一元二次方程的解集及其根与系数的关系

一元二次方程的解集及其根与系数的关系

丹东市教师进修学院 宋润生

只含有一个未知数（一元），并且未知数项的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程的一般形式为20(0)ax bx c a ++=≠，其中2ax 是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项；b 是一次项系数；c 是常数项．

一、一元二次方程的解集

使一元二次方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．一元二次方程的解（根）的集合叫做一元二次方程的解集．

设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的解集为M ，24b ac ∆=-．

（1）当0∆>时，M =⎪⎪⎩⎭

．

（2）当0∆=时，2b M a -⎧⎫

=⎨⎬⎩⎭

．

（3）当0∆<时，M =∅．

例1．不解方程，判断下列方程的根的情况：

（1）22340x x +-=；（2）20(0)ax bx a +=≠；2210x bx b -++= 例2．已知关于x 的方程kx 2-2（k +1）x +k -1=0有两个不相等的实数根， （1）求k 的取值范围；

（2）是否存在实数k ，使此方程的两个根是互为相反数？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由． 解： （1）1(,0)

(0,)3

-+∞．

（2）120x x +=，所以

2(1)

0k k

+=，1k =-，不满足0∆>，所以不存在实数k ，使此方程的两个根是互为相反数．

二、一元二次方程根与系数的关系

当0∆>时，一元二次方程有20(0)ax bx c a ++=≠

有两个不相等的实数根

12b x a -=

，22b x a

-=．那么

12b x x a

++=-．

12c

x x a

⋅===．

当0∆=时，一元二次方程有20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根

122b x x a ==-

．那么12b x x a

+=- ，21222444b ac c x x a a a ⋅===． 如果一元二次方程2

0(0)ax bx c a ++=≠的两个实数根是1x ，2x ，

那么1212b x x a c x x a ⎧

+=-⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩

． 也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商．这就是一元二次方程根与系数的关系，也叫韦达定理（法国数学家弗朗索瓦·韦达（François Viète ，1540－1603））．

韦达定理的应用

（1）不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根； （2）已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数；

（3）不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x 1、x 2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；

例如：

①222121212()2x x x x x x +=+-． ②

12

1212

11x x x x x x ++=． ③2212121212()x x x x x x x x +=+．

④2211212

1212

()2x x x x x x x x x x +-+=．

⑤22121212()()4x x x x x x -=+-．

⑥22121212()()()mx n mx n m x x mn x x n ++=+++．

例3．已知方程220x x c -+=的一个根是3，求它的另一根及c 的值． 例4．求作一个一元二次方程，使它的两根分别是133-，12

2

． 例5．设1x ，2x

是方程2210x -=的两根，不解方程，求下列各式的值： （1）2212x x +；（2）212()x x -；（3）1221

11

()()x x x x +

+． 例6．在Rt △ABC 中，∠C =90︒，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，a ，b 是关于x 的方程2770x x c -++=的两根，求AB 边上的中线长． 练习题

1．下列方程，有实数根的是

A ．2210x x ++=

B ．23210x x ++=

C ．20.110x x --= D

．230x -+= 答案：C

2．设关于x 的方程x 2-（2k -1）x ＝-k 2+2k +3，当k 为何值时， （1）有两个不相等的实数根？ （2）有两个相等的实数根？ （3）没有实数根?

答案：（1）13(,)4-

+∞；

（2）13{}4-；（3）13

(,)4

-∞-． 3．已知关于x 的方程221

(3)04

x m x m --+=有两个不相等的实数根，若m ∈Z ，那么m 的

最大值是________． 答案：3

2

m <

，m 的最大值是1． 4．已知一元二次方程2650x x k -+-=的根的判别式△=4，则这个方程的根为_____． 答案：3k =-，根为2和4．

5．若关于x 的一元二次方程2210kx x --=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 A ． (1,)-+∞ B ．(1,0)(0)-+∞ C ．(,1)-∞

D ．(,0)

(01)-∞+