高数函数与极限教案

授课时间： 20 年9月 日 使用班级： 授课时间： 20 年9月 日 使用班级：
授课章节名称：
第1章 函数、极限与连续 第1节 函数（二）、第2节 极限 教学目的：
1.理解复合函数的定义及复合过程，分段函数的定义及表示方法，极限的概念，函数左极限与右极限的概念；
2.熟练掌握∞→x 和
x x →时f(x)的极限存在的充要条件；
3.理解无穷大、无穷小的概念；
4.掌握无穷大的判定方法和无穷小的概念及性质，会用无穷小量的性质求教学重点：
1.函数极限与数列极限的概念，求极限的方法；
2.无穷大量与无穷小量的概念及性质.
教学难点：
1.函数极限的定义；
2.无穷大量与无穷小量的概念和性质及其应用。

教学方法：讲授，启发式、讲练结合 教学手段：传统讲授。

作业：
层次1：书16页1、2（1）（2）、4、6 层次2：书16页5、7 教案实施效果追记： （手书）
第1章 函数、极限与连续 第1节 函数（二）、第2节 极限
复习及课题引入（时间：5分钟）： 1、作业题处理；
2、复习函数的相关性质以及基本初等函数的相关知识点。

讲授新内容 ※※※※
一、函数的概念（二）（时间：15分钟）
1、复合函数： 【引例】（公司员工问题）
某公司员工的工资占公司利润的若干比例，而公司的利润又取决于所销售的商品的数量，因此，该公司员工的工资由所销售商品的数量决定。

定义7设
()u f y =,其中()x u ϕ=,且函数()x u ϕ=的值域包含在函
数
()u f y =的定义域内,则称()[]x f y ϕ=为由()u f y =与()x u ϕ=复
合而成的复合函数,其中u 称为中间变量.
例如，x u u y sin ,2
==可复合成x y 2
sin
=.
注意：
①、并不是任意两个函数都能构成复合函数.
如，21u y -=和22+=x u 就不能构成复合函数。

因为对函数
21u y -=而言，
必须要求变量[]11，-∈u ，而222≥+=x u ，所以对任何x 的值，y 都得不到确定的对应值。

②、利用复合函数不仅能将若干个简单的函数复合成一个函数，还可以
把一个较复杂的函数分解成几个简单的函数，这对于今后掌握微积分的运算时很重要的。

例4、将下列复合函数进行分解.
(1)x y cos ln =; (2)3
sin x y =.
解 (1)x y cos ln =是由u y ln =,x u cos =复合而成的.
(2)3
sin x y =是由3
u y =
,x u sin =复合而成的.
2、初等函数：
定义8：由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合步骤所构成并用一个式子表示的函数，称为初等函数.
例如：x y cos ln =，1
)
1(2-++=x x x x y ，2cos 2+=x y 等都是初等函数。

3、分段函数： 定义9：在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子表示的函数，称为分段函数.
注:
(1)分段函数仍旧是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段函数定义域的并集.
(2)分段函数一般不是初等函数.除⎩⎨⎧-==,,x x x y ,0,
0<≥x x
例如：
⎪⎩
⎪
⎨⎧-=,1,0,1sgn x ,0,0,0<=>x x x 就是一个分段函数，其定义域为),(+∞-∞。

例5、设⎪⎩⎪⎨⎧-=,1,1,2x y x ，31,10,01-<<≤<≤<x x x 求()()2,21,0f f f ⎪⎭⎫
⎝⎛及函数的定义域。

解：()()12,2121121,200==-=⎪⎭
⎫
⎝⎛=f f f ，函数的定义域为)3,1(-。

※※※※
二、极限概念：（时间：10分钟）
【引例】：
中国古代哲学家庄周在《庄子•天下篇》中引述惠施的话：“一尺之锤，日取一半，万世不竭。

”
析：这句话的意思是指一尺的木棒，第一天取它的一半，即2
1
尺，；第
二天再取剩下的一半，即41尺；第三天再取第二天剩下的一半，即8
1
尺；这
样一天天地去下去，而木棒是永远也取不完的。

尽管木棒永远也取不完，可到了一定的时候，还能看得见吗？看不见意味着什么？不就是快没了吗？终极的时候，就近乎没有了。

它的终极状态就趋于零。

【极限概念引出】事实上，假设木棒为一个单位长，用n x 表示第n 天截取之后所剩下的长度，可得,...,2
1
,...,81,41,21321n n x x x x ====
，这样,...,...,,,321n x x x x 构成一列有次序的数。

设想n 无限增大（记为
∞→n ），在这个过程中，n x 无限接近于一个确定的数值（零），这个确定的
数值在数学上称为上面这列有次序的数（所谓数列），,...,...,,,321n x x x x 当
∞→n 时的极限。

复习(高中知识)：数列的概念、通项概念
数列就是按照一定顺序排列成的一列数，一般记为,...,...,,,321n x x x x ，简记为}{n x ，其中n x 称为数列的通项。

例如，数列1,2,3,4,5，…的通项是n x n =，可以记为}{n ；数列
,...51,41,31,21,1的通项是n x n 1=，可以记为}1
{n
；数列,...2,2,2,2,25432,的通项
是n n x 2=，可以记为}2{n 。

数列}{n x 也可看成自变量为正整数n 的函数：[]n f x n =，其定义域是全体正整数，当自变量n 依次取1,2,3,，…一切正整数时，对应的函数值就排列成数列}{n x 。

2、（极限概念）定义10：（教学方法：板书）
对于数列}{n x ,若当n 无限增大时,通项n x 无限接近于某个确定的常数A ,
则常数
A 称为数列}{n
x 的极限,此时也称数列}
{n
x
收敛于A ,
记为A
x n n =∞
→lim 或
()
∞→→n A x n
若数列
}
{n x 的极限不存在,则称数列
}
{n x 发散.
注意：数列极限是个动态概念，是变量无线运动渐进变化的过程，是一个变量（项数为n ）无线运动的同时另一个变量（对应的通项}{n x ）无限接近于某一个确定常数的过程，这个常数（极限）是这个无线运动变化的最终趋势。

（根据
函数关系的定义，引出数列是特殊的函数这个概念）
例1、（画数轴数形结合思想）
（1）{},...1,...,56,45,34,23,2:1n n n n x n +⎭⎬⎫
⎩⎨⎧+=； （2）{},...31,...,81
1
,271,91,31:31n n n x ⎭⎬⎫⎩⎨⎧=；
（3）{}(){}
(),...1,...,1,1,1,1:1n
n
n x ----=；
解：当时∞→n ，数列（1）的通项n
n x n 1
+=越来越接近于常数1；而数列（2）的通项n
n x 31=
越来越接近于常数0，数列（3）的通项(){}
n
n x 1-=在-1与1之间交替出现而不趋于任何确定的常数，所以，
（1）11
lim
=+∞→n
n n ； （2）031
lim =∞→n n ；
（3）()n
n 1lim -∞
→不存在。

（析：从数轴上标出一些点，来说明数列无限运动变
化的最终趋势）
※※※※
三、函数的极限（时间：20分钟） 数列是一种特殊形式的函数，把数列的极限推广可得到函数的极限。

根据自变量的变化过程，分两种情况讨论。

1、∞→x 时函数()x f 的极限（教学方法：讲解）（7分钟）
【引例】（设备折旧问题）
某高校为进行以工作过程为导向的课程教学，购置一批数控机床为教学设备，投资额是100万元，每年的折旧费为这批数控机床账面价格（即以前各年折
旧费用提取后余下的价格）101
，那么这批数控机床的账面价格（单位：万元）
第一年为100，第二年为100*109，第三年为100*2109）（，第四年为100*3
10
9）
（，…,第n 年为100*n
）
（10
9，那么，当n 无限增大时，该批数控机床的账面价格如何变化？
显然，从它的变化趋势可以看出，随着年数的无限增大时，账面价格无限接近于0.
引例反映了一个特点：当自变量逐渐增大时，相应的函数值逐渐接近于一个确定的常数。

为此给出下面定义。

定义11：函数()y f x = 在(,)-∞+∞ 内有定义，若x
无限增大时，相应的函数值()f x 无限接近于一个确定的常数A ，则称函数()f x 以A 为极限。

记为
∞→x lim ()f x =A 或()f x →A （x →∞）.
若当x →+∞ （或x →-∞ ）时，函数无限接近于一个确定的常数A ，记为
lim x →+∞
()f x =A 或lim x →-∞()
f x =A.
例如，111lim
0,lim 0,lim 0,
x x x x x x →+∞→-∞→∞=== （画出图形解释）
不难证明，函数()f x 在x →∞时的极限与在x →+∞，x →-∞时的极限有以下关系。

定理1：lim ()lim ()lim ()x x x f x A f x f x A →∞
→+∞
→-∞
=⇔==
例2、（书16页3）
讨论lim x x e →∞
是否存在。

（根据函数图像观察）
2、0x x →时函数()x f 的极限（13分钟） （1）邻域概念：
设R ∈δ,0x 且0>δ,则开区间()δδ+-00,x x 称为点0x 的δ邻域,记为
()δ,0x U ，即
(){}
()
δδδδδδ+-=<-=+<<-=000000,}{,x x x x x x x x x x U .
点0x 称为这邻域的中心，δ称为这邻域的半径.
有时用到的领域需要把领域的中心去掉。

点0x 的δ领域去掉中心0x 后，称为点
0x 的去心δ邻域，记为()δο
,0x U ，即
()()()
δδδδο
+⋃-=<-<=000000,,}0|{,x x x x x x x x U
为了方便，有时把开区间()00,x x δ-称为0x 的左δ领域，把开区间()δ+00,x x 称为0x 的右δ邻域。

（2）举例说明：1x → 时，函数无限接近于多少？（书13页图像）
观察：当：1x →时，()1f x x =+ ，无限接近2
当：1x →时，
21()1x g x x -=
- ，无限接近2 f(x)在x=1有定义，g(x)在x=1处无定义
定义12：如果当
x x →时,函数()f x 无限趋近于一个确定的常数A, 则称A
为函数()f x 当0x x →时的极限,记作0
lim ()x x f x A →= 或 ()f x A → (当0x x →时).此时也称
lim ()
x x f x →存在。

如果当
x x →时, 函数()f x 不趋近于任何一个确定的常
数,则称
lim ()
x x f x →不存在。

注意：
1.函数)(x f 当 x → x 0时的极限是否存在，与)(x f 在点0x 处是否有定义无关.（如上例）
2.若函数极限存在，则极限值必唯一。

（唯一性）
1、 单侧极限：（10分钟）
在讨论当
x x → 时函数()f x 的极限问题中，对0
x x →的过程，若限制
x x <或
x x >，便出现了单侧极限的概念。

定义13：设()f x 在0x 的某左（或右）δ 邻域内有定义，当自变量x 从0
x
的左（或右）侧无限接近于0
x 时，函数()f x 的值无限接近于某一确定的常数A ，
则称A 为
x x → 时函数()f x 的左（或右）极限，记为
0lim
x x -
→()f x =A （或0lim
x x +→()f x =A ）.
函数的左极限和右极限统称为函数的单侧极限。

显然，下面结论成立。

定理2：0
lim ()lim ()lim ()x x x x x x f x A f x f x A -+→→→=⇔==
例3
设21,1,1
(),1,21,1
x x f x x x x ⎧+<⎪⎪==⎨⎪
->⎪⎩ ，求11lim (),lim (),x x f x f x -+→→ 并讨论1lim ().x f x →
解：因为，()()21lim lim 2
1
1
=+=--→→x x f x x ，()()
01lim lim 1
1
=-=++→→x x f x x
又因为()()x f x f x x +-→→≠1
1
lim lim
由定理2可知，1
lim ().x f x →不存在。

（画出图像书14页图1-6）
练习：判断函数
⎩⎨
⎧<>+=2,2
,1x x x x y
在点2x =是否存在极限？（讲授方法：数形结合，作图板演）
※※※※
四、无穷大量与无穷小量（时间：32分钟） 1、无穷小量的定义： 【洗涤效果】
在用洗衣机清洗衣物时，清洗次数越多，衣物上残留的污渍就越少。

当洗涤次数无限增大时，衣物上的污渍趋于零。

在对许多事物进行研究时，常遇到事物数量的变化趋势为零。

为此，给出如下定义。

定义14：在自变量的某一变化过程中，极限为0的量称为该变化过程的无穷小量，简称无穷小；
例如：当0→x 时，是23,,sin x x x ，αx (α>0)，1-cosx 无穷小；当2
→x 时，是2)2(-x 无穷小；当∞→x 时，是()
2
11
,1-x x 无穷小。

注意：
1、无穷小量不是很小的数,它是一个极限的概念。

2、数零是唯一可作为无穷小的常数。

3、无穷小是个变量。

2、无穷小量的性质：
性质1、有限个无穷小量的代数和是无穷小量。

例如，当x →0时，sin x x + 是无穷小量；而无穷多个无穷小的代数和未必
是无穷小，如11 (1)
11lim =⎪⎭⎫ ⎝
⎛++++∞→n n n n n 。

性质2、无穷小量与有界量之积是无穷小量。

例如，当x →0时，sin x x 是无穷小量；当x →∞ 时，1
sin x x
是无穷小量。

推轮1、任一常数与无穷小量之积是无穷小量。

例如，当x →0时，3sin x 是无穷小量。

推论2、有限个无穷小量之积是无穷小量。

（注：两个无穷小之商未必是无穷小）
3、无穷小与函数极限的关系：
定理3 函数()A x f =lim 的充分必要条件是()α+=A x f （其中0lim =α） 注意 定理3中，下面没有标明自变量变化过程的记号“lim ”是指自变量x 的变化过程可以是-→0x x ，+
→0x x ，∞→x ，-∞→x ，+∞→x 中的任何一种。

例如：()4lim 1
=→x f x ，
则()α+=4x f ，其中0lim 1
=→αx 。

又如，因为21
21+=+x
x x ，而01lim
=∞→x x ，所以221=+x
x。

2、无穷大量的定义： 【本利核算】
某人又本金A 元，银行存款年利率为r ,不考虑个人所得税，那么，此人第一年末的本利和为)1(r A +，第二年，本利和为2)1(r A +，…,第n 年末的本利
和为n r A )1(+，存款时间越长，本利和也无限增长。

定义15：若∞=→)(lim 0
x f x x （或∞=∞
→)(lim x f x ）,则称)(x f 为当0x x →（或
）时的无穷大量,简称无穷大。

例如，o x →lim x 1=∞，所以当 时, x
1
为无穷大；因为0lim ln x x +→=-∞，所以
ln x 是当0x +→ 时的无穷大.
注意：1.无穷大量不是一个很大的数,它是极限的概念; 2.无穷大量的实质是极限不存在,为了表示记作
或
.
5、无穷小与无穷大的关系：
定理4：在自变量的同一变化过程中，
（1） 如果函数()f x 是无穷小，且()0f x ≠ ，则
1
()
f x 是无穷大； （2） 如果函数()f x 是无穷大，则
1
()
f x 是无穷小。

注意：（1）说一个函数时无穷小（无穷大）时，必须知名其自变量的变化趋势。

（2）便于描述无穷大的变化趋势，我们把“()x f 是0x x →（或∞→x ）时的无穷大”记为()∞=→x f x x 0
lim （或()∞=∞
→x f x lim ）。

如当1→x 时，
1
1
-x 是无穷大，记作∞=-→1
1
lim
1x x 。

课堂练习：书16页，6 ※※※※
小结（时间：3分钟）：
1、本次课讲授了函数中，复合函数、初等函数以及分段函数的知识，函数本质上是指变量间相依关系的数学模型，是事物普遍联系的定量反映；复合函数反映了事物联系的复杂性；分段函数反映事物联系的多样性；
2、紧接着我们引入了极限的概念，以及其性质，最后我给大家介绍了无穷小与无穷大的定义；
3、这三个知识点中，我们要理解复合函数，分段函数的定义域和它们的表达方式，要深刻理解极限的概念，特别是函数的极限，会用极限的概念和定理，做相关的证明题和计算题；要体会无穷大于无穷小的含义，熟记其性质，以便在以后的学习中，灵活应用。