一阶线性微分方程及其解法
一阶线性微分方程的解法及其应用
通解
y Ce P(x)dx
（2）将通解表达式中的任意常数 C 换成未知函数 u(x) ，即：
y u(x)eP(x)dx (*)
设
y u(x)eP(x)dx 为非齐次线性方程的解，则
y
u(x)e P(x)dx
u
(
x)(
P(
x))e
P
(
x
) dx
(**)
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（3）将（*）（**）代入原方程可得：
把 C 换成 u(x) ，即令
y u (x)(x 1)2,
则
y u (x 1)2 2u (x 1)
将 y, y代入原非齐次方程得：
两边同时积分得：
u(x)
2
(
x
1)
3 2
C
3
故原方程通解:
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四、一阶线性微分方程的应用 用微分方程解决实际问题的基本步骤：
两边积分：
ln | y | P(x)dx C1
通解为：
y e P(x)dxC1
y Ce P(x)dx
(C 为任意常数)
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2.积分因子法（方程两边同时乘以适当的函数，使得左端 成为某个函数的导数）
dy P(x) y 0 dx
方程两边同时乘以 eP(x)dx（积分因子）
方程变为：
确确定定 PP((xx))
方方程程两两边边同同时时乘乘以以
eePPP(((xxx)))dddxxx
方方程程左左边边一一定定是是 ((yyeePPP(((xxx)))dddxxx))
两两边边同同时时积积分分求求得得通通解解 yy CCeePPP(((xxx)))dddxxx((CC为为任任意意常常数数))
第04节一阶线性微分方程
dx
dx
代入并整理，得
dz 1zalnx dx x
故该一阶线性方程的通解为：
ze1xdx alnxe1xdxdxc
e1nx alnxelnxdxc
xa2lnx2 c
原方程的通解为:
1 y
xca2lnx2
例５ 求 xdy3yx2 3y 的通解 dx 2
解：原方程化为
1
y3
dy
3
2
y3＝x
先求： 再设：
yCePxdx
yCxePxdx
代入方程，求出C(x)即可。
方法三：解的结构法
先求
dy Pxy0
dx
的通解
Y(含C)；
再求 dyPxyQx的解 y *
dx
则 dyPxyQx 的通解为 y Y y*
dx
四、例题（Ⅰ）
先介绍一阶线性方程求解之例。
例1、求方程
y 1 x
y sinx x
得 C xe P xd xQ x
积分得：
C xQ xeP xd zd x C
∴一阶非齐次线性方程的通解为：
y Q x e P (x )d xd x C e P x d x C e P x d x e P x d x Q x e P x d x d x
三、一阶线性方程的解法小结
yCePxdx
（4）
2．一阶非齐次线性方程的求解：
dyPxyQx
dx 讨论：
（5）
原方程可化为
dy y
QyxPxdx
两边积分得:
lny
Qx
dx
Pxdx
y
记
vx
Qx
dx,
y
则
lnyvx Pxdx
一阶线性微分方程及其解法
一阶线性微分方程及其解法一阶线性微分方程及其解法，这是个啥玩意儿？别着急，听我给你慢慢道来。
咱们来聊聊微分方程。
微分方程是一类关于未知函数的方程，它包含一个或多个导数。
而一阶线性微分方程，就是指只有一个自变量的微分方程，且这个自变量的导数是线性的。
听起来有点复杂？别急，咱们用个例子来解释一下。
假设有个问题，说小明每天走的距离是前一天的2倍加1米，那么这个问题就可以用一阶线性微分方程来描述。
这里的自变量就是时间t,而小明每天走的距离就是我们要求的未知函数y。
根据题意，我们可以得到这样一个方程：y(t) = 2y(t-1) + 1这就是一阶线性微分方程的一个例子。
现在我们来聊聊解法。
解微分方程的目的，就是要找到一个公式，把未知函数y和自变量t之间的关系表示出来。
而一阶线性微分方程的解法其实很简单，只需要用到一个叫做“递推关系”的东西。
所谓递推关系，就是指一个式子和它前面几个式子的差值是一个常数。
对于一阶线性微分方程来说，它的递推关系就是：dy/dt = 2dy/(t-1) + 1这个式子告诉我们，当我们知道了t时刻的y值，以及它前面t-1时刻的y值时，我们就可以用这个式子算出t时刻的y值。
而且这个式子还有一个很神奇的性质，就是它的左边是一个关于y的一阶线性微分方程，右边是一个关于y的一阶常系数线性微分方程。
这意味着，我们可以用同样的方法去求解这个递推关系中的每一个式子。
那么问题来了，我们怎么求解这个递推关系呢？其实方法很简单，就是用“累加法”。
具体来说，我们先令t=0,求出初始条件；然后再令t=1,求出第一个y值；接着再令t=2,求出第二个y值；以此类推，直到求出我们需要的所有y值。
这里的关键是要找到一个合适的初始条件，让递推关系能够顺利进行下去。
有时候这个初始条件并不好找，但是只要我们多试几次，总会找到一个合适的答案。
好了，今天关于一阶线性微分方程及其解法就给大家讲到这里啦！希望大家能够理解并掌握这个知识点。
高等数学8.3.一阶线性微分方程的解法
i|t00．
方程 di R i Em sinw t 为非齐次线性方程，由其通中解公式，得
dt L L
i(t)e PP((tt))ddtt (
Q(t)e PP((tt))ddtt
dtC)
e
RRddtt LL
(
Emm
s in w
t
e
RRddtt LL
两边积分得 ln|y|ln|x2|lnC，
方程的通解为
这就是齐次线性方程和通解
yC(x2)．
（积分中不再加任意常数）．
非齐次线性方程的解法： 将齐次线性方程通解中的常数换成 x 的未知函数u(x)，把
y u(x) e P(x)dx
设想成非齐次线性方程的通解．代入非齐次线性方程求得
uln |u1|xC． yln |xy1|C，
或
xC 1ey y1 (C 1 e C )．
§8.3一阶线性微分方程的解法
一、线性方程
线性方程、齐次线性方程的解法 非齐次线性方程的解法
一、 一阶微分线性方程
线性方程：
下列方程各是什么类型方程？
方程 dy P(x)y Q(x) dx
叫做一阶线性微分方程．
(1) 3x25x5y0； (2) dy 10xy ；
dx
如果Q(x)0 ，则方程称为齐
R 2 w 2 L2
经过变量代换，某些方程可以化为变量可分离的方程，或化 为已知其求解方法的方程．
例 5 解方程dy 1 ． dx x y
解 令xyu，则原方程化为
du 11 ，即 du u 1 ．
dx u
dx u
分离变量，得
u du dx， u 1
两端积分得 以uxy代入上式，得
一阶微分方程的常见类型及解法
一阶微分方程的解法多样，包括分离变量法、常数变易法、 积分因子法等，灵活运用这些方法可以求解各种类型的一 阶微分方程。
02 一阶线性微分方程
一阶线性微分方程的标准形式
一阶线性微分方程的一般形式为：$y' + p(x)y = q(x)$，其中$p(x)$和 $q(x)$是已知函数，且$p(x)$在所考虑的区间上连续。
应用领域
物理学、化学、工程学等领域中的实际问题，如放射性衰变、化学反应速率、电路分析等。
04 一阶常系数线性微分方程 组
一阶常系数线性微分方程组的标准形式
一阶常系数线性微分方程组的一般形式为
$y' + p(x)y = q(x)$，其中$p(x)$和$q(x)$是已知函数，且$p(x)$和$q(x)$的系数是常数。
03
积分因子法：通过构造一个积分因子，将原方程转化为全微分方程，从而简化 求解过程。具体步骤包括：根据方程形式构造积分因子，将原方程两边同乘以 积分因子，得到全微分方程，求解全微分方程得到原方程的通解。
举例与应用
举例
求解一阶常系数线性微分方程组 $y' + 2y = x$。首先写出对应的齐次方程 $y' + 2y = 0$，求出齐次方程的 通解 $y = C_1e^{-2x}$。然后用常数变易法求出非齐次方程的特解 $y = frac{1}{2}x - frac{1}{4}$。最后将
通解和特解相加得到原方程的通解 $y = C_1e^{-2x} + frac{1}{2}x - frac{1}{4}$。
应用
一阶常系数线性微分方程组在物理学、工程学、经济学等领域有广泛应用。例如，在电 路分析中，一阶常系数线性微分方程组可以用来描述电路中电压和电流的关系；在经济 学中，一阶常系数线性微分方程组可以用来描述商品价格与供求关系之间的动态变化。
一阶线性微分方程及其解法
一阶线性微分方程及其解法一阶线性微分方程是微分方程中的一类常见问题，其形式可以表达为dy/dx + P(x)y = Q(x)，其中P(x)和Q(x)为已知函数。
解一阶线性微分方程的方法有多种，包括分离变量法、齐次方程法、一致变量法和常数变易法等。
本文将详细介绍这些解法，并通过实例加深理解。
分离变量法是解一阶线性微分方程常用的方法之一。
它的步骤是将方程中的y和x分开，并将含有y的项移到方程的一侧，含有x的项移到另一侧。
例如，对于dy/dx + x*y = x^2，我们可以将方程变形为dy/y = x*dx。
然后对等式两边同时积分，即得到ln|y| = (1/2)x^2 + C，其中C为积分常数。
最后，利用指数函数的性质，我们得到y = Ce^(x^2/2)，其中C为任意常数。
齐次方程法是解一阶线性微分方程的另一种常见方法。
当方程为dy/dx + P(x)y = 0时，我们可以将其转化为dy/y = -P(x)dx的形式。
同样地，对等式两边同时积分，即得到ln|y| = -∫P(x)dx + C，其中C为积分常数。
然后，利用指数函数的性质，我们可以得到y = Ce^(-∫P(x)dx)，其中C为任意常数。
一致变量法是解一阶线性微分方程的另一种有效方法。
当方程可以写成dy/dx + P(x)y = Q(x)y^n时，我们可以通过将方程除以y^n，并引入新的变量z = y^(1-n)来转化为一致变量的形式。
这样，原方程就变成了dz/dx + (1-n)P(x)z = (1-n)Q(x)。
接下来，我们可以使用分离变量法或者其他已知的解法来求解这个方程。
常数变易法是解特殊形式的一阶线性微分方程的方法之一。
当方程为dy/dx + P(x)y = Q(x)e^(∫P(x)dx)时，我们可以通过将y的解表达形式设为y = u(x)*v(x)来解方程。
其中，u(x)为待定函数，而v(x)为一个满足dv(x)/dx = e^(∫P(x)dx)的函数。
一阶线性微分方程及其解法
一、一阶线性微分方程及其解法
1. 一阶线性微分方程的定义
在微分方程中，若未知函数和未知函数的导数都是一次的，则称
其为一阶线性微分方程。
例1 判下列微分方程是否为一阶线性微分方程：
(1) 3 y 2 y x 2
(3) y y 2 x 2
(5) y y y x
y u( x )e
P ( x )dx
u( x )e
P ( x )dx
( P ( x ))
将 y, y 代入原方程有
[u( x )e
P ( x )dx
u( x )e
P ( x )dx
( P ( x ))] P ( x )u( x )e
P ( x )dx
例4 求 x dy ( 2 xy x 1)dx 0 满足 y x 1 0 的特解. 解
dy 2 x 1 y , 其中 原方程变形为 2 dx x x 2 x 1 P ( x ) , Q( x ) 则通解为 2 x x
2
y
2 dx e x
例3
解
1 求 y y x 2 的通解. x
1 P( x) , x
Q( x) x 2 ,
x
2
则通解为
y
1 dx e x
e
1 dx x dx C
e
ln x
x
2
e
ln x
dx C
1 x 3 dx C x 1 3 C x 4 x
2）解法 常数变易法 3）通解公式
ye
Ce
一阶常微分方程公式大全
一阶常微分方程公式大全一、一阶线性常微分方程。
1. 标准形式。
- 一阶线性常微分方程的标准形式为y'+p(x)y = q(x)。
2. 通解公式。
- 其通解公式为y = e^-∫ p(x)dx(∫ q(x)e^∫ p(x)dxdx + C)。
- 推导过程：- 先求对应的齐次方程y'+p(x)y = 0的通解。
- 分离变量得(dy)/(y)=-p(x)dx。
- 两边积分∫(dy)/(y)=-∫ p(x)dx，得到ln y =-∫ p(x)dx + C_1，即y = Ce^-∫p(x)dx（C = e^C_1）。
- 然后用常数变易法，设原非齐次方程的解为y = C(x)e^-∫ p(x)dx。
- 对y求导得y'=C'(x)e^-∫ p(x)dx-C(x)p(x)e^-∫ p(x)dx。
- 将y和y'代入原方程y'+p(x)y = q(x)，可得C'(x)e^-∫ p(x)dx-C(x)p(x)e^-∫p(x)dx+p(x)C(x)e^-∫ p(x)dx=q(x)。
- 化简得C'(x)e^-∫ p(x)dx=q(x)，即C'(x)=q(x)e^∫ p(x)dx。
- 再积分C(x)=∫ q(x)e^∫ p(x)dxdx + C，所以原方程的通解为y = e^-∫ p(x)dx(∫ q(x)e^∫ p(x)dxdx + C)。
二、可分离变量的一阶常微分方程。
1. 标准形式。
- 可分离变量的一阶常微分方程的标准形式为g(y)dy = f(x)dx。
2. 通解求法。
- 对g(y)dy = f(x)dx两边分别积分，得到∫ g(y)dy=∫ f(x)dx + C，其中C为任意常数。
- 例如，对于方程(dy)/(dx)=(x)/(y)，可化为ydy = xdx。
- 两边积分∫ ydy=∫ xdx，即frac{y^2}{2}=frac{x^2}{2}+C，整理得y^2-x^2=C_1（C_1 = 2C）。
微积分-一阶线性微分方程的解
一阶线性微分方程的解你也许想先阅读 微分方程 和 分离变量法！微分方程是有 函数 及其一个或以上的 导数 的方程：dydxy x+5=微分方程（导数）例子：这个方程有函数 y 和它的导数dy dx在这里我们会了解怎样解一种特别的微分方程：一阶线性微分方程一阶"一阶" 的意思是只有dy dx ，而没有 d 2y dx 2 或 d 3y dx3 等线性若微分方程可以写成以下的格式，它便是一阶微分方程：dy + P(x)y = Q(x)dx其中， P(x) 和 Q(x) 是 x 的函数。
我们可以用一个特别的方法来解：建立两个新的 x 的函数，叫 u 和 v ，并设 y=uv 。
接着解 u ，再解 v ，最后整理一下就行了！我们也会利用 y=uv 的导数 （去看 导数法则 （积法则） ）：dy = udv + vdu dx dx dx步骤以下我们逐步来解释这个解法：一、 代入 y = uv 和dy = udv + vdu dxdx dx到dy + P(x)y = Q(x)dx二、因式分解有 v 的部分三、设 v 的项为零（结果是 u 和 x 的微分方程，我们在下一步来解）四、用 分离变量法 来解 u五、代入 u 到在第二步得到的方程六、解这个方程来求 v七、最后，代入 u 和 v 到 y = uv 来得到原来的微分方程的解！举个例会比较清楚：例子：解：dy− y x = 1dx首先，这是不是线性的？是，因为格式是dy+ P(x)y = Q(x)dx其中 P(x) = − 1x和 Q(x) = 1好，我们逐步去解：一、 代入 y = uv 和 dy dx = u dv dx + v du dx这个：dy dx − y x = 1变成这个： u dv dx + v du dx − uv x = 1二、因式分解有 v 的部分：因式分解 v：u dv dx + v( du dx − u x ) = 1三、设 v 的项为零v 的项 = 零：du dx − u x = 0所以：du dx = u x四、用 分离变量法 来解 u分离变量：du u = dx x加积分符号：∫du u = ∫dx x求积分：ln(u) = ln(x) + C设 C = ln(k)：ln(u) = ln(x) + ln(k)所以：u = kx五、代入 u 到在第二步得到的方程（v 的项等于 0，可以不理）：kx dv dx = 1六、解来求 v分离变量：k dv = dx x加积分符号：∫k dv = ∫dxx求积分：kv = ln(x) + C设 C = ln(c)：kv = ln(x) + ln(c)所以：kv = ln(cx)所以：v = 1k ln(cx)七、代入到 y = uv 来得到原来的微分方程的解。
一阶线性微分方程的解法和分离变量法
一阶线性微分方程的解法和分离变量法微积分作为高等数学中的一门重要学科，其涵盖的内容极其广泛，其中线性微分方程是其应用广泛的一部分。
在实际应用中，很多问题可以转化为一阶线性微分方程的形式，这使得解决这些问题变得更加容易和可行。
而分离变量法是解决这类微分方程的一种有效的方法，本文将详细介绍一阶线性微分方程及其解法，重点介绍分离变量法的基本思想和具体步骤。
一. 一阶线性微分方程1. 定义一阶线性微分方程是指形如y' + p(x)y = q(x)的微分方程，其中y是未知函数，p(x)和q(x)是已知函数，y'是对y关于x求导得到的导数。
其中，p(x)和q(x)是一阶齐次线性微分方程的系数函数，即p(x)y=0的一阶微分方程，而加上非齐次项q(x)后就成为了一般的一阶非齐次线性微分方程。
2. 特征一阶线性微分方程有一些特征：（1）是关于未知函数y及其导数y'的方程；（2）系数p(x)和q(x)是已知函数不含y及其导数；（3）在一定范围内有确定的解出现。
这种类型的微分方程的解法非常重要，因为它们出现在数学、工程和科学中的各个领域中。
二. 分离变量法分离变量法是一种非常有效的解决一阶线性微分方程的方法。
其基本思想是将一阶微分方程中的未知函数y及其导数y'分别归成一个变量组的函数，然后将它们分离到方程两边，从而得到一个与求解x有关的对两个纯变量的积分方程。
因为变量已经分离，因此它们可以分别积分，最后便可求得原方程的通解。
下面我们将从分离变量法的基本思想、步骤以及解题策略几个方面详细介绍这种解法的具体方法。
1、基本思想我们现在来考虑一阶线性微分方程y' + p(x)y = q(x)，其中p(x)和q(x)都是已知函数。
我们将y'移向等式左边，将p(x)y和q(x)合并到等式右边，于是有：y' = q(x) - p(x)y现在，我们将y'和y分别看作一个单独的变量，我们有：dy/dx = f(x, y)其中，f(x, y) = q(x) - p(x)y。
一阶线性微分方程及其解法
二、一阶线性微分方程的应用
应用微分方程解决实际问题的步骤: 应用微分方程解决实际问题的步骤 1. 分析问题 设出所求未知函数,确定初始条件。 分析问题,设出所求未知函数 确定初始条件 设出所求未知函数 确定初始条件。 2. 建立微分方程。 建立微分方程。 3. 确定方程类型 求其通解. 确定方程类型,求其通解 求其通解 4. 代入初始条件求特解. 代入初始条件求特解
Q( x ) = 3 x
= e x 3 ∫ xe x dx + C
= ex
x
( ( 3∫ xde
∫ dx dx + C ∫ 3x e
) + C)
= e x 3( xe x ∫ e x dx ) + C
= ex =e
x x x
( ( 3( xe ( 3( xe
+ ex ) + C +e
例5 求过原点平且在点 x,y) 处的切线斜率等于 (
3x + y 的曲线方程。 的曲线方程。
解 设所求曲线方程为 y = f ( x ) , 则依题有 y =0, x =0 从而 即 y′ y = 3 x 则通解为 y = e
y′ = 3 x + y
其中 P ( x ) = 1 ,
∫ dx
y = Ce
∫ P( x)dx
例2 解
2 . 求 y′ y = 0 的通解 x
2 P( x) = 则通解 x
y = Ce
=
∫ P( x)dx
2 ∫ dx Ce x
= Ce = Cx
2 ln x 2
（2）一阶线性非齐次微分方程 ） dy + P ( x ) y = Q( x ) 1）一般式 ） dx 2）解法 常数变易法 ） 3）通解公式 ）
第四节 一阶线性微分方程
ln | x + y + 1 |= y + ln | C |,
通解为
x = Ce − y − 1.
y
小结
1.一阶线性齐次微分方程 一阶线性齐次微分方程 2.一阶线性非齐次微分方程 2.一阶线性非齐次微分方程 3.伯努利方程 伯努利方程
令 y1−n = z;
思考与练习
判别下列方程类型: 判别下列方程类型 dy dy (1) x + y = xy dx dx dy (2) x =y (ln y − ln x) dx 提示: 提示 y −1 dx 可分离 dy = 变量方程 y x dy y y = ln 齐次方程 dx x x dy 1 x2 一阶线性非 − y =− dx 2x 2 齐次方程 2 dx 1 y 一阶线性非 − x = − 齐次方程 dy 2 y 2 dy 2 ln x 2 伯努利 + y= y 方程 dx x x
∫ P ( x ) dx + y(e ∫ P ( x )dx )′ = 0, y′e
∫ P ( x )dx )′ = 0, ( ye
故通解为
∫ P ( x ) dx = C , ye
− P( x )dx
∫ y = Ce
.
dy + P(x) y = Q(x) 2. 解非齐次方程 dx −∫ P( x) d x 常数变易法: 用常数变易法 作变换 y(x) = u(x) e ,则 −∫ P( x) d x −∫ P( x) d x −∫ P( x) d x + P(x) u e = Q(x) u′ e − P(x) u e
所求通解为
ye
x y
=C
可化为一阶线性的微分方程 -------伯努利方程 伯努利方程
一阶线性微分方程的解与应用
一阶线性微分方程的解与应用一阶线性微分方程是微积分学中的重要内容，广泛应用于各个科学领域，特别是物理学和工程学。
它们的解法相对简单，且具有丰富的实际应用价值。
本文将介绍一阶线性微分方程的解法以及其在实际问题中的应用。
一、一阶线性微分方程的解法一阶线性微分方程的一般形式为：dy/dx + P(x)y = Q(x)，其中P(x)和Q(x)都是已知函数。
我们的目标是找到其解y(x)。
首先，我们可以将这个方程变形为dy/dx = -P(x)y + Q(x)。
接下来，我们使用一个重要的积分技巧——乘积法则。
将方程两边同时乘以一个称为积分因子的函数μ(x)，得到μ(x)dy/dx + μ(x)P(x)y = μ(x)Q(x)。
为了使得左边能够变成一个恰当微分，我们需要选择一个适当的积分因子μ(x)。
一种常见的选择是μ(x) = exp[∫P(x)dx]，即取积分因子为P(x)的指数函数形式。
这样，原方程变为d[μ(x)y]/dx = μ(x)Q(x)。
对上述方程两边同时积分，我们得到μ(x)y = ∫μ(x)Q(x)dx + C，其中C是常量。
最后，我们将μ(x)代回方程中，得到y(x) = exp[-∫P(x)dx] [∫μ(x)Q(x)dx + C]。
至此，我们已经得到了一阶线性微分方程的解的通解形式。
通过选取不同的积分因子和积分常数C，我们可以得到不同的特解，满足具体条件的问题。
二、一阶线性微分方程的应用一阶线性微分方程在各个领域都有广泛的应用。
以下是一些具体的应用实例：1.增长与衰减问题：对于一些与时间有关的增长或衰减过程，可以建立一阶线性微分方程描述其变化规律。
比如，放射性元素的衰变过程、细胞的增殖过程等。
2.电路问题：电路中的电流、电压的变化可以用一阶线性微分方程来描述。
对电路中的各个元件进行建模时，可以利用该方程求解电流或电压的变化。
3.人口动态问题：人口学中的人口增长与迁移等问题，可以通过建立一阶线性微分方程来研究。
一阶微分方程及其解法
代回原变量，原方程的通解为：
y3 x2 y 3 2 ] ln ( x 2) ( ) C x2
四、一阶线性微分方程 一阶线性微分方程的标准形式:
dy P( x) y dx
当Q ( x ) 0, 上述方程称为齐次的.
当Q( x ) 0, 上述方程称为非齐次的.
例如
解： 将所给的方程写成 分离变量，得 两端同时积分，有 （两边同时乘以2） 即:
ln x d (ln x )
练习:1、 解：分离变量 两边积分 e 即 2、求方程的 解：分离变量
y dy 2 1 y
y
C
(C<0 ) 通解
2 2 ln( 1 y ) ln( 1 x ) ln C 两边积分
1 u )du 2 2 1 u 1 u
Y
X
u，
例4. 求解 积分得 代回原变量
X x 1, Y 得原方程的通解:
Y
Y
X
X
u，
Y
X
u
y5 x 1
得 C = 1 , 故所求特解为
思考: 若方程改为 提示:
如何求解?
作变换 x X h , y
dy a x b y c d x a 1 x b1 y c 1
y ( x 1) x C y x
( u 1) C 即 x u
代回原变量
得通解
(C 为任意常数)
例3 求微分方程 2 xydx ( x 2 y 2 )dy 0的通解. 解： 所给方程可变形为
y 这是齐次方程，令 u , x
则 代入原方程， 得 从而有 分离变量，得
例3 求微分方程 2 xydx ( x 2 y 2 )dy 0的通解. 分离变量，得 看做某个原函数 两边积分，得 积分后，得 即
一阶线性微分方程的求解方法
一阶线性微分方程的求解方法微分方程是数学中基础的一部分，也是理论和应用有机结合的工具。
其中，一阶线性微分方程在应用中非常常见。
本文将介绍一阶线性微分方程的求解方法。
1. 定义和形式一阶线性微分方程具有以下形式：$$ \frac{dy}{dx} + p(x)y = q(x) $$其中，$y$是未知函数，$p(x)$和$q(x)$是已知函数，$x$是自变量，$y(x)$的一阶导数$\frac{dy}{dx}$表示对$y$的变化率。
2. 常数变易法一阶线性微分方程的求解方法之一是使用常数变易法。
我们把$y(x)$表示成$y=C\cdot u(x)$的形式，其中$C$是任意常数，$u(x)$是一个待求的函数。
我们将它代入微分方程中，得到：$$ C \cdot \frac{du}{dx} + p(x)C\cdot u(x) = q(x) $$这是一个一阶常系数齐次线性微分方程，可以使用常数变易法求解。
首先，我们将方程转化为标准形式：$$ \frac{du}{dx} + p(x)u(x) = \frac{q(x)}{C} $$然后，我们求解齐次方程：$$ \frac{du}{dx} + p(x)u(x) = 0 $$它的通解为$u(x)=Ce^{-\int p(x)dx}$，其中$C$是任意常数。
接下来，我们要找到一个特解，使得它满足非齐次方程。
我们设一个满足条件的特解$u_{p}(x)$，将它代入非齐次方程中，得到：$$ \frac{du_{p}}{dx} + p(x)u_{p}(x) = \frac{q(x)}{C} $$我们可以使用常数变易法求解它的特解，方法和齐次方程相同。
最后，我们将通解和特解相加，就可以得到非齐次方程的通解：$$ y(x) = C \cdot u(x) + u_{p}(x) $$其中$C$是任意常数。
3. 变量分离法另一种求解一阶线性微分方程的方法是变量分离法。
我们把微分方程变形成以下形式：$$ \frac{dy}{dx} = f(x)g(y) $$其中$f(x)$和$g(y)$是已知函数。
一阶线性微分方程的解法
一阶线性微分方程的解法一、引言微分方程是数学中的一种重要工具，用于描述自然界中的各种变化规律。
其中，一阶线性微分方程是最基本、最常见的微分方程类型之一。
本文旨在介绍一阶线性微分方程的解法，包括常数变易法和常系数法两种方法。
二、常数变易法常数变易法是一种求解一阶线性非齐次微分方程的常用方法。
设待解方程为：$$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$$其中，$P(x)$和$Q(x)$是已知函数，$y$是未知函数。
1. 求解齐次方程将方程改写为：$$\frac{dy}{dx}+P(x)y=0$$解这个方程得到齐次方程的通解$y_h$。
2. 特解的猜测对于非齐次方程，我们猜测其特解为$y_p=u(x)y_h$，其中$u(x)$是待定函数。
3. 求解待定函数将$y_p$代入原方程，解得待定函数$u(x)$。
4. 得到通解将齐次方程的通解$y_h$与特解$y_p$相加，得到原方程的通解$y=y_h+y_p$。
三、常系数法对于具有形如$\frac{dy}{dx}+ay=b$的一阶线性非齐次微分方程，我们可以使用常系数法进行求解。
1. 求解齐次方程将方程改写为$\frac{dy}{dx}+ay=0$，解这个方程得到齐次方程的通解$y_h$。
2. 特解的猜测对于非齐次方程，我们猜测其特解为$y_p=C$，其中$C$是常数。
3. 求解待定常数将$y_p$代入原方程，解得待定常数$C$。
4. 得到通解将齐次方程的通解$y_h$与特解$y_p$相加，得到原方程的通解$y=y_h+y_p$。
四、实例分析现以一个具体的例子来说明一阶线性微分方程的解法。
考虑方程$\frac{dy}{dx}+2xy=x^2$，我们首先求解齐次方程$\frac{dy}{dx}+2xy=0$，得到齐次方程的通解$y_h=Ce^{-x^2}$，其中$C$为常数。
然后猜测非齐次方程的特解为$y_p=Ax^2$，将其代入原方程，得到待定常数$A=\frac{1}{2}$。
一阶线性微分方程及其解法
一阶线性微分方程及其解法在数学的领域中，一阶线性微分方程是一类非常重要的方程，它在物理学、工程学、经济学等众多学科中都有着广泛的应用。
接下来，让我们一起深入了解一下一阶线性微分方程及其解法。
首先，我们来明确一下一阶线性微分方程的定义。
一阶线性微分方程的一般形式是：＼y' ＋ P(x)y ＝ Q(x)＼其中，＼（P(x)＼）和\（Q(x)＼）是已知的关于\（x\）的函数，＼（y'＼）表示\（y\）对\（x\）的导数。
为了求解一阶线性微分方程，我们需要用到一个重要的工具——积分因子。
积分因子的作用就像是一把神奇的钥匙，能够帮助我们打开求解方程的大门。
那么，什么是积分因子呢？积分因子\（＼mu(x)＼）是一个函数，使得方程两边同乘以\（＼mu(x)＼）后，方程左边可以化为某个函数的全导数。
对于一阶线性微分方程\（y' ＋ P(x)y ＝ Q(x)＼），其积分因子为\（＼mu(x) ＝ e^｛＼int P(x)dx}＼）。
接下来，我们看看具体的求解步骤。
第一步，先计算出积分因子\（＼mu(x)＼）。
第二步，将原方程两边同时乘以积分因子\（＼mu(x)＼），得到：＼e^｛＼int P(x)dx}y' ＋ e^｛＼int P(x)dx}P(x)y ＝ e^｛＼intP(x)dx}Q(x)＼这时，方程左边可以化为\（（e^｛＼int P(x)dx}y)＇＼）。
第三步，对等式两边进行积分，得到：＼e^｛＼int P(x)dx}y ＝＼int e^｛＼int P(x)dx}Q(x)dx ＋ C\第四步，最后解出\（y\）：＼y ＝ e^｛＼int P(x)dx}（＼int e^｛＼int P(x)dx}Q(x)dx ＋ C)＼为了更好地理解这个求解过程，我们通过一个具体的例子来演示一下。
假设我们要求解方程\（y' ＋ 2xy ＝ 2x\）。
首先，＼（P(x) ＝ 2x\），所以积分因子\（＼mu(x) ＝ e^｛＼int2xdx} ＝ e^｛x^2}＼）。
一阶线性微分方程及其解法[2]
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因此方程满足初始条件的特解为
二、一阶线性微分方程的应用
应用微分方程解决实际问题的步骤: 1. 分析问题,设出所求未知函数,确定初始条件。 2. 建立微分方程。 3. 确定方程类型,求其通解. 4. 代入初始条件求特解.
解 (1) = 0 = f (0,0)
(2)
(3)
xy
则
lim
r 0
w r
=
lim
r 0
x2 + y2
r
( y=x)
( y=x)
？
例2
证令 则
故函数在点 (0, 0) 处连续 ; 同理
下面证明： 令
可微 . 则
注 此题表明, 偏导数连续只是可微的充分条件. 而非必要条件.
例1. 求函数 解: 第一步 求驻点.
解方程组
得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (–3, 0) , (–3, 2) . 第二步 判别. 求二阶偏导数
的极值.
在点(1,0) 处
为极小值;
机动 目录 上页 下页 返回 结束
在点(1,2) 处 在点(3,0) 处 在点(3,2) 处
不是极值; 不是极值;
为极大值.
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例
解 画草图如右 两曲线的交点 选 为积分变量 面积元素
y
o
x
注：
，即动点P以任意方式即沿任意曲线趋向定
点P0时，都有f(P) A
求二重极限方法类似一元函数的一些方法：等价无穷小替换； 重要极限公式；无穷小的性质；（恒等变形；利用连续性；夹 逼准则；换元；利用公式和运算法则）
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一、 一阶线性微分方程及其解法 二、 一阶线性微分方程的简单应用 三、 小结及作业
一、一阶线性微分方程及其解法
1. 一阶线性微分方程的定义 在微分方程中，若未知函数和未知函数的导数都是一次 的，则称其为一阶线性微分方程。
例1 判下列微分方程是否为一阶线性微分方程： (1)3y2yx2 (2)(y)3x ysi2 n x(1 )
例5 求过原点平且(x在 ,y)处 点的切线斜率 3x y 的曲线方程。
解 设所求曲线方程为 yf(x), 则依题 y 有 0, x0
从而
y 3 x y
即 yy3x 其中 P(x)1, Q(x)3x
则通解为
yedx3xedd x x C
ex3 x x e d x C ex 3 x d x C e
的速度成正比(比例系数 k 0)，起跳时的速度为0，
求下落的速度与时间 t 的函数关系。
解 设速度与时间的函数关系为： vv(t),
则依题 v 有 0, t0
由牛顿第二定律知：
m k g vmm av
即 v k v g 其中 P(t) k , Q(t)g
m
m
则通解为vem kdtgem kdtdtC
e lx nx 2 e lx n d C x
1 x
x3dxC
1 x3 C 4x
例4 求 x 2 d y (2 x y x 1 )d x 0 满 y足 0的. x 1
解
原方程变形为
dy 2 x1
y dx x
x2
,
其中
P( x) 2 , Q(x) x 1 则通解为
x
x2
ye2xdxxx21e2xdxdxC
解 P(x) 2 则通解 x
y CeP(x)dx
2
Ce
dx x
Ce2l nx Cx2
（2）一阶线性非齐次微分方程
1）一般式
dyP(x)yQ(x) dx
2）解法 常数变易法
3）通解公式
y e P (x )d[xQ (x )e P (x )dd x x C ]
CeP(x)dxeP (x)dx Q (x)eP (x)dd x x
e 2 lx n(x 1 )d x C
1 x2
x2 2
xC
1 2
1 x
C x2
由yx1 0得C
1, 2
因此方程满足初始条件的特解为
y
1 2
1 x
1 2x2
二、一阶线性微分方程的应用
应用微分方程解决实际问题的步骤:
1. 分析问题,设出所求未知函数,确定初始条件。 2. 建立微分方程。 3. 确定方程类型,求其通解. 4. 代入初始条件求特解.
(3)yy2x2 (5)yyyx
(4) dy1ysinx2 dx x
(6)yxsiynx21
解 （1）、（4）是一阶线性的，其余的是非线性的. 2. 一阶线性微分方程的一般式
dy P(x)yQ (x) dx 3. 一阶线性微分方程的分类
(1)
当 Q(x)0时，方程（1）称为一阶线性齐次微
分方程。
当 Q(x)0时，方程（1）称为一阶线性非齐次 微分方程。
即 u(x)eP(x)dxQ(x)
u(x)Q(x)eP(x)dx
u(x)Q (x)eP(x)dd x xC
通解 y e P (x )d[xQ (x )e P (x )dd x x C ]
例3 求y1yx2 的通.解 x
解 P( x) 1 , Q(x) x2则,通解为
x
ye1xdxx2e1xdxdxC
齐次的 通解
非齐次 的特解
4）常数变易法 设yu(x)eP(x)dx为非齐次线性方程的解，则
y u (x )e P (x )d x u (x )e P (x )d( x P (x ))
将y, y 代入原方程有
[ u ( x ) e P ( x ) d u x ( x ) e P ( x ) d ( P x ( x ) P ) ( x ) u ] ( x ) e P ( x ) d Q x ( x )
e x 3 x x ( e e x d ) C x e x 3 x ( x e e x ) C e x 3 x ( x e e x ) C
3(x1)Cxe
由yx0 0得 C 3,
因此所求曲线方程为
y3(exx1)
例6 设跳伞员开始跳伞后所受的空气阻力于他下落
2. 一阶线性非齐次微分方程
（1）一般式
dyP(x)yQ(x) dx
（2）通解公式 y e P (x )d(xQ (x )e P (x )d xC )
4. 一阶线性微分方程的解法
（1）一阶线性齐次微分方程
1）一般式
dyP(x)y 0 dx分离 Nhomakorabea量 1 dy P( x)dx y
2）解法 分离变量法 两边积分 ln y P( x)dx ln C
通解
y Ce P( x)dx
3）通解公式
y CeP(x)dx
例2 求y2y0 的通.解
x
kt
e m
g em k t dtC
em ktg
m k d(em kt )C
kt
e m(g
mem kt
k
C)
mg k
k t
Ce m
由vt0 0得
c mg k
因此所求速度与时间的函数关系为
v mg(1emk t ) k
三、小结
1. 一阶线性齐次微分方程
（1）一般式
dyP(x)y 0 dx
（2）通解公式 yCeP(x)dx