第七章 平面电磁波

2 k 2
k
k
2
ez
19
波函数实际以 t – kz为自变量，称为相位。 具有确定相位的点以相速 在空间传播。
t kz C
k dz 0
dt
v dz 1 dt k
E与H的复振幅之比称为媒质的本征阻抗，或平 面波的波阻抗
E H
20
平面波的平均玻印亭矢量
sin x
x
函数
0
100
200
300
400
0
100
200
300
400
0
100
200
300
400
34
信号包络在空间中是移动的，其上一固定振幅的点 的移动速度即群速，也即包络移动的速度：
t
k0z
C
vg
dz dt
k0
d
dk
0
相位因子 0t k0z 依然反映了平面波信号相位变
化的情况，等相位点传播的速度为相速：
实数域内 瞬时玻印亭矢量
Sm
ex Exm
cost
x
ey H ym
cos t
y
ez
1 2
Exm H
ym
cos
2t
x
y
cos x y
Smavg
ez
1 2T
T
0ExmH ym cos 2t x y
cos x y
dt
ez
1 2
Exm H ym
cos x
y
时间平均玻印亭矢
2
E0
2
1
4
E0 2 we
电磁场的平均能量密度：
w
we
wm
2we
2wm
1
2
E0
2
电磁场的平均能流密度：
Savg
E0 2 1
2 2
E0 2
w v w
22
E、H、k三者之间方向的关系符合右手螺旋法则。
Example: 频率为 100MHz 的简谐平面波沿＋z 方向传输。介质参数为r = 4，＝0，＝0。设 场是 x 方向偏振的；当 t=0，z=1/8m 时，电场等 于其振幅 10-4V/m。求 E，H，波速，波长，平均 能流密度。 解 即：E场沿exHEEx x方，ee向x则yEH偏eHei(i振(tt意ekkzyz)H)味y电e。exy设E场Hx电m强ymee磁i度ix e场x方ei(i的向(t t k表为zk)z)达x 式方为向：，
整理可 D得复r数形式的MaxweEll方r程 (只与i空B间r坐 标相关) Br 0 Hr Jr iDr
14
将场的复数表达式带入波动方程可得： 2E k2E 0 2H k2H 0
k2 2
波数
此即为亥姆赫兹方程。
亥姆赫兹方程实际为场简谐变化下、复数形 式的Maxwell方程
0t
k0 z
C
vp
dz dt
0
k0
35
18 109
(J
/
m3)
ez
108
18 109
(J
/
m3)
1.5
108 ( m
/
s)
ez
108
120
(W
/
m2)
25
二、均匀平面波的特征参量
1、平面波的一般表达式
直角坐标系内平面方程为：
ax by cz C
其中矢量 n aex bey cez 为平面的法向矢量
因此平面n方程r可表a达x为：by cz C
Chapter VII. 平面电磁波
☺波动方程 ☺均匀平面波 ☺介质中的平面波
§7.1 波动方程
一、波动方程
Maxwell方程
D
B 0
E
H
J
B
t D t
媒质方程
D E H B J E
上述方程及边界条件构成了对宏观电磁现象 的完整描述
2
考虑均匀(、、与空间位置 r 无关)、无损（ ＝
量
11
复数域内，瞬时玻印亭矢量应该可写成：
Sm Re S
复瞬时玻印亭矢量
推导复瞬时玻印亭矢量的表示形式：
Sm
1 2
E c.c
1 2
H c.c
1 4
E H E H c.c
而复瞬时玻印亭矢量的应有：
Sm
1 2
S c.c
对比上两式可得：S 1
E H E H
ikr
0
E 0
ik
r
0
e
ikrEE00e kikr
0 r 0
k E0 0
同理
B 0 k H0 0
27
E iB
e ikr
ik
r
E0e
E0
ikriHi0eiHkr0e
ikr
k
E0
H
0
B0
H iD k H0 E0 D0
28
2、平面波的传播速度
E z, t
E ( 0 0 0
)e d i0tk0z0 tk0 0
E e e d i0tk0z 0 i0 tk00 0
0
0
E e e d i0tk0z itk0z
0
2E0e
i 0t k0z
sint k0z
t k0z
33
显然信号的振幅(或包络)为
sinc(x)
与波动方程
d2 dx
f
2
1 v2
d2 f dt 2
0 对比可知，方
程的解同样具有波的形式，是为电磁波。
f f (t x) f (t x)
v
v
4
f f t z
f
v f
t1 > t2 > t3
z固定
z
t
z vt2 t1 vt
5
波的形式取决于边界条件和初始条件
x
驻波
x
行波
亥姆赫兹方程实际描述场的空间分布特性， 即场的复振幅分布，完整的场表达式还需加 上时间因子
亥姆赫兹方程可用分离变量法求解
15
§7.2 理想介质中的均匀平面波
一、均匀平面波的方程 所谓均匀平面波是值场矢量只沿传播方向变化，在 与波传播方向垂直的无限大平面内，场矢量的方向、 振幅、相位保持不变的波。
E
H
16
对于沿z轴方向传播的平面波，假设其只有Ex分量， 则其满足的亥姆赫兹方程为：
2Ex z 2
k2Ex
0
其解为：
Ex E0e ikz E0e ikz
则场的表达式为：
E
ex
E0 e ikz
E0eikz
e it
ex
E e i(tkz) 0
E e i(tkz) 0
场的实数表达式为：
Em
Re(
E)
ex
E0 cos(t
kz) E0 cos(t
kz)
17
对于平面波，实际并不需要再给出H的方程。由
Maxwell方程可知，给定E即可确定H:
E iH
如给定Ex的情况下，由下列方程即可确定H只有y
方向的分e量x Hye：y ez
E
x
y
z
i
ex H x
ey H y ez Hz
等相面在沿波矢 k 方向上距离与时间的关系为
t kr C v dr 1 dt k
是为相速，即等相面沿其法线方向的传播速度， 也即平面波的传播速度。如果媒质的特性与频率 无关，即、与频率无关，则不同频率的平面电 磁波的相速与频率无关，媒质称为无色散媒质。 一般情况下，媒质总是存在色散。
电磁波的传播速度取决于媒质性质(、)。
7
二、亥姆赫兹方程
考虑电Em磁波r,随t 时间eex作yEE简xym谐m变rr化cco，oss即tt xyrr
ez Ezm rcost z r
习惯上
Er, t Ereit
其中定义复振幅
Er exExm reix eyEym reiy ezEzm reiz
0
保留到一阶项并带入信号表达式，则有：
E
z, t
0 0
E0
(
)e
i
t
k
z
d
E ( )e d 0 0 0
i0tk0z0 tk0 0 z
32
若
dE0 ( ) d
很 小， 则将 各频 率 分量 的振 幅在 0
处展
开：
E0
E0
0
dE0 ( d
)
0
E00
E0
则信号的表达式可演化为：
29
相速：平面波等相面的传播速度 群速：信号能量传输的速度 信号总能被分解成具有不同频率的平面波的叠加， 对每一个频率分量来说，其相速等于其能量传播的 速度。若信号所在媒质为无色散媒质，即平面波的 相速(或其能量传播速度)与频率无关，则信号的能 量传播速度等于平面波的相速，即群速等于相速； 一般情况下，媒质总是存在色散，则信号的群速不 等于平面波的相速。
23
波速：v 1 1 1 c 1.5108(m / s)
r00 2 00 2
波数： k
2f
2 108 2
00
4
3
(rad / m)
波长： v 2 1.5(m)
fk
ReE
1 8
,0
E xm
104
Re
E
xm
e
i
2
108
0
4 3
1 8
x
E xm
104
cos
Savg
1
E
H
2
1 2
ex E0e ikz
ey
E0
e
ikz
ez
E0 2
2
Savg
1 2
ex E0e ikz
ey
E0
e ikz
ez
E0 2
2
平面波的平均能量密度
21
电场的平均能量密度：
we
1
E
E
4
1
4
E0
2
磁场的平均能量密度：
wm
1 4
H
H
1 4
Ex 0 0
Hy
i
Ex z
E0e ikz
E0e
ikz
18
平面波：
E
ex
E e i(tkz) 0
E e i(tkz) 0
H
ey
E e i(tkz) 0
E e i(tkz) 0
在空间一固定点，场矢量随时间简谐变化：
T 1 2 2f f
在某一固定时刻，场矢量随空间坐标简谐变化：
30
无色散媒质
vblue vred vgreen
色散媒质
vblue vred vgreen
31
考 虑 一 个 平 面 波 信 号 ， 由 频 率 为 (0-， 0+) 的平面波组成：
E z,t
0 0
E0
()e
i
t
k
z
d
将 k 在0 处展开：
k
k0
dk
d
0
k0
dk
d
0
2
这种情况下才有
Sm Re S
12
求复平均能流密度
Savg
1 T
T Sr, tdt 1
0
2T
T
0
Er,
t
Hr,
t
Er,
t
H
r,
t
dt
1 2T
T
0
Er
Hre i 2t
Er
H
r
dt
1
Er
H
r
2
实际上：Smavg Re Savg
1 Re Er Hr
2
验证
Savg
0）、无源(＝0，J＝0)媒质中电磁场的特性。
电磁场满足的方程为：
E 0
E
H
H 0
H
t E
对方程
E
H
t 两边求旋度，则可得：
(
E)
t
H
t
2
E
2E t 2
E 0
2
E
2E t 2
3
同理，磁场强度满足的方程为：
2
H
2H t 2
0
因此2E，电磁场的2tE2方程0演化为两个2H独立 的方程2tH：2 0
6
对于电磁波这种三维波动情况，其波动情况非 常复杂。取决于边界条件，可能完全是行波， 如天线辐射；完全是驻波，如微波谐振腔；在 某些方向上表现为驻波，某些方向上表现为行 波，如波导中的电磁波。
E、H的波动方程虽然独立，但并不意味着这 是两种完全独立的波动。实际上二者的相位、 幅值大小是相互关联的，这种关联体现了空间 的约束。
8
引入复数表达式的优点：
表达式简洁，相位的概念更加突出
简化对三角函数及时间的微分的运算
对于线性运算，获得实数域结果只需对复数域运算
结果取实部即可
如：
Em
r,
t
ReEr,
t
1 2
Er,
t
c.c
t
Em
r, t
ex E xm
rsint
x
r
eyEymrsint yr
ezEzm rsint z r
1 2
ex Exme ix
ey H yme iy
1 2
ez Exm H yme ix y
Smavg Re Savg
1 2
ez Exm H ym
cos x
y
13
将电E磁r场, t的 复E数表r达e式it代入MaHxwerll,方t 程，H则有reit
Dreit eit Ereit iBreit Breit 0 Hreit Jreit iDreit
9
Re
Er,
t
t
Re
iEre it
ReReexeixiExEmexmictosx t x i sint x
exExm sint x
Em t
Re
E t
10
Example 1:简谐平面电磁波的平均能流密度
电磁波的复表达式：
Er, t Ereit ex Ereit ex Exmeitx H r, t Hreit eyH reit eyH ymeity
4
3
1 8
x
1
4
3
1 8
x
0 x
6
(rad )
H ym Exm / Exm /(
) 104
0
104 ( A / m)
60
4 0
24
Savgm Re Savg
1
Re
E
H
2
ez
108
120
(W
/
m2)
w
2we
1 2
E
2 xm
Savgm
Baidu Nhomakorabea
1 2
r
0
E
2 xm
w v
108
平面波的等相HE位面rr,为,tt平面E，H0因0ee此i(i(ttkkrr) )
26
其中
k
2
en
kxex k
2
yey
cosex
kzez
cos ey cosez
为波矢。
等相面方程为k： r t C C
将平面波的表达式带入无源 Maxwell 方程，可
得：
D
E0e