高数函数与极限教案

授课时间： 20 年9月 日 使用班级： 授课时间： 20 年9月 日 使用班级：

授课章节名称：

第1章 函数、极限与连续 第1节 函数（二）、第2节 极限 教学目的：

1.理解复合函数的定义及复合过程，分段函数的定义及表示方法，极限的概念，函数左极限与右极限的概念；

2.熟练掌握∞→x 和

x x →时f(x)的极限存在的充要条件；

3.理解无穷大、无穷小的概念；

4.掌握无穷大的判定方法和无穷小的概念及性质，会用无穷小量的性质求教学重点：

1.函数极限与数列极限的概念，求极限的方法；

2.无穷大量与无穷小量的概念及性质.

教学难点：

1.函数极限的定义；

2.无穷大量与无穷小量的概念和性质及其应用。 教学方法：讲授，启发式、讲练结合 教学手段：传统讲授。 作业：

层次1：书16页1、2（1）（2）、4、6 层次2：书16页5、7 教案实施效果追记： （手书）

第1章 函数、极限与连续 第1节 函数（二）、第2节 极限

复习及课题引入（时间：5分钟）： 1、作业题处理；

2、复习函数的相关性质以及基本初等函数的相关知识点。 讲授新内容 ※※※※

一、函数的概念（二）（时间：15分钟）

1、复合函数： 【引例】（公司员工问题）

某公司员工的工资占公司利润的若干比例，而公司的利润又取决于所销售的商品的数量，因此，该公司员工的工资由所销售商品的数量决定。

定义7设

()u f y =,其中()x u ϕ=,且函数()x u ϕ=的值域包含在函

数

()u f y =的定义域内,则称()[]x f y ϕ=为由()u f y =与()x u ϕ=复

合而成的复合函数,其中u 称为中间变量.

例如，x u u y sin ,2

==可复合成x y 2

sin

=.

注意：

①、并不是任意两个函数都能构成复合函数.

如，21u y -=和22+=x u 就不能构成复合函数。因为对函数

21u y -=而言，

必须要求变量[]11，-∈u ，而222≥+=x u ，所以对任何x 的值，y 都得不到确定的对应值。

②、利用复合函数不仅能将若干个简单的函数复合成一个函数，还可以

把一个较复杂的函数分解成几个简单的函数，这对于今后掌握微积分的运算时很重要的。

例4、将下列复合函数进行分解.

(1)x y cos ln =; (2)3

sin x y =.

解 (1)x y cos ln =是由u y ln =,x u cos =复合而成的.

(2)3

sin x y =是由3

u y =

,x u sin =复合而成的.

2、初等函数：

定义8：由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合步骤所构成并用一个式子表示的函数，称为初等函数.

例如：x y cos ln =，1

)

1(2-++=x x x x y ，2cos 2+=x y 等都是初等函数。

3、分段函数： 定义9：在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子表示的函数，称为分段函数.

注:

(1)分段函数仍旧是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段函数定义域的并集.

(2)分段函数一般不是初等函数.除⎩⎨⎧-==,,x x x y ,0,

0<≥x x

例如：

⎪⎩

⎪

⎨⎧-=,1,0,1sgn x ,0,0,0<=>x x x 就是一个分段函数，其定义域为),(+∞-∞。

例5、设⎪⎩⎪⎨⎧-=,1,1,2x y x ，31,10,01-<<≤<≤

⎝⎛及函数的定义域。

解：()()12,2121121,200==-=⎪⎭

⎫

⎝⎛=f f f ，函数的定义域为)3,1(-。

※※※※

二、极限概念：（时间：10分钟）

【引例】：

中国古代哲学家庄周在《庄子•天下篇》中引述惠施的话：“一尺之锤，日取一半，万世不竭。”

析：这句话的意思是指一尺的木棒，第一天取它的一半，即2

1

尺，；第

二天再取剩下的一半，即41尺；第三天再取第二天剩下的一半，即8

1

尺；这

样一天天地去下去，而木棒是永远也取不完的。

尽管木棒永远也取不完，可到了一定的时候，还能看得见吗？看不见意味着什么？不就是快没了吗？终极的时候，就近乎没有了。它的终极状态就趋于零。

【极限概念引出】事实上，假设木棒为一个单位长，用n x 表示第n 天截取之后所剩下的长度，可得,...,2

1

,...,81,41,21321n n x x x x ====

，这样,...,...,,,321n x x x x 构成一列有次序的数。设想n 无限增大（记为

∞→n ），在这个过程中，n x 无限接近于一个确定的数值（零），这个确定的

数值在数学上称为上面这列有次序的数（所谓数列），,...,...,,,321n x x x x 当

∞→n 时的极限。

复习(高中知识)：数列的概念、通项概念

数列就是按照一定顺序排列成的一列数，一般记为,...,...,,,321n x x x x ，简记为}{n x ，其中n x 称为数列的通项。

例如，数列1,2,3,4,5，…的通项是n x n =，可以记为}{n ；数列

,...51,41,31,21,1的通项是n x n 1=，可以记为}1

{n

；数列,...2,2,2,2,25432,的通项