高中数学必修2(人教A版)第四章圆与方程4.1知识点总结含同步练习及答案

3−1 (x − 2)，即 x + 3y + 1 = 0． 2+4
⎧ x = 7, { 2x + 3y − 6 = 0, 得 ⎨ ⎩y = − 8 . x + 3y + 1 = 0, 3 − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − 2 8 340 8 2 即圆心为 (7, − ) ，又半径为 r = √(7 − 3) + (− − 2) = √ ． 3 9 3
3a 2 3a2 2 a 2 − a + 1，由 − − a + 1 > 0 得 −2 < a < ． ) + ( y + a) 2 = − 4 4 3 2
2 ． 3
△ABC 的三个顶点坐标分别为 A(−1, 5) 、B(−2, −2)、C (5, 5) ，求其外接圆方程． 解：设所求圆的方程为 x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0，由题设得方程组 ⎧ ⎨ ⎩ ⎧ ⎨ ⎩
1 B．a < 13
1 C．|a| < 5
1 D．|a| < 13
）
由题意得 (5a + 1 − 1)2 + (12a)2 < 1，所以 |a| <
1 ． 13
已知点 (1, 1) 在圆 (x − a)2 + (y + a)2 = 4 的外部，则 a 的取值范围为______． 解：(−∞, −1) ∪ (1, +∞)． 由题意知 (1 − a)2 + (1 + a)2 > 4，所以 a > 1 或 a < −1 ． 判断下列方程是否表示圆，若是，化成标准方程． （1）x 2 + y 2 + 2x + 1 = 0； （2）x 2 + y 2 + 2ay − 1 = 0 ； （3）x 2 + y 2 + 20x + 121 = 0 ； （4）x 2 + y 2 + 2ax = 0． 解：（1）原方程可化为 (x + 1)2 + y 2 = 0，它表示点 (−1, 0) ，不表示圆． − − − − − （2）原方程可化为 x 2 + (y + a)2 = a2 + 1，它表示圆心在 (0, −a)，半径为 √a2 + 1 的圆， − − − − − 标准方程为 x 2 + (y + a)2 = (√a2 + 1)2 ． （3）原方程可化为 (x + 10)2 + y 2 = −21 < 0 ，此方程不表示任何曲线，故不表示圆． （4）原方程可化为 (x + a)2 + y 2 = a2 ． ①当 a = 0 时，方程表示点 (0, 0)，不表示圆； ②当 a ≠ 0 时，方程表示以 (−a, 0) 为圆心，以 |a| 为半径的圆，标准方程为 ( x + a) 2 + y 2 = a2 ． 若方程 x 2 + y 2 + ax + 2ay + 2a2 + a − 1 = 0 表示圆，则 a 的取值范围为______． 解：−2 < a < 配方得 (x +
equation of circle）．
圆的一般方程 将方程x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0
2 2
⋯ ⋯ ②左边配方，并把常数项移到右边，得 D E D + E − 4F ． (x + )2 + (y + )2 = 2 2 4
1. 当D 2 + E 2 − 4F > 0 时，比较方程②和圆的标准方程，可以看出②表示以(− 圆心，
C 的方程可化为 (x + a)2 + (y − 2a)2 = 4 ，则该方程表示圆心为 (−a, 2a) ，半径等于 2 的圆．因为圆上的点均在第二象限，所以 a > 2．
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D．(x + 1)2 + (y + 1)2 = 4
4. 若曲线 C : x 2 + y 2 + 2ax − 4ay + 5a2 − 4 = 0 上所有的点均在第二象限内，则 a 的取值范围为
(
)
B．(−∞, −1) C．(1, +∞) D．(2, +∞)
A．(−∞, −2)
答案： D 解析： 曲线
圆的基本量与方程
三、知识讲解
1.圆的基本量与方程 描述： 圆的标准方程 在直角坐标系中，圆心A 的位置用坐标(a, b)表示，半径r 的大小等于圆上任意点M (x, y)与圆心 A(a, b)的距离，圆心为 A 半径为 r 的圆就是集合P = {M ||MA| = r}．由两点间的距离公式， 点M 的坐标适合的条件可以表示为√(x − a)2 + (x − b)2 = r ，两边同时平方，得
− − − − − − − − − −− − − − −
(x − a)2 + (y − b)2 = r2 ⋯ ⋯ ①，若点M (x, y)在圆上，有上述可知，点M 的坐标适合方程 ①；反之，若点M (x, y)的坐标适合方程①，这说明点M 与圆心A 的距离为r ，即点M 在圆心为 A 半径为 r 的圆上．我们把方程①称为以A(a, b)为圆心，以 r 为半径的圆的标准方程（standard
高中数学必修2(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案
第四章 圆与方程 4.1 圆的方程
一、学习任务 掌握确定圆的几何要素（圆心和半径、不在同一直线上的三个点等）；掌握圆的标准方程与一般 方程，能根据问题的条件选择恰当的形式求圆的方程；理解圆的标准方程与一般方程之间的关 系，会进行互化． 二、知识清单
)
B．1
C．3
D．−3
x2 + y 2 + 2x − 4y = 0 化为标准方程为 (x + 1)2 + (y − 2)2 = 5 ，所以圆心为 (−1, 2) ，代 入直线 3x + y + a = 0 得 a = 1． )
D．m > 20
2. 方程 x2 + y 2 + 2x − 4y + m = 0 表示圆的条件是 ( A．m > 5
⎧ −D + 5E + F + 26 = 0, ⎧ D = −4, ⎨ −2D − 2E + F + 8 = 0, 解得 ⎨ E = −2, ⎩ ⎩ 5D + 5E + F + 50 = 0, F = −20.
所以 △ABC 的外接圆方程为 x 2 + y 2 − 4x − 2y − 20 = 0 ． 光线从点 A(−1, 1) 发出，经过 x 轴反射到圆 C ：(x − 2)2 + (y − 3)2 = 1 上，则光线经过的 最短路程是______． 解：4 ． 点 A(−1, 1) 关于 x 轴的对称点为 A ′ (−1, −1) ，圆 C ：(x − 2)2 + (y − 3)2 = 1 的圆心为 C (2, 3) ，半径为 1 ，所以光线经过的最短路程为
− − − −− − − − − − − − − − − − − − − − |A ′ C | − 1 = √[2 − (−1)] 2 + [3 − (−1)] 2 − 1 = 4 ．
解：AB 的垂直平分线为 y + 1 = −
已知一个圆关于直线 2x + 3y − 6 = 0 对称，且经过点 A(3, 2)，B(1, −4) ，求圆的方程． 因为圆心在弦 AB 的垂直平分线上，也在对称轴上，则
圆心， 因此，当D 2 + E 2 − 4F > 0 时，方程②表示一个圆，此方程叫做圆的一般式方程（general equation of circle）． 例题： 分别写出下列方程所表示的圆的圆心和半径． （1）(x − 2)2 + (y − 2)2 = 8； （2）(x + 4)2 + y 2 = 4； （3）(x + m)2 + (y − n)2 = p 2 (p ≠ 0)． 解：（1）原方程可化为 (x − 2)2 + (y − 2)2 = (2√2 )2 ，所以圆心 (2, 2)，半径 r = 2√2 ． （2）原方程可化为 [x − (−4)] 2 + (y − 0)2 = 2 2 ，所以圆心 (−4, 0) ，半径 r = 2． （3）原方程可化为 [x − (−m)] 2 + (y − n)2 = p 2 ，所以圆心 (−m, n)，半径 r = |p|． 已知点 (5a + 1, 12a) 在圆 (x − 1)2 + y 2 = 1 的内部，则实数 a 的取值范围是（ A．|a| < 1 解：D．
1
− − − − − − − − − − − √− D 2 + E 2 − 4F 为半径长的圆；
D E , − )为 2 2
1 √D 2 + E 2 − 4F 为半径长的圆； 2 D E 2. 当D 2 + E 2 − 4F = 0 时，方程②只有实数解x = − ，y = − ，它表示一个点 2 2 D E (− , − )； 2 2 3. 当D 2 + E 2 − 4F < 0 时，方程②没有实数解，它不表示任何图形．
答案： C
B．m < 20
C．m < 5
3. 过点 A (1, −1) ， B (−1, 1) 且圆心在直线 x + y − 2 = 0 上的圆的方程是 ( A．(x − 3)2 + (y + 1)2 = 4
答案： C
)
C．(x − 1)2 + (y − 1)2 = 4
B．(x + 3)2 + (y − 1)2 = 4
所以圆的方程为 (x − 7)2 + (y +
340 8 2 ． ) = 9 3
四、课后作业
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1. 若直线 + 2x − 4y = 0 的圆心，则 a 的值为 ( A．−1
答案： B 解析： 圆