第四章 实用计算方法1

例：试求图示等截面悬臂梁的基本频率。
解： 1.设形状函数为余弦曲线
X 1 ( x) 1 cos
( x) X1
l
m , EI

2l
x
x
EI [
0 l 0 l
l
2
4l
l
2
cos
1

2
2l

2 1
EI [ X ( x)] dx m X ( x)dx
0 0 2 1
L
2
→ k* → m*
0
m( x ) ( x ) dx
2
k* m*
此即为瑞利商
振动形状的选取
例子：简支梁，认为是无限自由度
x
m ( x), EI ( x), l
y
x
y ( x, t )
假定振型为抛物线：
x x ( x) 1 L L
2 "( x) 2 L 1 4 EI 2 L3 1 2 mL 0 2 30
Tmax
33 m L 2 2 25 W 2 2 Z0 Z0 140 2 256 2 g
33 25 W m L 2 2 140 256 m Lg 2 Z0
Vmax
1 3 EI 2 pZ0 3 Z 0 2 L
计算频率:
2
3 EI 33 25 W m L4 140 256 m Lg
Vmax Tmax
1 L EI ( x)[ "( x)]2 dx 2 0 1 2 L 0 m( x)[ ( x)]2 dx 0 2
1 L 1 4 EI Vmax EI ( x)[ "( x)]2 dx 2 0 2 L3 1 2 L 1 2 mL 2 Tmax 0 m( x)[ ( x)] dx 0 0 2 2 30
l2 2 4 1 X 1 ( x) x (6 x 2 x 2 ) 12 l l 精确解为 1 3.515 EI ml 4
x
l
1 3.53
EI ml 4
12

l
l
0
( x)]2 dx EI [ X 1
n k 1
l
0
m X 12 ( x)dx mk X 12 ( xk )
形状函数为重力引起的位移曲线时
12
m gX
0
1
( x)dx mk gX 1 ( xk )
k 1 n
n

l
0
m X 12 ( x)dx mk X 12 ( xk )
k 1
二、李兹能量法 用瑞利法求解结构的自振频率的精度取决于假设振型的精 度，由于难以估计高阶振型的形状，所以一般情况下，瑞 利法只能求得振动基频的上限。李兹发展了瑞利能量法， 使求得的最低频率更接近于精确解，且可以求较高阶频率。 李兹能量法给出振型的级数形式：
(t ) y0 cos t y
质量块动能：
1 2 1 2 2 V ky ky0 sin t 2 2
1 2 1 2 2 my0 cos2 t T my 2 2
Vmax
1 2 ky0 2
Tmax
1 2 2 my0 2
Vmax
1 2 ky0 2
Tmax
2
C a a D a a
i 1 j 1 ij i i 1 j 1 n n ij i
n
n
j
j
( 2 ) 0 ai
（ ai
i 1, 2, , n
i j
即：
C a a D a a
i 1 j 1 ij i i 1 j 1 n n ij
n
n
） 0
Tmax
2 1 2 2 L Z 0 m( x) ( x) dx 0 2
能量守恒： Tmax Vmax
g Z
2

L 0
L
0
m( x) ( x)dx
2
m( x) ( x) dx
g

L 0
L
0
m( x)vd ( x)dx
2
m( x) vd ( x) dx
0 L 2 0
L
2
得：
20
EI ( x ) a "( x ) dx i i 0 i 1 2 2 n L aii ( x) dx 0 m( x) i 1
L n
2
（2）
引入符号：
Cij EI ( x)i "( x) j "( x)dx
例：试用瑞利法求图示楔形悬臂梁的基本频率。宽度b=1。 h( x ) 解： h( x) h0 x / l I ( x) 1 ( h0 x ) 3 h0 12 l h0 x x m ( x) l l 设形状函数为
x 2 X 1 ( x) a(1 ) l (l ) 0 X1 (l ) 0, X1
第四章 实用计算方法
1
第四章实用计算方法
§4.1能量法求自振频率 §4.2矩阵特征值问题及解法 §4.3结构动力响应的数值解法
2
§ 4.1 能量法求自振频率
一、瑞利能量法 自振频率：
y (t )

k m*
*
c m k
自由振动位移： 自由振动速度： 弹簧变形能：
y(t ) y0 sin t
P y2 ( x ) x( x 2 3xl 2l 2 ) 104 EI 1 P 2l 3 U max P 2 39 EI 2 7 m P l P 2 柱的最大动能 T1max 0.000877 ( EI ) 2 梁的最大动能
T2 max
2 Pl 3 39 EI
1.5m 4 EI
Vmax Tmax
97.41EI 4 mL m L4
2
4 EI
假定振型为抛物线：
120EI m L4
2
假定振型为正弦曲线：
97.41EI 4 mL m L4
2
4 EI
原则上，只要满足梁的几何边界条件，形状函数可任意
选取，亦即形状函数仅需和具体的支承条件一致。
满足位移边界条件。
2 5Eh0 2l 4
12

l
0
( x)]2 dx EI [ X 1
l 0

mX 12 ( x)dx
1.581h0 1 l2
E

1.534h0 精确解为 1 l2
E

例：试求图示对称刚架的基本频率。
解：
P y1 ( x) x 2 (21l 13x) 156 EI
0
L
Dij m( x)i ( x) j ( x)dx
0
L
（3）
则（2）式为：
2
C a a D a a
i 1 j 1 ij i i 1 j 1 n n ij i
n
n
j
（4）
j
21
由于上式总是给出自振频率的上限，可以通过适当选 择 a1 , a2 ,, an 使 2 值为极小值。
x
m ( x), EI ( x), l
y
体系动能：
x
y ( x, t )
2 1 L 2 2 T m( x) y / t dx 2 0
最大值：
Tmax
2 1 2 L m( x) ( x) dx 0 2
L
由Rayleigh法：

2

0
EI ( x ) "( x ) dx
m EI
1.5m 4 EI
m EI
l
2l

y2
2 Pl 3 39 EI P P 2 2 y2 ( x ) x( x 3xl 2l ) 104 EI
U max 1 P 2l 3 P 2 39 EI
3 Pl 13

y1
3 Pl 13
x x
柱的最大动能
T1max
7 7 1 2 l 2 Pl Pl 2 m y1 ( x)dx 26 26 0 2 2 2 7 l P m P l 2 4 2 2 m x (21l 13x) dx 0.000877 0 (156 EI ) 2 ( EI ) 2
( x) aii ( x)
i 1
n
（1）
其中 1 ( x), 2 ( x),, n ( x) 均为满足位移边界条件的函数， 而 a1 , a2 ,, an 则为待定参数。 将（1）代人瑞利商：

2
EI ( x ) "( x ) dx m( x) ( x) dx
1 2 2 my0 2
Rayleigh法的理论基础为能量守恒定律。即认为如果没 有阻尼力消耗能量的话，在自由振动体系中，能量应该 保持常量。 最大动能等于最大位能：
Tmax Vmax
1 2 1 2 2 ky0 my0 2 2
k m
2
这个表达式和以前所述的一样，但现在它是从最大变形 能应等于最大动能的Rayleigh法概念而得。
例子：简支梁，认为是无限自由度
y( x, t ) ( x)sin t
x
m ( x), EI ( x), l
y
x
y ( x, t )
2 L 1 2 2 体系变形能： V EI ( x) y / x dx 2 0
最大值：
Vmax
2 1 L EI ( x) 2 ( x) / x 2 dx 2 0
例
W m EI L/2 L/2
假定变形曲线
PL 3 x L x v( x ) 3 EI 2 L3
3 2 3
x
Z 0 ( x )
3x L x Z0 2 L3
2
3
P
Z0
最大位能 最大动能
Finish?
1 3 EI 2 Vmax pZ0 3 Z 0 2 L 2 L 1 B Tmax m( x )v ( x ) dx 2 0 m 2 2 L 33 m L 2 2 Z 0 [ ( x )]2 dx Z0 0 2 140 2 W 2 25 W 2 2 W Tmax [v ( L / 2)]2 Z0 2g 256 2 g
但是，对不是真实振型的任意形状函数，为了保持平衡 就必须有附加的外部约束作用，这些附加约束将会使体 系变得刚硬，从而使计算频率增大。 Rayleigh法计算的频率中，最低的一个，总是最好的近 似值！
Question: 如何确定合理的挠曲形状？
Solution:
自由振动的位移是由惯性力作用引起的； 惯性力正比于质量×加速度（质量分布及位移幅值） 因此：正确的振动形式为正比于m(x)的荷载所引起的挠 曲线。
j
i 1, 2, , n
22
即：
C a
j 1 ij
n j 1
n
j

2
D a
j 1 ij
n
j
0
亦即：
2 ( C Dij )a j 0 ij
再近似： 假定惯性荷载为梁的重量，即 p( x ) m( x ) g 频率计算将根据静止重量荷载所引起的挠曲线vd(t)进行。 此时，体系的变形能必然等于重量荷载所做的功。
注意： ( x) vd ( x) / Z 0 最大变形能： Vmax 1 最大动能：
2 0
L
L 1 p( x)vd ( x)dx gZ 0 m( x) ( x)dx 0 2
能量守恒：
Vmax Tmax
120EI m L4
2
假定振型为正弦曲线：
( x) sin
x
L
"( x)
2
L
2
sin
x
L
Vmax
1 L 1 4 EI 2 EI ( x)[ "( x)] dx 2 0 2 2 L3
Tmax
能量守恒：
1 2 2 L 1 2 2 mL 2 Z 0 0 m( x )[ ( x )] dx Z 0 0 0 2 2 2
m EI
m EI
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2l

y2

y1
x x
2 7 m P l 刚架的最大动能 Tmax 0.0048322 ( EI ) 2 2.30 EI EI 2 1 5.3063 4 1 2 l m ml 2
2 7 l 2 2 mP l 2 2 [1.5m 2l 1.5m y2 ( x)dx] 0.0039552 0 ( EI ) 2 2
2
4l 2
cos

2l
x]2 dx
m (1 cos

2l
x) 2 dx
EI 1 3.68 ml 4
精确解为
1 3.515
EI ml 4
例：试求图示等截面悬臂梁的基本频率。
解： 1.设形状函数为余弦曲线
X 1 ( x) 1 cos
m , EI

2l EI 1 3.68 ml 4 2.设形状函数为抛物线 EI l 2 1 3 3 . 57 X 1 ( x) x x 1 ml 4 2 6 3.设形状函数为重力引起的位移曲线