一元二次方程的解集及其根与系数的关系

一元二次方程的解集及其根与系数的关系
丹东市教师进修学院 宋润生
只含有一个未知数（一元），并且未知数项的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程的一般形式为20(0)ax bx c a ++=≠，其中2ax 是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项；b 是一次项系数；c 是常数项．
一、一元二次方程的解集
使一元二次方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．一元二次方程的解（根）的集合叫做一元二次方程的解集．
设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的解集为M ，24b ac ∆=-．
（1）当0∆>时，M =⎪⎪⎩⎭
．
（2）当0∆=时，2b M a -⎧⎫
=⎨⎬⎩⎭
．
（3）当0∆<时，M =∅．
例1．不解方程，判断下列方程的根的情况：
（1）22340x x +-=；（2）20(0)ax bx a +=≠；2210x bx b -++= 例2．已知关于x 的方程kx 2-2（k +1）x +k -1=0有两个不相等的实数根， （1）求k 的取值范围；
（2）是否存在实数k ，使此方程的两个根是互为相反数？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由． 解： （1）1(,0)
(0,)3
-+∞．
（2）120x x +=，所以
2(1)
0k k
+=，1k =-，不满足0∆>，所以不存在实数k ，使此方程的两个根是互为相反数．
二、一元二次方程根与系数的关系
当0∆>时，一元二次方程有20(0)ax bx c a ++=≠
有两个不相等的实数根
12b x a -=
，22b x a
-=．那么
12b x x a
++=-．
12c
x x a
⋅===．
当0∆=时，一元二次方程有20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根
122b x x a ==-
．那么12b x x a
+=- ，21222444b ac c x x a a a ⋅===． 如果一元二次方程2
0(0)ax bx c a ++=≠的两个实数根是1x ，2x ，
那么1212b x x a c x x a ⎧
+=-⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩
． 也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商．这就是一元二次方程根与系数的关系，也叫韦达定理（法国数学家弗朗索瓦·韦达（François Viète ，1540－1603））．
韦达定理的应用
（1）不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根； （2）已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数；
（3）不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x 1、x 2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；
例如：
①222121212()2x x x x x x +=+-． ②
12
1212
11x x x x x x ++=． ③2212121212()x x x x x x x x +=+．
④2211212
1212
()2x x x x x x x x x x +-+=．
⑤22121212()()4x x x x x x -=+-．
⑥22121212()()()mx n mx n m x x mn x x n ++=+++．
例3．已知方程220x x c -+=的一个根是3，求它的另一根及c 的值． 例4．求作一个一元二次方程，使它的两根分别是133-，12
2
． 例5．设1x ，2x
是方程2210x -=的两根，不解方程，求下列各式的值： （1）2212x x +；（2）212()x x -；（3）1221
11
()()x x x x +
+． 例6．在Rt △ABC 中，∠C =90︒，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，a ，b 是关于x 的方程2770x x c -++=的两根，求AB 边上的中线长． 练习题
1．下列方程，有实数根的是
A ．2210x x ++=
B ．23210x x ++=
C ．20.110x x --= D
．230x -+= 答案：C
2．设关于x 的方程x 2-（2k -1）x ＝-k 2+2k +3，当k 为何值时， （1）有两个不相等的实数根？ （2）有两个相等的实数根？ （3）没有实数根?
答案：（1）13(,)4-
+∞；
（2）13{}4-；（3）13
(,)4
-∞-． 3．已知关于x 的方程221
(3)04
x m x m --+=有两个不相等的实数根，若m ∈Z ，那么m 的
最大值是________． 答案：3
2
m <
，m 的最大值是1． 4．已知一元二次方程2650x x k -+-=的根的判别式△=4，则这个方程的根为_____． 答案：3k =-，根为2和4．
5．若关于x 的一元二次方程2210kx x --=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 A ． (1,)-+∞ B ．(1,0)(0)-+∞ C ．(,1)-∞
D ．(,0)
(01)-∞+
答案：B
6．关于x 的一元二次方程2(1)20x m x m ----= A ．没有实根
B ．有两相等实根
C ．有两不相等实根
D ．可能有实根
答案：C ，2290m m ∆=++>．
7．已知a ，b ，c 是△ABC 的三边长，且方程（a 2+b 2）x 2-2cx +1＝0有两个相等的实数根．请你判断△ABC 的形状．
答案：直角三角形，0∆= ，得222c a b =+．
8．关于方程2230x x ++=的两实数根是1x ，2x ，的说法正确的是 A ．122x x += B ．123x x += C ．122x x +=-
D ．以上都不对
答案：D
9．已知方程2560x kx +-=的一个根是2，则它的另一个根及k 的值分别为______． 答案：k 的值7-，另一个根3
5
-．
10．已知方程x 2﹣2（m 2﹣1）x +3m =0的两个实数根的倒数和等于0，则 A ．m =±1 B ．m =﹣1 C ．m =1 D ．m =0
答案：B
11．一元二次方程22630x x -+=的两根为α、β，则2()αβ-= A ．3 B ．6 C ．18 D ．24
答案：A
12．已知23210x x --=的两实数根是1x ，2x ，则12
11
x x +的值为______． 答案：2-
13．若方程2220x x --=的两实数根是1x ，2x ，则1122(2)(2)x x x x -+-的值为______． 答案：4
14．设1x ，2x 为关于x 的方程x 2+2mx +m 2+3m ﹣2=0两个实根，求2
1122()x x x x -+的最小值．
答案：49．1280m ∆=-+≥，23
m ≤
．222
11221212()()396x x x x x x x x m m -+=+-=-+，当23
m =时取最小值49．
15．已知1x ，2x 是关于x 的方程22(21)0x a x a +-+=的两个实数根，若12(2)(2)11x x ++=，求a 的值． 答案：1-．
140a ∆=-≥时，122
12
12x x a
x x a +=-⎧⎪⎨=⎪⎩．所以2121212(2)(2)2()446x x x x x x a a ++=+++=-+
因为12(2)(2)11x x ++=，所以2450a a --=，解得1a =-或5a =． 当5a =时，0∆≥不成立，所以1a =-．
16．设a ，b 是方程220180x x +-=的两个实数根，则22a a b ++的值为______． 答案：2017．222()2018(1)2017a a b a a a b ++=+++=+-=．
17．已知关于x 的方程22210x mx m --+=的两根的平方和等于4，求m 的值．
答案：2m =．2
1680m m ∆=+-≥．2222
1
2121284
()24
m m x x x x x x +-+=+-=，
28200m m +-=，解得10m =-或2m =．其中10m =-使0∆<．
18．若方程2x 2－(k ＋1)x ＋k ＋3＝0的两根之差是1，求k 的值．
答案：9k =．2
6230k k ∆=+-≥．222
121212623
()()44
k k x x x x x x ---=+-=．令
2623
14
k k --=得26270k k --=，所以3k =-或9k =．其中3k =-使0∆<．
19．已知x 1，x 2是关于x 的方程x 2+mx +n =0的两根，x 1+1，x 2+1是关于x 的方程x 2+nx +m =0的两根，求m ，n 的值．
答案：13m n =-⎧⎨=-⎩．1212121211(1)(1)x x m
x x n x x n x x m
+=-⎧⎪
=⎪⎨+++=-⎪⎪++=⎩，221n m n m =-⎧⎨=-⎩，13m n =-⎧⎨=-⎩．
20
1
1为根的一个一元二次方程为______．
答案：210x -+=．
21．求作一个一元二次方程，使它的两根分别是方程25230x x +-=各根的负倒数．
答案：2
225036x x -+=．因为12122535x x x x ⎧
+=-⎪⎪⎨
⎪=-⎪⎩
，所以121212112()()3x x x x x x +-+-=-=，
121211125()()6
x x x x -
-==． 22．设一元二次方程2320x x --=的两实数根是1x ，2x ，以21x ，22x 为根的一个一元二次方程为________． 答案：21340x x -+=．
因为12123
2
x x x x +=⎧⎨=-⎩，所以222121212()213x x x x x x +=+-=，22124x x =．
23．对于方程x 2+bx －2=0，以下说法正确的是
A ．方程有无实数根，要根据b 的取值而定
B ．无论b 取何值，方程必有一正根，一负根
C ．当b >0时，方程两根为正；b <0时，方程两根为负
D ．因为－2<0，所以方程两根肯定为负 答案：B
24．一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）有两异号实数根的条件是 A ．ab >0 B ．ac >0
C ．ab <0
D ．ac <0
答案：D
25．已知关于x 的方程2（k +1）x 2+4kx +3k -2=0． （1）当k 为值时，两根互为相反数；
（2）当k 为何值时，有一根为零，另一根不为零． 解：
（1）28(2)0k k ∆=-+->，因为方程两根互为相反数，所以120x x +=，即
201
k
k =+，0k =满足0∆>，所以当0k =时，方程两根互为相反数．
（2）因为方程有一根为零，所以121200
x x x x +≠⎧⎨
=⎩，得2
3k =．
26．设关于x 的方程230x x a ++=的两个实数根的倒数和等于3． （1）求a 的值；
（2）已知关于x 的方程2(1)320k x x a -+-=有实数根，若k ∈N ，求代数式1
2
k k --的值． 解：
（1）940a ∆=->，因为方程两根倒数和等于3，所以
1211
3x x +=，即1212
3x x x x +=．由
韦达定理
3
3a
-= 1a =-，满足0∆>，所以1a =-． （2）若1k =，方程2(1)320k x x -++=有实数根23
x =-； 若1k ≠，当判别式1780k ∆=-≥，即17
8
k ≤时，方程2(1)320k x x -++=有实数根，因为k ∈N ，所以0k =或2k =．
当0k =时，
1122k k -=-；当1k =时，102k k -=-；当2k =时，
1
2
k k --不存在． 27．已知23201860x x ++=，26201830y y ++=，若1xy ≠，则
x
y
= A ．2 B ．2- C ．
12 D ．12
-
答案：A 解：
因为y 是方程26201830y y ++=的根，所以
1
y
是方程23201860x x ++=的根． 而x 是方程23201860x x ++=的根，1xy ≠，所以x 与
1
y
方程23201860x x ++=的两个不同实数根，由韦达定理得
1
2x x y y
=⋅=． 28．已知方程组22010x y a x y ⎧-++=⎨-+=⎩的两组解分别为11x x y y =⎧⎨=⎩和2
2x x y y =⎧⎨=⎩12()x x ≠，若
222121238611x x x x a a +-=--．
（1）求a 的值；
（2）不解方程组判断方程组的两组解中的每一个数能否都为正数，为什么? 解：
（1）由22010x y a x y ⎧-++=⎨-+=⎩得210x x a -++=，430a ∆=-->，12121
1x x x x a +=⎧⎨=+⎩．所以
222121212123()554x x x x x x x x a +-=+-=--．
因为222121238611x x x x a a +-=--，所以2870a a --=，解得1a =或7
8
a =-，1a =不
满足0∆>，所以78
a =-．
（2）方程组220
10x y a x y ⎧-++=⎨-+=⎩解得个数等于关于x 的方程210x x a -++=根的个数．
因为78a =-，关于x 的方程210x x a -++=化为2108x x -+=，因为121210
1
08x x x x +=>⎧⎪
⎨=>⎪⎩，所以1200x x >⎧⎨>⎩，112
210
10y x y x =+>⎧⎨=+>⎩，即方程组的两组解中的每一个数都为正数．。