2020年宁夏石嘴山一中高考数学模拟试卷(文科)(6月份)

2020年宁夏石嘴山一中高考数学模拟试卷（文科）（6月份）一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={0,1，2，3}，B ={x|x 2−2x −3<0}，则A ∪B =( )A. (−1,3)B. (−1,3]C. (0,3)D. (0,3]2. 设i 为虚数单位，则5−i1+i =( )A. −2−3iB. −2+3iC. 2−3iD. 2+3i3. 已知向量a ⃗ =(x,3),b ⃗ =(3,√3)，若a ⃗ ⊥b ⃗ ，则x =( )A. −√3B. √3C. −1D. 14. 双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1的一条渐近线方程为√3x −y =0，则双曲线的离心率为( )A. √3B. 2C. √5D. 35. 我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”章中有一道“两鼠穿墙”问题：有厚墙5尺，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半．问两鼠在第几天相遇？( )A. 第2天B. 第3天C. 第4天D. 第5天6. 若sinα=−13，α∈(−π2,0)，则sin2α=( )A. −4√29B. 4√29C. 89D. −897. 若实数x ，y 满足的约束条件{x +y −1≤0x −y +1≥0y +1≥0，则函数z =2x +y 的最大值是( )A. 1B. 2C. 3D. −58. 在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1=2，且a 2，a 4+2，a 5成等差数列，记S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 6=( )A. 62B. 64C. 126D. 1289. 如图，在边长为2的正方形中，随机撒1000粒豆子，若按π≈3计算，估计落到阴影部分的豆子数为( )A. 125B. 150C. 175D. 20010. 已知a =log1516,b =log13π3,c =3−13，则a ，b ，c 的大小关系是( )A. b <a <cB. a <c <bC. c <b <aD. b <c <a11. 函数f(x)=1x−lnx−1的图象大致是( )A.B.C.D.12. 对于函数f(x)={2x ⋅e x , x ≤0x 2−2x +12,x >0，有下列命题：①过该函数图象上一点(−2,f(−2))的切线的斜率为−2e 2； ②函数f(x)的最小值为−2e ； ③该函数图象与x 轴有4个交点；④函数f(x)在(−∞,−1]上为减函数，在(0,1]上也为减函数． 其中正确命题的序号是( )A. ①④B. ①②③C. ①②④D. ②③④二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 抛物线x 2=4y 的准线方程为______．14. 已知某商场在一周内某商品日销售量的茎叶图如图所示，那么这一周该商品日销售量的平均数为______．15. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a =2bsinA ，则B = ______ ．16. 已知正四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1的每个顶点都在球O 的球面上，若球O 的表面积为12π，则该四棱柱的侧面积的最大值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知等差数列{a n }满足：a 4=7，a 10=19，其前n 项和为S n ．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式a n及S n；(Ⅱ)若b n=1，求数列{b n}的前n项和T n．a n a n+1CD=1.现以AD为一边向梯形外18.如图1，在直角梯形ABCD中，AB//CD，AB⊥AD，且AB=AD=12作正方形ADEF，然后沿边AD将正方形ADEF翻折，使平面ADEF与平面ABCD垂直，M为ED的中点，如图2．(1)求证：AM//平面BEC；(2)求证：BC⊥平面BDE；(3)求点D到平面BEC的距离．19.在全面抗击新冠肺炎疫情这一特殊时期，我市教育局提出“停课不停学”的口号，鼓励学生线上学习．某校数学教师为了调查高三学生数学成绩与线上学习时间之间的相关关系，对高三年级随机选取45名学生进行跟踪问卷，其中每周线上学习数学时间不少于5小时的有19人，余下的人中，在检测考试中数学平均成绩不少于120分的有10人，统计成绩后得到如下2×2列联表：(1)请完成上面2×2列联表；并判断是否有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”；(2)在上述样本中从分数不少于120分的学生中，按照分层抽样的方法，抽到线上学习时间不少于5小时和线上学习时间不足5小时的学生共5名，若在这5名学生中随机抽取2人，求至少1人每周线上学习时间不足5小时的概率．(下面的临界值表供参考)(参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d.)20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，其中左焦点为F(−2,0)．(1)求椭圆C的方程；(2)若直线y=x+m与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点M在圆x2+y2=1上，求m的值．21. 已知函数f(x)=e −x −ax ．(Ⅰ)若a =−12，讨论函数f(x)的单调性；(Ⅱ)若方程f(x)+x =0没有实数解，求实数a 的取值范围．22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =3−√22ty =√5+√22t(t 为参数).在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标中，圆C 的方程为ρ=2√5sinθ． (Ⅰ)写出直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；(Ⅱ)若点P 坐标为(3,√5)，圆C 与直线l 交于A ，B 两点，求|PA|+|PB|的值．23.已知函数f(x)=|2x−1|+|2x+1|，记不等式f(x)<4的解集为M．(1)求M；(2)设a，b∈M，证明：|ab|−|a|−|b|+1>0．答案和解析1.【答案】B【解析】解：集合A={0,1，2，3}，B={x|x2−2x−3<0}=(−1,3)，则A∪B=(−1,3]，故选：B．求出A与B中不等式的解集确定出A与B，求出A与B的并集．此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键，基础题．2.【答案】C【解析】解：∵5−i1+i =(5−i)(1−i)(1+i)(1−i)=4−6i2=2−3i故选C．复数的分子、分母、同乘分母的共轭复数化简即可．本题主要考查了复数代数形式的四则运算，属容易题．3.【答案】A【解析】解：∵向量a⃗=(x,3),b⃗ =(3,√3)，若a⃗⊥b⃗ ，则a⃗⋅b⃗ =3x+3√3=0，∴x=−√3，故选：A．由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，求得x的值．本题主要考查两个向量垂直的性质、向量的数量积公式，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：∵双曲线C：x2a2−y2b2=1的一条渐近线方程为√3x−y=0，∴b=√3a，∴c=√a2+b2=2a，∴e=ca=2．故选：B．由题意推出b ：a =√3：1，结合双曲线的平方关系可得c 与a 的比值，求出该双曲线的离心率． 本题考查双曲线的离心率的求法，解题时要认真审题，要熟练掌握双曲线的离心率、渐近线方程等基础知识．5.【答案】B【解析】 【分析】本题考查等比数列的应用，属于基础题． 利用已知条件，逐步求出结果即可． 【解答】解：第一天：大老鼠与小老鼠的打洞尺数：1+1=2；第二天：大老鼠与小老鼠的打洞尺数：2+0.5=2.5，两天总和：2+2.5=4.5， 第三天：大老鼠与小老鼠的打洞尺数：4+0.25=4.25>0.5， 所以两鼠在第3天相遇， 故选：B ．6.【答案】A【解析】解：sinα=−13，α∈(−π2,0)， 所以cosα=√1−sin 2α=√1−(−13)2=2√23， 所以sin2α=2sinαcosα=2×(−13)×2√23=−4√29． 故选：A ．利用同角的三角函数关系和二倍角公式，计算即可．本题考查了同角的三角函数关系和二倍角公式应用问题，是基础题．7.【答案】C【解析】解：作出实数x ，y 满足的约束条件{x +y −1≤0x −y +1≥0y +1≥0的对应的平面区域如图：由z =2x +y 得y =−2x +z ， 平移直线y =−2x +z ，由图象可知当直线y =−2x +z 经过点A 时，直线的截距最大， 此时z 最大，由{x +y −1=0y =−1解得A(2,−1) 此时z =2×2+−1=3， 故选：C ．作出不等式组对应的平面区域，利用z 的几何意义，即可得到结论．本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合，结合目标函数的几何意义是解决此类问题的基本方法．8.【答案】C【解析】 【分析】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． a 2，a 4+2，a 5成等差数列，可得a 2+a 5=2(a 4+2)，把已知代入解得q.再利用求和公式即可得出． 【解答】解：设正数的等比数列{a n }的公比为q >0，a 1=2， ∵a 2，a 4+2，a 5成等差数列， ∴a 2+a 5=2(a 4+2)，∴2q +2q 4=2(2q 3+2)，解得q =2． ∵S 6=2(26−1)2−1=126．故选：C ．9.【答案】A【解析】解：圆的半径为1，则圆的面积近似为3， 又正方形面积为4，则阴影部分面积为12(4−3)=12=0.5． 设落到阴影部分的豆子数为n ， 则n 1000=124=125．故选：A ．由题意求出阴影部分的面积为12，则n 1000=124，求得n 得答案．本题考查几何概型概率的求法，求阴影部分面积是关键，是基础题．10.【答案】D【解析】解：由已知可得：a >log 1515=1，b <log 131=0，c ∈(0,1)， ∴b <c <a ． 故选：D ．利用指数对数函数的单调性分别与0，1比较，即可得出结论．本题考查了指数、对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11.【答案】B【解析】 【分析】本题考查由函数解析式找函数图象，属于基础题． 由函数的定义域及特殊点的值，运用排除法可以得到答案． 【解答】解：定义域为(0,1)∪(1,+∞)，故排除A ； f(100)>0，故排除C ；f(1100)>0，故排除D ． 故选：B ．12.【答案】C【解析】解：函数f(x)={2x ⋅e x , x ≤0x 2−2x +12,x >0，所以x ≤0时，f(x)=2xe x ，所以f′(x)=2(1+x)e x ，f′(−2)=−2e 2，即过该函数图象上一点(−2,f(−2))的切线斜率为−2e 2，①正确； 又x <−1时，f′(x)<0，f(x)是单调减函数； −1<x <0时，f′(x)>0，f(x)是单调增函数；所以x≤0时，f(x)有最小值为f(−1)=−2e；又x>0时，f(x)=x2−2x+12，所以f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)单调递增；所以x>0时，f(x)有最小值为f(1)=−12；又−2e <−12，所以函数f(x)的最小值为−2e，②正确；因为x<0时，f(x)=2xe x<0恒成立，且f(0)=0；所以函数f(x)的图象与x轴有3个交点，③错误；由题意知函数f(x)在(−∞,−1]上为减函数，在(0,1]上也为减函数，所以④正确．综上知，其中正确命题的序号是①②④．故选：C．利用分段讨论法研究函数f(x)的图象与性质，判断题目中的命题是否正确即可．本题利用命题真假的判断，考查了函数的性质与应用问题，是中档题．13.【答案】y=−1【解析】【分析】本题考查抛物线的简单性质，掌握其几何性质是关键，属于基础题．由抛物线x2=2py(p>0)的准线方程为y=−p2即可求得抛物线x2=4y的准线方程．【解答】解：∵抛物线方程为x2=4y，∴其准线方程为：y=−1．故答案为：y=−1．14.【答案】30【解析】解：某商场在一周内某商品日销售量的茎叶图如图所示，那么这一周该商品日销售量的平均数为：x−=17(28+29+29+30+31+31+32)=30．故答案为：30．利用平均数、茎叶图的性质直接求解．本题考查平均数的求法，考查茎叶图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15.【答案】π6或5π6【解析】 【分析】由已知利用正弦定理可得，sinA =2sinBsinA ，从而可求sin B ，进而可求B ． 本题主要考查正弦定理的应用，根据三角函数的值求角，属于基础题． 【解答】解：∵a =2bsinA ，由正弦定理可得，sinA =2sinBsinA ， ∵sinA ≠0， ∴sinB =12， ∵0°<B <180°． ∴B =π6或5π6．故答案为：π6或5π6．16.【答案】12√2【解析】解：设AB =a ，AA 1=ℎ，则4π×(√a2+a 2+ℎ22)2=12π，即有2a 2+ℎ2=12≥2√2a 2ℎ2，所以aℎ≤3√2，当且仅当2a 2=ℎ2，即ℎ=√2a =√6时，等号成立， 故该四棱柱的侧面积最大值为3√2×4=12√2． 故答案为：12√2．设AB =a ，AA 1=ℎ，则4π×(√a2+a 2+ℎ22)2=12π，利用基本不等式即可表示出侧面积最值本题考查球体表面积的计算，同时也考查了正四棱柱外接球问题以及正四棱柱侧面积最值的计算，涉及了利用基本不等式求最值，解题的关键就是要根据题意得出定值条件，考查计算能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则{a 1+3d =7a 1+9d =19，解得：a 1=1，d =2，∴a n=1+2(n−1)=2n−1，S n=n(1+2n−1)2=n2．(2)b n=1a n a n+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，∴数列{b n}的前n项和为T n=12[(1−13)+(13−15)+⋯+(12n−1−12n+1)]=12(1−12n+1)=n2n+1．【解析】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．(1)利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．(2)利用“裂项求和”方法即可得出．18.【答案】解：(1)证明：取EC中点N，连接MN，BN．在△EDC中，M，N分别为EC，ED的中点，所以MN//CD，且MN=12CD．由已知AB//CD，AB=12CD，所以MN//AB，且MN=AB.(3分)所以四边形ABNM为平行四边形．所以BN//AM.(4分)又因为BN⊂平面BEC，且AM⊄平面BEC，所以AM//平面BEC.(5分)(2)在正方形ADEF中，ED⊥AD．又因为平面ADEF⊥平面ABCD，且平面ADEF∩平面ABCD=AD，所以ED⊥平面ABCD．所以ED⊥BC.(7分)在直角梯形ABCD中，AB=AD=1，CD=2，可得BC=√2．在△BCD中，BD=BC=√2,CD=2，所以BD2+BC2=CD2．所以BC⊥BD.(8分)所以BC⊥平面BDE.(10分)(3)由(2)知，BC⊥平面BDE又因为BC⊂平面BCE，所以平面BDE⊥平面BEC.(11分)过点D作EB的垂线交EB于点G，则DG⊥平面BEC所以点D到平面BEC的距离等于线段DG的长度(12分)在直角三角形BDE中，S△BDE=12BD⋅DE=12BE⋅DG所以DG=BD⋅DEBE =√23=√63所以点D到平面BEC的距离等于√63.(14分)【解析】(1)欲证AM//平面BEC，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证AM与平面BEC内一直线平行，取EC中点N，连接MN，BN，根据中位线定理和条件可知MN//AB，且MN=AB，从而得到四边形ABNM为平行四边形，则BN//AM，BN⊂平面BEC，且AM⊄平面BEC，满足定理所需条件；(2)欲证BC⊥平面BDE，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证BC与平面BDE内两相交直线垂直，根据面面垂直的性质可知ED⊥平面ABCD，则ED⊥BC，根据勾股定理可知BC⊥BD，满足定理所需条件；(3)过点D作EB的垂线交EB于点G，则DG⊥平面BEC，从而点D到平面BEC的距离等于线段DG的长度，在直角三角形BDE中，利用等面积法即可求出DG，从而求出点D到平面BEC的距离．本题主要考查了线面平行的判定，以及线面垂直的判定和点到面的距离的度量等有关知识，同时考查了空间想象能力、转化与划归的思想，属于综合题．19.【答案】15 16 26 25 20【解析】解：(1)根据题目所给数据得到如下2×2的列联表：∵K2=45(15×16−10×4)225×20×19×26≈7.29>6.635，∴有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”；(2)依题意，抽到线上学习时间不少于5小时的学生5×1525=3人，设为A 1，A 2，A 3，线上学习时间不足5小时的学生2人，设为B 1，B 2，所有基本事件有：(B 1,A 1)，(B 1,A 2)，(B 1,A 3)，(B 2,A 1)，(B 2,A 2)，(B 2,A 3)，(B 1,B 2)，(A 1,A 2)，(A 1,A 3)，(A 2,A 3)共10种，至少1人每周线上学习时间不足5小时包括：(B 1,A 1)，(B 1,A 2)，(B 1,A 3)，(B 2,A 1)，(B 2,A 2)，(B 2,A 3)，(B 1,B 2)共7种故至少1人每周线上学习时间不足5小时的概率为710．(1)根据题目所给的数据填写2×2列联表，计算K 的观测值K 2，对照题目中的表格，得出统计结论； (2)计算出抽到线上学习时间不少于5小时的学生人数和线上学习时间不足5小时的学生人数，分别编号，列出所有基本事件，再利用古典概率的概率公式即可求出结果．本题考查了独立性检验的应用问题，考查了古典概率的概率公式，也考查了计算能力的应用问题，是基础题目．20.【答案】解：(1)由题意椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√22， 其中左焦点为F(−2,0)，a 2=b 2+c 2， 即c =2，可得a =2√2，解得b =2， ∴椭圆C 的方程为：x 28+y 24=1．(2)设点A ，B 的坐标分别为(x 1,y 1)，(x 2,y 2)， 线段AB 的中点为M(x 0,y 0)，由{y =x +mx 2+2y 2=8，消去y 得，3x 2+4mx +2m 2−8=0， 即Δ=16m 2−12(2m 2−8)=96−8m 2>0， ∴−2√3<m <2√3， ∵x 0=12(x 1+x 2)=−23m ，∴y 0=x 0+m =13m ，∵点M(x 0,y 0)在圆x 2+y 2=1上， ∴49m 2+19m 2=1， ∴m =±3√55．【解析】本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与圆锥曲线位置关系的应用，体现了“设而不求”的解题思想方法，是中档题．(1)直接由已知列关于a ，b ，c 的方程组，求解方程组得到a ，b 的值，则椭圆方程可求；(2)联立直线方程和椭圆方程，化为关于x 的一元二次方程，利用根与系数的关系求得线段AB 的中点M 的坐标，代入圆的方程求得m 的值．21.【答案】解：(I)当a =−12时，f(x)=e−x+12x ，f′(x)=−e−x+12=e x −22e x，当x ∈(−∞,ln2)时，f′(x)<0，函数单调递减，当x ∈(ln2,+∞)时，f′(x)>0，函数单调递增， (II)方程f(x)+x =0没有实数解，即e −x +(1−a)x =0没有实数解， 令g(x)=e −x +(1−a)x ，则g′(x)=−e −x +1−a =(1−a)e x −1e x①当a =1时，g(x)=e −x >0，g(x)没有零点； ②当a >1时，g(x)单调递减，g(1a−1)=e11−a−1<0且g(0)=1>0，g(x)有零点；③当a <1时，令g′(x)=(1−a)e x −1e x=0可得x =−ln(1−a)，当x ∈(−∞,−ln(1−a))时，g′(x)<0，函数单调递减，当x ∈(−ln(1−a),+∞)时，g′(x)>0，函数单调递增，故当x =−ln(1−a)时，函数取得最小值g(−ln(1−a))=(1−a)[1−ln(1−a)]>0， 解可得，1−e <a <1，即函数没有零点，综上，若g(x)没有零点，即方程e −x +(1−a)x =0没有实数解， 故a 的范围(1−e,1]．【解析】(I)先对函数求导，结合导数与单调性的关系即可求解函数的单调性；(II)由e −x +(1−a)x =0没有实数解，结合a 的范围，结合函数的单调性及函数的性质可判断函数的零点存在情况，即可求解．本题考查了导数与函数的综合应用，属于中档题．22.【答案】解：(Ⅰ)由{x =3−√22ty =√5+√22t 得直线l 的普通方程为x +y −3−√5=0--------2分 又由ρ=2√5sinθ得ρ2=2√5ρsinθ，化为直角坐标方程为x 2+(y −√5)2=5；---------5分 (Ⅱ)把直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程， 得(3−√22t)2+(√22t)2=5，即t 2−3√2t +4=0设t 1，t 2是上述方程的两实数根， 所以t 1+t 2=3√2又直线l 过点P(3,√5)，A 、B 两点对应的参数分别为t 1，t 2， 所以|PA|+|PB|=|t 1|+|t 2|=t 1+t 2=3√2.------------------10分．【解析】(Ⅰ)先利用两方程相加，消去参数t 即可得到l 的普通方程，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x ，ρsinθ=y ，ρ2=x 2+y 2，进行代换即得圆C 的直角坐标方程．(Ⅱ)把直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，利用参数的几何意义，求|PA|+|PB|的值． 本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．23.【答案】解：(1)f(x)=|2x −1|+|2x +1|，可得x ≥12时，f(x)<4即2x −1+2x +1<4，解得12≤x <1； 当x ≤−12时，f(x)<4即1−2x −2x −1<4，解得−1<x ≤−12； 当−12<x <12时，f(x)<4即1−2x +2x +1<4，解得−12<x <12； 则M =(−1,1)；(2)证明：要证|ab|−|a|−|b|+1>0，即证(|a|−1)(|b|−1)>0， 由a ，b ∈M ，即−1<a <1，−1<b <1， 可得|a|<1，|b|<1，即|a|−1<0，|b|−1<0， 可得(|a|−1)(|b|−1)>0， 故|ab|−|a|−|b|+1>0成立．【解析】(1)由绝对值的意义，去绝对值，解不等式，再求并集可得M ； (2)运用分析法，结合因式分解和不等式的性质，即可得证．本题考查绝对值不等式的解法和绝对值不等式的证明，注意运用分类讨论思想和分析法证明，考查运算能力和推理能力，属于基础题．。