系统模型

二 图及其概念
图论是数学家欧拉创始的。1736年欧拉 解决了有名的难题，肯尼希堡城七桥问题。 该镇的普雷格尔河中有两个小岛，共有七 座桥与两岸彼此连通，问题：从陆地或岛 上任一地方开始，能否通过每座桥一次且 仅仅一次就能回到原地。
A
C
D
A
C
D B
B
欧拉用顶点表示陆地区域，用联接相应顶点 的线段表示各座桥（如左图），于是七桥问 题就变为一道数学问题：在左图中是否可能 连续沿各线段，从某一始点出发只经过各线 段一次且仅仅一次又回到出发点，即是否存 在一条“单行曲线”。
i i j j
1 aij 0
R表示 si 与 s j 有关系
R 表示 si 与 s j 没有关系
邻接矩阵示例
0 0 1 A aij 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
二、可达性矩阵的划分
3. 级别划分 3 ( P) 级别划分在每一区域内进行。ei 为最上级单元的条件为 R(ei)=R(ei)∩A(ei) 得出最上级各单元后，把它们暂时去掉，再用同样方法便可 求得次一级诸单元，这样继续下去，便可一级一级地把各单 元划分出来。 系统S中的一个区域(独立子系统) P 的级别划分可用下式 表示 π3(P)={L1,L2,…,Ll} 其中L1,L2,…,Ll表示从上到下的各级。
1 (S S ) {R, R}
二、可达性矩阵的 划分
2、区域划分 2 (S ) 区域划分将系统分成若干个相互独立的、没有直接或 间接影响的子系统。 可达集
R(ei ) {e j | e j S , mij 1}

先行集
A(ei ) {e j | e j S , m ji 1}
可达矩阵
Fra Baidu bibliotek

设A1=(A+I) A2=(A+I)2=A12 … Ar1=(A+I)r-1=A1r-1 如：A1≠A2≠…≠Ar-1=Ar (r<n-1) 则：Ar-1=R 称为可达矩阵，表明各节点 间经过长度不大于（n-1）的通路可以到 达的程度，对于节点数为n的图，最长的 通路其长度不超过（n-1）
1 1 0 A I 0 0 0 0
1 1 0 ( A I ) 3 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1
实例分析
7 6
5
4
3
1
2
例3-1
7 6
1 2
3
4
5
6
7
1 2
3
5
4
1
2

3 4 5 6
例3-1
1 2 3 4 5 6 7
1 2 3 4 5 6
Si
1 1 11111 11111 1 00000 00000 0 0 RCA RCB 0 0 0 1 RCC RCD
C ( Si )
D( Si )
RDA
RDB
1 1 1 1
RDC
RDD
4.2 解析结构模型（ISM）
二、可达性矩阵的划分
1、关系划分 1 (S S ) 关系划分将系统各单元按照相互间的关系分成两大类 R 与R ，R类包括所有可达关系，R 类包括所有不可达关系。有 序对( ei , ej )，如果 ei到e j 是可达的，则( ei , ej )属于R 类，否 则( ei , ej )属于 R 类。 从可达性矩阵各元素是 1 还是 0 很容易进行关系划分。 关系划分可以表示为：
第3章 结构模型化技术
一、结构模型简介

结构模型就是应用有向连接图来描述系 统各要素间的关系，以表示一个作为要 素集合体的系统模型。
示例
总人口
期望寿命 死亡率 出生率
医疗水平
结构模型的特征


结构模型是一种图形模型（几何模型） 结构模型是一种定性为主的模型 结构模型可以用矩阵形式描述，从而使 得定量与定性相结合 结构模型比较适宜于描述以社会科学为 对象的系统结构的描述
结构模型化技术



指建立结构模型的方法论 结构模型法是在仔细定义的模式中，使用图形和文字 来描述一个复杂事件（系统或研究领域）的结构的一 种方法论（John Warfield 1974） 一个结构模型着重于一个模型组成部分的选择和清楚 地表示出各组成部分之间的相互关系（Mick Mclean, P.Shephed 1976） 结构模型强调的是确定变量之间是否有联结以及联结 的相对重要性，而不是建立严格的数学关系以及精确 地确定其系数。（Dennis Cearlock 1977）
解释结构模型法的工作程序


成立一个实施解释结构模型法的小组 设定问题 选择构成系统的要素 建立邻接矩阵和可达矩阵 对可达矩阵进行分解之后建立系统的结 构模型 根据结构模型建立解释结构模型
四、建立邻接矩阵和可达矩阵
1.邻接矩阵建立A=(aij) Si×Sj，即Si与Sj和Sj和Si互有关系, Si○Sj，即Si与Sj和Sj和Si均无关系, Si∧Sj，即Si与Sj有关，Sj和Si无关， Si∨Sj，即Si与Sj无关，Sj和Si有关，
0 1 0 A 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0
0 1 0 A 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1
0 A( S i ) R AA R AB 0 0 0 0 1 B( Si ) RBA RBB 1 1 RBC RBD R AC RBC
二、可达性矩阵的划分
3 3 1 4 0 5 0 M 6 0 1 2 7
4 1 1 0 1 0
5 1 1 1 1
6 1 1 0 1
1
2 0
7 子系统I 0 子系统II 0 1
1 1 1
0 1 1
子系统I
子系统II
π2(S)={P1,P2}={{e3,e4,e5,e6},{e1,e2,e7}}
结构模型化技术
解释结构模型法



解释结构模型法（interpretative structural modeling ISM） 美国专家华费尔1973年为分析复杂的社会经济 系统有关问题而开发。 特点：把复杂的系统分解为若干子系统，利用 人们的实践经验和知识，以及电子计算机技术 的帮组，最终将系统构造成一个多级递阶的机 构模型。 ISM 是概念模型，把模糊不清的思想、看法转 化为直观的具有良好结构关系的模型。
缩减可达矩阵

在可达矩阵中存在两个节点相应的行、 列元素值分别完全相同，则说明这两个 节点构成回路集，只要选择其中的一个 节点即可代表回路集中的其他节点，这 样就可简化可达矩阵，称为缩减可达矩 阵。
三、解释结构模型法

解释结构模型法(ISM)是分析复杂的社会 经济系统有关问题的一种行之有效的方 法，其特点是把复杂的系统分解为若干 子系统或要素，利用人的实践经验和知 识，以及电子计算机的帮助，最终将系 统构成一个多级递阶的结构模型。
二、可达性矩阵的划分
级别划分的步骤 令L0 =φ，j=1； (1) Lj = {ei∈P-L0-L1-…-Lj-1｜Rj-1(ei)∩Aj-1(ei) = Rj-1(ei)} 其中 Rj-1(ei) = {ei∈P-L0-L1-…-Lj-1 ｜mij = 1} Aj-1(ei) = {ei∈P-L0-L1-…-Lj-1 ｜mji = 1} (2) 当｛P-L0-L1-…-Lj } = φ时，划分完毕；否则j = j+1， 返回步骤(1)。 注：如果条件R(ei) = R(ei)∩A(ei) 换成条件 A(ei) = R(ei)∩A(ei) 则上述级别划分可类似进行，但每次分出的是底层单元。
S1
汇点
S2
S3
S5
S6
S4
源点
邻接矩阵特点



汇点：矩阵A中元素全为零的行所对应的 节点 源点：矩阵A中元素全为零的列所对应的 节点 对应每节点的行中，元素值为1的数量， 就是离开该节点的有向边数；列中1的数 量，就是进入该节点的有向边数
可达矩阵



用矩阵来描述有向连接图各节点之间， 经过一定长度的通路后可以到达的程度 推移律特性 可达矩阵R可用邻接矩阵A加上单位阵I， 经过演算后求得
二、可达性矩阵的划分
例：在对7单元系统区域划分的基础上进行级别划分
关系图
可达性矩阵
二、可达性矩阵的划分
区域划分表 i
1 2 3 4 5 6 7
R(ei)
1 1,2 3,4,5,6 4,5,6 5 4,5,6 1,2,7
A(ei)
1,2,7 2,7 3 3,4,6 3,4,5,6 3,4,6 7
R(ei)∩A(ei)
1 2 3 4,6 5 4,6 7
R(e3 ) A(e3 ) A(e3 ) R(e7 ) A(e7 ) A(e7 ) R(e3 ) R(e7 )
欧拉得出了一般结论，即存在单行曲线 的必要、充分条件是奇次顶点（联接于 顶点的线段数为奇数）的数目为0。显 然右图不满足此条件，因此，七桥问题 的答案是否定的。
A
C
D
B
在七桥问题中，欧拉用点表示陆地，用线段表示 桥。图论中，把一些事物及其之间的联系用点和 连接于点与点之间的线段来表示，因此，图就是 一些点与线段的集合。
二、图的几个概念



有向连接图：节 点和有向边 回路 环 S1 树：源点、汇点， 没有回路和环 关联树：节点上 有加权值W，边上 有关联值r
S2
S3
S5
S4
邻接矩阵(adjacency matrix)


图的基本的矩阵表示，描述图中各节点 两两间的关系 邻接矩阵A的元素aij 定义：
s Rs s Rs
二、可达性矩阵的划分
例：对一个7单元系统的区域划分
7
1
6
2 0 1 0 0 0 0 1
3 0 0 1 0 0 0 0
4 0 0 1 1 0 1 0
5 0 0 1 1 1 1 0
6 0 0 1 1 0 1 0
7 0 0 0 0 0 0 1
5 4
2
1
3
1 1 2 1 3 0 M 4 0 5 0 6 0 7 1
1 1 0 ( A I ) 2 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1

底层单元集（共同集，其中元素具有此性质：不能存 在一个单元只指向它而不被它所指向。）
B {ei | ei S且R(ei ) A(ei ) A(ei )}
二、可达性矩阵的划分
对属于B的任意两个元素 t、t′，如果可能指向相同元素 R( t )∩R( t′)≠φ 则元素 t 和 t′属于同一区域； 这种划分对经济区划分、 反之，如果 t、t′不可能指向相同元素 行政区、功能和职能范围 R( t )∩R( t′)=φ 等划分工作很有意义。 则元素 t 和 t′属于不同区域。 这样可以以底层单元为标准进行区域的划分。 经过上述运算后，系统单元集系统就划分成若干区域， 可以写成 π2(S)={P1,P2,…,Pm}， 其中m为区域数。