轴的交点，∴ H (－1，0) ， .∵ 线段MH 绕点M 顺时针旋转90°得到线段MN ，∴ △MHN 是等腰直角三角形 ，∠MHN =45° ，MH NH = 过点N 作NS ⊥ x 轴，垂足为S ，在x 轴上（线段SH 的异侧）作ST =NS ，则△NST 是等腰直角三角形，∠NTS =45°，NT =，在△MHA 中∠MAH =45° ，AH =2，∵∠NHA 是△NTH 的外角 ，∴∠NHA =∠NTS +∠TNH ，又∵∠NHA =∠MHN +∠MHA ，∴ ∠MHA =∠HNT ，又∵∠NTH =∠HAM =45°，∴ △MHA ∽△HNT ，∴MH AH NH NT =， ∴= ， ∴ NS =2，即动点N 到x 轴的距离保持不变，始终为2，所以点N 始终在直线y =2上移动，从而转化为将军饮马模型，过点A 作直线y =2的对称点A ´，连接A ´H ， 则A ´H 即为NH +AN 的最小值，在Rt △HAA ´中，AH =2，AA ´=4，所以 A ´H NH +AN 的最小值为。
粟裕在黄桥战役中的“数学题”
粟裕在黄桥战役中的“数学题”作者：陈赋斌来源：《人民周刊》2017年第15期在1940年的黄桥战役这场以少胜多的著名战役中，作为前线总指挥，粟裕是怎样带领新四军赢得胜利的呢？“打仗就是数学”——一向善于险中求胜的他用这句话诠释了黄桥战役的胜利秘诀。
在这场战役中，粟裕一连做好了三道“数学题”。
1940年7月，陈毅、粟裕率部进军苏北，开辟敌后抗日根据地，并于8月进驻黄桥（今江苏泰兴东）。
国民党顽固派担忧新四军壮大，妄图趁陈粟部立足未稳之际予以消灭，命在苏北的“反共专家”韩德勤（时任江苏省政府主席兼鲁苏战区副司令）不断制造与新四军的摩擦，并于9月进逼黄桥。
韩德勤所属精锐倾巢出动，并在动员令中叫嚣：“把新四军赶到长江里去喝水！”战前：7000余人>30000余人1940年9月初，国民党军鲁苏战区副总司令兼江苏省主席韩德勤兵分两路向南进攻。
新四军被迫自卫反击，首战营溪，歼其先头两个团，进而攻取姜堰，歼守军千余人，并继续向韩德勤呼吁停止内战，团结抗日。
韩德勤则以新四军必须退出姜堰为借口相要挟。
苏北指挥部为顾全抗战大局，让出姜堰，由李明扬、李长江部接防，还主动送给陈泰运部分枪械，进一步争取了李、陈泰运，使韩德勤更加孤立。
然而韩德勤自恃兵多粮足、装备精良，以为新四军退出姜堰是胆怯，令其主力第八十九军和独立第六旅共1.5万余人为中路军，从海安、曲塘一线进攻黄桥；李明扬、陈泰运部为右路军，5个保安旅为左路军，向黄桥两翼夹击，其进攻总兵力达26个团3万余人，企图于黄桥地区聚歼新四军苏北部队。
9月30日，韩德勤部向黄桥出击，行动甚为隐秘。
新四军未及时发现，第二天才获知韩德勤部进攻的消息。
黄桥的防御工事十分简陋，加紧布置势必造成部队极度疲劳。
更严重的是，新四军兵力不到对方的1/4，处于绝对劣势。
但黄桥之战关系到新四军能否在苏北立足，被逼到墙角，只能打不能退。
陈毅坐镇黄桥西北5公里的严徐庄统揽全局，粟裕在黄桥前线负责战场指挥。
将军一马数学题
将军一马数学题
【实用版】
目录
1.将军一马数学题的背景和概述
2.题目的解法和思路
3.题目的启示和影响
正文
将军一马数学题是一道经典的数学问题，起源于古代战争中的策略思考。
该问题描述的情景是：一位将军站在一座城池前，他想要让自己的马匹安全地通过城池，但是城池的城门只有两个，而且城池中还有敌军。
如果将军选择从一个城门进入，他的马匹就必须从另一个城门出来，这样他们才能顺利地通过城池。
然而，如果敌军在两个城门中的一个设下陷阱，那么将军和他的马匹就有危险。
如何才能保证将军和他的马匹安全地通过城池呢？
这道题目的解法是通过逻辑推理和数学计算来确定将军应该选择哪
个城门进入。
首先，我们可以假设敌军在两个城门中的一个设下陷阱，然后通过分析敌军的策略和将军的应对方式，来推断出将军应该选择哪个城门进入。
具体的解法涉及到一些数学计算和逻辑推理，需要一定的数学基础和思维能力。
将军一马数学题的启示和影响非常深远，它不仅是一道经典的数学问题，也是一道经典的策略问题。
这道题目让我们明白，通过对问题的深入分析和逻辑推理，我们可以找到解决问题的最佳策略。
第1页共1页。
十个数字总结粟裕
十个数字总结粟裕咱今儿啊，就用十个数字来聊聊粟裕。
这“1”啊，就得说粟裕那一心为国的劲头。
你瞧他，那双眼啊，炯炯有神，透着一股坚定，就像夜里头那最亮的星。
心里头装着的呀，全是国家，全是咱这一方水土。
不管啥时候，只要国家有需要，那是二话不说，撸起袖子就上。
有次啊，有人就问他：“老粟啊，这么拼命干图啥呀？”他就嘿嘿一笑，说：“咱不就图国家能好嘛，国家好了，咱老百姓不也能过上好日子嘛。
”这“2”呢，是说他那两下子真厉害。
打起仗来，那叫一个绝。
战场上，硝烟弥漫，炮声轰轰响，别人都慌了神，他倒好，沉着冷静得很。
那脑袋瓜一转，点子就跟那雨点似的往外冒。
有一次战斗，敌人那是气势汹汹啊，就跟那洪水猛兽一样扑过来。
咱这边好多人都心里直打鼓，可粟裕呢，站在那，手一挥，那神情，就跟没事人似的，指挥得那叫一个有条不紊，最后啊，把敌人打得屁滚尿流。
“3”嘛，是说他有三顾大局的胸怀。
不管是跟上级还是跟战友，那都是顾全大局。
从不计较个人得失，就想着怎么把事儿办好。
有一回，在讨论作战计划的时候，有人提出了不同意见，吵得那是不可开交。
粟裕呢，不气不恼，耐心地听着，最后还笑着说：“咱都是为了把仗打好，只要对大局有利，咋都行。
”就这么几句话，把事儿就给圆过去了。
“4”啊，咱得讲讲他那四平八稳的指挥风格。
不管遇到啥难事，他都能稳稳当当把住舵。
就好比在那惊涛骇浪里行船，别人都晕得七荤八素，他能稳稳地掌着帆，朝着目标就去了。
有次战斗遇到了突发情况，敌人突然改变了战术，把咱这边好多人都给弄懵了。
可粟裕呢，不慌不忙，把情况一分析，立马就调整了部署，最后还是取得了胜利。
“5”呢，是说他五湖四海的气度。
不管是哪个地方的兵，哪个山头的人，到了他手下，他都一视同仁。
他常说：“咱都是为了一个目标，打跑敌人，保卫国家。
”他那队伍啊，就像个大家庭，来自五湖四海的人都团结得紧紧的。
“6”啊，要说他那六通四达的军事智慧。
他对军事那是门儿清，各种战术、战略，那是信手拈来。
问卷精解
黄桥战役爆发于1940年六月至十月，属于抗日战争时期的一场国共摩擦事件，对战双方主要包括陈毅粟裕领导的新四军和国民党将领韩德勤领导的八十九军。
黄桥战役期间，新四军充分地把握住了人心，无论是当地的民心，还是己方的军心，亦或是国军动摇分子的异心。
正因如此，这场以新四军7000人对战国民党30000人军队的战役，才会以新四军的完全胜利而告终。
除了陈毅粟裕二位将领的正确作战思路，在民心向背上，国民党军队也无法同日而语。
对待民心方面，新四军为求得地区稳定，同时为了让百姓去了解评定韩德勤之流的为人，主动让出过姜堰等地。
反观韩德勤，得寸进尺，在占回黄桥后再次提出无理要求，但是这也使得苏北军民彻底看清其嘴脸，这才出现了黄桥战役期间，大量当地百姓自发做烧饼运给前线新四军的壮观场面。
其次是军心。
韩德勤手下有人称“二李”的李明扬、李长江二位将领，出于稳定后方的考虑，陈毅曾三进泰州（二李的老巢），以谋求信任与合作。
而韩德勤对二人，始终表现出威胁之势，督促二人进军“剿匪”。
正是这样的差距，使得黄桥战役决战爆发时，二李按兵不动，只有韩德勤部孤军深入，遭到早已设伏在城外的新四军反包围，一举被歼。
黄桥战役以新四军的胜利告终，鲁苏地区的新四军与八路军也得以成功会师，可是这也引起了蒋介石的警惕。
始终对共产党持敌视态度的蒋介石在这里找到了一个合适的借口，在日后发动了震动中华的皖南事变。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
解密：粟裕在黄桥战役中做的三道“数学题”
在1940年的黄桥战役这场以少胜多的著名战役中，作为前线总指挥，粟裕是怎样带领新四军赢得胜利的呢？"打仗就是数学"—一向善于险中求胜的他用这句话诠释了黄桥战役的胜利秘诀。
在这场战役中，粟裕一连做好了三道"数学题"。
战前：7000余人＞30000余人
1940年7月，陈毅、粟裕率部进军苏北，开辟敌后抗日根据地，并于8月进驻黄桥（今江苏泰兴东）。
国民党顽固派担忧新四军壮大，妄图趁陈粟部立足未稳之际予以消灭，命在苏北的"反共专家"韩德勤（时任江苏省政府主席兼鲁苏战区副司令）不断制造与新四军的摩擦，并于9月进逼黄桥。
韩德勤将所属精锐倾巢出动，并在动员令中叫嚣"把新四军赶到长江里去喝水！"
9月30日，韩顽军向黄桥出击，行动甚为隐秘。
新四军未及时发现，第二天才获知韩顽进攻的消息。
黄桥的防御工事十分简陋，加紧布置势必造成部队极度疲劳。
更严重的是，新四军兵力不到对方的1/4，处于绝对劣势。
但黄桥之战关系到新四军能否在苏北立足，被逼到墙角，只能打不能退。
陈毅坐镇黄桥西北5公里的严徐庄统揽全局，粟裕在黄桥前线负责战场指挥。
此战成败难料，连陈毅也没有取胜的把握。
据粟裕回忆：陈毅同志有一挑珍贵的书籍文稿，从皖南挑到茅山，又从江南挑到苏北，从来不肯丢开，可这时也从铁皮箱里拿出来埋入地下，显然是做了"破釜沉舟"的打算。
表面上看，韩顽30000余人，新四军7000余人，兵力悬殊。
不过，粟裕看到了常人看不到的另一面，做起了第一道数学题，得出了7000余人＞30000余人的结论：韩顽尽管有30000余人之多，但兵分三路进攻，兵力分散，直接投入进攻黄桥的实际只有中路韩顽第89军和独立六旅15000余人。
这样一来，新四军的压力在无形中就减轻了一半。
粟裕还看到，韩顽师出无名，冒破坏抗日统一战线之大不韪，其官兵情绪低落；新四军则是正当防卫，事关生存，群情激昂，战斗精神倍增，再加上群众支持，对韩顽可运用分化瓦解、各个击破的战法。
如此，韩顽兵力优势又被抵消一半，我军胜算就大了。
下定决心后,粟裕立即进行了精心部署。
10月4日凌晨4时，韩顽第89军33师（共4个团）在黄桥东门发起猛烈进攻。
该顽军初战即投入3个团，且来势凶猛，不但突破了新四军前哨部队的防御，其一部还攻入了东门，几乎就要拿下黄桥。
千钧一发之际，第三纵队司令员陶勇和参谋长张震东把上衣一脱，挥动马刀，带领部队硬是将韩顽赶出东门，然后架起机关枪，死死顶住，使其难越雷池一步。
战中：3000余人×1.5米≈四五公里
黄桥激战时，韩顽后续梯队也向黄桥推进，企图增援第33师。
4日16时，粟裕登上黄桥镇北门的土城观望，发现韩顽第6旅成一路纵队正向黄桥开来。
他迅速做起了第二道数学题："如果两人之间的距离为1.5米，全部3000余人的队形将是长达四五公里的一路长蛇阵。
从黄桥到高桥约7.5公里，其先头部队抵达黄桥以北2.5公里时，后尾必然已过高桥，也就是说敌人已经全部进入了新四军的设伏地区。
"
粟裕见"肉馅"已全部包进"饺子皮"，遂令叶飞立即发动进攻，速歼韩顽第6旅。
叶飞遵照粟裕指示，采取"黄鼠狼吃蛇"的战法，将该顽军截成数段，歼其大部，迫使其旅长翁达绝望自杀，打开了局面，扭转了黄桥战役的不利态势。
同日24时，王必成率第二纵队进占分界，断绝了韩顽第33师退路，并与陶勇的第三纵队前后夹攻，迅速全歼该师，还活捉了其师长孙启人。
接着，王必成部与陶勇部兵锋北指，与叶飞部合力围攻韩顽第89军军部。
韩顽见势不妙，渡河逃窜，连军长李守维也在混乱中落水淹死。
至6日晨，进攻黄桥的主力韩顽第89军军部被彻底歼灭。
为痛打落水狗，粟裕下令乘胜追击，进占海安和东台等地。
战后：5天100公里＜1天90公里
黄桥一役，新四军以不到1000人的代价，歼韩顽1.1万余人，其第89军中将军长李守维、独立第6旅中将旅长翁达和团长数人毙命，第33师师长孙启人、第99旅旅长苗瑞林、第117师参谋长等师、旅、团级军官10余名及下级军官600名被俘。
国民党军遭到军事和政治上的双重失败，蒋介石哀叹："诚吾人之奇耻大辱。
"
黄桥决战胜利后，陈毅满心喜悦地赋诗一首："十年征战几人回，又见同侪并马归。
江淮河汉今谁属？红旗十月满天飞。
"粟裕没有陶醉在胜利的喜悦中，而是清醒地看到了部队在这次战役中暴露的不足。
10月10日，他在战役总结大会上做起了
第三道数学题："过去一天一夜走90公里还打仗，而我们从黄桥到东台近100公里路追了5天……"也就是说，新四军克服疲劳、连续作战的能力没能充分发挥出来。
战前，沉着冷静，在不利条件下看到有利因素；战中，精确计算，正确指挥部队运动歼敌；战后，保持清醒，在光辉胜利中细察缺点不足。
这就是常胜将军粟裕的非凡之处。